精品解析：2026年湖南长沙市初中学业水平考试仿真密卷 数学（B卷）

2026年长沙市初中学业水平考试仿真密卷 数学（B卷） 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在标准大气压下，液态氧的沸点是，液态氨的沸点是，酒精的沸点是，水的沸点是．其中沸点最低的液体是（ ） A. 液态氧 B. 液态氨 C. 酒精 D. 水 2. 新时代中国科技事业蓬勃发展，年月北京大学科研团队成功研制出目前国际上尺寸最小、功耗最低的铁电晶体管，将铁电晶体管的物理栅长缩减至极限．已知，用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个由个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是( ) A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某冰箱说明书标明冷藏室温度要求为“高于且不高于”，则温度要求在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的直角顶点与矩形的顶点重合，点在上，交于点．若，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某商品的进价为元/件，销售时每件商品加价元，在促销活动中每件商品又打折出售，则该商品打折后的售价是（ ）元 A. B. C. D. 8. 如图，是的外接圆，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 周末小明和小强到射箭馆练习射箭，第一局支箭射完后，两人的成绩如图所示．根据图中的信息，小明和小强两人中成绩较稳定的是（ ） A. 小明 B. 小强 C. 一样 D. 不确定 10. 如图是某古建筑的扇形窗花造型，点，分别是，的中点，，图中阴影部分的面积为，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 12. 已知正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的内角和度数为______． 13. 如图，若棋盘中“馬”的坐标是，“卒”的坐标是，则“相”的坐标是________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．若点和点的坐标分别为，，，则的长为________． 15. 年，长沙市中小学全面实施“活力课间15分钟”行动，鼓励学生走出教室参与体育锻炼．某校在课间开设了花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目．甲、乙两位同学各自从这三项中随机选择一项参加，且两人选择相互独立．则他们恰好都选择花样跳绳的概率是________． 16. 将正面记为，，，，的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 ， ， ， ， ， 两数和 根据以上信息，最大数所对应的卡片编号为________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，过点作，点是边上的一点，且，，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. 长沙市某学校开展“劳动教育月”活动，活动设置了四个项目供学生选择：A．校园清洁；B．食堂帮厨；C．植物养护；D．手工制作．要求每个学生必须且只能选择一项参加，为了解全校选择各项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是________，并将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，项目所占的百分比为，则________，项目所对应扇形的圆心角为________； （3）该校参加活动的学生共人，请估计选择项目的学生有多少人？ 21. 如图，在中，，分别为，的中点．是上一定点，按以下步骤尺规作图： ①以点为圆心、为半径作弧，交于另一点； ②分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，交于点，点在的延长线上，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，，求的面积． 22. 在“青春长沙·志愿服务月”活动中，某街道办计划采购一批保温杯和雨伞发放给参与社区服务的志愿者．已知采购个保温杯和把雨伞共需元；采购个保温杯比采购把雨伞多花元．请解答下列问题： （1）求保温杯和雨伞的单价； （2）根据活动预算，本次计划采购保温杯和雨伞的总数为，且总费用不超过元．请问最多可以采购保温杯多少个？ 23. 某综合实践活动小组，尝试利用无人机（无人机限高）测算某广播电视发射塔的高度，设计了如下两种方案： 【方案一】如图，无人机从点竖直上升到离地面高度为的处，测得与塔顶处的仰角为，与塔底处的俯角为．（参考数据：，） 【方案二】如图，无人机从点竖直上升到离地面高度为的处，测得与塔顶处的仰角为；继续竖直上升到离地面高度为的处时，测得与塔顶处的仰角为．（参考数据：，，） （1）请选择其中一种可行的测算方案：________；（填“方案一”或“方案二”） （2）根据（1）中选择的方案，求该发射塔的高度．（结果保留整数） 24. 如图，在菱形中，为对角线，点是边上一点（不与点，重合），连接交于点，以为直径的半圆分别交，于点，．已知，． （1）若半圆与直线相切，求的长； （2）设（为锐角），，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； （3）如果半圆与直线的另一交点为点，是否存在半圆使得四边形有一组对边相互平行，若存在，请求出半圆的半径；若不存在，请说明理由． 25. 在平面直角坐标系中，对于某个函数图象上的任意两点，，定义它们的高低差为．即右边点的纵坐标减去左边点的纵坐标．根据定义，回答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①若，是正比例函数的图象上的点，则；（ ） ②若，是反比例函数的图象上的点，则；（ ） ③若，是二次函数的图象上的点，则；（ ） （2）已知一次函数与二次函数的图象交于，两点，点是二次函数图象上的一点，点与点的横坐标之和为，求的最小值． （3），是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为，若对于，，都有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年长沙市初中学业水平考试仿真密卷 数学（B卷） 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在标准大气压下，液态氧的沸点是，液态氨的沸点是，酒精的沸点是，水的沸点是．其中沸点最低的液体是（ ） A. 液态氧 B. 液态氨 C. 酒精 D. 水 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ∴沸点最低的液体是液态氧． 2. 新时代中国科技事业蓬勃发展，年月北京大学科研团队成功研制出目前国际上尺寸最小、功耗最低的铁电晶体管，将铁电晶体管的物理栅长缩减至极限．已知，用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，要求满足，对于小于1的正数，的绝对值等于原数第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）； 【详解】解：． 3. 如图是一个由个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主视图是从正面看到的平面图形，据此观察该立体图形即可解答． 【详解】解：它的主视图是． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂的乘方法则、单项式除法法则、合并同类项法则、平方差公式，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：∵，∴A错误； 选项B：∵，∴B错误； 选项C：∵，∴C错误； 选项D：∵，符合平方差公式，计算正确． 5. 某冰箱说明书标明冷藏室温度要求为“高于且不高于”，则温度要求在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意确定温度的取值范围，再根据“大于向右，小于向左，包含用实心，不包含用空心”的原则在数轴上表示即可； 【详解】解：冷藏室温度要求为“高于且不高于” ， 温度的取值范围是， 在数轴上表示如图， 观察选项可知，C选项符合题意． 6. 如图，的直角顶点与矩形的顶点重合，点在上，交于点．若，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，根据角平分线的定义求出，利用矩形对边平行得到内错角相等求出，最后利用平角的定义计算的度数； 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， 四边形是矩形， ， ， 点、、在同一直线上， ． 7. 某商品的进价为元/件，销售时每件商品加价元，在促销活动中每件商品又打折出售，则该商品打折后的售价是（ ）元 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵商品进价为元/件，销售时每件加价元， ∴加价后的价格为元， 又∵促销活动中打折出售，即售价为加价后价格的倍， ∴打折后的售价为元． 8. 如图，是的外接圆，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数； 【详解】解：，  ， ，  ， ． 9. 周末小明和小强到射箭馆练习射箭，第一局支箭射完后，两人的成绩如图所示．根据图中的信息，小明和小强两人中成绩较稳定的是（ ） A. 小明 B. 小强 C. 一样 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的意义，方差越小，数据越稳定．观察折线统计图，比较两人成绩的波动情况即可得出结论； 【详解】解：观察折线统计图可知，表示小明成绩的虚线波动较大，表示小强成绩的实线波动较小， 数据的波动越小，成绩越稳定，  小强的成绩较稳定． 10. 如图是某古建筑的扇形窗花造型，点，分别是，的中点，，图中阴影部分的面积为，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据中点性质得出，利用扇形面积公式表示出阴影部分面积，建立关于的方程求解即可； 【详解】解：设， 点，分别是，的中点， ， ， ，整理得， 解得：， ， ， 即的长是． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是关键，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：若在实数范围内有意义， ∴， 解得，， 故答案为：． 12. 已知正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的内角和度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和、外角和定理，掌握多边形的内角和、外角和定理是解题的关键．根据正多边形的外角和定理可求解多边形的边数，再由多边形的内角和定理可求解． 【详解】解：多边形的边数为：， 则这个正多边形的内角和度数为， 故答案为：． 13. 如图，若棋盘中“馬”的坐标是，“卒”的坐标是，则“相”的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“馬”和“卒”的坐标建立平面直角坐标系，即可求得“相”的坐标； 【详解】解：“馬”的坐标是，“卒”的坐标是，  如图所示建立平面直角坐标系： 观察图形可知，“相”的坐标是． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．若点和点的坐标分别为，，，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据点和点的坐标求出位似比，利用位似图形对应边成比例计算即可． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ，， 以原点为位似中心放大后得到， ， ， ， ， ． 15. 年，长沙市中小学全面实施“活力课间15分钟”行动，鼓励学生走出教室参与体育锻炼．某校在课间开设了花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目．甲、乙两位同学各自从这三项中随机选择一项参加，且两人选择相互独立．则他们恰好都选择花样跳绳的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先用列表法得出甲、乙选择运动项目所有等可能的结果总数，再找出两人恰好都选择花样跳绳的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：令花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目分别为A、B、C， A B C A B C 根据表格可得共有9种等可能的结果，其中两人恰好都选择花样跳绳的结果只有种， 根据概率公式可得：． 16. 将正面记为，，，，的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 ， ， ， ， ， 两数和 根据以上信息，最大数所对应的卡片编号为________． 【答案】 【解析】 【分析】设五张卡片对应的数分别为，根据表格数据列出方程组，通过方程变形求出各数的值，比较大小即可确定最大数对应的卡片编号； 【详解】解：设卡片对应的数分别为， 由题意得，  得，即， 得，即， ， 把代入得， 解得， 把代入①解得：， 把代入②解得：， 把代入③解得：， 把代入④解得：， ∵， ∴， ∴最大数所对应的卡片编号为E． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据绝对值的性质、立方根的定义、零指数幂、负整数指数幂的运算法则化简每一项，再合并计算得到结果． 【详解】解：      ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先将括号里面的进行通分，再乘以倒数，利用平方差公式进行变形，最后约分即可化简；将x=-2代入化简得结果，即可求出值． 【详解】解：原式 . 当时，原式. 【点睛】本题主要考查了分式的通分以及平方差公式，能够熟练通分以及平方差公式变形是解决本题的关键． 19. 如图，在中，过点作，点是边上的一点，且，，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用边角边的判定定理即可证明全等； （2）由全等可得，，利用三角形外角的性质计算出，再计算出即可． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴． 20. 长沙市某学校开展“劳动教育月”活动，活动设置了四个项目供学生选择：A．校园清洁；B．食堂帮厨；C．植物养护；D．手工制作．要求每个学生必须且只能选择一项参加，为了解全校选择各项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是________，并将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，项目所占的百分比为，则________，项目所对应扇形的圆心角为________； （3）该校参加活动的学生共人，请估计选择项目的学生有多少人？ 【答案】（1），图见解析 （2）； （3）选择项目的学生约有人． 【解析】 【分析】（1）根据项目C的人数和占比，反推样本容量，再计算出项目B的人数，之后补全统计图即可； （2）根据项目B的人数计算占比，从而求出；将项目C的占比乘以即可得到所占圆心角； （3）计算出项目D在样本中的占比，乘以参加活动的学生总数即可． 【小问1详解】 解：根据统计图可得，选择项目C的学生有90人，占比， ∴调查的学生数为（人）， ∴样本容量为， ∴选择项目B的学生数为（人）， 条形统计图补全如下： 【小问2详解】 解：， ∴， ， ∴项目所对应扇形的圆心角为； 【小问3详解】 解：（人）． 答：选择项目的学生约有人． 21. 如图，在中，，分别为，的中点．是上一定点，按以下步骤尺规作图： ①以点为圆心、为半径作弧，交于另一点； ②分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，交于点，点在的延长线上，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由中位线的性质可得，结合可判定四边形是平行四边形，由尺规作图可知，，因此命题得证； （2）容易判断是等腰直角三角形，则，从而计算出，，，由矩形的性质可得，最后计算的面积即可． 【小问1详解】 证明：∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， 由尺规作图可知，， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 22. 在“青春长沙·志愿服务月”活动中，某街道办计划采购一批保温杯和雨伞发放给参与社区服务的志愿者．已知采购个保温杯和把雨伞共需元；采购个保温杯比采购把雨伞多花元．请解答下列问题： （1）求保温杯和雨伞的单价； （2）根据活动预算，本次计划采购保温杯和雨伞的总数为，且总费用不超过元．请问最多可以采购保温杯多少个？ 【答案】（1） 保温杯单价为元，雨伞单价为元； （2） 最多可以采购保温杯个. 【解析】 【分析】（1）根据题干给出的两种采购花费的条件，设未知数列二元一次方程组求解即可得到单价； （2）根据总费用不超过预算的条件，列一元一次不等式，求解后得到最大采购数量； 【小问1详解】 解：设保温杯的单价为元，雨伞的单价为元， 根据题意得， 解得：， 答：保温杯单价为60元，雨伞单价为35元； 【小问2详解】 解：设采购保温杯个，则采购雨伞个， 根据题意得， 解得：， 答：最多可以采购保温杯30个． 23. 某综合实践活动小组，尝试利用无人机（无人机限高）测算某广播电视发射塔的高度，设计了如下两种方案： 【方案一】如图，无人机从点竖直上升到离地面高度为的处，测得与塔顶处的仰角为，与塔底处的俯角为．（参考数据：，） 【方案二】如图，无人机从点竖直上升到离地面高度为的处，测得与塔顶处的仰角为；继续竖直上升到离地面高度为的处时，测得与塔顶处的仰角为．（参考数据：，，） （1）请选择其中一种可行的测算方案：________；（填“方案一”或“方案二”） （2）根据（1）中选择的方案，求该发射塔的高度．（结果保留整数） 【答案】（1）方案二 （2）发射塔的高度约为 【解析】 【分析】（1）根据题意，分析两个方案的可行性，即可得出答案； （2）分别过点、作的垂线，垂足为、，设，容易证明四边形和四边形都是矩形，则，，．容易判断是等腰直角三角形，则，．在中，利用三角函数构造方程，求解出的值，进而计算出的高度． 【小问1详解】 解：对于方案一，缺少塔底到中心点的距离，则点与点的位置不固定，因此无法计算出发射塔的高度； 对于方案二，可以构造直角三角形，利用仰角的变化和高度的变化构造方程，计算出发射塔的高度，故选择方案二； 【小问2详解】 解：如图，分别过点、作的垂线，垂足为、，设， 根据题意，，， ∴， ∵、、， ∴四边形是矩形， ∴， 同理，四边形也是矩形， ∴，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴ ， 解得， ∴． 答：发射塔的高度约为． 24. 如图，在菱形中，为对角线，点是边上一点（不与点，重合），连接交于点，以为直径的半圆分别交，于点，．已知，． （1）若半圆与直线相切，求的长； （2）设（为锐角），，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； （3）如果半圆与直线的另一交点为点，是否存在半圆使得四边形有一组对边相互平行，若存在，请求出半圆的半径；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，半圆的半径为 【解析】 【分析】（1）由切线的性质可得，由菱形的性质可得，，使用三角函数和勾股定理可计算出，，由平行可判定，则，因此； （2）连接交于点，作于点，连接，由（1）可知，，，使用勾股定理可计算出．由菱形的性质可得，，，，，从而计算出，．由圆周角定理可得，从而证明，计算得，，由平行可判定，则，计算得，则．由可得，因此，再结合点的位置，求出的取值范围； （3）分类讨论，当时，设，容易证明 ，则，即 ，将（2）中求出的代数式代入，解得；当 时，同理可得，解得，与题意矛盾． 【小问1详解】 解：∵半圆与直线相切， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 在中， ， 由勾股定理可得， ， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接交于点，作于点，连接， ∵， ∴， ∵点在边上，且不与点，重合， ∴， ∴，即， 由（1）可知，，， ∴， 由勾股定理可得，， ∵四边形是菱形， ∴，，，， 由勾股定理可得，， ∴， ∵是半圆的直径， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：①当时，如图，设， 由（2）可知，， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， 整理，得。 解得或（与题意矛盾，舍去）； ②当 时，设， 由（2）可知，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ∴， ∴ ， 整理，得， 解得，与题意矛盾，故舍去； 综上所述，半圆的半径为． 25. 在平面直角坐标系中，对于某个函数图象上的任意两点，，定义它们的高低差为．即右边点的纵坐标减去左边点的纵坐标．根据定义，回答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①若，是正比例函数的图象上的点，则；（ ） ②若，是反比例函数的图象上的点，则；（ ） ③若，是二次函数的图象上的点，则；（ ） （2）已知一次函数与二次函数的图象交于，两点，点是二次函数图象上的一点，点与点的横坐标之和为，求的最小值． （3），是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】（1） ①×，②×，③√ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入点M和点N的横坐标到对应的函数解析式中，分别得到在不同函数解析式中的纵坐标，根据定义，作差计算即可判断说法是正确还是错误； （2）代入点A的坐标，求出一次函数的解析式，再联立一次函数与二次函数的解析式，表示出B的坐标，由点P的横坐标与点A的横坐标之和为4，可知点P的横坐标为3，代入，得到纵坐标，根据定义表示出，再根据的取值范围找出最小值即可； （3）由对称轴得到，分别用和表示出和，分类讨论和的大小，并表示对应的，再根据所得式子，令其中的因式之积大于0即可求出取值范围． 【小问1详解】 解：①令，则 ， 令，则 ， ∴ ，故原说法错误； ②令，则， 令，则， ∴，故原说法错误； ③令，则 ， 令，则 ， ∴ ，故原说法正确； 【小问2详解】 解：代入，得， ， ∴ ， ∴一次函数，二次函数 ， 联立，得 ， 整理，得 ， ∴点B的横坐标为， ∴点， ∵点P的横坐标与点A的横坐标之和为4，点A的横坐标为1， ∴点P的横坐标为， 令，则 ， ∴， ∵， ∴ ， ∴点P在点B的右边， ∴ ， ∵， ∴ ，即的最小值为15； 【小问3详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴ ，即， ∴ ， 令，则 ， 令，则 ， 分两种情况， 第一种，若，则， ∵， ∴ ， 第二种，若，则， ∵， ∴， 综上，两种情况下，均只要满足 ，则 ， 又 ， ， ∴当，同时取得下限的值时，可知 ， ∴若 恒成立，则 ， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $