四川达州市第一中学校2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试题

**基本信息** 达一中高2024级春季第二次月考数学试卷，以随机变量、立体几何、导数等核心知识为载体，结合亚运会志愿者、人工智能利润等现实情境，通过基础判断、综合应用与创新探究的梯度设计，考查数学抽象、数据观念与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|随机变量、函数奇偶性、线性回归|基础概念辨析，如线性回归性质判断| |多选题|3/18|立体几何、概率分布、导数应用|正方体线面角、志愿者抽取概率，考查多项思维| |填空题|3/15|二项式系数、双曲线与抛物线、全概率|跨模块综合，如双曲线与抛物线焦点问题| |解答题|5/77|回归分析、数列证明、立体几何、概率期望、导数极值|结合AI利润预测（回归）、亚运会挑战得分（概率），综合考查数学建模与逻辑推理|

答题卡标识 ■ 请勿移除 ▣▣ 翻 达一中高2024级2026年春季第二次月考 数学答题卡 姓名： 班级： 贴码区 考场/座位号： 注意事项 (正面朝上，切勿贴出方框) 1.请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚 条码尺寸：50×20毫米 2.客观题答题，必须用2B铅笔填涂，修改时用橡 条码编码：codel28 皮擦干净 正确 洪名阁曾 缺考标记 口 填涂 填涂 一、 选择题：1-8小题，每小题5分，共40分 二、多项选择题：9-11小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对 的得部分，多选、错选的得0分。 1B☐GD 5□☑D 9A□B☐cD□ 2ABCD回 6A▣B□CD] 10A□B☐CD□ 3B□☑D☑ 7☑☑回 11AB□c□D 4B☐☑D回 8□D 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12 13. 14 禁止作答区域 口■ 第1页共6页 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.(13分) 第2页共6页 16.(15分) 第3页共6页 ■ 17.(15分) B ■ ■口 第4页共6页 达一中高2024级2026年春季第二次月考数学答题卡【背面】 18.(17分) 第5页共6页 19.(17分) ■ 第6页共6页 达一中高2024级2026年春季第二次月考 数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：李娟 审题人：蒋慧 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．已知随机变量,且,则的值为（　　） A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35 2．5. 已知是奇函数，当时，，则（ ） cA. B. 2 C. D. 3．下列说法中不正确的是（   ） A．线性回归直线必过样本数据的中心点 B．当样本相关系数时，成对数据正相关 C．如果成对数据的线性相关性越强，则样本相关系数就接近于1 D．残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低 4.已知数列是首项为4，公比为的等比数列，若成等差数列，则（    ） A．4 B．8 C．-4 D．-8 5.已知随机变量,则下列选项中不正确的为（   ） A． B．当取最大值时, C． D． 6. 已知的内角的对边分别为，且面积满足，则（ ） A. B. C. D. 2 7．设是一个随机试验中的两个事件,且,则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 8. 若是一个极值点，是一个零点，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角为 10．第十九届亚运会将于2023年9月在杭州举办．为了组建一支朝气蓬勃的赛会志愿者队伍，组委会欲从6名男志愿者，4名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的是（    ） A．设事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B：“抽取的3人中全是男志愿者”，则 B．设事件C：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则 C．用表示抽取的3人中女志愿者的人数，则 D．用表示抽取的3人中男志愿者的人数，则 11．已知函数的定义域为，为的导函数，满足且，则以下结论正确的是（    ） A． B．过原点且与相切的直线方程为 C．不等式的解集是 D．若恰有两个整数解，则k的取值范围是 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．若，则的展开式中含项的系数为__________. 13．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则点的横坐标为___________． 14.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品，,若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，则取出的这个产品是正品的概率_________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．） 15．某人工智能公司从某年起连续年的利润情况如下表所示. 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)计算出与之间的相关系数（精确到），并求出关于的回归直线方程； (2)根据回归直线方程，分别预测该人工智能公司第年和第年的利润. 参考公式：样本的回归直线为，其中，，，，，. 16．记各项均为正数的数列的前项和为，已知． (1)证明：数列为等差数列； (2)记，数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的取值 17．如图，平面四边形中且，绕旋转到的位置，使得且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥的高； (3)求二面角的正弦值. 18．某学校高三年级组织了一场校内知识竞赛，共有5个班级参与，每个班级推选1名学生代表参加，其中1名学生代表来自经常在知识竞赛中获奖的班级，以下简称A班代表，4名学生代表来自较少参与竞赛的班级，以下简称B班代表，学生甲是B班代表之一．在某一轮比赛中，随机选择两名学生代表进行比赛．若是同类班级代表比赛，则双方获胜的概率均为；若是A班代表与B班代表比赛，则B班代表获胜的概率为． (1)已知甲参赛，求在一轮比赛中，学生甲获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，增加了挑战赛，规则是某选手可向全场所有代表随机发起挑战，与每个代表进行一轮比赛．现学生甲向全场所有人发起挑战，若与A班代表比赛获胜得2分，与B班代表比赛获胜得1分，失败均获得0分，记比赛结束时学生甲获得的积分为X，求X的分布列与期望． 19．设函数. (1)证明：在区间上存在极值点； (2)已知为的一个极值点； （i）证明：； （ii）若，求实数的取值范围. 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达州市第一中学高二下第二次月考数学参考答案 一． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C A C A B B BCD ACD ABD 二． 12.-220 13.3 14.7/12 三．解答题（13+15+15+17+17） 15.（1）由题中数据可得， ，因此， ，，故回归直线方程为. （2）在回归直线方程中令，得. 令，得，因此预测第、年的利润约为亿元、亿元. 16.（1）因为，所以当时，， 因为，整理得，所以. 又，所以.当，， 展开移项化简，因式分解， 因为各项均为正数，所以，所以， 数列是以为首项，为公差的等差数列，所以. （2）由（1）可知，所以. , 要使，即，整理得， 因为在上递减，所以当时取得最大值为. 因为存在正整数，使得，所以，所以. 17.（1），与全等，，即， 又，且点是的中点，则，由点是的中点，可得， 与都在平面内，平面； （2）平面，且在平面内，∴平面平面， 在中作交于点，连接与， ∵平面平面，平面， 平面，即为四棱锥的高， 又，，且， 平面，同理可得，又， ∴四边形是正方形，，在直角中，，， 即四棱锥的高为2； （3）法1：， 与全等，过点作交于点，连接， 则，为二面角的平面角，， 在中，， ，则. 法2：由（2）知，两两垂直，以为坐标原点， 分别以有向线段为轴正方向建立如图空间直角坐标系. 则， 则，令为平面的一个法向量， 则， 令，得，则；令为平面的一个法向量， 则，令，得，则. 所以，所以二面角的平面角正弦值为 . 18.（1）设“对手为A班代表”，“对手为B班代表”，“甲获胜” 由题意可知，，，， 故. （2）由题意可知的取值为， ， ， ， ， ， ， 故X的分布列为： 所以. 19.（1）因为，所以， 令，得到， 当时，单调递减， 而，则存在，使得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，即有极大值点. （2）（i）因为函数，所以. 令，得，对满足方程的有，所以. 由函数与函数的图象可知，此方程无穷多个变号解即有无穷多个变号零点， 故有无穷多个极值点，因为为的一个极值点，故， 所以. （ii）因为为的一个极值点，所以， 所以 ，令， 因为，所以， 记，即，得到， 令，当时，在上单调递增， 得到， 此时在上单调递增，而，符合题意， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 因为，所以当时，， 可得在上单调递减，，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $