5.2.2 等差数列的前n项和 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

5.2.2等差数列的前项和 一、知识点 1.等差数列的前项和公式 1）等差数列的前项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 2）等差数列前项和公式的推导 对于公差为的等差数列， ① ② 由①②得 个 ， 由此得等差数列前项和公式， 代入通项公式得. 2. 等差数列的前项和的性质 1）片段和性质：设等差数列的公差为，为其前项和，等差数列的依次项之和，则，，，，组成公差为的等差数列； 2）前项和与的比值： 数列是等差数列（，为常数）数列为等差数列，公差为； 3）奇偶项和性质：若表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为； ①当项数为偶数时，，，； ②当项数为奇数时，，，. 4）两等差数列前项和比值：在等差数列，中，它们的前项和分别记为，，则. 3. 等差数列的前项和的最值 1）等差数列的前项和与二次函数的关系 将等差数列前项和公式，整理成关于的函数可得. 当时，关于的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前项和公式是关于的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 2）求等差数列的前项和的最值的解题策略 （1）将配方，若，则从二次函数的角度看： 当时，有最小值； 当时，有最大值． 当取最接近对称轴的正整数时，取到最值． （2）邻项变号法： 当，时，满足的项数使取最大值； 当，时，满足的项数使取最小值。 二、题型训练 1.求等差数列的前项和 例1.记为等差数列的前项和.若，，则（     ） A. B. C. D. 例2.数列中，，，则_______. 练习： 1.若数列是等差数列，其前项和为，，则______. 2.已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 3.已知公差不为的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 等于（ ） A. B. C. D. 5.已知是等差数列的前项和，，则（ ） A. B. C. D. 6.若数列是正项数列，且（），则________. 7.已知是等差数列的前项和，若，则（     ） A. B. C. D. 8.数列是等差数列，，，记是的前项和，则（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9.已知等差数列的前项和为，若，，则_______. 10.已知，. （1）求数列的通项公式; （2）求数列的前项和. 11.已知为等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 2.与等差数列的前项和公式有关的基本量计算 例3.设等差数列的前项和为，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 例4.已知等差数列的前项和为，若，，则的公差等于（     ） A. B. C. D. 例5.在等差数列中，若，则_______. 练习： 1.在等差数列中，已知，，则等于（   ） A. B. C. D. 2.已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A. B. C. D. 3.数列为等差数列，为其前项和，已知，，则不正确的是（     ） A. B. C. D. 4.已知等差数列的公差为，前项和为，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5.已知为等差数列的前项和，，，则________. 6.记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）若，求. 7.已知等差数列的前项和为，若，，则的公差________. 8.设为等差数列的前项和，已知，，则的值为（    ） A. B. C. D. 9.在等差数列中，是其前项和，且，，则正整数为（     ） A. B. C. D. 10.已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（    ） A. B. C. D. 3.等差数列的前项和的最值 例6.在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（    ） A. B. C. D. 例7.已知等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和，并求的最大值. 练习： 1.设等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（ ） A. B. C. D. 2.已知数列为等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，则取得最大正值时等于（ ） A. B. C. D. 3.已知数列为等差数列，，，以表示的前项和，则使得取到最小值的是（ ） A. 或 B. C. D. 或 4.（多选）设等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则对描述正确的有（ ） A. 是唯一最小值 B. 是最小值 C. D. 是最大值 5.在等差数列中，，若，则数列的前项和取最大值时，的值为________. 6.在等差数列中，，，且，记的前项和为，当时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 7.设等差数列的前项和为，且满足，，若对任意正整数，都有，则的值为（ ） A. B. C. D. 8.已知数列为等差数列，首项，若，则使得的的最大值为（ ） A. B. C. D. 9.设是等差数列，是其公差，是其前项和，且，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 与是的最大值 C. D. 10.设数列的前项和为，如果，，，那么，，，中最小的为_______. 11.已知数列满足，则使其前项和取最大值的的值为（ ） A. 或 B. C. D. 或 12.已知等差数列的前项和为，，公差，，若取得最大值，则_______. 13.设是递减的等差数列，前三项的和是，前三项的积是，当该数列的前项和最大时，等于（ ） A. B. C. D. 14.设数列为等差数列，其前项和为，已知和是方程的两个根，若对任意都有成立，则的值为（ ） A. B. C. D. 15.设等差数列的前项和为，，若，，则数列的最小项是（ ） A.第项 B.第项 C.第项 D.第项 16.已知是等差数列的前项和，且，，则（     ） A.数列为递增数列 B. C. 的最大值为 D. 17.（多选）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A.等差数列为单调递增数列 B.数列是递增数列 C.有最小值 D.存在正整数，当时，总有 18.等差数列前项和为，，则取最小时，_______. 19.已知公差为的等差数列的前项和为，则满足对任意，恒成立的一个充要条件是（     ） A. ， B. ， C. ， D. 20.已知等差数列的前项和为，公差为，且，，则（     ） A. B. C. D. 21.已知是等差数列的前项和，，且，则（    ） A.公差 B. C. D. 当时，最大 22.已知公差不为的等差数列的前项和为，且，，，若有最小值，则最小值为_______． 23.已知单调递增的等差数列满足. （1）求的通项公式； （2）求的前项和，并求的最小值及此时的值； （3）求使成立的的最小值. 4.等差数列前项和与的比值问题 例8.已知是等差数列的前项和，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 练习： 1.设为等差数列的前项和，，，则的值为______. 2.设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和. （1）求； （2）求及的最小值. 3.已知数列满足，的前项和为，则（    ） A. B. C. D. 4.设为等差数列的前项和，则“对，”是“”的（     ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（     ） A. B. C. D. 6.设等差数列的前项和为，若，，则（     ） A. B. C. D. 7.已知等差数列的前项和为，且，则（     ） A. B. C. D. 5.两个等差数列的前项和的比值问题 例9.已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（     ） A. B. C. D. 例10.已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（   ） A. B. C. D. 练习： 1.有两个等差数列，，其前项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 2.等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A. B. C. D. 3.已知等差数列与等差数列的前项和分别记为，，若，则的值为（     ） A. B. C. D. 4.已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A. B. C. D. 5.已知等差数列和的前项和分别为和，且，，则下列结论正确的有（     ） A.数列是递增数列 B. C.使为整数的正整数的个数为 D. 的最小值为 6.等差数列的奇数项与偶数项的和 例11.已知等差数列的项数为其中奇数项之和为，偶数项之和为 ，则（ ） A. B. C. D. 例12.已一个等差数列共项，其和为，奇数项和为，则该数列的公差为（      ） A. B. C. D. 练习： 1.已知等差数列的前项和为，若，且，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知等差数列共有项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3.若等差数列的公差，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4.已知等差数列的前项和为，项数为奇函数，且前项中，奇数项的和偶数项的和之比为，则中间项为________. 5.已知等差数列的前项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（     ） A. B. C. D. 6.已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为_________；项数为________． 7.已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则_______． 7.等差数列的片段和 例13.若等差数列的前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为（     ） A. B. C. D. 练习： 1.等差数列的前项和为，若，，则为（ ） A. B. C. D. 2.已知等差数列的前项，前项，前项的和分别为，，，若，，求. 3.记为等差数列的前项和，若，，则（     ） A. B. C. D. 4.在等差数列中，为其前项和，若，，则（    ） A. B. C. D. 5.已知等差数列的前项和为，，，则（     ） A. B. C. D. 6.已知等差数列的前项和为，，，则_______. 8.等差数列的绝对值求和 例14.记为等差数列的前项和，已知，.则数列的前项和为_______． 例15.在等差数列中，，，则数列的前项和为_______． 练习： 1.在等差数列中，，记，求数列的前项和. 2.在等差数列中，，，若此数列前项和，前项和，则数列的前项和_________. 3.在等差数列中，，，设，则（ ） A. B. C. D. 4.已知等差数列的前项和为，且， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 5.等差数列的前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 6.在等差数列中，，，的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值； （3）设，求． 7.已知一次函数. （1）设函数的图像与轴交点的纵坐标构成数列，求证：数列是等差数列； （2）设函数的图像与轴的交点到轴的距离构成数列，求数列的前项和. 9.等差数列的前项和的实际应用 例16.（多选）某公司为入职员工实行每月加薪，小王入职第个月工资为元，从第个月到第个月，每月比上个月增加元，从第个月到第个月，每月比上个月增加元，已知小王前个月的工资之和为元，则（     ） A. B.小王第个月与第个月工资之和等于第个月与第个月工资之和 C.小王入职后前个月的工资之和是第个月工资的倍 D.小王入职后第个月的工资为元 练习： 1.我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝禾休惹外人传.说的时有斤棉花全部赠送给个子女做旅费；从第个孩子开始，以后每人依次多斤，直到第个孩子为止；分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传.在这个问题中，第个盒子分到的棉花为（ ） A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 斤 2.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，知云初日差六十四人，次日转多气人.”其大意为：“官府陆续派遣人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始每天派出的比前一天多人.”在该问题中的人全部派遣到位需要的天数为（ ） A. B. C. D. 3.中国古代有这样一道数学题：今有一男子擅长走路，每日增加相同里数，九日走了里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子第三日走的里数为_________. 4.《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈，头节高五寸①，头圈一尺三②，逐节多三分③，逐圈少分三④，一蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程是多远？”（注释：①第一节的高度为尺；②第一圈的周长为尺；③每节比其下面的一节多尺；④每圈周长比其下面的一圈少尺）问：此民谣提出的问题的答案是（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 5.一个三人报数游戏：首先报数字，然后报后两个数字、，接下来报后三个数字、、，然后轮到报后四个数字、、、，依次循环，直到报出，则报出的第个数字为（    ） A. B. C. D. 6.明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差岁，所有儿子的年龄加起来是.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（     ） A. B. C. D. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2.2等差数列的前项和 一、知识点 1.等差数列的前项和公式 1）等差数列的前项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 2）等差数列前项和公式的推导 对于公差为的等差数列， ① ② 由①②得 个 ， 由此得等差数列前项和公式， 代入通项公式得. 2. 等差数列的前项和的性质 1）片段和性质：设等差数列的公差为，为其前项和，等差数列的依次项之和，则，，，，组成公差为的等差数列； 2）前项和与的比值： 数列是等差数列（，为常数）数列为等差数列，公差为； 3）奇偶项和性质：若表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为； ①当项数为偶数时，，，； ②当项数为奇数时，，，. 4）两等差数列前项和比值：在等差数列，中，它们的前项和分别记为，，则. 3. 等差数列的前项和的最值 1）等差数列的前项和与二次函数的关系 将等差数列前项和公式，整理成关于的函数可得. 当时，关于的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前项和公式是关于的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 2）求等差数列的前项和的最值的解题策略 （1）将配方，若，则从二次函数的角度看： 当时，有最小值； 当时，有最大值． 当取最接近对称轴的正整数时，取到最值． （2）邻项变号法： 当，时，满足的项数使取最大值； 当，时，满足的项数使取最小值。 