精品解析：北京市海淀区2025-2026学年九年级第二学期期末练习数学试卷（二模）

海淀区九年级第二学期期末练习 数学 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 长方体 2. 如图，在数轴上对应的点可能是（ ） A. B. C. D. 3. 小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（ ） A. B. C. D. 4. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都正面向上的概率是（） A. B. C. D. 5. 中国古代用“毫厘丝忽”表示极微细的事物，其中“毫”“厘”“丝”“忽”均为我国古代一种微小的长度计量单位．秦朝统一度量衡时，丝约为，则丝用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，且，点在的延长线上．若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线与轴、轴分别交于点，，以为对角线作菱形，且点在第一象限，给出下面三个结论： ①当，时，菱形有无数个； ②当时，对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③当点在上时，若，则菱形的面积有最大值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 10. 分解因式：______． 11. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 12. 质检部门对一台发球机在某一参数下的发球合格性进行测试，这台发球机连续发射个球，如图显示了发球合格的结果． 根据图象信息，估计这台发球机发球合格的概率为________（结果精确到）． 13. 命题“若，则”是________命题（填“真”或“假”）． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，．若函数的图象与矩形有公共点，则的值可以是________（写出一个即可）． 15. 如图，在正方形中，是上一点，是点关于的对称点．若，，则的面积为________． 16. 某地推出4种特色农产品，每种农产品货源充足，均为独立包装且不可拆分．各农产品每包的重量与价值如下表： 农产品 A B C D 重量（kg） 7 12 8 5 价值（元） 60 100 58 45 在某批农产品的销售中，根据客户需求，助农志愿者使用纸箱装运农产品，且每箱所装农产品的总重量不超过28kg． （1）若每箱只装同一种农产品，则一箱农产品的总价值最大是________元； （2）若每箱中每种农产品最多装包，则一箱农产品的总价值最大是________元． 三、解答题（共68分，第题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第题每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，，平分，是的中点，连接并延长到点，使得．连接，． （1）证明：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21. 为方便出行，某城市推出四种地铁定期票，在有效期内可不限次数乘坐地铁，深受通勤人员欢迎．已知地铁部分定期票的票价和使用有效期如下：一日票每张元，有效期为天；三日票每张元，有效期为连续天；每张五日票和七日票的有效期分别为连续天和连续天．已知组合购买张三日票、张五日票和张七日票，或者组合购买张一日票、张五日票和张七日票，总费用都是元，求张五日票的票价和张七日票的票价． 22. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求，的值； （2）过点作轴的垂线，分别交函数与的图象于点，． ①当时，求的长； ②当时，直接写出的取值范围． 23. 沙漠治理工程通过围沙、固沙和治沙等环节，可改善生态环境，促进可持续发展．为监测某区域沙漠治理工程的效果，某科研小组分别从甲、乙两个片区各随机抽取个监测点作为采样点，记录了每个采样点的单位面积固沙量（以下简称“固沙量”，用表示，单位：），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．甲、乙两个片区采样点的固沙量的频数分布直方图如下（数据分成组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，第组）； ．甲片区采样点的固沙量在这一组的数据是： ．甲、乙两个片区采样点的固沙量的平均数、中位数如下表： 片区 平均数 中位数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1）①补全甲片区采样点的固沙量的频数分布直方图； ②表中的值为________； （2）若固沙量满足的监测点为“达标监测点”，估计乙片区的个监测点中约有________个“达标监测点”； （3）将每个片区采样点的固沙量按从大到小排序，固沙量越大，排名越靠前．已知采样点，不在同一个片区且固沙量都是．若在其所在片区采样点中的排名比在其所在片区采样点中的排名更靠前，则是________片区的采样点（填“甲”或“乙”）； （4）为降低异常值对统计结果造成的偏差，科研团队采用剔除极值法：先剔除一组数据中的一个最大值和一个最小值，再对剩余数据计算平均值，以保障监测结果的稳定性．记乙片区采样点的固沙量的最大值为，最小值为，剔除极值后，乙片区采样点的固沙量的平均值为．若，则的值为________． 24. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点， ，． （1）求的大小； （2）过点作圆的切线交的延长线于点．若，，求的长． 25. 某旅游城市的居民王先生利用自有房屋开设一家具有当地民俗文化特色的民宿，改造完成后于年月初开始营业．截至年月底，共计经营时长为个月，民宿营业收入累计额如图． 民宿的利润等于营业收入减去支出费用．支出费用包含两部分，一部分是民宿的改造费，共计万元，开业前已支付完毕；另一部分是除改造费之外的其它支出费用，这部分费用按月累计数据如下： 经营时长（月） 其它支出费用累计额（万元） 结合上述信息和图象，回答下列问题： （1）王先生的民宿在年月初到年月底这个月的经营中， ①第个月的其它支出费用为________万元； ②单月营业收入最高的是第________个月（填整数）； （2）①在上面的坐标系中画出其它支出费用累计额关于经营时长的图象； ②根据图象估计王先生的民宿自开始营业后第________个月开始盈利（填整数）； （3）“累计成本利润率（记为）”是指经营项目在一定时期内，累计实现的盈利总额与同期累计发生的支出总额的比值． 根据该城市的行业评价标准，当 时，可评定为经营效果良好并能被当地文旅部门优先推介．若累计盈利总额和累计支出总额（含改造费）从开始营业时计算，则王先生的民宿首次被评定为经营效果良好是第________个月（填整数）． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． （1）当时，比较和的大小，并说明理由； （2）记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，过抛物线上一点作直线垂直于轴．若直线与图形有且只有一个公共点，求的取值范围． 27. 在中，，，点在的延长线上，是的中点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）如图，，，连接，求证：； （2）如图，连接，，直接写出的大小，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于和外一点P，给出如下定义：若上存在两个不同的点A，B，使得且，则称点P是的“关联点”． （1）如图，的半径为2． ①在点，，中，的“关联点”是________； ②点P在直线上，记点P的横坐标为．若点P是的“关联点”，则的取值范围是________； （2）已知点，，，的半径为．若线段上至少存在两个的“关联点”，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海淀区九年级第二学期期末练习 数学 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 长方体 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，再根据俯视图的形状为三角形，即可判断． 【详解】解： 主视图和左视图都是长方形，  该几何体是柱体  俯视图是三角形，   该几何体是三棱柱． 2. 如图，在数轴上对应的点可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴实数在数轴上的对应点可能是点． 3. 小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】投屏后形状不变，投影矩形与原屏幕矩形是相似图形，对应边成比例，根据原矩形边长比列比例式即可求出投影长边长． 【详解】解：∵投屏后画面形状保持不变， ∴投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， ∵原矩形相邻两边长之比为，即长边短边，设投影长边长为， 可得， 解得， 即投影画面长边长为． 4. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都正面向上的概率是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次都是正面向上的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 共有4种等可能的结果，其中两次都是正面向上的结果有1种， 两次都是正面向上的概率为． 故选：C． 5. 中国古代用“毫厘丝忽”表示极微细的事物，其中“毫”“厘”“丝”“忽”均为我国古代一种微小的长度计量单位．秦朝统一度量衡时，丝约为，则丝用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出5丝的长度，再按照科学记数法的规则改写即可，科学记数法表示较小数的形式为，需满足，为整数． 【详解】解：∵1丝长度约为 ∴5丝的长度为 将改写为符合要求的科学记数法，得 ． 6. 如图，，且，点在的延长线上．若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直角三角形两锐角互余求得，利用平行线的性质求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7. 如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得点，在以为直径的上，连接，证明和都是的切线，利用切线长定理结合四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意得点，在以为直径的上，连接， ∴， ∵和都是的半径， ∴和都是的切线， ∴， ∴． 8. 如图，直线与轴、轴分别交于点，，以为对角线作菱形，且点在第一象限，给出下面三个结论： ①当，时，菱形有无数个； ②当时，对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③当点在上时，若，则菱形的面积有最大值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据菱形的性质判断即可；②求得的周长：，菱形的周长：，比较即可判断；③求得菱形的面积为即可得到菱形的面积有最大值． 【详解】解：①当，时，， 令，，解得， ∴， 以为对角线作菱形，且点在第一象限， ∴在线段的垂直平分线上， ∴这样的菱形有无数个，说法正确； ②当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的周长：，即， 菱形的周长：， ∴对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③∵，∴， ∴菱形的面积， ∵， ∴菱形的面积有最大值； 综上，①②③都是正确的． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需解分母不等于零的不等式即可． 【详解】要使分式有意义，则分母，解得． 故答案为：． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解． 【详解】解：． 11. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得，进行计算即可得． 【详解】解：若关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 故答案为：． 12. 质检部门对一台发球机在某一参数下的发球合格性进行测试，这台发球机连续发射个球，如图显示了发球合格的结果． 根据图象信息，估计这台发球机发球合格的概率为________（结果精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】由统计图可知，随着发球次数的增加，发球合格的频率越来越接近，利用频率估计概率，估计这台发球机发球合格的概率为. 【详解】解：由统计图可知，随着发球次数的增加，发球合格的频率越来越接近， 估计这台发球机发球合格的概率为. 13. 命题“若，则”是________命题（填“真”或“假”）． 【答案】 假 【解析】 【分析】根据命题真假的判定规则，找到满足条件但不满足结论的反例，即可判断该命题的真假． 【详解】解：当时，，满足的条件， 但当，不满足的结论， 该命题为假命题． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，．若函数的图象与矩形有公共点，则的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵矩形，，， ∴， ∵函数的图象与矩形有公共点， ∴， ∴的值可以是． 15. 如图，在正方形中，是上一点，是点关于的对称点．若，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明是等边三角形，求得，点到的距离为，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，， 作于， ∴点到的距离为， ∴的面积为． 16. 某地推出4种特色农产品，每种农产品货源充足，均为独立包装且不可拆分．各农产品每包的重量与价值如下表： 农产品 A B C D 重量（kg） 7 12 8 5 价值（元） 60 100 58 45 在某批农产品的销售中，根据客户需求，助农志愿者使用纸箱装运农产品，且每箱所装农产品的总重量不超过28kg． （1）若每箱只装同一种农产品，则一箱农产品的总价值最大是________元； （2）若每箱中每种农产品最多装包，则一箱农产品的总价值最大是________元． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一问，分别计算只装同一种农产品时，每箱最多可装的包数，计算对应总价值，比较得到最大值；第二问，根据每种农产品最多装2包的限制，列举所有符合总重量要求的组合，计算总价值后比较得到最大值． 【详解】解：（1）对于每箱只装同一种农产品的情况： 农产品A：总价值元； 农产品B：总价值元； 农产品C：总价值元； 农产品D：总价值元； 比较可知，一箱农产品的总价值最大为240元； （2）设装A，B，C，D的包数分别为a，b，c，d，满足，，，，a，b，c，d为非负整数， 且， 总价值，计算得： 当，，，时，，； 当，，，时，，； 当，，，时，，； 当，，，时，，； 其余符合重量限制的组合，总价值均小于223，因此第二问最大总价值为223元． 三、解答题（共68分，第题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第题每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，在中，，平分，是的中点，连接并延长到点，使得．连接，． （1）证明：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据矩形的性质以及勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接 ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，平分， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形， 【小问2详解】 解：∵， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 21. 为方便出行，某城市推出四种地铁定期票，在有效期内可不限次数乘坐地铁，深受通勤人员欢迎．已知地铁部分定期票的票价和使用有效期如下：一日票每张元，有效期为天；三日票每张元，有效期为连续天；每张五日票和七日票的有效期分别为连续天和连续天．已知组合购买张三日票、张五日票和张七日票，或者组合购买张一日票、张五日票和张七日票，总费用都是元，求张五日票的票价和张七日票的票价． 【答案】1张五日票的票价为70元，1张七日票的票价为90元 【解析】 【分析】设1张五日票的票价为x元，1张七日票的票价为y元，根据“两种组合的总费用都是248元”，列方程组求解即可． 【详解】解：设1张五日票的票价为x元，1张七日票的票价为y元， 由题意得：， 解得， 答：1张五日票的票价为70元，1张七日票的票价为90元． 22. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求，的值； （2）过点作轴的垂线，分别交函数与的图象于点，． ①当时，求的长； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）① ；② 或 【解析】 【分析】（1）将代入，求得，即，再利用待定系数法求解即可； （2）①当时，求得，，再计算的长即可； ②由题意得，，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵的图象经过点， ∴， ∴， ∵函数的图象经过点， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：①由（1）函数的解析式为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ②由题意得，，， 当即时，，解得； 当即时，，解得； 综上，的取值范围为或． 23. 沙漠治理工程通过围沙、固沙和治沙等环节，可改善生态环境，促进可持续发展．为监测某区域沙漠治理工程的效果，某科研小组分别从甲、乙两个片区各随机抽取个监测点作为采样点，记录了每个采样点的单位面积固沙量（以下简称“固沙量”，用表示，单位：），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．甲、乙两个片区采样点的固沙量的频数分布直方图如下（数据分成组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，第组）； ．甲片区采样点的固沙量在这一组的数据是： ．甲、乙两个片区采样点的固沙量的平均数、中位数如下表： 片区 平均数 中位数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1）①补全甲片区采样点的固沙量的频数分布直方图； ②表中的值为________； （2）若固沙量满足的监测点为“达标监测点”，估计乙片区的个监测点中约有________个“达标监测点”； （3）将每个片区采样点的固沙量按从大到小排序，固沙量越大，排名越靠前．已知采样点，不在同一个片区且固沙量都是．若在其所在片区采样点中的排名比在其所在片区采样点中的排名更靠前，则是________片区的采样点（填“甲”或“乙”）； （4）为降低异常值对统计结果造成的偏差，科研团队采用剔除极值法：先剔除一组数据中的一个最大值和一个最小值，再对剩余数据计算平均值，以保障监测结果的稳定性．记乙片区采样点的固沙量的最大值为，最小值为，剔除极值后，乙片区采样点的固沙量的平均值为．若，则的值为________． 【答案】（1）频数分布直方图见详解，； （2）； （3）乙； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、中位数的计算、用样本估计总体以及平均数的应用，熟练掌握相关统计量的计算方法和直方图的解读是解答本题的关键． （1）①根据频数分布直方图中各组频数之和为，补全甲片区采样点的固沙量的频数分布直方图；②根据中位数的定义，先确定中位数所在的组，再结合组内数据计算中位数； （2）先根据乙片区的频数分布直方图，确定“达标监测点”的频数，再用样本估计总体，计算乙片区个监测点中“达标监测点”的数量； （3）结合甲、乙两个片区的中位数，分析固沙量为在两个片区中的排名情况，从而判断所在的片区； （4）先根据乙片区的平均数求出个数据的总和，再根据剔除极值后的平均数求出剩余个数据的总和，最后根据原总和、剔除的最小值和剩余数据总和求出最大值． 【小问1详解】 解：①频数分布直方图如图所示， ②共抽取了个监测点，中位数为第个监测点和第个监测点固沙量的平均值， ，， 中位数在这一组，由给出的数据排序得，中位数为， ； 【小问2详解】 解：乙片区抽取的监测点中，“达标监测点”有个， 个， 答：乙片区的个监测点中约有个“达标监测点”； 【小问3详解】 解：甲片区：中位数为，说明有个数据，比小，因此在甲片区的排名在第名之后（即名次靠后）； 乙片区：中位数为，说明有个数据，比大，因此在乙片区的排名在第名之前（即名次靠前）； 【小问4详解】 解：乙片区个数据的平均数为，因此总和为： 剔除一个最大值和一个最小值后，剩余个数据的平均数为，剩余数据总和为：， 根据“原总和剔除的两个数据剩余数据总和”，可得：， 解得：． 24. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点， ，． （1）求的大小； （2）过点作圆的切线交的延长线于点．若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角度的和差关系以及同弧所对的圆周角相等即可求解； （2）根据角度转化可知，解直角三角形可知,进而即可求解． 【小问1详解】 解：在圆内，∵同弧所对的圆周角相等， ∴, ∵ ， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴; 【小问2详解】 解：过点作, ∵为切线， ∴， ∵，, ∴, ∵，， ∴, ∴, ∴,, ∴， ∴． 25. 某旅游城市的居民王先生利用自有房屋开设一家具有当地民俗文化特色的民宿，改造完成后于年月初开始营业．截至年月底，共计经营时长为个月，民宿营业收入累计额如图． 民宿的利润等于营业收入减去支出费用．支出费用包含两部分，一部分是民宿的改造费，共计万元，开业前已支付完毕；另一部分是除改造费之外的其它支出费用，这部分费用按月累计数据如下： 经营时长（月） 其它支出费用累计额（万元） 结合上述信息和图象，回答下列问题： （1）王先生的民宿在年月初到年月底这个月的经营中， ①第个月的其它支出费用为________万元； ②单月营业收入最高的是第________个月（填整数）； （2）①在上面的坐标系中画出其它支出费用累计额关于经营时长的图象； ②根据图象估计王先生的民宿自开始营业后第________个月开始盈利（填整数）； （3）“累计成本利润率（记为）”是指经营项目在一定时期内，累计实现的盈利总额与同期累计发生的支出总额的比值． 根据该城市的行业评价标准，当 时，可评定为经营效果良好并能被当地文旅部门优先推介．若累计盈利总额和累计支出总额（含改造费）从开始营业时计算，则王先生的民宿首次被评定为经营效果良好是第________个月（填整数）． 【答案】（1）7；6 （2）①见详解；②6 （3）8 【解析】 【分析】（1）①②结合函数图象求解即可． （2）①根据数据画出图象即可；②结合函数图象求解即可； （3）根据累计成本利润率计算，再结合城市的行业评价标准求解即可． 【小问1详解】 解：①第个月的其它支出费用为：（万元）； ②观察民宿营业收入累计额图可知第5个月到第6个月的累计额较大，故累计额单月营业收入最高的是第6个月． 【小问2详解】 解：①其它支出费用累计额关于经营时长的图象如下： ②结合函数图象可知，当第6个月的时候民宿营业收入累计额图位于支出费用累计额上面，此时民宿营业收入累计额万元，支出费用累计额为（万元）， ∵， ∴王先生的民宿自开始营业后第6个月开始盈利． 【小问3详解】 解：由（2）②可知第6个月开始盈利， 第6个月营业累计额大约为105万元，支出费用累计额为万元， ∴， 第7个月营业累计额大约为125万元，支出费用累计额为万元， ∴ 第8个月营业累计额为160万元，支出费用累计额为万元， ∴， ∵当 时，可评定为经营效果良好并能被当地文旅部门优先推介． ∴王先生的民宿首次被评定为经营效果良好是第8个月． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． （1）当时，比较和的大小，并说明理由； （2）记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，过抛物线上一点作直线垂直于轴．若直线与图形有且只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 或 或 【解析】 【分析】（1）代入计算即可求解； （2）分和两种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，抛物线为， ∵，是抛物线上的点， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：抛物线对称轴为， ∵过抛物线上的点作直线轴，， ∴直线与抛物线的另一个交点为点P关于的对称点， 若，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ①若，则， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意， ②若，则， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意； ③若，则， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小 当 时，y随x的增大而增大， 设点关于的对称点为， 则 ， ∴， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴ ， ∴， ∴符合题意； 若，则当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∵ ， ∴ 时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 设点关于的对称点为， ∵ ， ∴， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意， 综上，a的取值范围是或或． 27. 在中，，，点在的延长线上，是的中点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）如图，，，连接，求证：； （2）如图，连接，，直接写出的大小，并证明． 【答案】（1）见详解 （2）；见详解 【解析】 【分析】（1）过点作,由可知是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，进而可知，证明，即可求解； （2）取的中点,连接,,根据两角对应相等可证，根据相似三角形的性质可知，进而根据两边对应成比例以及夹角相等可证，设，进而可知,证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：过点作, ∵在中，，， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∵, ∴ ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∵，是的中点， ∴, ∵,, ∴, 在和中， , ∴, ∴, ∴， 【小问2详解】 证明：取的中点,连接,, ∵,, ∴ , ∵是的中点，， ∴, ∵， ∴ , ∴, ∴, ∵ , ∴, ∴, , ∴, ∴, 设， ∴ ， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴, ∴， ∴, ∴． 28. 在平面直角坐标系中，对于和外一点P，给出如下定义：若上存在两个不同的点A，B，使得且，则称点P是的“关联点”． （1）如图，的半径为2． ①在点，，中，的“关联点”是________； ②点P在直线上，记点P的横坐标为．若点P是的“关联点”，则的取值范围是________； （2）已知点，，，的半径为．若线段上至少存在两个的“关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①，；②或 （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据“关联点”的定义结合图象即可判断； ②根据题意作出对应的图形，利用解直角三角形，相似三角形的判定与性质得出点P的运动轨迹为圆环，并求出圆环的半径范围，最后根据点P在直线上求出点P横坐标取值范围； （2）结合题意，先分析出的“”关联点，利用解直角三角形，相似三角形的判定与性质及勾股定理求出点P的运动轨迹为圆环，并得到圆环半径的取值范围，再分情况分析出圆环与线段的交点情况，得到其临界值，最终可求出t的取值范围． 【小问1详解】 解：①由题意知，对于的“关联点”，则是等边三角形， 如图，，能与上不同两点A，B生成等边三角形， ∵与切线与y轴夹角小于，无法构成等边三角形， ∴的“关联点”是，； ②由题意知，若点P是的“关联点”，即，， ∴， 如图，在上任取两点A、B，作，使得，取，作，使，， ∴， 在中，， ∴， 易证得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 以点C为圆心，长为半径画圆，当点B固定，点A绕运动时，点P在优弧上， 当弦在上运动时，点P所在的轨迹为阴影部分的圆环，内环半径为2，外环半径为，即， 若点P在直线上，结合圆环半径，可得或． 【小问2详解】 解：对于的“关联点”， 如图，任作，取弦，作使得，，作交延长线于点C， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中， ， 作，使得 ， ， 易证得： ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴点P在以点Q为圆心，半径 的圆上运动，则， 即点P的运动轨迹是一个圆环， ∵，，，的半径为， 设点T沿从上向下运动， 此时分情况讨论临界点的情况： ①当点N在以T为圆心，为半径的上时，则， 解得：； ②当线段与T为圆心，为半径的相切时，则， 解得：； ③当点M在以T为圆心，为半径的上时，则， 解得：，（舍去）， 综上所述，t的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $