精品解析：2026年贵州省正安县部分学校中考二模九年级数学试卷

2026年贵州省正安县部分学校中考二模九年级数学试卷数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25题，满分150分．考试时长120分钟．考试形式为闭卷． 2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题不计分． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 在某知识竞赛中，答对一题得5分，记为分，答错一题扣3分，则应记为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 2. 石鼓（如图）是中国古代文化的瑰宝，象征着万物丰茂、财丰物足．下列图形中，属于石鼓的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 3. 自贵州省榕江县“村超”火遍神州大地以来，来自全国各地的游客蜂拥而至，据统计，2023年上半年，榕江县接待游客约4730000人次，用科学记数法表示4730000为（ ） A. B. C. D. 4. 学习完平行线后，小明在家用三根木条做成如图所示的图形，若木条木条b，小明用量角器测得，则的度数为( ) A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由一副七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 了解某品牌节能灯管的使用寿命 B. 了解赤水河水质情况 C. 审核人教九上新教材中的错别字 D. 了解贵州省中学生的睡眠时间 8. 如图，在等边中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 9. 如图，木棒竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒P照射木棒（点P在的垂直平分线上且位于右侧），在墙面上形成投影，已知，，此时点P到的距离为，若木棒不动，水平移动手机手电筒P使投影的长度缩短，则点P相对于木棒的移动方式（ ） A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移 10. 烷烃是一类由碳C、氢（H）元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等的原料，通常根据碳原子的个数被命名为甲烷、乙烷、丙烷、丁烷、戊烷、…、癸烷（当碳原子数目超过个时，用汉字数字表示，如十一烷、十二烷…）等．甲烷的化学式为（表示含有1个碳原子和4个氢原子），乙烷的化学式为，丙烷的化学式为…，它们的分子结构模型如图所示，按照此规律，氢原子的个数为时，碳原子个数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正八边形的边长为2，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的弧长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在菱形中，，，点M从点A出发，以的速度沿运动，到点C后停止，同时，点N以同样的速度沿运动，到点C后停止，连接，，，设点M运动的时间为，的面积为y（），下列图象中，能反映y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 写出一个函数图象过第一、二象限的一次函数表达式_____． 14. 一节英语课上，老师准备考查学生对元音字母的掌握情况，从5个元音字母（a，e，i，o，u）中随机抽出一个，抽到字母e的概率为_____． 15. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是____________________________． 16. 如图，在中，，，，点，，，分别在边，，，上，，将分成面积相等的四部分，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解答以下问题： （1）计算：； （2）下面是小颖和小林同学解方程的过程： 小颖 小林 解： 去分母，得 ……第一步 去括号，得……第二步 化简，得……第三步 解： 移项，得……第一步 分式相加，得……第二步 提公因式，得 ……第三步 约分，得……第四步 请你任选一名同学的解题过程，回答下列问题： ①你选择的是 同学，出错在第 步，错误的原因是 ； ②请写出正确的解答过程． 18. 一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）若点在反比例函数的图象上，过点M作x轴的垂线，交一次函数的图象于点，结合图象，写出，的大小关系． 19. 为深入推进“健康中国”建设，落实全国普惠养老政策，积极应对人口老龄化，国内某城市社区依托本地多元民族文化资源，打造“特色康养+普惠文娱”养老服务模式，覆盖不同民族老年群体，近期对本社区岁及以上老年人每周参与社区养老服务的次数进行随机抽样调查，收集数据并整理成图表： 每周服务次数 次 次 次 次 次 人数（人） 百分比 （注：社区养老服务兼顾多元民族特色，包括传统养生体验、民族手工艺教学、老年兴趣班、健康义诊等普惠项目，适配不同民族老年人需求） 根据以上信息，回答下列问题： （1）这组数据的中位数为 次，众数为 次； （2）请补全条形统计图； （3）该社区计划扩大特色养老服务规模，结合统计结果，为社区提出一条合理化建议． 20. 如图，E是正方形的边上一点，连接，延长至点F使得，连接． （1）求证：； （2）过点E作，垂足为G，当E为的中点，且时，求的长． 21. 为助力贵州乡村振兴，某村合作社依托当地生态优势，生产贵州刺梨汁和贵州绿茶两款特色农产品礼盒．已知生产件刺梨汁礼盒成本元，利润元；生产件绿茶礼盒成本元，利润元．合作社计划本月生产两种礼盒共件，总成本恰好为元． （1）求本月刺梨汁礼盒和绿茶礼盒各生产多少件？ （2）若下个月两种礼盒仍生产共件，要求总成本不超过元，求刺梨汁礼盒生产多少件时，总利润最大，并计算此时的最大总利润． 22. 如图，乡镇在乡镇的正北方向，桥最北端桥墩在乡镇的西南方向，最南端桥墩在乡镇的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，路线为折线，现在新建了桥，可直接沿直线从乡镇到达乡镇，已知桥和平行．（参考数据：，，，结果保留整数） （1）求点到直线的距离； （2）求现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程． 23. 如图，是的直径，过点作的切线，连接交于点，点是下方半圆的中点，连接，，，交于点，． （1）写出图中两个的角，并直接写出线段与线段的数量关系； （2）求证：； （3）若的半径为，求的长． 24. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）若点的坐标为，求抛物线的表达式； （2）若二次函数图象与过且垂直于y轴的直线只有一个交点时，求出的值； （3）点，的坐标分别为和，若二次函数图象与线段始终只有一个交点，且，求的取值范围． 25. 如图①，点是矩形的对角线的中点，，点在边上，连接，作点关于直线的对称点，若，连接，，． （1）如图①，时， 用含的代数式表示，写出两条与线段相等的线段； （2）如图②，若时，设与交于点，探索，，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若交射线于点，交于点，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年贵州省正安县部分学校中考二模九年级数学试卷数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25题，满分150分．考试时长120分钟．考试形式为闭卷． 2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题不计分． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 在某知识竞赛中，答对一题得5分，记为分，答错一题扣3分，则应记为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵答对一题得5分，记为分， ∴答错一题扣3分，应记为分． 2. 石鼓（如图）是中国古代文化的瑰宝，象征着万物丰茂、财丰物足．下列图形中，属于石鼓的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得，石鼓边缘的圆都可以看见，则俯视图是 3. 自贵州省榕江县“村超”火遍神州大地以来，来自全国各地的游客蜂拥而至，据统计，2023年上半年，榕江县接待游客约4730000人次，用科学记数法表示4730000为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，要求，为整数，的值由原数的整数位数确定． 【详解】解：． 4. 学习完平行线后，小明在家用三根木条做成如图所示的图形，若木条木条b，小明用量角器测得，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：木条木条b，根据两直线平行，同位角相等，得． 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：解不等式，得， 在数轴上表示为： 6. 七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由一副七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，进行解答，即可． 【详解】解：确定平面直角坐标系如图所示， ∴点的坐标为． 7. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 了解某品牌节能灯管的使用寿命 B. 了解赤水河水质情况 C. 审核人教九上新教材中的错别字 D. 了解贵州省中学生的睡眠时间 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵全面调查普查适合调查范围较小、要求结果精确、调查不具有破坏性的场景， ∴A选项了解节能灯管使用寿命具有破坏性，不适合普查； B选项赤水河水质调查范围大，不适合普查； C选项审核新教材错别字需要结果准确，调查范围小，最适合采用普查； D选项了解贵州省中学生睡眠时间调查范围大，不适合普查． 8. 如图，在等边中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得平分，则有，，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：由尺规作图步骤可知，平分， ∵是等边三角形， ∴，， ∴在中，． 9. 如图，木棒竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒P照射木棒（点P在的垂直平分线上且位于右侧），在墙面上形成投影，已知，，此时点P到的距离为，若木棒不动，水平移动手机手电筒P使投影的长度缩短，则点P相对于木棒的移动方式（ ） A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移 【答案】B 【解析】 【分析】过点P作于点F，交于点E，证明得，即可求出，移动后过点作于点，交于点，，同理，则，即，求出，即可求解． 【详解】如图，过点P作于点F，交于点E， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 移动后如图，过点作于点，交于点， ∵投影的长度缩短了， ∴， 同理， ∴，即， ∴， 经检验，是原分式方程的根， ∴点P相对于木棒向右平移了． 10. 烷烃是一类由碳C、氢（H）元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等的原料，通常根据碳原子的个数被命名为甲烷、乙烷、丙烷、丁烷、戊烷、…、癸烷（当碳原子数目超过个时，用汉字数字表示，如十一烷、十二烷…）等．甲烷的化学式为（表示含有1个碳原子和4个氢原子），乙烷的化学式为，丙烷的化学式为…，它们的分子结构模型如图所示，按照此规律，氢原子的个数为时，碳原子个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设碳原子的数目为，氢原子的数目为，由观察可知，碳原子个数为，氢原子个数，进而即可得出答案． 【详解】解：设组成的有机化合物的碳原子个数为，氢原子个数为， ∵甲烷， ∴氢原子个数； ∵乙烷， ∴氢原子个数； ∵丙烷， ∴氢原子个数， ∴碳原子个数为，氢原子个数， ∴当氢原子个数，代入规律公式：， ∴． 11. 如图，正八边形的边长为2，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得：正八边形的每个内角度数为， 所以根据弧长公式，得阴影部分的弧长为． 12. 如图，在菱形中，，，点M从点A出发，以的速度沿运动，到点C后停止，同时，点N以同样的速度沿运动，到点C后停止，连接，，，设点M运动的时间为，的面积为y（），下列图象中，能反映y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分段计算：当点M在上运动时，即，即可计算出等边的面积即可判断A，C项；当点M在上运动时，即，为等腰三角形，过点M作，交的延长线于点G，连接、，二者交于点O，交于点H，利用，计算出，问题随之得解． 【详解】在菱形中，，， ∴，， 当点M在上运动时，即， ∵点M和点N的运动速度相同， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 当点M到达点D时（拐点处需要探究如何变化），， ∴， ∴前的面积图象为抛物线， ∵， ∴图象开口向上， ∴A，C错误； 当点M在上运动时，即，为等腰三角形， 如图，过点M作，交的延长线于点G，连接、，二者交于点O，交于点H， 在菱形中，，， ∴，，是等边三角形，， ∴，，， ∴，即， ∴，即， ∵点M和点N的运动速度相同， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴，同理， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即： ， ∴此时面积的图象也是抛物线， ∵， ∴二次函数图象开口向下， ∴D项错误，B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，二次函数等知识． 分析判断几何动点问题的函数图象题目，一般有两种类型： 1．观察型（函数的图象有明显的增减性差异）：根据题目描述，只需确定函数值在每段函数图象上随着自变量的增减情况或变化的快慢即可得解： （1）当函数值随着自变量增大而增大时，函数图象呈上升趋势，反之则呈下降趋势； （2）当函数值随着自变量增大而不变时，函数图象与x轴平行． 2．计算型：先根据自变量的取值范围对函数进行分段，再求出每段函数的表达式，最后由每段函数的表达式确定函数图象的形状． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 写出一个函数图象过第一、二象限的一次函数表达式_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的图象性质，确定一次函数解析式中系数的取值范围，即可写出符合要求的函数表达式. 【详解】解：设一次函数解析式为（）， 若一次函数图象经过第一、二象限， 则满足，即可， 因此符合条件的一次函数表达式可以为，（答案不唯一）. 14. 一节英语课上，老师准备考查学生对元音字母的掌握情况，从5个元音字母（a，e，i，o，u）中随机抽出一个，抽到字母e的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定抽到字母的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，从个元音字母中随机抽取个，所有等可能的结果共有种，其中抽到字母的结果只有种， 根据概率公式，可得抽到字母的概率为． 15. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是____________________________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后解不等式得到它们的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 16. 如图，在中，，，，点，，，分别在边，，，上，，将分成面积相等的四部分，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点，由平行四边形的性质可知，过平行四边形的对称中心的直线平分该四边形的面积，可得，根据，，可知，，所以可得，根据平行四边形的性质可证，根据全等三角形的性质可证，过点分别作的平行线交于点，作交的延长线于点，在中，利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：如下图所示，连接，交于点， 则，将分成了面积相等的四部分，且，也过的对称中心点， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中，， ， ， 过点分别作的平行线交于点，作交的延长线于点， 则四边形为平行四边形， ， ， ，， ，， 在中，， ． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解答以下问题： （1）计算：； （2）下面是小颖和小林同学解方程的过程： 小颖 小林 解： 去分母，得 ……第一步 去括号，得……第二步 化简，得……第三步 解： 移项，得……第一步 分式相加，得……第二步 提公因式，得 ……第三步 约分，得……第四步 请你任选一名同学的解题过程，回答下列问题： ①你选择的是 同学，出错在第 步，错误的原因是 ； ②请写出正确的解答过程． 【答案】（1） （2）①小颖，一，去分母时未给分子加括号；（答案不唯一） ②解：方程两边同乘最简公分母（）， 去分母得： ， 去括号得：， 合并同类项得：， 解得， 检验：当时，分母， 因此是原分式方程的增根，原方程无解． 【解析】 【分析】（）依次运用乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则化简各项，再进行有理数加减运算得出结果； （）先辨析两位同学解分式方程的典型错误，再按去分母、去括号、求解、检验的步骤规范解题，通过检验发现解使分母为零，判定为增根，从而得出原方程无解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：①选择的是小颖同学，出错在第一步， 错误原因是去分母时，未把分子作为整体加括号，导致符号错误， 或（小林，四，分子分母不能同时除以） ②略 18. 一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）若点在反比例函数的图象上，过点M作x轴的垂线，交一次函数的图象于点，结合图象，写出，的大小关系． 【答案】（1）， （2）当时，； 当时，； 当时， 【解析】 【分析】（1）直接代入即可求解； （2）根据一次函数、反比例函数的表达式画出函数图象，标出M、N点的各种情况的位置，数形结合即可求解． 【小问1详解】 解：将点分别代入、，得：， 解得，， ∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为（）； 【小问2详解】 由（1）知，一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为（），画出函数图象，如图， 观察图象可得： 当时，， 当时，； 当时，． 19. 为深入推进“健康中国”建设，落实全国普惠养老政策，积极应对人口老龄化，国内某城市社区依托本地多元民族文化资源，打造“特色康养+普惠文娱”养老服务模式，覆盖不同民族老年群体，近期对本社区岁及以上老年人每周参与社区养老服务的次数进行随机抽样调查，收集数据并整理成图表： 每周服务次数 次 次 次 次 次 人数（人） 百分比 （注：社区养老服务兼顾多元民族特色，包括传统养生体验、民族手工艺教学、老年兴趣班、健康义诊等普惠项目，适配不同民族老年人需求） 根据以上信息，回答下列问题： （1）这组数据的中位数为 次，众数为 次； （2）请补全条形统计图； （3）该社区计划扩大特色养老服务规模，结合统计结果，为社区提出一条合理化建议． 【答案】（1）； （2）见解析 （3）建议社区优化特色康养课程、民族手工艺教学等项目的排班，同时增设更多多元民族特色课程，满足多数老人的需求 【解析】 【分析】（1）首先计算出总人数，再计算出每周服务次的人数，根据中位数和众数的定义计算即可； （2）根据每周服务次的人数补全条形统计图即可； （3）结合统计结果提出合理化建议，合理即可． 【小问1详解】 解：总人数为：（人）， 每周服务次的人数为： （人）， ∵将个数据按从小到大顺序排列，中位数是第个数据的平均数， 每周参与至次的累计人数为：（人）， ∴第个数据均为次，中位数是次， ∵出现次数最多的数据是次（出现次）， ∴众数是次； 故答案为：； 【小问2详解】 解：补全条形统计图如图所示， 【小问3详解】 解：结合统计数据（如中位数、众数）和实际服务内容，可针对“3次”及“4次”参与群体的需求，增加相关项目的频次或种类，以提高服务适配性。 ∴建议社区优化特色康养课程、民族手工艺教学等项目的排班，同时增设更多多元民族特色课程，满足多数老人的需求（答案不唯一）． 20. 如图，E是正方形的边上一点，连接，延长至点F使得，连接． （1）求证：； （2）过点E作，垂足为G，当E为的中点，且时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意得，则有，然后可得，进而可得，根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵E为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 21. 为助力贵州乡村振兴，某村合作社依托当地生态优势，生产贵州刺梨汁和贵州绿茶两款特色农产品礼盒．已知生产件刺梨汁礼盒成本元，利润元；生产件绿茶礼盒成本元，利润元．合作社计划本月生产两种礼盒共件，总成本恰好为元． （1）求本月刺梨汁礼盒和绿茶礼盒各生产多少件？ （2）若下个月两种礼盒仍生产共件，要求总成本不超过元，求刺梨汁礼盒生产多少件时，总利润最大，并计算此时的最大总利润． 【答案】（1）刺梨汁礼盒生产件，绿茶礼盒生产件 （2）刺梨汁礼盒生产件时，总利润最大，此时最大总利润为元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用（销售、利润问题），一元一次不等式的实际应用，以及一次函数的实际应用． （1）设刺梨汁礼盒生产件，绿茶礼盒生产件，根据总件数和总成本列二元一次方程组，并解方程组即可得到答案． （2）设刺梨汁礼盒生产件，则绿茶礼盒生产件，总利润为元，根据总成本不超过元，列一元一次不等式解得的取值范围，列关于的一次函数，得到取最大值时最大，计算即可． 【小问1详解】 解：设刺梨汁礼盒生产件，绿茶礼盒生产件， 由题意，得，解得， 答：刺梨汁礼盒生产件，绿茶礼盒生产件； 【小问2详解】 解：设刺梨汁礼盒生产件，则绿茶礼盒生产件，总利润为元， ∵总成本不超过元， ∴，解得， ∴总利润为：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当取最大值时，总利润最大，最大利润， 答：刺梨汁礼盒生产件时，总利润最大，此时最大总利润为元． 22. 如图，乡镇在乡镇的正北方向，桥最北端桥墩在乡镇的西南方向，最南端桥墩在乡镇的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，路线为折线，现在新建了桥，可直接沿直线从乡镇到达乡镇，已知桥和平行．（参考数据：，，，结果保留整数） （1）求点到直线的距离； （2）求现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程． 【答案】（1）点到直线的距离为． （2）现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于点，于点，证明四边形为矩形，得到，，解直角三角形得出的长，即可； （2）解直角三角形得到的长，求出的长，由勾股定理得到的长，根据，即可． 【小问1详解】 解：作于点，于点， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ，，， ∴， ∴ ， ∴ ． 答：点到直线的距离为． 【小问2详解】 解：在中， ，，， ∴ ， 由（1）可得， ，， ∵ ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程为：， ． 23. 如图，是的直径，过点作的切线，连接交于点，点是下方半圆的中点，连接，，，交于点，． （1）写出图中两个的角，并直接写出线段与线段的数量关系； （2）求证：； （3）若的半径为，求的长． 【答案】（1），； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用切线性质、直径所对圆周角为直角，结合直角三角形的性质确定的角；再结合半圆中点的性质，利用等腰直角三角形的边角关系确定线段与的数量关系； （2）根据等弧所对的圆周角相等，结合同弧所对的圆周角相等，证明两组角对应相等，从而证明三角形相似； （3）通过作辅助线构造等腰直角三角形与含角的直角三角形，利用三角函数建立方程求出线段长度，再结合勾股定理计算的长． 【小问1详解】 解：是的切线，， ， 是的直径， ， ， 如图，连接， ， 是下方半圆的中点， ， ， ； 【小问2详解】 证明：点是下方半圆的中点， ， ； ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， 由（2）可知， 是的直径， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， 设， 则， 在中，， ， 解得， ， ． 24. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）若点的坐标为，求抛物线的表达式； （2）若二次函数图象与过且垂直于y轴的直线只有一个交点时，求出的值； （3）点，的坐标分别为和，若二次函数图象与线段始终只有一个交点，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）当时， ，再由二次函数图象与过且垂直于y轴的直线只有一个交点，得到该方程根的判别式为0，即可求解； （3）分类讨论，画出图形求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ∴， 将点代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时， ， 即， ∵二次函数图象与过且垂直于y轴的直线只有一个交点， ∴ ， 解得； 【小问3详解】 解：①如解图，当时，抛物线上的点在点M的上方，且当时，抛物线上的点在点N的下方，抛物线与线段只有一个交点， 此时， 解得， 所以； ②如解图，当时，抛物线上的点在点M的下方，且当时，抛物线上的点在点N的上方，抛物线与线段只有一个交点， 此时，解得； ③当抛物线过点M时， 由（1）得抛物线的表达式为， 设直线的表达式为（k≠0）， 将点，分别代入， 得， 解得， ∴直线MN的表达式为， 联立， 解得或， ∴抛物线与直线的另一个交点的横坐标为， ∴只有一个交点，此时； ④当抛物线过点N时， 易得抛物线的表达式为， 联立， 解得或， ∴抛物线与直线的另一个交点的横坐标为， ∴只有一个交点，此时． 综上所述，当或时，二次函数图象与线段只有一个交点． 25. 如图①，点是矩形的对角线的中点，，点在边上，连接，作点关于直线的对称点，若，连接，，． （1）如图①，时， 用含的代数式表示，写出两条与线段相等的线段； （2）如图②，若时，设与交于点，探索，，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若交射线于点，交于点，当时，求的值． 【答案】（1）；， （2），见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质以及对称的性质得出， ，根据点是矩形对角线的中点，可得，结合已知条件得出是等边三角形，进而得出，再根据三角形内角和定理即可求解． （2）在上取一点(截长补短构造全等三角形)，使得，连接．证明是等边三角形，由对称可得，，，证明得出，即可得证； （3）①当在线段上时，如图，连接，证明 ，设，则，则，进而根据相似三角形的性质，即可求解；②当在线段的延长线上时，如图，连接，同法求得的值． 【小问1详解】 解：∵点是矩形的对角线的中点， ∴， ∵点，关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∵点，关于直线对称， ， 点是矩形对角线的中点， ， ， 是等边三角形， ， ． ∴与线段相等的线段：， 【小问2详解】 ； 证明：如解图，在上取一点(截长补短构造全等三角形)，使得，连接． 由（1）得， ， ， 是等边三角形， ，， ， 由对称可得，，， ， ， ； 【小问3详解】 ①当在线段上时，如图，连接， 由对称可得，，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ； ②当在线段的延长线上时，如图，连接， ， ， ， ， 由对称可得，，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ． 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $