9.2.2 总体百分位数的估计 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦“总体百分位数的估计”，通过复习频率分布直方图的步骤与性质导入，结合市政府确定居民月均用水量标准的实际问题，搭建前后知识联系的学习支架，引导学生理解百分位数的统计含义。 其亮点是以现实问题驱动教学，通过100户用水数据排序、计算第80百分位数等实例，培养数学思维，利用频率分布表和直方图估计百分位数发展数据观念与模型意识。小结系统梳理步骤，学生提升实际问题解决能力，教师获得清晰教学流程与丰富实例。

人教2019A版必修 第二册 第九章 统 计 9.2.2 总体百分位数的估计 教学目标 1.理解百分位数的统计含义． 2.会根据样本数据，求出第p百分位数. 3.能用频率分布表、频率分布直方图估计百分位数. 1.画频率分布直方图的步骤 复习引入 (1)求极差; (2)决定组距和组数: (3)将数据分组; (4)列频率分布表; (5)画频率分布直方图. 2.频率分布直方图的性质 (1)矩形的面积＝相应组的频率 (2)各小矩形的面积之和=1. (3) (4)各矩形的面积之比=频率之比， =各矩形的高度之比=频数之比． 在问题1中，频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，并由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，得出了“大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”等推断，接下来的问题是，如何利用这些信息，为政府决策服务呢？下面我们对此进行讨论. 复习引入 大部分 问题2: 如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费支出不受影响，根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？ 寻找一个数a,使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80%,大于a的占20%. 9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.6 22.4 3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3 5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6 1.3 1.3 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 2.1 2.2 2.3 2.3 2.4 2.6 2.6 3.0 3.2 3.2 3.6 3.6 3.7 3.8 4.0 4.1 4.3 4.4 4.6 4.7 4.9 4.9 4.9 5.1 5.1 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4 5.5 5.5 5.5 5.5 5.6 5.7 5.7 5.9 6.0 6.0 6.4 6.4 6.8 6.8 7.0 7.1 7.1 7.1 7.5 7.7 7.8 7.8 7.9 8.1 8.6 8.8 9.0 9.5 9.9 10.0 10.1 10.2 10.2 10.5 10.8 11.1 11.2 12.0 12.0 12.4 13.3 13.6 13.6 13.8 13.8 14.0 14.9 15.7 16.0 16.7 16.8 17.0 17.9 18.3 19.4 20.5 21.6 22.2 22.4 24.3 24.5 25.6 28.0 首先，把100个样本数据按从小到大排序， 80% 得到第80个和81个数据分别为13.6和13.8.可以发现，区间（13.6,13.8)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分。 把100个样本数据按从小到大排序，得到第80个和81个数据分别为13.6和13.8. 一般地，我们取这两个数的平均数(13.6+13.8)÷2=13.7 并称此数为这组数据的第80百分位数, 或80%分位数. 根据样本数据的第80百分位数，我们可以估计总体数据的第80百分位数为13.7左右.由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差，而在决策问题中，只要临界值近似为第80百分位数即可，因此为了实际中操作的方便，可以建议市政府把月均用水量标准定为14t,或者把年用水量标准定为168t. 新知探究 第p百分位数: 1.定义:一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. 2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤: 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i=n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据； 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 常用的分位数 常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数. 这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数. 其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等， 第1百分位数第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被使用. 25% 第一四分位数 (下四分位数) 50% 75% 中位数 第三四分位数 (上四分位数) 中位数：相当于是第50百分位数. 有70%的同学数学测试成绩在小于或等于85分． 班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？ (2)“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？ 概念辨析 不是．是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比． 例2.根据下面女生的身高的样本数据，估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数. 163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0 解：把27名女生的样本数据按从小到大排序，可得 148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0 158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0 163.0 164.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 172.0 由25%×27=6.75,50%×27=13.5,75%×27=20.25,可知样本数据的25,50,75 百分位数为第7, 14,21项数据，分别为155.5,161,164.据此可以估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数分别约为155.5,161和164. 1.下列一组数据的第25百分位数是(　　) 2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6 A.3.2 B.3.0 C.4.4 D.2.5 解：把该组数据按照由小到大排列，可得： 2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6， 由i＝10×25%＝2.5， 不是整数，则第3个数据3.2，是第25百分位数. 2.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩： 78, 70, 72, 86, 88, 79, 80, 81, 94, 84, 56, 98, 83, 90 ,91. 则这15人成绩的第80百分位数是(　　 ) A．90 B．90.5　　　 C．91　　　D．91.5 解：把成绩按从小到大的顺序排列为： 56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98， 因为15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位数是＝90.5. 例3.根据下表或下图,估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数. 分析：统计表或统计图，与原始数据相比，它们损失了一些信息，例如由上表中可以知道在[16.2,19.2)内有5个数据，但不知道这5个数据具体是多少.此时，我们通常把它们看成均匀地分布在此区间上. 解：由表可知，月均用水量在13.2t以下的居民用户所占比例为 23%+32%+13%+9%=77%. 则 13.2+3× =14.2, （小于80%） （大于80%） 在16.2t以下的居民用户所占的比例为77%+9%=86%. 因此，80%分位数一定位于[13.2,16.2)内 类似地，由22.2+3× =22.95, 可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数 约为22.95. 可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数 约为14.2. 练习： 在本节问题中，如果要让60%的居民用户不超出标准，居民用户的月均用水量标准定为多少合适？ 频率累计 60%分位数一定位于[7.2,10.2)内 设样本数据的60%分位数为x 则0.55 +（x-7.2）×0.043=0.6 解得x= 1.某市教育局为了解疫情期间网络教学学生学习情况,从该市随机抽取了1000名高中学生,对他们每天的平均学习时间进行问卷调查,根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图,根据此图,估计该市高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为 小时.  2.某市“环境保护宣传”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得： (1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为_______； (2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的95%分位数为________岁． 解：(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h， 由(0.01+h+0.07+0.06+0.02)×5=1，解得h＝0.04. 2.某市“环境保护宣传”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得： (1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为_______； (2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的95%分位数为________岁． (2)由图可知年龄小于40岁的频率为1－0.02×5=0.9， ∴志愿者年龄的95%分位数在[40,45)内， ∴志愿者年龄的95%分位数为 1.百分位数：组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. 2.求一组数据的百分位数步骤： ①按照从小到大排列原始数据； ②计算i＝n×p%； ③若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据； 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 3.由样本数据的频率分布直方图计算第p百分位数 小结： 样本数据的第p百分位数估计总体的第p百分位数 3.由样本数据的频率分布直方图计算第p百分位数 第1步：计算各组数据的频率(即计算各小长方形的面积)； 第2步：确定第p百分位数在区间[a，b)内； 第3步：应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得 a b x $