25.3.3循环问题与销售问题（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程应用题中的循环问题与销售问题，系统梳理单循环（握手、比赛）和双循环（互送礼物）模型公式，以及销售利润的核心公式与涨价/降价题型模板，通过前后知识关联搭建从方程到实际应用的学习支架。 其亮点在于以模型分类和模板化解题为核心，结合“握手比赛二分一”等口诀强化记忆，通过排球邀请赛、商品降价销售等实例培养学生抽象能力与模型意识，帮助学生规范解题步骤，教师可借助易错点总结提升教学针对性，高效突破中考高频考点。

新人教版9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月30日 25.3.3循环问题与销售问题 第25章　一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 知识点总结（九年级） 整体知识框架：本节内容又称韦达定理，是一元二次方程章节的拔高核心考点。不需要解方程，可直接通过系数判断两根之和、两根之积，广泛用于代数式求值、参数求解、根的符号判断，是期中、期末、中考高频必考题型。 一、韦达定理核心公式（必背） 对于一元二次方程 $$ax^2+bx+c=0\ (a eq0)$$，当 $$\Delta\ge0$$ 时，设方程的两根为 $$x_1、x_2$$，则： $$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$$ $$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$ 关键前提：① $$a eq0$$（必须是一元二次方程）；② $$\Delta\ge0$$（方程必须有实数根）。 二、两种特殊方程的韦达结论（秒杀结论） 1. 方程 $$x^2+px+q=0$$ $$x_1+x_2=-p,\ \ x_1x_2=q$$ 2. 缺常数项方程 $$ax^2+bx=0$$ 两根之积 $$x_1x_2=0$$，必有一根为 0。 三、高频代数式变形公式（考试直接用） 已知 $$x_1、x_2$$ 为方程两根，常用变形： 1. $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$ 2. $$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$ 3. $$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$ 4. $$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$$ 四、利用韦达定理判断根的符号（重难点） 在 $$\Delta\ge0$$ 的前提下： 1. 两根同正：$$x_1+x_2>0,\ x_1x_2>0$$ 2. 两根同负：$$x_1+x_2<0,\ x_1x_2>0$$ 3. 两根一正一负：$$x_1x_2<0$$（无需看和） 五、三大必考题型模板 题型1：整体代换求值 不解方程，求出两根和、两根积，代入变形公式求代数式的值。 题型2：已知一根，求另一根与参数 将已知根代入方程求参数，再用韦达定理求另一根；或直接用两根关系快速求解。 题型3：已知两根构造方程 以 $$x_1、x_2$$ 为根的一元二次方程：$$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$$ 六、本节致命易错点（高频扣分） 1. 两根之和有负号：$$-\dfrac{b}{a}$$，最容易漏写负号！ 2. 使用韦达定理前，必须保证 \(\Delta\ge0\)，无实根不能用； 3. 题目指明“一元二次方程”，千万不能漏 $$a eq0$$； 4. 代数式变形不能记混，平方和、差的平方公式区分清楚。 七、韦达定理解题口诀 和为负b积为c，前提判别不能虚； 平方和差会变形，符号判断要清晰； 不解方程求数值，韦达秒杀最省心。 25.3.1 一元二次方程的应用——数字问题与几何问题 整体知识框架：本节是一元二次方程重点应用题题型，为期末、中考必考解答题。核心解题逻辑为“找等量关系列方程，结合实际取舍根”，主要包含数字问题和几何面积问题两大类，题型固定、模板性强，掌握套路即可轻松得分。 一、应用题通用解题六步（考试标准满分步骤） 1. 审：读懂题意，找准等量关系； 2. 设：合理设未知数（一般问什么设什么，数字问题常设中间数）； 3. 列：根据等量关系列出一元二次方程； 4. 解：解方程求出两个根； 5. 验：关键一步！舍去不符合实际意义的根（负数、超范围、不合题意）； 6. 答：规范书写最终答案。 二、第一类：数字问题（必考模板） 1. 连续数字设数规律 连续整数：设中间数为 $$x$$，相邻两数为 $$x-1、x+1$$； 连续偶数/奇数：设中间数为 $$x$$，相邻两数为 $$x-2、x+2$$。 2. 两位数问题公式 设十位数字为 $$x$$，个位数字为 $$y$$，则两位数表示为：$$10x+y$$。 3. 核心等量关系 数字平方和、数字乘积、数字和差、数位对调前后的大小关系列方程。 常见考法：求解连续数数值、两位数数位变换、数字平方和、乘积相关问题。 三、第二类：几何面积问题（中考高频） 1. 核心思想 依托矩形、正方形面积公式建立等量关系，通过平移、割补法将不规则图形转化为规则图形，简化计算。 2. 三大必考几何模型 模型一：四周等宽小路/边框问题 在矩形、正方形四周修建等宽边框或小路，设路宽为\(x\)，内部有效图形的长和宽需分别减去\(2x\)，再根据面积列方程。 模型二：十字道路平移问题 将横竖交叉的道路向图形边缘平移，消除空白交叉重叠部分，把剩余种植、空白区域拼接为完整矩形，避免重复计算面积。 模型三：裁剪折叠问题 在矩形四角剪去边长为\(x\)的相同小正方形，折叠成无盖长方体，底面长宽分别减去\(2x\)，根据底面面积列方程求解边长。 四、几何常用公式 矩形面积：$$S=长\times宽$$ 正方形面积：$$S=边长^2$$ 五、本节超级易错点（大题扣分重灾区） 1. 必做验根：应用题两根不一定符合实际，负数边长、不符合取值范围的数字必须舍去； 2. 道路宽度、边长必须为正数，解题后务必检验实际意义； 3. 四边环绕小路长宽需减\(\boldsymbol{2x}\)，仅单边小路才减\(x\)，极易混淆出错； 4. 两位数问题注意数位规则，不可直接将十位、个位数字当作实际数值，需用\(10x+y\)表示两位数。 六、解题万能口诀 数字设位抓十倍，连续奇偶差不变； 几何平移化规则，面积等式列方程； 两根算出必检验，实际负数直接删。 25.3.2 一元二次方程的应用——传播问题与平均变化率问题 整体知识框架：本节是一元二次方程应用题两大必考经典模型，属于期中、期末、中考高频解答题。题型模板固定、公式通用，无需复杂分析，只要熟记传播公式、变化率公式，套模板即可满分，是九年级必须拿下的基础应用题。 一、传播倍增问题（病毒、传染、裂变、分支） 1. 核心模型（一轮传播） 初始数量为 $$1$$ 个传染源，每一轮每人传播 $$x$$ 个，经过 $$n$$ 轮传播，总数量公式： $$\boldsymbol{(1+x)^n=总数}$$ 原理：每一轮所有人都参与新一轮传播，呈指数增长。 2. 经典两轮传播必考公式 两轮传播总数量：$$\boldsymbol{(1+x)^2=总患病数}$$ 3. 解题注意 题目问“每轮一人传染几人”，解出的 $$x$$ 即为答案；必须舍去负数根。 4. 常见场景：病毒传播、细菌分裂、微信转发、信息传播、树枝分支问题。 二、平均变化率问题（增长率、降低率） 1. 通用万能公式（必考） 设：初始量为 $$a$$，平均变化率为 $$x$$，变化次数为 $$n$$，最终量为 $$b$$ ① 增长率问题：$$\boldsymbol{a(1+x)^n=b}$$ ② 降低率问题：$$\boldsymbol{a(1-x)^n=b}$$ 2. 考试最常考：连续两次变化 连续两次增长：$$a(1+x)^2=b$$ 连续两次降价/减少：$$a(1-x)^2=b$$ 3. 公式释义 $$a$$：原来基数；$$x$$：每次变化率；$$n$$：变化次数；$$b$$：最终结果。 三、两类题型解题步骤（满分模板） 1. 审清题意，判断是传播问题还是变化率问题； 2. 找准初始量、最终量、变化次数； 3. 套对应公式列一元二次方程； 4. 解方程，舍去负数根、大于1的不合理降低率； 5. 规范作答。 四、高频易错重难点（扣分点） 1. 传播问题不要多减1：题目求总人数直接 $$(1+x)^2$$； 2. 增长率用 $$1+x$$，降低率用 $$1-x$$，符号切勿记反； 3. 降低率 $$x$$ 必须小于1，算出 $$x>1$$ 直接舍去； 4. 看清是“两次变化”还是“一次变化”，平方不能乱加； 5. 所有实际应用题，负数根一律舍去。 五、解题万能口诀 传播一轮一加x，n轮平方往上提； 增长加来降低减，底数a不变不移； 算出双根辨实际，负根错根全部离。 25.3.3 一元二次方程的应用——循环问题与销售问题 整体知识框架：本节是一元二次方程应用题最后两大必考压轴模型，期末、中考高频大题。循环问题专门解决握手、比赛、互送礼物类计数题型，销售问题是经济利润类经典题型，模板固定、计算套路统一，掌握公式即可稳定拿满分。 一、循环问题（两类必考模型） 循环问题核心：区分无重复（单向）和有重复（双向），是最易混淆考点。 模型1：单向不重复（组合问题） 适用场景：握手、单循环比赛、两两通话、两两合照（A与B、B与A算同一次） 万能公式：设有$$x$$人（队），总次数为$$m$$ $$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}x(x-1)=m}$$ 原理：每两人只发生一次关系，去除重复计算，必须乘二分之一。 模型2：双向有重复（排列问题） 适用场景：互送贺卡、互发消息、互赠礼物（A送B、B送A算两次） 万能公式： $$\boldsymbol{x(x-1)=m}$$ 原理：相互赠送为双向行为，无需去重，直接列式。 二、销售利润问题（中考超级高频） 1. 三大核心基础公式（必背） 单件利润 $$=$$ 售价 $$-$$ 进价（成本） 总利润 $$=$$ 单件利润 $$\times$$ 销售数量 总利润 $$=$$（售价$$-$$进价）$$\times$$销售量 经典涨价/降价题型固定模板 设：每件涨价/降价 $$x$$ 元 新售价 $$=$$ 原售价 $$\pm x$$ 新单件利润 $$=$$（原售价$$\pm x -$$进价） 新销售量 $$=$$ 原销量 $$\mp$$ 变化量$$\times x$$ 口诀：涨价减量、降价增量 标准方程形式 $$\boldsymbol{(原售价\pm x-进价)(原销量\mp kx)=目标总利润}$$ 三、解题标准步骤（满分答题模板） 1. 审题：分清是循环问题还是销售利润问题； 2. 准确设未知数； 3. 套用对应模型公式列方程； 4. 解方程得出两根； 5. 验根：舍去负数、不符合题意、超出范围的根； 6. 规范作答。 四、本节致命易错点（高频扣分） 1. 循环问题分不清乘不乘$$\dfrac12$$：握手比赛要除2，互送礼物不除2； 2. 销售问题销售量变化方向搞反：涨价销量减少，降价销量增加； 3. 利润公式忘记减成本，直接用售价乘数量，整题全错； 4. 销售题算出多组解，不结合题意取舍（如价格过高、销量为负）； 5. 所有应用题，人数、价格、销量必须为正整数。 五、万能解题口诀 握手比赛二分一，互送礼物不用提； 利润等于售价本，单利数量两相积； 涨价少卖降价多，验根取舍莫忘记。 熟练掌握列一元二次方程解应用题. 掌握循环、销售等问题的常见应用题解法. 正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型． 复习回顾 问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛. 组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请 x 支球队参赛，根据题意可列得方程 x(x−1) = 28. 整理并化简，得 x2−x−56 = 0. 解方程，得 x1=8，x2= –7（不合题意，舍去）. 答：组织者应邀请 8 支球队参赛. 探索新知 探究3 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300. 他算得对吗？为什么？ 每两支球队之间比赛2场. 分析：如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n(n–1). 假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为 300，那么 n(n–1)=300. 解方程，得 n = . 由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数. 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 变式训练 1. 某县团委倡导“我运动，我健康，我快乐”的生活方式，准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件限制，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，则该县团委应邀请多少支足球队参赛？ 解：设该县团委应邀请 x 支足球队参赛. 根据题意，得 x(x−1)=9×5. 解得 x1=−9（不符合题意，舍去），x2=10. 答：该县团委应邀请 10 支足球队参赛. 变式训练 2. n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握手10次，共有多少人？ 【选自教材第23页 练习 第1题】 解：由题意，得 n(n−1)=10. 解方程，得 n1=5，n2= − 4（不合题意，舍去）. 答：共有5人参加聚会. 知识要点 循环问题分为单循环问题（记数不重复）和双循环问题（记数重复），常见的循环问题如下： 类型 特点 常见实际问题 n个元素情况下的循环总次数 单循环 每两个元素之间算一次 握手问题、签合同问题、照相问题、比赛问题（每两队之间赛一场） n(n−1) 双循环 每两个元素之间算两次 互赠贺卡、比赛问题（每两队之间赛两场） n(n−1) 探究4 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. 当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？ 分析：设每件商品降价 x 元时，该商店每天的销售利润为1200元. 每件盈利/元 销售数量/件 获得利润/元 原来 40 20 40×20 现在 40−x 20+2x (40−x)(20+2x) 每件盈利/元 销售数量/件 获得利润/元 原来 40 20 40×20 现在 40−x 20+2x (40−x)(20+2x) 解：设当每件商品降价 x 元时，该商店每天的销售利润为1200元. 根据题意，得(40−x)(20+2x)= 1200. 整理，得 x2−30x+200=0. 解得x1=10，x2=20. 因为要求每件盈利不少于25元，所以40−x≥25，解得 x≤15. 所以 x2=20 应舍去. 所以 x=10. 答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元. 变式训练 3.直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在平台上对一款成本价为 40 元的小商品进行直播销售，如果按每件 60 元销售，每天可卖出 20 件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低 5 元，日销售量增加 10 件.若日销售利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 解：设每件售价应定为 x 元，则每件的利润为 (x−40) 元，日销售量为 20 + = (140−2x) 件. 依题意，得(x−40)(140−2x)=(60−40)×20. 整理，得x2−110x+3000=0. 解得x1=50，x2=60（不合题意，舍去）. 答：每件售价应定为50元. 知识要点 销售问题中常见的几个等量关系： （1）利润 = 售价 − 进价； （2）利润率 = ×100% = ×100%； （3）售价 = 进价×（1+利润率）； （4）总利润 = 总售价−总成本=单件利润×销售总量. 知识点1 单循环问题 1.［教材P 23练习T 1 变式］参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有 人共握手15次，问有多少个人参加聚会？ 解：设有 个人参加聚会.第1个人分别与其他________个人握手，第2个 人分别与其他________个人握手……依此类推，共 个人，如此共握手 _________次，但此时每两人之间都是按握手两次进行计算的，因此， 个人每两人之间握一次手共握了__________次，于是得到方程： _______________. 返回 中考考法 13 2.某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，该比赛共进行了 36场，设有 支队伍参赛，则可列方程为( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 14 3.[武汉期中] 在某个商品交易会上，参加商品交易会的每两家公司之间 都只签订了一份合同，所有公司共签订355份合同，则参加交易会的公 司有多少家？ 解：设参加交易会的公司有 家， 根据题意得 ， 解得， （负值舍去）. 答：参加交易会的公司有11家. 返回 中考考法 15 知识点2 双循环问题 4.［教材 探究3变式］要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式，赛 程计划安排5天，每天安排4场比赛.设共有 个队参加比赛，则可列方程 为________________. 返回 中考考法 16 5. 某班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式 后万分激动，王老师让全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效 祖国.已知共赠勉励卡1 640张，则全班共有多少名学生？ 解：设全班共有 名学生，根据题意得 ， 解得 （不合题意，舍去）， . 答：全班共有41名学生. 返回 中考考法 17 知识点3 其他问题 6.中秋节前，某商场平均每天可销售月饼100盒，每盒可盈利20元.中秋 节过后，月饼因滞销而降价，若每盒降价1元，则每天可多售出2盒. 设每盒应降价 元，则降价后每盒盈利_________元，每天可多售出____ 盒，每天一共售出___________盒，所以每天可获利_________________ ____元，若要平均每天盈利1 650元，则可列方程为_________________ ____________. 返回 中考考法 18 7. 秦腔是陕西地方戏的主要剧种，也是我国现存戏曲艺 术中最古老的剧种之一.网店老板小王近期购进一批进价为15元/件的秦 腔系列盲盒，销售一段时间后，发现该盲盒每月的销量 （件）与每件 的售价（元）之间的关系满足一次函数： .要使该盲 盒的月销售利润达到2 500元，求该盲盒的售价为每件多少元. 解：由题意得 ， 解得， . 答：该盲盒的售价为每件25元或40元. 返回 中考考法 19 8. 某旅行社在国庆期间接待了一个亲友旅游团.游玩时， 导游先给该旅游团拍了1张集体照，又给每两位亲友都拍了1张合影.为 了保证每位旅游团成员都能拿到有自己的所有照片，该旅行社一共冲印 了256张照片，则这个旅游团的人数为( ) C A.12 B.14 C.16 D.18 返回 中考考法 20 9.［教材P 23练习T 2 变式］我们都知道四边形的对角线有2条，五边形的 对角线有5条. （1）六边形的对角线有___条，七边形的对角线有____条. 9 14 中考考法 21 （2）多边形的对角线可以有20条吗？如果可以，求出多边形的边数； 如果不可以，请说明理由. 解：可以.设这个多边形的边数为 ， 由题意，得 ， 整理，得 ， 解得， （不合题意，舍去）. 答：多边形的对角线可以有20条，这个多边形的边数为8. 返回 中考考法 22 $