二、题型训练 1.求等差数列的前项和 例1.记为等差数列的前项和.若，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设等差数列公差为，则，解得， 所以，. 故选：C. 例2.数列中，，，则_______. 【答案】 【解析】 ，故为公差的等差数列， 又，所以， . 故答案为： 练习： 1.若数列是等差数列，其前项和为，，则______. 【答案】 【解析】 因为数列为等差数列，所以，解得，则. 故答案为： 2.已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 设数列的公差为，，可得，即，，故选D. 3.已知公差不为的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设公差不为的等差数列满足，则，整理可得，则，故选B. 4. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 易知数列，，，，，为等差数列，且首项为，公差为，项数为，所以原式，故选C. 5.已知是等差数列的前项和，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 是等差数列，，解得，，故选B. 6.若数列是正项数列，且（），则________. 【答案】 【解析】 令，得，，当时，，与已知式相减，得，，又时，满足上式，（），，. 7.已知是等差数列的前项和，若，则（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为数列是等差数列， 所以. 故选：A. 8.数列是等差数列，，，记是的前项和，则（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 设该等差数列的公差为，则， 则，. 故选：D 9.已知等差数列的前项和为，若，，则_______. 【答案】 【解析】 ，所以， . 故答案为：. 10.已知，. （1）求数列的通项公式; （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）因为，，又， 由等差数列的定义知是首项为，公差为的等差数列， 故数列的通项公式为. （2）由等差数列的求和公式可得：，所以. 11.已知为等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）设数列的公差为，则根据题意可得， 解得，则． （2）由（1）可知运用等差数列求和公式，得到， 又恒成立，则恒成立， 设，则， 当时，，即； 当时，，则，则； 则，故， 故实数的取值范围为． 2.与等差数列的前项和公式有关的基本量计算 例3.设等差数列的前项和为，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）设的公差为，则有， 解得， 故； （2）由题可知. 例4.已知等差数列的前项和为，若，，则的公差等于（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设等差数列的公差为， 根据，可得， 即得，解得. 故选：B 例5.在等差数列中，若，则_______. 【答案】 【解析】 因为， ， 所以，所以， 故答案为：. 练习： 1.在等差数列中，已知，，则等于（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设等差数列的公差为， 则， 即，解得，则. 故选：A. 2.已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 设等差数列的公差为，则， 解得，故. 故选：D. 3.数列为等差数列，为其前项和，已知，，则不正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 根据题意，由，得，解得， 故A正确，B错误； 则，C正确； ，D正确． 故选：B． 4.已知等差数列的公差为，前项和为，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ，，，故选B. 5.已知为等差数列的前项和，，，则________. 【答案】 【解析】 方法一：令，则，得，，，； 方法二：不妨设，，，； 方法三：是等差数列，为等差数列，设为公差. ，，，解得. 6.记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）若，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）设等差数列的公差为，则，解得，，所以. （2）由（1）得，整理得，由，解得. 7.已知等差数列的前项和为，若，，则的公差________. 【答案】 【解析】 等差数列的前项和为，，，，解得，的公差. 8.设为等差数列的前项和，已知，，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由等差数列前项和公式，可知：， 所以， 由等差数列的性质“当时，”可知：， 所以. 故选：C. 9.在等差数列中，是其前项和，且，，则正整数为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 等差数列的前项和是关于的二次函数， 由二次函数的对称性及，，得，解得， 所以正整数为． 故选：D 10.已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由，得①， 因为，， 所以，即②， ①②两式相加，得，即， 所以，所以，解得. 故选：B. 3.等差数列的前项和的最值 例6.在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为数列为等差数列，设公差为， 因为有最大值，故，即， 又，即、一正一负，而， 所以，，又由得，故， 所以，，则，， 则当时，的最大值为. 故选：A. 例7.已知等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和，并求的最大值. 【答案】（1）；（2），的最大值为. 【解析】 （1）设等差数列的公差为， 因为，，所以，解得， 所以， 所以； （2）由（1），， 所以当或时，取最大值，最大值为. 所以，的最大值为. 练习： 1.设等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 根据，，可以确定，，可以得到，，所以取得最大值时的值为，故选B. 2.已知数列为等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，则取得最大正值时等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由等差数列的性质可得，又，且有最大值，可得，，则有，而，进而可得取得最大值时等于. 3.已知数列为等差数列，，，以表示的前项和，则使得取到最小值的是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 设的公差为，由题意得，，则①，，则②，联立①②得，，，故当或时，取到最小值，故选D. 4.（多选）设等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则对描述正确的有（ ） A. 是唯一最小值 B. 是最小值 C. D. 是最大值 【答案】CD 【解析】 ，，设，则点在抛物线上，依题意，得抛物线的开口向下，对称轴方程为，且为 的最大值.由，得，即，，故选CD. 5.在等差数列中，，若，则数列的前项和取最大值时，的值为________. 【答案】或 【解析】 ，，如图，根据二次函数图象的性质，，当或时，取最大值. 6.在等差数列中，，，且，记的前项和为，当时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 在等差数列 ，，，，，则，，故时，的最大值为，故选C. 7.设等差数列的前项和为，且满足，，若对任意正整数，都有，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 等差数列的前项和为，且满足，，，，，，在前项和中，最大，对任意正整数，，，故选C. 8.已知数列为等差数列，首项，若，则使得的的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 数列为等差数列，若，则与异号，又首项，则公差，所以，，则，即，由等差数列的前项和公式及等差数列的性质可得，，所以使得的的最大值为，故选B. 9.设是等差数列，是其公差，是其前项和，且，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 与是的最大值 C. D. 【答案】C 【解析】 ，，，，，，，，与是的最大值，因此ABD正确，对于C，，可得，C错误，故选C. 10.设数列的前项和为，如果，，，那么，，，中最小的为_______. 【答案】 【解析】 数列的前项和为，，，，数列是首项为，公差为的等差数列，，，，，，，，，，，，中最小的为. 11.已知数列满足，则使其前项和取最大值的的值为（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 令，解得，故数列的前项大于，第项等于，项后面的均小于.所以数列的前项或前项和最大，故使其前项和取最大值的的值为或，故选D. 12.已知等差数列的前项和为，，公差，，若取得最大值，则_______. 【答案】或 【解析】 在等差数列中，，公差，，，，，，当或时，取得最大值. 13.设是递减的等差数列，前三项的和是，前三项的积是，当该数列的前项和最大时，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设数列的公差为，是等差数列，且，，又，，由，及单调递减可求得，，，由得，故选A. 14.设数列为等差数列，其前项和为，已知和是方程的两个根，若对任意都有成立，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设数列的公差为，对任意都有成立，即是前项和的最大值，，，，，，当时，，当时，，若对任意都有成立，则. 15.设等差数列的前项和为，，若，，则数列的最小项是（ ） A.第项 B.第项 C.第项 D.第项 【答案】B 【解析】 由题意，，及，，得，，所以，，且公差，所以最小，故选B. 16.已知是等差数列的前项和，且，，则（     ） A.数列为递增数列 B. C. 的最大值为 D. 【答案】C 【解析】 由题意，，，则，故B错误； 数列的公差，所以数列为递减数列，故A错误； 由于时，，时，， 所以的最大值为，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 17.（多选）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A.等差数列为单调递增数列 B.数列是递增数列 C.有最小值 D.存在正整数，当时，总有 【答案】ACD 【解析】 设等差数列的公差为，则， 对于A选项，，则等差数列为单调递增数列，A对； 对于B选项，不妨取，则， 此时，数列不单调，B错； 对于C选项，若，则对任意的，，则， 所以，数列为单调递增数列，则的最小值为； 若，由，可得， 不妨取（其中为不超过的最大整数）， 则当时，，当时，， 此时，为的最小项， 综上所述，的最小值，C对； 对于D选项，若，不妨取，则当时，，即； 若，由，可得， 取，当时，， 所以，存在正整数，当时，总有，D对. 故选：ACD. 18.等差数列前项和为，，则取最小时，_______. 【答案】 【解析】 由于，故，从而.任意正整数显然都满足或，故. 等号当且仅当时成立，所以恰在时最小. 故答案为： 19.已知公差为的等差数列的前项和为，则满足对任意，恒成立的一个充要条件是（     ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】C 【解析】 ，， 所以C是的充要条件， A是的充分不必要条件， BD是既不充分也不必要条件. 故选：C. 20.已知等差数列的前项和为，公差为，且，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 由，得，，故A、B正确； 因为，，所以公差，.故C错误，D正确. 故选：ABD 21.已知是等差数列的前项和，，且，则（    ） A.公差 B. C. D. 当时，最大 【答案】ACD 【解析】 设等差数列的公差为， 由，得， 则，则，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； 由于， ， 则时，；时，， 所以当时，最大，故D正确. 故选：ACD. 22.已知公差不为的等差数列的前项和为，且，，，若有最小值，则最小值为_______． 【答案】 【解析】 取得最小值，则公差，或， （1）当，，，，，，，， 所以的最小值为. （2）当，，，不合题意. 综上所述：，，，的最小值为. 故答案为：. 23.已知单调递增的等差数列满足. （1）求的通项公式； （2）求的前项和，并求的最小值及此时的值； （3）求使成立的的最小值. 【答案】（1）；（2）或时最小为；（3） 【解析】 （1）令的公差为，且，则， 所以，可得（负值舍），则， 所以. （2）由（1）可得，， 所以，当或时最小为. （3）由（1）（2）有，则， 又，故时成立，故的最小值为. 4.等差数列前项和与的比值问题 例8.已知是等差数列的前项和，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 是等差数列的前项和，则数列是等差数列． ，， 则数列的公差，首项为， ，． 故选：B． 练习： 1.设为等差数列的前项和，，，则的值为______. 【答案】 【解析】 设等差数列的公差为，为等差数列的前项和，由等差数列的前项和公式得，，，，，. 2.设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和. （1）求； （2）求及的最小值. 【答案】（1）；（2）当或时，. 【解析】 （1）设数列的公差为，依题意有，解得，； （2）由（1）知，，设，则，数列是公差为的等差数列，首项，又为数列的前项和，.当或时，. 3.已知数列满足，的前项和为，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 故选：B. 4.设为等差数列的前项和，则“对，”是“”的（     ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 设等差数列的公差为， 若对，，即， 若，则，即为单调递增数列， 又因为，所以， 所以，即， 所以“对，”是“”的充要条件. 故选：C 5.在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为， 则，则，又因为， 所以，所以，所以. 故选：B. 6.设等差数列的前项和为，若，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ，故为等差数列， 故，故，解得. 故选：B 7.已知等差数列的前项和为，且，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 设等差数列的公差为， 则， 数列是公差为的等差数列，，解得：， . 故选：D. 5.两个等差数列的前项和的比值问题 例9.已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为，即， 所以． 故选：A. 例10.已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由等差数列性质得，， 由得，. 故选：C. 练习： 1.有两个等差数列，，其前项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设等差数列，的公差分别为，，所以，故选C. 2.等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 等差数列，的前项和分别为，，由，得， . 故选：C 3.已知等差数列与等差数列的前项和分别记为，，若，则的值为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 根据等差数列前项和公式，当时，. 由等差数列性质，所以. 同理，对于数列，当时，. 又因为，所以. 已知，当时，. 所以. 故选：C. 4.已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 所以， 又，故， 故选：B 5.已知等差数列和的前项和分别为和，且，，则下列结论正确的有（     ） A.数列是递增数列 B. C.使为整数的正整数的个数为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 对于A，，所以数列是递增数列，故A正确； 对于B，若，， 则，， 所以，故B错误； 对于C，由可知无整数，故C正确； 对于D，因为和是等差数列，且前项和分别为和， 所以， 所以递增， 所以最小值为时，为，故D正确； 故选：ACD. 6.等差数列的奇数项与偶数项的和 例11.已知等差数列的项数为其中奇数项之和为，偶数项之和为 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 项数为的中奇数项共有项， 其和为， 项数为的中偶数项共有项，其和为， 所以，解得. 故选: A. 例12.已一个等差数列共项，其和为，奇数项和为，则该数列的公差为（      ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 设等差数列的公差为，则由条件可知： 数列的奇数项之和为，① 偶数项之和为，② 由②①，得，所以，即该数列的公差为. 故选：D. 练习： 1.已知等差数列的前项和为，若，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 根据等差数列的性质可得.，或，若，显然不成立，，，解得，故选C. 2.已知等差数列共有项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 奇数项共有项，其和为，，偶数项共有项，其和为，，故选B. 3.若等差数列的公差，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设，，则，，解得，，故选C. 4.已知等差数列的前项和为，项数为奇函数，且前项中，奇数项的和偶数项的和之比为，则中间项为________. 【答案】 【解析】 因为为奇数，所以，解得，所以，所以，故所求的中间项为. 5.已知等差数列的前项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设等差数列的公差为，首项为， 则，所以， 因为，即，则， 等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前项中奇数项有项，所以，得， 所以. 故选：B 6.已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为_________；项数为________． 【答案】 【解析】 设等差数列的项数为， 则， ， ，解得：，即等差数列的项数为； 项的数列的中间项为第项，即， 由得：，解得：，即中间项为. 故答案为：；. 7.已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则_______． 【答案】 【解析】 奇数项有项，偶数项有项，所以奇数项和为，偶数项和为， 故，解得. 故答案为： 7.等差数列的片段和 例13.若等差数列的前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 在等差数列中，，，也成等差数列， ， ，． 故选：C. 练习： 1.等差数列的前项和为，若，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由等差数列前项和的性质可知，，成等差数列，又，，由等差中项的性质可知，，，故选B. 2.已知等差数列的前项，前项，前项的和分别为，，，若，，求. 【答案】 【解析】 设数列的公差为，则，，，，，，所以，，是公差为的等差数列，所以，即，所以. 3.记为等差数列的前项和，若，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 记为等差数列的前项和，则，，，也是等差数列. 由于，，则，，，成等差数列. 则，解得. 则，，，成等差数列．故，则. 故选：B. 4.在等差数列中，为其前项和，若，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为数列是等差数列，且，， 所以根据等差数列前项和的性质可得，，成等差数列， 所以，所以，解得． 故选：C. 5.已知等差数列的前项和为，，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 在等差数列中， ，，所以，， 故，，，，构成公差为的等差数列， 所以， 即. 故选：C 6.已知等差数列的前项和为，，，则_______. 【答案】 【解析】 根据等差数列的性质可得，，成等差数列， 所以，即，解得. 故答案为：. 8.等差数列的绝对值求和 例14.记为等差数列的前项和，已知，.则数列的前项和为_______． 【答案】 【解析】 设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， ，可得当时，，当时，， 设数列的前项和为， 则. 故答案为：. 例15.在等差数列中，，，则数列的前项和为_______． 【答案】 【解析】 等差数列的公差为， 故通项公式为． 令，即，解得， 设，分别表示数列与数列的前项和， 则． 当时，； 当时，． 由， 得． 故. 故答案为：. 练习： 1.在等差数列中，，记，求数列的前项和. 【答案】 【解析】 设数列的前项和为，则. 2.在等差数列中，，，若此数列前项和，前项和，则数列的前项和_________. 【答案】 【解析】 设数列的公差为，由，知，且，，. 3.在等差数列中，，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 等差数列中，由，，得公差， 则， 显然当时，，当时，， 所以. 故选：C 4.已知等差数列的前项和为，且， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）解：设等差数列的公差为， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以， 所以数列的通项公式为. （2）解：由（1）知，，可得， 令，即，解得， 所以，当，时，；当，时，， 因为，且数列的前项和， 当，时，； 当，时，， 综上可得，数列的前项和. 5.等差数列的前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 （1）设数列的公差为， ，，，  ，公差为，， ； （2）由已知， 时，； 时，； 综上. 6.在等差数列中，，，的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值； （3）设，求． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 （1）解：由题意知在等差数列中，，，设公差为， 则，解得，则， 故， 通项公式为； （2）解：由（1）可得前项和， 当时，取最大值； （3）解：， 当时，得， 即时有，时有， 当时，， 当时，， 综上所述. 7.已知一次函数. （1）设函数的图像与轴交点的纵坐标构成数列，求证：数列是等差数列； （2）设函数的图像与轴的交点到轴的距离构成数列，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 （1）由题意得，，且，数列是首项为，公差为的等差数列； （2）由题意，得，，，，，，此数列前项是首项为，公差为的等差数列，从第项起是以为首项，为公差的等差数列，当时，，当时，，. 9.等差数列的前项和的实际应用 例16.（多选）某公司为入职员工实行每月加薪，小王入职第个月工资为元，从第个月到第个月，每月比上个月增加元，从第个月到第个月，每月比上个月增加元，已知小王前个月的工资之和为元，则（     ） A. B.小王第个月与第个月工资之和等于第个月与第个月工资之和 C.小王入职后前个月的工资之和是第个月工资的倍 D.小王入职后第个月的工资为元 【答案】ABD 【解析】 A：小王前个月的工资之和为， 解得，故A正确； B：记小王入职第个月工资为，则时，是等差数列， 因为，所以，故B正确； C：当时，是公差为的等差数列， 当时，是公差为的等差数列，则，，所以，故C错误； D：小王入职后第个月的工资为， 第个月的工资为，D正确． 故选：ABD． 练习： 1.我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝禾休惹外人传.说的时有斤棉花全部赠送给个子女做旅费；从第个孩子开始，以后每人依次多斤，直到第个孩子为止；分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传.在这个问题中，第个盒子分到的棉花为（ ） A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 斤 【答案】C 【解析】 设第个孩子分配到斤棉花，则由题意得，解得，故选C. 2.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，知云初日差六十四人，次日转多气人.”其大意为：“官府陆续派遣人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始每天派出的比前一天多人.”在该问题中的人全部派遣到位需要的天数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 根据题意设每天派出的人数组成数列，且该数列是首项，公差的等差数列，设该问题中的人全部派遣到位的天数为，则，依次将选项中的值代入检验得，满足方程，故选B. 3.中国古代有这样一道数学题：今有一男子擅长走路，每日增加相同里数，九日走了里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子第三日走的里数为_________. 【答案】 【解析】 由题意可知该男子每天走的里数构成一个等差数列，设这个数列为，其公差为，前项和为，根据题意可知，. 方法一：，，，，，. 方法二：，即，解得，所以. 4.《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈，头节高五寸①，头圈一尺三②，逐节多三分③，逐圈少分三④，一蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程是多远？”（注释：①第一节的高度为尺；②第一圈的周长为尺；③每节比其下面的一节多尺；④每圈周长比其下面的一圈少尺）问：此民谣提出的问题的答案是（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】A 【解析】 设从地面往上，每节竹长为，，，，，每节竹节间的长相差尺，是以为首项，以为公差的等差数列，由题意知竹节上一圈比下一圈细尺，设从地面往上，每圈周长为，，，，，可得是以为首项，为公差的等差数列，一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程，故选A. 5.一个三人报数游戏：首先报数字，然后报后两个数字、，接下来报后三个数字、、，然后轮到报后四个数字、、、，依次循环，直到报出，则报出的第个数字为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 依题意，第次报数的个数为：， 则第次报完数后共报的个数为：， 由，即，解得的最小值为，得， 而第次报时，人总共报了次， 当第次报完数，人总的报数个数为：， 因此报出的第个数字为， 所以报出的第个数字为：， 故选：D 6.明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差岁，所有儿子的年龄加起来是.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】依题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为， 则，解得， 所以该问题中老人长子的岁数为. 故选：C 2 学科网（北京）股份有限公司 $