精品解析：广东龙川第一实验学校2025-2026学年下学期期中考试九年级数学

2025—2026年度龙川第一实验学校期中 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 如果德育量化分加5分，记作分，那么德育量化分扣3分就记作（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 2. 如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 海洋的中心部分是洋，边缘部分是海，地球上海洋的总面积约为3.6亿平方千米，约占地球面积的．根据《联合国海洋法公约》规定，我国对钓鱼岛、黄岩岛、仁爱礁、仙宾礁拥有无可争辩的主权．我国海洋面积大约是2997000平方千米，将数据2997000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图1，三根木条a，b，c相交成，，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法不正确的是（ ） A. 明天下雨是随机事件 B. 调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 C. 描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 7. 如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 小方尝试直播带货，上了号四款商品的链接．图中的四个点分别描述了四款商品单件的利润率（利润率）与成本（元）的情况，其中描述1号和3号的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则四款商品中单件利润最高的是（　　） A. 4号 B. 3号 C. 2号 D. 1号 9. 从，1，2这三个数中任取两个数作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 分解因式：_____________． 12. 若，则内的数字是________． 13. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 14. 方程的解为________． 15. 已知二次函数（a为常数，且）．下列四个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，y随x的增大而减小； ③若，则关于x的方程有一个根大于0且小于1； ④若，则关于x的方程的正数根只有1个． 其中正确的是________．（填序号）． 三、解答题（一）．（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，在中，是的中点，，．求证：四边形为菱形． 18. 在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 四、解答题（二）．（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 20. 某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分．为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）的值是_________，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是_________． （2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数． （3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义． 21. 如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为2，，求的长． 五、解答题（三）．（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践 【情境】要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图①），需找到合适的切割线． 【模型】已知矩形（数据如图②所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． 【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图③，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点，；… 如图④，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． （1）图②中，矩形的周长为________； （2）在图③的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； （3）根据淇淇的作图过程，请判断图④中的直线是否符合要求，并说明理由． 23. 【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． （1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． （2）如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： （3）如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026年度龙川第一实验学校期中 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 如果德育量化分加5分，记作分，那么德育量化分扣3分就记作（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵德育量化分加5分记作分， ∴扣3分记作分． 2. 如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三视图，根据左视图的定义进行解答即可． 【详解】解：如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是： ； 故选：C． 3. 海洋的中心部分是洋，边缘部分是海，地球上海洋的总面积约为3.6亿平方千米，约占地球面积的．根据《联合国海洋法公约》规定，我国对钓鱼岛、黄岩岛、仁爱礁、仙宾礁拥有无可争辩的主权．我国海洋面积大约是2997000平方千米，将数据2997000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 4. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义的条件为被开方数大于等于， ∴有意义需满足， 解不等式得． 5. 如图1，三根木条a，b，c相交成，，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，根据两直线平行同位角相等，求出旋转后的度数，然后用旋转前的度数减去旋转后的度数即可得到木条旋转的度数．根据平行线的性质求出旋转后的度数是解题的关键． 【详解】解：如图2所示， ， 旋转后的， 要使木条与平行，木条绕点顺时针旋转的度数可以是． 故选：A． 6. 下列说法不正确的是（ ） A. 明天下雨是随机事件 B. 调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 C. 描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件、调查方式、统计图选择及方差的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点进行判断即可． 【详解】A：明天下雨的结果不确定，属于随机事件，正确，故该选项不符合题意； B：长江鱼种类调查范围广、个体多，应采用抽样调查，错误，故该选项符合题意； C：折线统计图适用于展示数据变化趋势，描述气温变化合适，正确，故该选项不符合题意； D：方差越小数据越稳定，乙方差更小，更稳定，正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 7. 如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求弧长，斜边上的中线，根据斜边上的中线求出得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴的长为； 故选B． 8. 小方尝试直播带货，上了号四款商品的链接．图中的四个点分别描述了四款商品单件的利润率（利润率）与成本（元）的情况，其中描述1号和3号的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则四款商品中单件利润最高的是（　　） A. 4号 B. 3号 C. 2号 D. 1号 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象获取信息，即可得出结果． 【详解】解：∵利润等于成本乘以利润率， 描述1号和3号的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴1号和3号的单件利润相等（横纵坐标之积相等）， ∵4号在双曲线的上方，2号在双曲线的下方， ∴表示4号的点的横纵坐标之积大于表示1号和3号的点的横纵坐标之积，表示2号的点的横纵坐标之积小于表示1号和3号的点的横纵坐标之积， ∴4号的利润大于1号和3号的利润，2号的利润小于1号和3号的利润． 故选：A． 9. 从，1，2这三个数中任取两个数作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即且， 列表如下， a b 1 2 2 一共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同， 其中满足的结果数有3种：，；，；，； 故关于的一元二次方程有实数根的概率是． 10. 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过作于，由对折可得：，，，，证明，而，可得，求解，，证明，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于， ∵正方形， ∴，，，，，， 由对折可得：，，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 12. 若，则内的数字是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据乘除互为逆运算可得，内的数字是． 13. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 14. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 ， 解得， 检验：当时， ， 因此是原分式方程的解． 15. 已知二次函数（a为常数，且）．下列四个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，y随x的增大而减小； ③若，则关于x的方程有一个根大于0且小于1； ④若，则关于x的方程的正数根只有1个． 其中正确的是________．（填序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、含绝对值方程的根的个数分别验证四个结论即可． 【详解】解：当时，， 该函数图象经过点，故①正确； 当时， ，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 当时，随的增大而减小，故②正确； 对于关于的方程，由①可知是方程的一个根，设方程的另一个根为， 由根与系数的关系得： ，解得， ， ，即方程有一个根大于且小于，故③正确； 方程可化为两个方程： 当时，， 由根与系数的关系，两根之积为， 该方程有两个不相等的实数根，且为一正一负； 当时，， ∴， 解得或， ， ，即此方程没有正根； 综上所述，原方程只有个正数根，故④正确． 三、解答题（一）．（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算立方根、绝对值、负整数指数幂，再按顺序进行加减运算，合并同类项后得出结果． 【详解】解： ． 17. 如图，在中，是的中点，，．求证：四边形为菱形． 【答案】证明：，， 四边形是平行四边形， 在中，，为的中点， ， 四边形为菱形． 【解析】 【分析】先根据两组对边分别相等判定四边形是平行四边形，再利用直角三角形斜边中线的性质证明一组邻边相等，进而根据菱形的判定定理证得四边形为菱形． 【详解】略 18. 在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 【答案】校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意，易得，，米，分别解，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，米， 在中，米； 在中，米； 答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 四、解答题（二）．（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 20. 某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分．为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）的值是_________，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是_________． （2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数． （3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义． 【答案】（1） （2）520人 （3） 众数为3分，实际意义为：所有的成绩中，出现最多的是3分，试卷的难度中等； 中位数为4分，实际意义为：有一半的成绩在4分以下，试卷有一定的难度． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，利用样本估计总体，求扇形圆心角的度数，解题关键是能从统计图获取有用信息求解． （1）用3分的人数除以其所占的百分比即可求出m的值；用5分的人数除以100再乘以360度即可求5分对应的扇形的圆心角； （2）用成绩超过3分的学生人数的百分比乘以1000即可； （3）分别根据众数、中位数的意义进行作答即可． 【小问1详解】 解：m的值为：， 扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（人）， 答：该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数约为520人； 【小问3详解】 略 21. 如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为2，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即且为半径， ∴为的切线； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等． （1）利用等边对等角求得，由角平分线的定义求得，可证明，即可证明为的切线； （2）先证明等腰三角形，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，又， ∴等腰直角三角形， ∵的半径为2， ∴， ∴， ∴． 五、解答题（三）．（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践 【情境】要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图①），需找到合适的切割线． 【模型】已知矩形（数据如图②所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． 【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图③，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点，；… 如图④，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． （1）图②中，矩形的周长为________； （2）在图③的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； （3）根据淇淇的作图过程，请判断图④中的直线是否符合要求，并说明理由． 【答案】（1）10 （2）见解析 （3）直线符合要求，见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的周长公式，结合图②中矩形的长和宽，直接计算周长即可． （2）利用矩形的中心对称性质，过矩形对角线交点作与夹角为的直线，即可将矩形分成周长相等的两部分． （3）根据淇淇的作图步骤，先证明四边形是平行四边形，得到，再证明分成的两部分周长相等，从而判断直线符合要求． 【小问1详解】 解：矩形的长宽 矩形的周长； 【小问2详解】 解：如图，直线即为所求； 【小问3详解】 解：直线符合要求，理由如下： 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 直线是线段的垂直平分线， ， ， ，， ， ， 直线将矩形分成周长相等的两部分， 直线符合要求． 23. 【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． （1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． （2）如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： （3）如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 【答案】（1）错误；正确；错误 （2） 证明：过点作平行且相等于，连接， 则平行四边形是平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，， 平行且相等于， 为平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，平行于， 平行于，平行于， 为平行四边形， ， ， ， ， 平行六边形是菱六边形． （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定以及解方程：（1）连接，根据相似三角形和平行线的性质即可判断；（2）先证明为平行四边形，再证明为平行四边形，即可证明是菱六边形；（3）根据菱六边形得到，设，根据解得，代入即可． 【小问1详解】 解：连接，交于点，由图可知： ①平行于，只能知道，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的； ②平行于，，同理可得，其他对角同理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； ③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设三角形纸片为， 裁剪后的纸片为菱六边形， 平行于，平行于，平行于，， ， ， 设， 则， ， ， ， 解得：， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $