5.1 平面向量的概念与线性运算 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量的概念与线性运算”核心考点，依据高考评价体系梳理向量概念、线性运算、共线定理三大模块，通过知识清单与常用结论构建体系，分析近5年高考中线性运算占比45%、共线定理占30%的高频考点，归纳选择、填空、解答典型题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养培养”，如2022新高考Ⅰ卷向量线性运算题，结合学霸笔记总结“基底转化法”，培养数学思维中的推理能力与数学语言的向量表达，通过共线定理求参数的“待定系数法”实例，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

第一节　平面向量的概念与线性运算 1 知识清单 1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有_______的量叫做向量，向量的大小称为向量的 _____． (2)零向量：长度为________的向量，记作________． (3)单位向量：长度等于____________长度的向量． (4)平行向量：方向相同或________的非零向量，也叫做共线向量，规定： 零向量与任意向量________． (5)相等向量：长度相等且方向________的向量． (6)相反向量：长度相等且方向________的向量． 方向 模 0 0 1个单位 相反 平行 相同 相反 返回导航 2 2．向量的线性运算 向量 运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律：a＋b＝________； 结合律：(a＋b)＋c＝________ b＋a a＋(b＋c) 返回导航 3 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝________，当λ>0时，λa的方向与a的方向________； 当λ<0时，λa的方向与a的方向________； 当λ＝0时，λa＝________ λ(μa)＝________； (λ＋μ)a＝________； λ(a＋b)＝________ 　　　　　　 |λ||a| 相同 相反 0 (λμ)a λa＋μa λa＋λb 返回导航 4 3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 ________． b＝λa 返回导航 5 【常用结论】 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＝(n≥2，n∈N*)．特别地，一个封闭图形首尾顺次连接而成的向量和为零向量． 2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则. 返回导航 6 3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＝0⇔P为△ABC的重心，. 4．若(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 返回导航 7 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(　　) (2)单位向量都相等．(　　) (3)任一非零向量都可以平行移动．(　　) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(　　) × × √ √ 返回导航 8 2．(人教A版必修二P5T4改编)如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量共有(　　) A．12对 B．18对 C．20对 D．24对 答案：D 返回导航 9 解析：由题意得，＝＝，故相等向量有3对；＝＝＝，故相等向量有6对；＝，故相等向量有1对；＝，故相等向量有1对；＝，故相等向量有1对.因此共有12对，再加上它们的方向相反的向量也有12对，所以总共有24对． 返回导航 10 3．(多选)(人教A版必修二P22T4改编)化简以下各式，结果为0的有(　　) A． B． C． D． 答案：ABD 返回导航 11 解析：对于A，＝＝0，故A正确；对于B，＝()－()＝＝0，故B正确；对于C，＝＝2，故C错误；对于D，＝＝＝0，故D正确． 返回导航 12 4．(人教A版必修二P16例8改编)已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，共线，则实数t＝______. 解析：由题意知，存在实数λ，使得b－ta＝λ(a－b)，则解得t＝. 返回导航 13 命题点一　平面向量的基本概念 例1 下列说法错误的是(　　) A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同 B．零向量的方向是任意的 C．若＝，则四边形ABCD不一定是平行四边形 D．若a∥b，b∥c，则a∥c 答案：D 返回导航 14 解析：对于A，两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同，A正确；对于B，零向量的方向是任意的，B正确；对于C，由||＝||，得不一定平行，则四边形ABCD不一定是平行四边形，C正确；对于D，若a∥b，b∥c，当b＝0时，a，c可以不共线，即a∥c不一定成立，D错误．故选D. 返回导航 15 学霸笔记：(1)非零向量的平行具有传递性； (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关； (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (4)是与非零向量同方向的单位向量． 返回导航 16 跟踪训练　(多选)下列命题中正确的有(　　) A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是方向相反的向量 C．a与b同向，且|a|>|b|，则a>b D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 答案：AD 返回导航 17 解析：由平行向量和共线向量的定义可知，A正确；因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，B错误；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，C错误；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，D正确．故选AD. 返回导航 18 命题点二　平面向量的线性运算 考向1　向量加、减的几何意义 例2 若＝＝＝2，则＝(　　) A．2 B． C．2 D．4 答案：C 解析：因为|＝||＝||＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以||为△ABC的边BC上的高的2倍，所以||＝2. 返回导航 19 学霸笔记： (1)根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解． (2)平面几何中，如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，那么可考虑利用向量知识来求解． 返回导航 20 　跟踪训练　已知菱形ABCD的边长为2，则向量＝ ______． 2 解析：由题图知||＝||＝||＝||＝2. 返回导航 21 考向2　平面向量的线性运算 例3 (1)(链接·2022年新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 答案：B 解析：因为BD＝2DA，所以＝＝＋3＝＋3()＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B. 返回导航 22 (2)(2026·深圳模拟)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记＝b，则＝(　　) A． B． C． D．－ 答案：A 返回导航 23 解析：因为＝＝－a＋b＋a＝b－a，所以＝＝b－a，又＝＝a，所以＝＝a＋b－a＝a＋b.故选A. 返回导航 24 　真题探源　(源自人教A版必修二P24习题T22)如图，O是平行四边形ABCD外一点，用表示. 解析：＝＝＝＝. 返回导航 25 学霸笔记：(1)尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量； (2)充分利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何性质，把未知向量转化为已知向量． 返回导航 26 命题点三　共线向量定理的应用 考向1　判定向量共线、三点共线 例4 设是平面内的一组基底，＝5e1－4e2，则共线的三点为(　　) A．M，N，P B．M，N，Q C．M，P，Q D．N，P，Q 答案：D 返回导航 27 解析：e1，e2是平面内的一个基底，＝3e1＋2e2，＝4e1－e2，＝5e1－4e2，因为≠≠≠，则与与与不共线，所以M，N，P不共线，M，N，Q不共线，M，P，Q不共线，故排除ABC；注意到＝3e1＋2e2＝2(4e1－e2)－(5e1－4e2)＝2，即＝)，所以点P是线段NQ的中点，故D符合题意．故选D. 返回导航 28 学霸笔记：(1)∥⇔ ≠)是判断两个向量共线的主要依据； (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔与共线． 返回导航 29 跟踪训练　(衔接·人教A版必修二P61复习参考题T13(1))已知a，b是不共线的向量，且＝3(a－b)，则(　　) A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 答案：A 解析：＝＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，所以A，B，D三点共线．故选A. 返回导航 30 考向2　利用共线向量定理求参数 例5 (2026·吉安模拟)已知向量a，b不共线，且向量a＋λb与(λ－1)a＋2b方向相同，则实数λ的值为_____． 2 解析：∵a＋λb与(λ－1)a＋2b方向相同， ∴存在正实数k，使得(λ－1)a＋2b＝k(a＋λb)＝ka＋kλb，又向量a，b不共线，∴解得(舍去)或∴λ的值为2. 返回导航 31 学霸笔记：已知向量共线求参数，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程(组)，从而求得参数． 返回导航 32 跟踪训练　(衔接·人教A版必修二P16例8)已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，线，求实数t的值． 解析：∵a，b是两个不共线的向量，向量b－ta， a－b共线， ∴由向量共线定理可知，存在实数λ，使得b－ta＝λ(a－b)，即(1＋)b＝(＋t)a. ∴1＋＝＋t＝0，得λ＝－，t＝. 返回导航 33 03.课时作业31 返回导航 34 1．(2026·佛山模拟)＝(　　) A．0 B． C． D． 答案：D 解析：.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 35 2．(2026·皖南八校联考)如图，5×5的方格里，每个方格长度为1，则向量a－b＝(　　) A．e1＋3e2 B．－e1＋3e2 C．－3e1＋e2 D．3e1＋e2 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 36 解析：如图所示，a－b＝＝－e1＋3e2.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 37 3．四边形ABCD中，O为任意一点，若＝0，则四边形ABCD一定是(　　) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 解析：因为＝0，则＝0，即，可知AB，CD两边平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形，但没有足够条件判断ABCD是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确．故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 4．(2026·秦皇岛模拟)已知△ABC中，点D，E满足 ，设＝b，则＝(　　) A．a－3b B．－a＋3b C．5a－3b D．－5a＋3b 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 解析：＝－a－b－2b＋2a＝a－3b.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 5．(2026·南阳模拟)P是△ABC所在平面内的一点，满足，则(　　) A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 答案：D 解析：因为，可得，可知点C为线段PA的中点，所以点P在线段AC的延长线上．故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 6．(2026·保山模拟)在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上靠近C的三等分点，则(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：四边形ABCD 为平行四边形，所以，所以.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 7．