精品解析：河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高三下学期考前测试（B）数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三下期三模测试（B） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求出集合，结合交集的概念求解即可. 【详解】由题意知. 因为，所以. 故选：C. 2. 若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 A. （–∞，1） B. （–∞，–1） C. （1，+∞） D. （–1，+∞） 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B. 【考点】复数的运算 【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量. 3. 设，均为单位向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用定义法，分充分性和必要性分别讨论. 【详解】充分性：因为，所以，即，展开得： . 因为，均为单位向量，所以，所以，即. 所以充分性满足. 必要性：因为，且，均为单位向量， 所以. 同理可求：，所以. 故必要性满足. 故选：C 4. 雷锋精神是我国宝贵的精神财富．2020年3月份，某班从甲、乙等5名学生中随机选出2人参加校团委组织的“扶贫帮困”志愿活动，则甲被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数求得从5名学生中任选两人的总的选法种数，然后求得甲一定被选中的选法种数，利用古典概型的概率公式计算即得. 【详解】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，共有种情况， 甲被选中共有种情况，所以甲被选中的概率， 故选:B． 5. 如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果正方体的棱长是，那么石凳的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知求得正方体的体积，减去八个正三棱锥的体积得答案． 【详解】解：由题意可知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥， 体积是：， 正方体的体积为：， 则石凳的体积是：． 故选：B． 【点睛】本题考查正方体与三棱锥体积的求法，是基础的计算题． 6. 将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ） A. ，的最小值为 B. ，的最小值为 C. ，的最小值为 D. ，的最小值为 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，， 可得， 因为 位于函数的图象上 所以， 可得， s的最小值为，故选A. 【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换. 7. 已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列.这个新数列的各项之和为（ ） A. 1470 B. 1472 C. 1882 D. 1642 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出两个数列，相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可. 【详解】有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200， 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182是两个数列的相同项. 共有个，也是等差数列， 它们的和为， 故选：B 8. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）.给出下列三个结论： ①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】对①：计算出所有整点即可得；对②：借助基本不等式即可得；对③：借助割补法计算即可得. 【详解】根据题意，曲线， 当时，曲线的方程为， 当时，曲线的方程为， 则曲线关于轴对称， 对于①，曲线， 当时，，所以，即曲线经过，； 当时，方程为，有， 解得，所以只能取整数1， 当时，有，解得或，即曲线经过，， 根据对称性可得曲线还经过，，所以曲线一共经过6个整点，①正确； 对于②，当时，曲线的方程为， 则有，变形可得，当且仅当时等号成立， 又由曲线关于轴对称，则曲线上任意一点都满足， 即曲线上任意一点到原点的距离都不超过，②正确； 对于②因为在轴上方，曲线围成图形的面积大于四点，， ，围成的矩形面积， 在轴下方，图形面积大于三点，， 围成的等腰直角三角形的面积， 故曲线所围成的“心形”区域的面积大于3，③错误 故选：A． 【点睛】关键点点睛：判断结论③的关键在于结合所得整点坐标，借助割补法得到在轴上方，曲线围成图形的面积大于四点，，，围成的矩形面积，在轴下方，图形面积大于三点，，围成的等腰直角三角形的面积. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面说法正确的是（ ） A. 若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4 B. 若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 C. 已知是随机变量，则 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 【答案】BC 【解析】 【分析】利用方差的性质判断A；根据等差数列的性质及中位数定义判断B；根据判断C；由相关系数的实际意义判断D. 【详解】A：由数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差，错； B：对于等差数列， 若正整数，则， 若正整数，则， 又等差数列的平均数为， 结合中位数定义及等差数列的性质，易知中位数也为，对； C：由于一组数据的方差，且，则，对； D：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于1，错. 故选：BC 10. 已知函数的定义域为，，则（ ）． A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点 【答案】ABC 【解析】 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 11. 在圆锥中，轴截面是边长为的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于底面），则下列说法正确的是（ ） A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 抛物线的焦点到准线的距离为 D. 双曲线的离心率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用平面几何知识可判断AB，建立直角坐标系分别求出抛物线和双曲线的方程可判断CD. 【详解】对于A，底面半径为，圆锥高．为的中点，所以截面圆的半径为底面圆的半径的， 即截面圆半径为，则圆的面积为，故A正确； 对于B，如图1，在圆锥的轴截面中，作于点，则，， 所以椭圆的长轴长，故B正确； 对于C，如图2，设抛物线与底面圆的一个交点为，以为原点，为轴，在平面中建立平面直角坐标系如图2， 则，，所以，设抛物线方程为，则，解得， 则抛物线的焦点到准线的距离为，故C正确； 对于D，如图3，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点与点到底面的距离相等， 且在轴上，则，双曲线与底面圆的一个交点为， 设双曲线方程为，则，将代入双曲线方程得，解得，所以， 故双曲线的离心率为，故D错误． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】令，得，则． 13. 圆心在直线上，并且经过圆与圆交点的圆的方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆系方程求解. 【详解】设经过两圆交点的圆的方程为，即，圆心坐标为，将其代入直线解得．所以圆的方程为． 故答案为： 14. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用向量旋转公式求出向量，再结合平面向量的坐标运算即可求得点坐标. 【详解】由题意可知，把点绕点逆时针方向旋转，得到点， 设，则， 所以，解得， 所以点的坐标为, 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，． （1）求； （2）求边上的高． 【答案】（1）∠A=；（2）AC边上的高为． 【解析】 【分析】（1）方法一：先根据平方关系求,再根据正弦定理求，即得； （2）方法一：利用诱导公式以及两角和正弦公式求，即可解得边上的高． 【详解】（1）［方法一］：平方关系＋正弦定理 在中,∵.由正弦定理得 ［方法二］：余弦定理的应用 由余弦定理知．因为，代入上式可得或（舍）．所以，又，所以． （2）［方法一］：两角和的正弦公式＋锐角三角函数的定义 在△ABC中， ∵=． 如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==， ∴AC边上的高为． ［方法二］：解直角三角形＋锐角三角函数的定义 如图1，由（1）得，则． 作，垂足为E，则，故边上的高为． ［方法三］:等面积法 由（1）得，易求．如图1，作，易得，即．所以根据等积法有，即， 所以边上的高为． 【整体点评】（1）方法一：已知两边及一边对角，利用正弦定理求出； 方法二：已知两边及一边对角，先利用余弦定理求出第三边，再根据余弦定理求出角； （2）方法一：利用两角和的正弦公式求出第三个角，再根据锐角三角函数的定义求出； 方法二：利用初中平面几何知识，通过锐角三角函数定义解直角三角形求出； 方法三：利用初中平面几何知识，通过等面积法求出． 16. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最大整数n． 【答案】（1）证明见解析 （2）99 【解析】 【分析】（1）对原等式进行化简，根据等比数列的定义判断证明即可. （2）先根据等比数列的通项公式计算，然后利用等比数列前项和公式计算结果即可. 【小问1详解】 由题意，数列满足，可得， 可得，即， 又由，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 设数列的前项和为， 则 ， 若，即，因为函数为单调递增函数， 所以满足的最大整数的值为． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 18. 如图甲，多边形是由一个等腰三角形和一个菱形组成，其中.现将沿翻折，点翻折到点的位置，得到四棱锥如图乙所示. （1）求证:； （2）如图乙，若二面角的大小为点为的重心，点在线段上，且. (i)求证:平面; (ii)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析 （ii） 【解析】 【分析】（1）要证明线线垂直，可证明垂直于含有的平面即可. （2）（i）建立空间直角坐标系，利用已知条件将点的坐标表示出来，然后将平面的法向量求出来，最后利用向量的数量积是否为0即可证明；（ii）将平面的法向量求出来，基于（i）中求出的平面的法向量，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其正弦值. 【小问1详解】 证明：取的中点，连接. 因为为等腰三角形，点为的中点， 所以，因为四边形为菱形， 所以，所以. 因为四边形为菱形， 所以为等边三角形，所以，进而. 又，所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 （i）以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，二面角的大小为120°，所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则. 所以. 所以与平面的法向量垂直，所以平面. （ii），，设平面的法向量为， 则，所以，令，则 ，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 19. 在平面直角坐标系中，点到点的距离是它到直线距离的倍，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点为的下顶点，直线过点且垂直于轴（位于原点与上顶点之间），过的直线交于两点，直线分别交于两点. （i）证明：为定值； （ii）是否存在实数使得四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）设，将题设中的几何性质代数化后可求的方程； （2）（i）设，联立直线方程后可用的坐标表示，再设的直线方程，并联立双曲线方程，消元后结合韦达定理化简可得定值；（ii）根据四点共圆可得对角互补，从而，结合（2）中结果化简前者可求. 【小问1详解】 设，由题意可知， 化简整理得：， 故的方程为. 【小问2详解】 （i）由题意可知，设， 则直线，直线， 因为在直线上，所以，代入直线方程，可知， 故点的坐标为，同理可得点的坐标为. 当直线斜率不存在时，显然不符合题意， 故设直线，代入双曲线方程中， 可得， 所以， 又 ， 所以. （ii）由四点共圆可知，， 又，即， 故， 即，所以. 所以，又，由， 则，整理可得， 所以， 故，即，所以点坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三下期三模测试（B） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 A. （–∞，1） B. （–∞，–1） C. （1，+∞） D. （–1，+∞） 3. 设，均为单位向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 雷锋精神是我国宝贵的精神财富．2020年3月份，某班从甲、乙等5名学生中随机选出2人参加校团委组织的“扶贫帮困”志愿活动，则甲被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果正方体的棱长是，那么石凳的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ） A. ，的最小值为 B. ，的最小值为 C. ，的最小值为 D. ，的最小值为 7. 已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列.这个新数列的各项之和为（ ） A. 1470 B. 1472 C. 1882 D. 1642 8. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）.给出下列三个结论： ①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面说法正确的是（ ） A. 若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4 B. 若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 C. 已知是随机变量，则 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 10. 已知函数的定义域为，，则（ ）． A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点 11. 在圆锥中，轴截面是边长为的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于底面），则下列说法正确的是（ ） A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 抛物线的焦点到准线的距离为 D. 双曲线的离心率为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则_____． 13. 圆心在直线上，并且经过圆与圆交点的圆的方程为____________． 14. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则点的坐标为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，． （1）求； （2）求边上的高． 16. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最大整数n． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 18. 如图甲，多边形是由一个等腰三角形和一个菱形组成，其中.现将沿翻折，点翻折到点的位置，得到四棱锥如图乙所示. （1）求证:； （2）如图乙，若二面角的大小为点为的重心，点在线段上，且. (i)求证:平面; (ii)求平面与平面夹角的正弦值. 19. 在平面直角坐标系中，点到点的距离是它到直线距离的倍，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点为的下顶点，直线过点且垂直于轴（位于原点与上顶点之间），过的直线交于两点，直线分别交于两点. （i）证明：为定值； （ii）是否存在实数使得四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $