陕西西安高新第一中学2025-2026学年高一第二学期月考二数学试题

数学试题参考答案 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.B2.D3.D4.B5.B6.A7.C8.A 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项 是满足要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9.ABD 10.BCD 11.AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.6π13.014.3+25 四、解答题（共47分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分15分) B 【解析】【小问1详解】取CC中点M,连接M,FM,在△B,CC中，由 于E,M为中点，所以EMI/B,C,因为EM丈平面ACB,BCc平面ACB, 所以EM/平面ACB,在平行四边形ACC1A中，F,M为对边中点，所 以FM/AC因为FM￠平面ACB,ACC平面ACB,所以FM/平面ACB, 因为EM,FMC平面EMF,EM∩FM=M,所以平面EFM/I平面AB,C, 又EFC平面EMF,所以EF//平面AB,C. B 【小问2详解】因为AC2=AB+BC,所以AB⊥BC, 那么以B为原点，分别以BA,BC,BB为x轴，y轴，z轴建立坐标系， B 如图所示，则A(3,0,0),B(0,0,4),C(0,4,0),C(0,4,4),E(0,2,4), A文 所以CE=(0,-2,4),AC=(-3,4,0),AB,=(-3,0,4)不妨设平面ACB的一个 AC=0「-3x+4y=0 法向量为n=(x,y,),由 可得 nAB=0 -3x+4=0’不妨令x=4,那么i=(43,3),则 CE cos<i,CE 6 3V170 34x20 =170，设0为直线CE与平面AC8所成角，则 第1页/共3页 sine= cos元，CE= 3170 170 所以直线CE与平面A8c所成角的正弦值为3170 170 16.（本小题满分15分)【解析】【小问1详解】由正弦定理知： a=2Rsin A,b=2Rsin B,c 2Rsin C, 可得：sin AcosC+√3 sin AsinC-sinB-sinC=0,又A+B+C=元，则 sinB=sin(π-A-C)=sin(A+C),代入上式，可得sinAcosC+V3 sin AsinC-sin(A+C-sinC=0, 所以√3 sin AsinC-cos AsinC-sinC=0,由于sinC≠0，可得√5sinA-cosA=l,即 n1-急-号由4e@利，所以4-若吾所以4-骨 【小问2详解】在△ABE中，BE2=AB2+AE2-2AB·AEc0SA, 所以Zc2=c2+9-3c,解得c=2(舍负，又：=6+c2-2bcc08A=28即a=2万， 由Sccn4=,所以×6x2x5-2疗-h,可得C边上的高h3回 22 17.(本小题满分17分) 【解析】【小问1详解】取BE中点O,连接PO,CO,CE,在△PBE 中，由于PE=PB,所以PO⊥BE,由于四边形BCDE为菱形且 CE=AB=2,所以△BCE为正三角形故，.CO⊥BE,又由于 PO∩CO=O且PO,COc平面PCD,所以BE⊥平面PCO,∴.BE⊥PC 【小问2详解】()如图所示，取PB三分点M(靠近B点)， BC三分点F(靠近B点)，连接GM,MF,GF, 由于PM:MB=PG:GO=2:1,∴.MG/BE1ICD,.MG∥平面 E、 PCD,又PM:MB=CF:BF=2:1,.AF IIPC,∴.MF∥平面PCD 因为MFOMG=M,MF,MGd平面PCD,MF,MGC平面MGF, 所以平面MGF∥平面PCD,故GF∥平面PCD: 第2页/共3页 (ii)以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OZ⊥平面BCDE, 建立如图坐标系：由于PO1BE,CO1BE,∠POC=120°， D ∴.☑POZ=30°，此时： Ba.0o,c0.V5,0叭，-10,0.p0-5 B ;由CD=BE可得 22 D2,5,0,又PG-2P0可得G0,-5 G宁月理市五-C得写90：设平可c0 的法向量为=（x,y,2),由 mP0=0可得35y-3=0,令y=山，则平面PCD的-个法 可得 mCD=0x=0 向量为m=(0,1,√3)： 。 75,,1 n.DG=0 2a- 2b+÷c=0 6 2 设平面GFD的法向量为i=(a,b,c),由 可得 n.DF=0 8 a- 3 25b=0 3 令6=山，则平面GD的个法向量为(1 );设平面DGF与平面DPC所成角为8， 则c0s0= n 1+4 10W5 V313,即sin6= V13√4069 ‖ 3 2× 16 -+1+ V16 3 √313313 第3页/共3页2025-2026学年高一第二学期月考二 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、准考证号、班级在答题卡上涂写清楚 2.每小题选出答策后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再进涂其他答案标号，在试卷上作答无放、 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分120分，考试用时90分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.设名=2+41,22=2i,则互= () A.2+i B.2-i C.1+2i D.1-2i 2.下列各组向量中，能作为基底的是 () A.e=(1,0),e2=(0,0)B.=(1,2),e2=(2,4)C.g=(0,2),e2=(0,6)D.e=(0,3),8=(3,0) 3.已知两条直线m,n及平面a,B,下列条件中，一定能得到al∥B的是 () A.mca,nc B,m//B,n/la B.m⊥n,m⊥a,n/IB C.mca,nca,m//B,nl/B D.m⊥a,m⊥B 4.若A,B,C是△ABC的三个内角，且A<B<C,则下列结论中正确的是 () A.sin A>sinC B.cos A>cosC C.sin 2A<sin 2B D.cos2A<cos2B 5.长方体AC中，AB=BC=2,AA1=4,则点A到平面ABD的距离为 () A.2 B 4-3 C.4v5 D.22 3 6.已知a=(,y),6=(x2y2),定义新运算a⊕6=(x+x2-1)(y+2-1),记 示-6a-?0,i=血a+,满足m⊕=治，则sm2a骨- () B.-5 D.-0 10 10 数学试卷共4页第1页 .四面体BCD中，AB1平面BCD,B=26,LC8D=,CD=3,则该四面体的外接球 积为 () A.12π B.27π C.36π 8.在平面直角坐标系xOy中，OA在(1,0)方向上的投影向量为(4,0)，OB在(0,1)方向上的投彩 向量为(0,4)，且|AB上6，那么OA.OB的最小值是 () A.32-242 B.3-2√2 C.16-123 D.-4+V5 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项 是满足要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9.设z=(m+V2)+(m2-V2m-4)i(m∈R),则下列说法正确的是 A.当m=√2时，|z=2W6 B.当m=0时，z的虚部是-4 C.3m∈R,使z是纯虚数 D.m∈R,z所对应的点不会在复平面的第三象限 10.设△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,则下列说法正确的有 () A.若a=2,b=4,B=石，则三角形有两解 B.若bcos C+ccosB=c,则△ABC为等腰三角形 C.若tanA+tanB+tanC>0,则△ABC为锐角三角形 D.若△ABC是锐角三角形，则sinA+sinB>cosA+cosB 11.正方体ABCD-A,B,C,D的边长为2，O为底面ABCD的中心，P是正方形BCC,B,内（不 包含正方形的四边)的动点，则下列说法正确的是 （) A.OP,BC一定是异面直线 B当P是正方形BCC8的中心时，OP与B所成角为号 C.当P在线段BC上移动时，AP+PC的最小值为V6+√2 D.当OP与平面BCCB,所成角为定值（非直角）时，P的运动轨迹是一段圆弧 数学试卷共4页第2页 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.圆锥的底面半径为1，高为√5，则其侧面积为 13.已知 &=l,则a如2a+4a(e+孕-】 2+tana 。△MBC中，0为三角形的垂心，又A=C=,则g SOBC 四、解答题（共47分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分15分)如图，三棱柱ABC-ABC中，E为B,C中点，F为AA,中点. (1)求证：EF/1平面AB,C: E (2)已知AA⊥平面ABC,AB=3,BC=AA1=4,AC=5,求直线CE 与平面AB,C所成角的正弦值. 16.（本小题满分15分)△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若 acosC+3asinC-b-c=0, (1)求A的大小： ②)若4C边的中线为B脱，B服-6b=6,求BC边上的高的大小 数学试卷共4页第3页 17.（本小题满分17分)已知等腰梯形ABCD中，BC/1AD,AD=2BC=4,AB=2,E为AD 中点，现将△ABE沿BE折起，使A到达点P的位置，得到四棱锥P-一BCDE. G (1)求证：PC⊥BE: (2)当二面角P-BB-D的大小为行时，记△PBE的重心为G,点F在线段BC上，且满足 GF∥平面PCD, ()试确定点F的位置并说明理由； (i)求平面DGF与平面DPC所成角的正弦值 数学试卷共4页第4页