河北雄安新区部分高中2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

高一期中考试数学学科 参考答案及评分意见 1.D【解析】因为(1-i)(4+i)=4+i一4i-i=5一3i,所以虚部为-3.故选D. 2.D【解析】对于A,如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，故A 正确； 对于B,若m∥n,且m∥a,则n∥a或nCa,故B正确； 对于C,根据线面垂直的定义可知，故C正确； 对于D,根据面面平行判定定理，若aCa,bCa,a∥B,b∥B,a∩b-P,才能得到a∥B, 因缺少a,b的位置关系，故不一定得到&∥B,故D错误.故选D. 3.C【解析】设c=(x,y),因为a=(1,-2),b=(3,4),所以b-a=(2,6),c-b=(x-3,y-4). 因为(b-a)∥c且(c-b)⊥a,所以6x=2y且(x-3)-2(y-4)=0,解得x=1,y=3,所以c=(1,3).故选C. 4.A【解析】由题意，得B'C'=A'B'=√2，BC'⊥A'B', 所以直观图△ABC的面积S'-·A'B·B'C=×,E×E=1, 故原图形△ABC的面积S=2√2S=2√2.故选A. 5.B【解析】若|AB+AC1>|AB-AC|,即(AB+AC)2>(AB-AC)2, 整理得AB·AC>0,所以cosA>0.又因为A∈(0，π)，所以A为锐角. 即AB+AC1>|AB-AC1等价于A为锐角. 因为角A为锐角不能推出△ABC是锐角三角形，但△ABC是锐角三角形可以推出角A为锐角， 所以“|AB十AC|>|AB一AC|”是“△ABC是锐角三角形”的必要不充分条件故选B. 6.C【解析】设A1B1=AA1=a,则AB=2a. 因为四棱台ABCD一A,B,C1D1为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形. 在四边形ABB1A1中，过点A1作A1E⊥AB于点E, D 则AE=号2a-a)-号所以A,E- 2a, 所以S梯形ABB1A1= 2a.3,=3a2=33,解得a=2 2 24= 所以A1B1=AA1=2,AB=4,所以A1C1=2√2，AC=4√2. 在平面ACCA:中，过点A,作A1FLAC于点F,则A,F为正四棱台的高，AF=名×(42-22)=E, 所以A1F=√A1A2-AFz=√4-2=√2.故选C. D【解折]h怎意知5-女nA-日×2XX-停=2所以= 由余孩定理知，a=6+e-26c0sA=2+4-2X2X4×号=12，所以a=25。 b 由正弦定理得， a_23 sinB-sinC-sinA√3 =4,a=4sin A,6=4sin B,c=4sin C. 数学答案第1页（共6页） 所以 a+b+c _4sinA+4sinB十4sinC-4,故选D. sin A+sin B+sin C sin A+sin B+sin C 8.B【解析】因为球O被平面ABCD所截得的截面面积为8π，所以截面圆的半径为2√2， 则正方形ABCD的边长为4. 设球O的半径为R,则O到平面ABCD的距离h=|4一R, 所以|4-R2+(2√2)2=R2,解得R=3,则h=1. 所以四装锥O-ABCD的体积为号×4×1-9放选B 9.AC【解析】对于A,x=√32+4=5，故A正确， 对于B复数=异+2-ia2D+2+2侣+-（传+小。 +2=0, 2 由纯虚数概念，得 解得a=一4，故B错误. g+1≠0. 对于C,由题意，得一2i是方程的另一个复数根， 则/广n=2i-2i=0, 郎/m0, 所以m十n=4,故C正确. n=2i×(-2i)=4,n=4, 对于D,由x一1=2，得在复平面内，之的对应点Z在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上. 因为|之+i表示点Z到点(0，一1)的距离，且点(0，一1)在圆内， 所以其最小值为2-√(1一0)2+(0十1)2=2-√2，故D错误.故选AC. 10.ABC【解析】对于A,因为a cos B+bcos A=c(4cosA-1), 所以sin Acos B+sin Bcos A=sinC(4cosA-1),所以sin(A+B)=sinC(4cosA-1). 又因为A+B=π-C,即sin(A+B)=sin(r-C)=sinC,所以sinC=sinC(4cosA-l). 因为sinC≠0，所以1=4c0sA-1,解得cosA=?又因为0<A<,所以A=行，放A正确， 对于B,因为A一背△ABC外接圆的半径R=2,所以a=2RnA-4×写-25，故B正确 对于C,因为b2+c2-a2=2 bccos A,所以b2+c2=12十bc. 又因为b2+c2≥2bc,所以12+bc≥2bc,得bc≤12，当且仅当b=c=2V3时取等号， 所以Sac=snA=< 2×12=3√3，即△ABC面积的最大值为3√3，故C正确. 对于D,由b-c=2,及b2+c2=12+bc,解得b=4,c=2. 因为S8Ae=Sm+SAam,所以号X2X4Xsm晋-号×2 XADXsin君+号X4 XADXsin吾， 解得AD-g5,放D不正确放选AC 11.ABD【解析】对于A,在正方体ABCD一A1B1C1D1中，A1E与BB,既不平行也不相交， BB1C平面ABB1A1,A1∈平面ABB1A1,A1BB1,E平面ABB1A1, 所以直线AE与BB1是异面直线，故A正确， 数学答案第2页（共6页） 对于B,延长EF,与AD的延长线交于点P,与AB的延长线交于点Q, 连接A1P交DD1于点G,连接A1Q交BB1于点H, 再连接GE,HF,可得五边形EFHA1G为所求截面，故B正确. 对于C,由题意知，线段EG为点I的轨迹. DP 1 因为E,F分别是CD,BC的中点，所以DP=CF=7BC,所以=易 所以G为DD,的三等分点同理，H为B服，的三等分放，则G-F+气写-雪，即点1的教迹长度为 ,故C错误. 3 2 对于D,AG=AH=,22+ 2√/1 3 ,EF=2,且EG=FH=I3 3 则五边形EFHA1G的周长为2√I3+√2，故D正确.故选ABD. 12.二【解析因为￥=-1，所以2牛_2生：一1+2， 3 -i 所以在复平面内，复数一1十2i对应的点为（一1,2），位于第二象限. 13.-号【解析】因为B币=2D,C-2E弦，所以A市-}A店，B=}BC 所以C市-CA+AD-号A店-AC, 应-店+脏-店+}C-店+名花-)-号+}A花 则c市·A正-（传a-AC(3A+3AC-号A:-8A店.ad-号ad 号×1：号×1×2×cms120-号×2=号 4g5【解折如图，过点A作ANLA.D,垂足为点N,连接NC, 因为DC⊥平面ADD,A1,ANC平面ADD1A1,所以DC⊥AN 0 又因为AN⊥A1D,A1D∩DC=D,A1D,DCC平面A1DCB1, 所以AN⊥平面A1DCB1.因为MCC平面A1DCB1,所以AN⊥MC. 因为MA⊥MC,MA∩AN=A,MA,ANC平面MAN,所以MC⊥平面MAN. 因为MNC平面MAN,所以MC⊥MN. 所以点M的轨迹是平面A1DCB,内，以NC为直径的圆，所以MC的最大值为NC. 因为AD=2,AA1=1,所以A:D=5.由等面积法，得AN=2X1_25 5 51 所以ND=√AD2-AN=22 2W5 45 A 5 6 所以NG=D+Dc-2+-66 A 5 5 15.解：(1)设c=a=λ(3,4)=(3入，4λ)，λ>0， 数学答案第3页（共6页） 由c=1得(3入)2+(4λ)2=1.… …3分 解得A=写所以e-(侣，) …5分 (2)因为a-2b与2a-b垂直，所以(a-2b)·(2a-b)=0, 即2a|2-5a·b十2b|2=0.… …7分 又因为a=√32+4=5，|b=√5，所以a·b=12.…9分 所以向量a,b夹角的余弦值cos(a,b>=ab5X5 a·b1212W5 25 …11分 向最在自最a上的投影俏最的坚标为-号，)=气 3648 25'25 …13分 16.(1)证明：设x=a十bi(a,b∈R),则之=a-bi, 所以之·z=(a十bi)(a-bi)=a2-b2i=a2+b2.… …3分 因为z2=a2+b2,所以之·芝=|x2. …5分 (8)解：由+>受得+∈R ……6分 若x∈R,则z>0,且z=之， 由+号解得>2或<分， …8分 故z>2或0<z),……………9分 若x为虚数，设z=a十bi(a∈R,b≠0). 则.+号-a+6i+, a+bi=a+bi+a-bi b 因为之十∈R,所以b2=0,所以a2十62=1，即2=.………12分 2 此时+-十>8即2a>8解得e> 4 则|之|>1，与之=1矛盾.…14分 综上，小：>2或0<<号即1：的取值范围是0，)U2,+∞)” …15分 17.(1)证明：如图，连接B1D1. 因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1∥BB1且DD1=BB1, 所以四边形DBB,D1为平行四边形，所以DB∥B,D1.…3分 方法一：因为B1D1中平面A1BD,BDC平面A1BD,所以B1D1∥平面A1BD.…5分 因为B1D1C平面A1B1C1D,平面ABD∩平面A1B1CD1=l,所以B1D1∥l.…7分 方法二：因为B1D1C平面A1B1C1D1,BD寸平面A1B1C1D1, 所以BD∥平面A1B1C1D1. …5分 因为BDC平面A1BD,平面A1BD∩平面A1B1C1D1=l,所以BD∥L. 所以B1D1∥儿.…7分 方法三：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1, 数学答案第4页（共6页） 平面A1BD∩平面ABCD=BD,平面A1BD∩平面A1B1C1D1=l,所以BD∥L.…6分 所以B1D1∥.… …7分 AM1 2)解：存在，且MD=3… …8分 理由如下：取A1D1的中点G,连接AG,FG. 因为F,G分别为B1C1,A1D1的中点， 所以FG∥A1B1,FG=A1B1,…10分 又因为AB∥A1B1,AB=A1B1,所以FG∥AB,FG=AB, 所以四边形ABFG为平行四边形，所以BF∥AG.… …12分 设M为A1G的中点，则PM∥AG,所以PM∥BF. 又因为BFC平面BDEF,PM中平面BDEF,所以PM∥平面BDEF. 敬存在所求的点M,M之…15分 18:因为-nB品C一所以aA≠0,8 2 2C≠2 所以cosC(tan Btan C-1)=2osA,即cos Csin Bsin C 1=2cos A, cos Bcos C 整理得一C0s(B十C)=2c0 s Acos B.… …3分 在△ABC中，B+C=π-A,所以c0s(B+C)=一cosA, 所以c0sA=2c0sAc0sB.…5分 因为cosA≠0，所以1=2cosB,解得cosB=2 1 义因为B∈(0，)，所以B=T. 3 ……7分 (2)由正弦定理，得 b sin A sin Csin B =2, 元 所以a=2sinA,C=2sinC.…9分 因为A十C=xB=行所以C-行-A 0<A<安， 因为△ABC为锐角三角形，所以 0<经-A< 解得<A<受 ……11分 数学答案第5页（共6页） △ABC的面积S=iB=号·2sinA·2sinC·sn智-8 insinC..…12分 因为sinC=sin -A=A+inA, 所以S=nA停sA+A，A+A ……14分 因为晋<A<5,所以晋<A-<晋则sm2A-)∈（合] …15分 所以nA-）]期s∈g,3] 即△ABC面积的取值范围是3,33 、2’4 ………17分 19.(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD. 又因为PD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以PD⊥AC.…2分 又因为PD∩BD=D,PD,BDC平面PBD, 所以AC⊥平面PBD.…4分 (2)解：(1)因为PD⊥平面ABCD,所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角. 由题意，得∠PBD=45°.…6分 因为PD=1,所以BD=PD=1. 因为AB=AD=2,所以AC=2,AD2- (BD =√/15.…… 2 …8分 所以菱形ABCD的面积S= 3 ACX BD=含x1X5-西E, 2, 故四棱锥P-ABCD的体积V=S·PD=店. 1 6 …10分 (3)解：因为AD∥BC,所以∠PBC即为异面直线PB与AD所成角（或补角）.…11分 因为PD⊥平面ABCD,DC,DBC平面ABCD,所以PD⊥DC,PD⊥DB. 所以PC=√PD2+DC=√5，PB=√PD2+BD2=√3.…13分 又因为BC=2,所以在△PBC中，由余弦定理，得PC2=PB2+BC2-2PB·BCcos∠PBC, 即5=3+4-2X,5X2cos∠PBC,解得c0s∠PBC=3 6 …15分 所以∠PBC为锐角，即∠PBC为直线PB与AD所成角， 所以直线PB与AD所成角的余弦值3， …17分 数学答案第6页（共6页）高一期中考试数学学科 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.复数(1一i)(4+i)的虚部为 A.5 B.3 C.-3i D.-3 2.已知a,b为两条不同的直线，a,B为两个不同的平面α，3，则下列命题为假命题的是 A.若a∥b,a⊥a,则b⊥a B.若m∥n,且m∥a,则n∥a或nCa C.若m⊥a,nCa,则m⊥n D.若aCa,bCa,a∥B,b∥B,则a∥B 3.已知向量a=(1,一2)，b=(3,4),若c满足(b-a)∥c且(c-b)⊥a,则c= A.