江苏徐州市第三中学2026届高三考前模拟自测数学试题

**基本信息** 徐州三中2026届高三数学三模卷，以正四面体液面计算、阿波罗尼斯圆锥曲线等情境设计，覆盖集合、导数、椭圆等核心知识，梯度合理，适配高考冲刺阶段能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、向量、正态分布|第3题结合向量与充要条件，考查数学思维| |多选题|3/18|概率、圆锥曲线|第10题以圆锥截面为背景，体现数学眼光| |填空题|3/15|回归分析、数列|第13题开放型数列求和，培养创新意识| |解答题|5/77|解三角形、概率、立体几何、椭圆、导数|第19题导数单调性与最值探究，考查数学语言表达|

徐州三中2026届高三考前最后一卷 数 学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，集合，则（     ）． A． B． C． D． 2．已知，则（     ）． A．1 B．2 C． D．5 3．已知单位向量，，则是“存在实数，使得”的（     ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知随机变量服从正态分布，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为5，则（O为坐标原点）的面积为（     ）． A．1 B． C．2 D．4 6．若，则n的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知圆，点P在直线上．若圆C上存在两点A，B，使得是等边三角形，则点P的横坐标的取值范围为（     ）． A． B． C． D． 8．一个棱长为6的正四面体状封闭玻璃容器（壁厚忽略不计）内装有少量液体．如图，当容器倾斜至某一位置时，液面与过同一顶点的三条棱相交，交点到该顶点的距离分别为2，3，4．若将该容器放在一个水平桌面上，底面贴合桌面，则液面距离桌面的高度大约为（     ）．（参考数据：，） A．0.1 B．0.2 C．0.5 D．0.6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知随机事件，均包含于必然事件，若，，则（    ） A． B． C． D． 10．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲线，如图①．在圆锥中，轴截面是斜边长为的等腰直角三角形，点M是线段的中点．过点M的平面截圆锥，下列图②-图⑤中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分（截面经过点O）、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（     ）． A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为 11．已知函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本的残差为______． 13．已知数列满足，，且数列为等比数列，则的前5项和可以是______． （写出一个满足条件的值） 14．已知斜三角形的内角的对边分别为 ，则的最大值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. （1）若，求的周长； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 16．（本小题满分15分） 有一个袋子中装有4个红球，2个黑球，现每次从袋子中随机取出一个球，连续取三次． （1）若每次取出的球放回，记取出黑球的次数为，求的分布列和期望； （2）若每次取出的球不放回，已知第三次取出的是黑球，求此时袋中没有黑球的概率． 17．（本小题满分15分） 在矩形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，得到如图所示的四棱锥． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（本小题满分17分） 已知椭圆的左、右顶点分别为，，线段的中点为，过的直线与交于，两点，在轴上方．当为的上顶点时，，且． (1)求的方程； (2)若，求的方程； (3)若，与轴分别交于，，求与的面积之比． 19．（本小题满分17分） 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的最小值为0，求的值. 高三数学 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $徐州三中2026届高三考前最后一卷 数学参考答案 一、选择题： 1、B2、C3、A4、D5、C6、B7、C8、B 二、多选题： 9、BC10、BCD11、ACD 三、填空题： 11、-1.612、348或168（答案不唯一） 13、 3 四、解答题： 15.(1)simB=cosC+cosAsinc,A+B+C=元， .sin B=sin(A+C)=sin AcosC+cos Asin C=cos C+cos Asin C, .sin AcosC=cosC,cosC (sin A-1)=0, .c0sC=0或$inA=1,… …2分 A,C∈(0，m),C=或A= 2 3 当A=汇时，a边最长，与条件a=b-1<b矛盾，故舍去；…4分 当C-时，则c2=+公，又a=b-1,G=b+1, .(b+1)2=(b-1)+b2,解得b=4.… …5分 ∴.a=3,b=4,c=5,△ABC的周长为a+b+c=12: 6分 (2)存在b=3,理由如下： 显然c>b>a,若△ABC为钝角三角形，则C为钝角， 由余弦定理可符cosC=。+-c_-+公-b+=_<0, 2ab 2b(b-1) 2b(b-1) 解得1<b<4,… …9分 由三角形三边关系可得a+b>c,即b+b-1>b+1,可得b>2, …12分 b是正整数，故b=3.… 。。。。。。。。。 ，。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。 …13分 16.(1)由题意知，随机变量X的取值为0,1,2,3， …2分 则x=o[)Pxc3)号 数学参考答案第1页共4页 (xnx)ct 6分 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P P 4 2 1 27 9 9 27 所以X的期望E(X)=3×31 …7分 (2)记第n次取出黑球为事件A,第三次取出黑球后袋中没有黑球为事件B. 法剑-P44)44子片房 4=4Pa4+Paa4j-子君号 2 所以P(B14)= P(B4)_15_2 P(4)15 …15分 3 方4)瓷后4装- A3 2 所以P(B|A)= P(B4)_5-2 ）15…15 3 17.(1)在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E为AD的中点， 所以CE=BE=2√2，所以CE2+BE2=16=BC2,所以CE L BE,… …3分 因为平面PBE⊥平面BCDE,平面PBEO平面BCDE=BE,CEC平面BCDE, 所以CE⊥平面PBE.… …5分 又PBC平面PBE,所以CE⊥PB.…6分 (2)取BE的中点O,BC的中点F,连接OP,OF,则OFIICE,所以OF⊥ 平面PBE, 由题可得PB=PE,所以OP⊥BE,所以BE,OF,OP两两垂直， 以O为原点，OB,OF,OP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直 角坐标系， 则P0,0,V2),B(20,0,c(2,2W2,0),D(-2W5,V2,0, 所以PB=(V,0,-V2),Dc=(W2,2,0),PD=（←2W2,V2,-√2). …8分 数学参考答案第2页共4页 设平面PCD的一个法向量为i=(x,y,z), nD-25x+2v-=0,取=1，得y=-1,三=-3，所以i=0-1-3…12分. 则 i.DC=√2x+√2y=0 设直线P8与平面PcD所成角为8，所以sin0=cos(PB,) PB.V2+3W22W22 PB园 2×V11 11 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为2西 …5分 11 18.(1)由题可知A(-a,0),B(a,0), M(O,b),如下图所示： M MD=3,即g+b2=3, …1分 B 因为DLMB,所以kokn=2沙名-1，即G-20, aa 所以联立解得=4，b2=2,…3分 因此椭圆C的方程为￡+ =1…4分 42 (2)由(1)可知A(-2,0),B(2,0),D(-1,0), 设1的直线方程为x=y-1,M(x,),N(2,y2)y1>0,y2<0), x=y-1 联立 x2+2y2=4'可得(m+2）y2-2v-3=0, 根据韦达定理可得+y= 2n 3 m2+2,5=- m2+2’ ………………6分 因为D-丽，所以y=-为， 3 …7分 3 2 为+=3为 出+当>0 所以 5 55=5 ，即 (+)2 所以-3-15(2m2 m2+24m2+2 m>0,解得m= 2 因此直线1的方程为y=√2x+√2： …9分 (3)图象如下图所示： M P 由(2)可知，2(+)=m少， …11分 且线M的方程为=产2+2小，所以0》 (x1+2 即P0,2出 y+1 数学参考答案第3页共4页 同理可得Q0, -2y2 13分 (%2-3 9 3 所以兰-3到-二m5+3型-205+)+3 3 2当 3.1 -=-3…15分 yo (my+1)y2 2(01+%)+5-2425 所以地ADy,.放△P4D与AOBD的面t积之比为1,7分 S.03D DB Y2 3ve 19.)当a=-1时：)-x-,0,则f()=x-}--x+, xx 当0<x<1时，f'(x)<0,当x>1时，f'(x)>0, 所以，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 2分 所以，当x=1时，f)有极小值∫=】无极大值………4分 (2)fw)=x-a++g--a+1x+a.--@.（x>0y 当a≤0，则x∈(0,1)时f(x)<0,f(x)单调递减，x∈(1，+o)时f'(x)>0,f(x)单调递增；…6分 当0<a<1,则x∈(0，a)时f'(x)>0,f(x)单调递增，…8分 x∈(a,)时f'(x)<0,f(x)单调递减，x∈(1，+o)时∫'(x)>0,f(x)单调递增： 当a=1,则x∈(0，+∞)时(x)≥0f(x)单调递增；…9分 当a>1,则x∈(0,1)时f'(x)>0,f(x)单调递增，x∈(1，a)时f'(x)<0,f(x)单调递减， x∈(a,+o)时f'(x)>0,f(x)单调递增… …11分 （3)令h)-fo-a+l)x=+a,()=+g-fg(>0) …12分 当a>0时，H(x)>0,函数h(x)在(0，+∞)上单调递增，故无最小值 …13分 三0时，h(x)三x,易知极小值为0，符合题意 …15分 当a<0,由(x)=0得x=√-a 所以x∈(0，-a时(x)<0,h(x)单调递减，x∈(NFa,+o)时(x)>0,h(x)单调递增， 所以)a=ha-a+ad血va=0, 解得☑=一巳，… …17分 综上，a=-e或0 数学参考答案第4页共4页