辽宁沈阳市第二中学2025-2026学年高三下学期考前自测数学试题

沈阳二中2025一2026学年度下学期模拟考试 高三(26届)数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 C A 0 B A C A 0 BCD BD BCD 3 12.120 13.- 14.3 4 S解，D6买5 1125-5×3×7075 55-5×32 10 =7.5,a=70-7.5x3=47.5, 4分 故经验回归方程为y=7.5x+47.5.对于表中第3个观测，入园游客量为71（百人）， .5分 预测值为y=7.5×3+47.5=70(百人)， 6分 残差为71-70=1（百人） 7分 (2)记从通道i入园的事件为A(i=1,2,3),从通道i离园的事件为B,(i=1,2,3), 由题意时得P(A-号4)=P心)-手PaA)-PH)=) P4)Pa4)F4)Pa4P4Pa4号合号品号 13分 16.解：(1)己知a=4,b=6,c=8,由余弦定理得： cos4= 2+c2-a2_36+64-16_84_7 2bc 2×6×8968 2分 因为A∈(0，)所以由同角三角函数关系得：simA=-cos2A 5 8 4分 △ABC的面积S=be sin=x6x8×5=35 2 8 6分 2》由正弦定理品6且8-2AmB=m242Sn4cos. 代入得 4 6 3 sinA 2sin AcosA ,约去sinA(sinA≠0)，解得cosA= 4 8分 则cosB=c0s2A=2c0s2A-1=2× 10分 由余弦定理a=B+c2-2bcc0sA,代入Q=4.b=6.c0s4名得：1636+62-2x6xcX3 4 整理得c2-9c+20=0,解得c=5或c=4. .13分 当c=4时，a=c=4,则A=C,B=21=A+C,即B-受此时cosB=0≠否矛盾，舍去 1 当c=5时，cosB-。+c2-16+25-36_,符合题意：故c=5. 2ac 2×4×58 15分 17.解：(1)在平面A4BB内作AD⊥AB交AB于点D,连接CD, 由45与o4=程寻行4D-3,所以4D4fD5变-4 又平面ABBA⊥平面ABC,平面ABBA∩平面ABC=AB, AD⊥AB,ADC平面ABBA,故AD⊥平面ABC,又因为CDC平面ABC,故 4DLCD,在A4A4C中，由AC=A4=5与cos∠44C=9 25 测4C=A4+4C2A4:AC-c0s∠A4C=25+25-2x5×2三32，即4C=42 在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=16,即CD=4,所以CD2+AD2=AC2,故CD⊥AD,即AB⊥CD, 又AD⊥AB,且AD∩CD=D,AD、CDc平面ACD,故AB⊥平面ACD， 因为ACc平面ACD,所以AB⊥AC,又因为四边形A4CC为菱形，故AC⊥AC, 又AC1∩AB=A,AB、AC1C平面ABC1,所以AC⊥平面ABC1. .7分 (2)由(1)知AB⊥平面ACD,AD⊥CD, 故以点D为坐标原点，分别以DC、DB、DA的方向为x、y、z轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系D-yz, 8分 Z 4 故A(0,-3,0)、A(0,0,4)、B(0,2,0)、C(4,0,0)、B(0,5,4), AB,=(0,8,4),AC=(4,3,0),A4=(0,3,4),则AC1=AC+A4=(4,6,4), B 设i=(x,y,)为平面ARC的一个法向量， i.AB,=8y+4z=0 n:4G=4+6y+4红=0'取y=2,得元=(0,24)， 则 10分 由(1)知AC⊥平面ABC1,且AC=(4,0,-4),故令m=(1,0,-1)为平面ABC1的一个法向量，12分 记二面角B-AC-B的平面角为0（显然0为锐角），故cos0= m55√42 园√2x√2142 2 即二面角B-AC-B的余弦值为5V42 .15分 42 18.解：(1)设C的焦距为2c,则由题意 ,解得a=2b,因为直线1：x=2交C于D,E两点， d=b2+c2 +京1得4+ 所以，将x=2,a=2b代入椭圆c:+二 得4花+=1，解得y=±6-1，所以D到=2V-1, 因为ABDA=2B-1=4b6:-1=83,解得B=4,所以C的方程为5+ .…4分 (2)由(1)知：直线l为线段OB的中垂线，故GH为圆F的直径，所以∠GOH=90°， 设G(2,yg),H(2,ya),则有oG.O豆=0，即ycyH=4, （i)分别呢直战识0前舞率为志，则2一名2汽到0-司 .9分 (ii)设P(5,片)，2(x,乃)，直线P9的方程为x=y+n(n≠4)， G x =my+n D 联立三+兰-1可得(r+4P+2mw+r-16=0, 164 A64m+16->0,耳+y-飞 m2+4 ，.10分 由站用6气卿0利) 1 X=2 化简得：(m2+9)+m(+4)(+乃)+(+4)=0， 代入得：r+9)-m+424-0,即c+9)是4m m2+4 m2+4 2m+n+4=0, )m2+42+4 化简得13m-20=0,即1=8，所以直线P2恒过定点了 ..13分 由AP=3AM,AO=3AN知MN∥P2,所以直线N也过定点R,且A7=3AR, 15分 显然原点0在线段IR上，故点O到直线PO,W的距离之和为平行线PO,MW间的距离d,且d≤风袋， 故当直线PO,N垂直于x轴时，点O到直线PO,W的距离之和达最大值 13 17分 19.解：(1)当a=1时，f(x)=2sinx-x,xe[0,],则f'"(x)=2cosx-1, 令f(e>0,则csr>行即0x<号：令f)K0,则coax<号即于<x<元 所以e在0写上单调递增，在[行上单调递减，又0)-0)-5号网=， 3 所以f(:)的值域为 x6- …4分 2)由f（y)2cosr,得2sir-XCOSY-a20,设d)=2simr-CO-a,xG0,2 则h(0)=0, h'(x)=2cosx-cosx+xsinx-a=cosx+xsinx-a,g (x)=cosx+xsinx-a,g(x)=xcosx, 所以当o引，g0,所以a月单运0，所以-a=0s公)子a ①当a≥时，（四≤0，(y在0写上单调递减，则M()≤0，不满足题意： ②当1<a受时，360使得M)=0, 当0<x<时，h(x)<0,h(x)在(0，)上单调递减，则h(x)≤h(0)=0,不满足题意： ®当as1时，(20（在0 上单调递增，则h(x)≥h(0)=0,满足题意。 综上可得a≤1，即实数a的取值范围是(-o,1]. 9分 3》由(2》得，当a=1时.任意（0 2sir-XCOSN--x>0恒成立，即tan5=,simc>, 2 1+cosx 2' 1、1 1 所以tan, +(n+D)(n+2)n+1 niz(nN), 111 1 所以ta宁+ta字+tam +tan (n+1)2 11,11,11 23344开+工1-上1” n+1n+22n+22n+4 13分 令p是-m0牙刻p)-xee, πcos2xπCos2x 存在飞0引使得p(代)=0 则当0)时，p(0:当e副时，p(0, 于是p(y在(Q)止单调递指，在（飞，）上单调递减，而pO)=P(日到-0， 所以p(x)>0,即当0<x<时， -x>tanx 4 m+D天元m+ 所以ta 1418111 `元加+1n+3eN), 所如字m时+m宁+m非得-时片+沿小会 1 1,1 (n+1元35+57+ 综送4 cl+) 1 1 2n+4 17分沈阳二中2025一2026学年度下学期模拟考试 高三(26届)数学试题 命题人：高三数学组 审校人：高三数学组 说明：1、考试时长120分钟，满分150分 2、考生务必将答案答在答题卡相应位置，在试卷上作答无效 第I卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合A=xeZ+2≥0，B=xr-x-2≤0，则4nB=() 3-x A.[-1,2] B.（-n,-2]U(3,+0) C.{-1,0,1,2} D.0,1,2 2.已知复数==+(m-2)i(m∈R)在复平面内表示的点在直线2x+y-1=0上，则复数z的共轭复数三=() A.1+i B.1-i c.-1-i D.-1+i 3.抛物线C:y=2x2的准线方程为() A=号 B.y=号 C.x=-1 8p D.y=-1 8p 4.已知各项均为正数的等比数列a,}的前n项和为S,且满足4,3a,-4成等差数列，则受=（) A.80 B.82 C.15 D.17 5.甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，且三人的选择相互独立.设事件A=“三个人去的 景点各不相同，事件B=“甲去了第1个景点”，事件C=“乙去了第1个景点”，则下列说法错误的是() A.B与C互斥 B.A与B相互独立 C.P(4)=3 9 D.P(l) [-x2+d2,x≤0 6.已知函数f(x)= ae-x2,x>0 在R上单调递增，则a的取值范围是() 2 A.(0,1] c.c1 7.如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,△ABD和△BCD都是等腰三角形，且∠ADB=120°， BC⊥BD,BD=6,则三棱锥A-BCD外接球的表面积为() 第1页共4页 A.180π B.220元 C.260元 D.300π D 8设随机变量X的分布列为P(K=),本=128，且PX≤=生4，剥() A.数列{a}是等比数列 B.P(X=2)-12 C.数列 }前7项之和为号 1 a t D.80=号 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.样本相关系数”越大，则线性相关性越强 B.回归直线)=br+a必过样本中心点(：，) C.数据8,6,4,11,3,7,9,10的第75百分位数为9.5 D.若随机变量X~N(10,o2),则o越大，P(9.8<X<10.2)越小 l0.已知函数f(x)=Asin(ar+p), 〔40a>a到 的部分图象如图所示，下列选项正确的是() A.f(r)的图象关于直线x=- 7π 对称 12 B.将函数y=5sm2x-cos2x的图象向左平移牙个单位得到函数f()的图象 12 cf儿四的图条关于点(-雪0对陈 D.若方程fy)=m在刀，3江 6’4 上有两个不相等的实数根，则m的范围是(-2，- 11.设三次函数f(x)=ax+bx2+cx+1,其中a>0,则下列说法正确的是() A当：1时，若函数倒的对称中心为1号到 则)- B.当b=0时，函数f(x)的图象关于点(0,1)中心对称 C.当a=1时，若f(x)的两个极值点为x,x（:<x),且x2=2x,则27c=82 D.当b=1时，若f(9有三个相异且成等差数列的零点，则实数a的取值范围为0,5 9 第2页共4页 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 2+(2x-)的展开式中xy的系数为 (用数字作答) 13.单位圆0的内接△ABC,满足2OA+3OB+4OC=0,则OA.AB=」 14已知双曲线苦后-1Q>80)的左、右焦点分别为片，片，点4在B的有支上，若m∠4码居 且直线A?与E的一条渐近线垂直，则E的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分)某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，5天的人园游客量统 计数据如下： 活动开展第x天 1 2 3 4 5 人园游客量y(百人) 53 64 71 79 83 ()由数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求回归方程y=x+à以及表中第3个观测的残差； (2)该景区在活动期间设置3个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客人园时选择通道①、②、③ 的概率依次为手，号：蕾务离园时，从原先入园适道离园的概率为宁，从另丙个酒道离园的率均为6 求游客从通道①离园的概率， -y 回归直线方程y=x+a,其中b= 立y-y 附：参考公式：相关系数 儿--w ∑-nx a=y-bx 参考数据： 会%=125，-5，-25076,0316. 16.(本题满分15分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知a=4,b=6. (I)若c=8,求△ABC的面积： (2)若B=2A,求cosB和C的值： 第3页共4页 17.(本题满分15分)如图，在三棱柱ABC-AB,C中，平面ABBA,⊥平面ABC,AB=AC=AA1=5,且 cos∠4AB=3, 5·cos∠4AQ= B (1)证明：AC⊥平面ABC1: (2)求二面角B-AC1-B的余弦值. 18.(本题满分17分)已知椭圆C:+卫 ,+克=1(a>b>0的离心率为3，左、右顶点分别为A,B,直线1：x=2 交C于D,E两点，且四边形ADBE的面积为8√3· (1)求C的方程： (2)动圆F过原点O和点B,且与1交于G,H两点，直线AG,AH分别交C于另一点P,Q. (i)求证：直线AP,AQ的斜率之积为定值： (iⅱ)点M,N满足AP=3AM,Ag=3AN,求O到直线PO,N的距离之和的最大值. 19.(本题满分17分)已知函数f(x)=2six-ax. (1)当a=1时，求函数f(x)在[0，元上的值域： Q法对任意e0引，都有了2o,求实数a的取值范国。 n 1 1 1 (3)证明：2n+4 +tan- tan- +tan_ 0+...+tan。<—（2∈丁*) (+13元 第4页共4页