已知向量a，b，且＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 解析：因为＝7a－2b，对于A，＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b，，所以A，B，D三点共线，故A正确；对于B，＝－5a＋6b，若A，B，C三点共线，则，即a＋2b＝λ(－5a＋6b)，即解得λ不存在，故B错误； 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 对于C，＝7a－2b，若B，C，D三点共线，则，即－5a＋6b＝λ(7a－2b)，即解得λ不存在，故C错误；对于D，＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＝－4a＋8b，＝7a－2b，若A，C，D三点共线，则，即－4a＋8b＝λ(7a－2b)，即解得λ不存在，故D错误．故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 8．(2026·石家庄模拟)已知A，B，D三点共线，且对直线外任意一点C，有 , 则实数λ为(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 解析：因为A，B，D三点共线，则，又点C是直线外任意一点，所以＝t，整理得＝(1－t)，又，则解得λ＝－.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 9．已知e1，e2是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出 a∥b的是(　　) A．a＝－3e1，b＝2e1 B．a＝e1－e2，b＝－e1 C．a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋ D．a＝2e1＋3e2，b＝4e1＋6e2 答案：ABD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 解析：对于A，因为a＝－3e1，b＝2e1，故b＝－，即a∥b，故A正确；对于B，因为a＝e1－e2，b＝，则b＝－，故B正确；对于C，a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋(e1＋e2)，由于e1，e2不共线，故b≠λa，所以向量a，b不平行，故C错误；对于D，a＝2e1＋3e2，b＝4e1＋6e2，故b＝2a，此时a∥b，故D正确．故选ABD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 10．(2026·揭阳模拟)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有(　　) A． B． C． D． 答案：ABD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 解析：对于A，由题意知，E，F分别是CD边上的两个三等分点，所以，又因为，所以，故A正确；对于B，＝，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，所以，故D正确．故选ABD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 11．(2026·武汉模拟)已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝e1＋2e2，b＝2e1－ke2，若a与b共线，则实数k的值是________． －4 解析：因为a与b是共线向量，所以存在实数λ，使得a＝λb，所以e1＋2e2＝λ(2e1－ke2)，即(1－2λ)e1＋(2＋λk)e2＝0，又因为e1，e2是两个不共线的向量，所以解得 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 12．如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝2，则＝ ________． 2 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 解析： 如图所示，过C点作AB的垂线，垂足为O，根据直角三角形的性质得CO＝CB×sin 60°＝2×，BO＝CB×cos 60°＝2×＝1，根据勾股定理，在Rt△AOC中，AC＝，又因为，因此＝＝＝2. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 13．(13分)已知a，b不共线，＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 解析：存在．由题设知，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k， 使得，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb， 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b， 即(t－3＋3k)a＋(t－2k)b＝0. 因为a，b不共线， 所以有解得t＝. 故存在实数t＝，使C，D，E三点在一条直线上． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 14．(15分)如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝b. (1)试用a，b表示； (2)证明：B，E，F三点共线． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 58 解析：(1)△ABC中，＝b， ∴＝b－a， (b－a)＝， ． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 59 (2)证明：， ＝， ∴， ∴与共线，且有公共点B， ∴B，E，F三点共线． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 60 15．(5分)已知PQ，MN是半径为5的圆O上的两条动弦，＝6，＝8，则的最大值是(　　) A．7 B．12 C．14 D．16 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 61 解析：如图， 连接MO，OQ，OP，ON，作OE⊥PQ，OD⊥MN，易知E是QP的中点，D是MN的中点，由勾股定理得OE＝4，OD＝3，故＝－＝2，故＝2≤2＝14，当反向时等号成立，故C正确．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 62 16．(5分)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，点F在CD边上，且AE＝ED，DF＝λFC，AF与BE相交于点G，若，则实数λ＝________． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 63 解析：由AE＝ED，DF＝λFC得3AE＝AD，DF＝DC，因为，则 ＝，因为E，G，B三点共线，所以＝1，解得λ＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 64 $