(-1,3) B.(1,-3) C.(1,3) D.(-1,-3) 4.如图，△ABC的斜二测直观图为等腰直角三角形A'B'C',其中A'B'=√2，则△ABC的 面积为 B'/O A.2√2 B.2 C./2 5.在△ABC中，“AB+AC|>AB-AC”是“△ABC是锐角三角形”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行 D 电泳涂装.如图，该物件的上底面边长与侧棱长相等，且为下底面 边长的一半，一个侧面的面积为3√3，则正四棱台物件的高为 A B.1 C.√2 D.3 第1页（共4页） 7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若∠A=60°，b=2,其面积为23，则 a+b+c sin A+sin B+sin C A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知高为4的正四棱锥P一ABCD的所有顶点都在球O的表面上，若球O被平面ABCD 所截得的截面面积为8π，则四棱锥O一ABCD的体积为 A号 64 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法中正确的是 A.复数之=3+4i的模z|=5 a B.若复数之=1十：十2-i为纯虚数，则实数a=一2 C.已知m,n∈R,2i是关于x的方程x2+mx十n=0的一个根，则m+n=4 D若复数之满足|之一1|=2，则|之十i的最小值为2十√2 10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC外接圆的半径为2，且acos B+ bcos A=c(4cosA一1)，则下列结论正确的是 A.A=T 3 B.a=23 C.△ABC面积的最大值为3√3 D,若b-c=2,角A的平分线交BC于点D,则AD=√3 11.已知正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为2，点E,F分别是线段CD,BC的中点，平面 a过点A1,E,F且与正方体ABCD一A1B1C1D1形成一个截面图形，下面说法正确的是 A.直线A1E与BB1是异面直线 B.截面图形是一个五边形 C,若点I在正方形CDD,C,内（含边界位置），且1∈平面a,则点1的轨迹长度为Y3 D.截面图形的周长为2√13十√2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设是虚数单位，在复平面内，复数对应的点位于第 象限. 第2页（共4页） 13.如图，在△ABC中，AB=1,AC=2,∠BAC=120°，BD=2DA,C元=2EB,则CD. AE= 14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,BB1=1,点M是平面A1DCB1内的动 点，且MA⊥MC,则MC的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知平面向量a,b,c,其中a=(3,4) (1)若c为与a方向相同的单位向量，求c的坐标； (2)若b|=√5且a-2b与2a一b垂直，求向量a,b夹角的余弦值及向量b在向量a上 的投影向量的坐标 16.(15分)已知之是之的共轭复数. (1)求证：z·z=z|2; 1>5 (2)若复数之满足x+之>2求x的取值范围。 第3页（共4页） 17.(15分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，F,P分别为棱B1C1,AA1的中点. (1)设平面A1BD∩平面A1B1C1D1=l,求证：B1D1∥. (2)棱AD1上是否存在一点M,使PM∥平面DBF?若存在，求的1 二的值；若不存在， 请说明理由. D 18.(17分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a6c,且osC 2 cos A tan Btan C-1' (1)求B的大小； (2)若△ABC为锐角三角形且b=√3，求△ABC面积的取值范围. 19.(17分)已知四棱锥P一ABCD的底面是边长为2的菱形，PD=1,PD⊥底面ABCD. (1)求证：AC⊥平面PBD; (2)当直线PB与平面ABCD所成的角为45°时，求四棱锥P一ABCD的体积； (3)当BD=√2时，求直线PB与AD所成角的余弦值. D ---->。 第4页（共4页）