精品解析：河南漯河实验高级中学2026届高三考前质量检测数学试题

漯河实验高级中学2023级高三年级质量检测（三） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷、答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，故A错误； 因，故B错误； 又，故C正确； 因，故D错误． 2. 已知复数满足为纯虚数，则（ ） A. 13 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数运算法则化简，再结合复数的模求解. 【详解】因为， 又为纯虚数，所以且，解得， 所以． 3. 某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有（     ） A. 72种 B. 150种 C. 243种 D. 360种 【答案】B 【解析】 【分析】按两类情况分组讨论即可. 【详解】分组为:先从5人中选3人作为一组，剩余2人各成一组，分组后分配到3个不同部门. 方案数种. 分组为:两个组人数相同，属于平均分组，需要消除重复排序，再分配到3个不同部门： 方案数. 将两类相加：种. 4. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式求出，可求出该数列的公差，进而可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，前项和为，则，解得， 故，故. 5. 若函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用奇函数求解参数，化简函数后通过奇偶性定义验证，再代入自变量计算函数值. 【详解】由为定义在上的奇函数，得， 即，，. 结合，得. 所以. 验证奇偶性：，满足奇函数定义. 因此，. 6. 在长方形中，，，是边上一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】取的中点，， 所以当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为. 7. 下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，、是多边形的顶点，椭圆过且均以图中的为焦点，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知图形把的坐标用含有的代数式表示，把的坐标代入椭圆方程，结合椭圆的定义与性质分别求出离心率后比较大小可得结论. 【详解】由图①知，， 由图②知，点在椭圆上， ，则， 整理得，解得， 由图③知，在椭圆上， ，则， 整理得，，故选B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义、离心率及简单性质，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解． 8. 在正方体中，E是棱的中点，S是正方形ABCD及其内部的点构成的集合，设集合，则T表示的轨迹是（ ） A. 线段 B. 圆的一部分 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 【答案】B 【解析】 【分析】首先建立空间直角坐标系，进一步利用两点间的距离公式化简求出结果． 【详解】根据正方体中，建立空间直角坐标系，如图所示： 设正方体的棱长为1， 则， 由于， 所以， 整理得，即， 所以，动点的轨迹为圆的一部分． 二、多项选择题（3小题，每小题6分，共18分） 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上的最大值为 D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象与性质，结合代入法逐一判断即可。 【详解】选项A：，所以的图象关于点对称，故A正确； 选项B：因，故的图象关于直线对称，即B正确； 选项C：当时，，则，， 所以在上的最大值为，故C错误； 选项D：令，即，可得， 解得，解得， 所以不等式的解集为，故D错误. 10. 已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ）． A. 若曲线为圆，则的值为2； B. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为； C. “”是“曲线表示椭圆”的充分不必要条件； D. 存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据方程表示圆、双曲线、椭圆的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】A选项，当方程表示圆时，，圆的方程为，A正确. B选项，时，方程为，表示双曲线，渐近线方程为，B错误. C选项，当方程表示椭圆时，，所以“”是“曲线表示椭圆”的充分不必要条件，C正确. D选项，当双曲线离心率为时，双曲线为等轴双曲线，则，此方程无解，D错误. 故选：AC 11. 定义在上的函数同时满足以下条件： ①；②；③当时，， 则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用条件①②求出等特殊值，验证选项A、B；再通过迭代递推与条件①推导的表达式，验证选项C；最后利用条件②求出与，结合单调性得到的值，验证选项D． 【详解】对于A，因为，所以，即， 因为，所以， A正确； 对于B，因为，所以，解得， 因为，所以，解得，B错误； 对于C，因为， 所以，C正确； 对于D，因为， 且， 所以， 因为当时，，且， 所以，D正确． 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】需先写出二项式展开式的通项公式，令的指数为 0 求出的值，再代入通项公式计算常数项即可. 【详解】因为二项式 的通项为 ， 又因为，，， 所以 因为常数项要求 的指数为 0，所以，解得， 所以. 13. 在区间内任取一个元素 ，若抛物线在处的切线的倾角为，则的概率为_______________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意知， 在处的切线的斜率， 当时，， 即 则的概率为. 14. 在面积为的锐角中，内角的对边分别为，且，则c的最小值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理和三角形的面积公式，化简得到，令，利用导数求得函数单调性和最小值，进而得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得 ， 所以 ，即， 又因为的面积，故， 所以，其中， 令，所以， 当时，，则，单调递减； 当时，，则，单调递增， 所以，即 ，所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为1． 四、解答题（5小题，共77分） 15. 已知正项数列满足. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知式子化简得出， 即可根据等比数列的定义证明； （2）根据小问一结果得出， 即可得出，根据裂项相消法得出答案. 【小问1详解】 因为 ，所以， 又为正项数列，所以，即， 又因为，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以，则 所以， . 16. 目前，我国正在开展新一轮大规模设备更新和消费品以旧换新，加强回收循环利用能力建设是“两新”政策部署的重要内容.某校为了加快学生对这方面知识的了解，组织了知识问答活动，有“拯救海洋”类和“回收报废电力设备”类问题，每位参加活动的同学随机选择一类问题进行回答，若回答错误，则活动结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，活动结束.“拯救海洋”类问题回答正确，每题得10分，“回收报废电力设备”类问题回答正确，每题得20分，答错均不得分.若某同学参加了此次活动，该同学回答“拯救海洋”类问题时正确的概率为0.6，回答“回收报废电力设备”类问题时正确的概率为0.5，且第一题答题正确的情况下，第二题答题正确的概率会增大0.1. （1）若该同学先回答“拯救海洋”类问题，记为该同学的累计得分，求的分布列； （2）为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答哪类问题？ 【答案】（1）答案见解析 （2）同学应该选择先回答“回收报废电力设备”类问题. 【解析】 【分析】（1）求出的可能值及对应的概率，列出分布列. （2）求出回答“回收报废电力设备”题得分的期望，再与比较得解. 【小问1详解】 依题意，的可能取值为，，， 则，， ， 所以的分布列为 0 10 30 0.4 0.24 0.36 【小问2详解】当该同学先回答“拯救海洋”类问题时，由（1），得； 当该同学先回答“回收报废电力设备”类问题时，记为该同学的累计得分，则的可能取值为，，， ，， 因此， 因为，所以， 所以为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答“回收报废电力设备”类问题. 17. 如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直、正方形的性质得、，再由线面垂直、面面垂直的判定证明结论； （2）由（1）及已知证明、，取的中点分别为，连接，结合面面角的定义得到即为平面与平面所成角的平面角，设，进而求出面面角的余弦值. 【小问1详解】 由平面，平面，则， 由四边形为正方形，则， 又，且平面，则平面， 由平面，则平面平面； 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，则， 由四边形为正方形，则， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面， 由平面，则， 由且，则， 所以，即为等腰三角形，又为等边三角形， 取的中点分别为，连接，则，且， 而，则，又平面平面， 其中平面，平面， 则即为平面与平面所成二面角的平面角， 若，则，且，， 所以，故， 所以平面与平面所成二面角的余弦值为. 18. 已知曲线C： （1）若曲线C过点，求曲线C在点P处的切线方程； （2）当时，求在上的值域； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数得切线斜率，然后由点斜式得切线方程并化简； （2）由导数的正负确定单调性进而即得； 【小问1详解】 依题意得，，此时， ， 则切线斜率为， 故切线方程：，即； 【小问2详解】 当时，，则， ∴， ∴在上单调递减， 又，， 故值域为． 19. 已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为是双曲线上关于原点对称的两点，且点在第一象限，点的坐标为. （1）求双曲线的方程； （2）若，求的面积； （3）记直线与双曲线的另一个交点分别为，直线的斜率分别为，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据双曲线渐近线到焦点距离求出，再由可求出双曲线方程； （2）由是中点求出，设，则与双曲线方程联立求出，利用可得答案； （3）由直线方程与双曲线方程联立，由韦达定理求出、点的坐标可得答案. 【小问1详解】 由题可知焦点到渐近线的距离为， 又，所以， 则，所以双曲线方程为； 【小问2详解】 当时，由于是中点，可知， 设，因为 所以， 因为在双曲线上，所以，联立，解得， 则的面积； 【小问3详解】 由题意：直线， 联立方程组：， 可得：， 由韦达定理：， 由于，即，代入化简得：， 可知的坐标为：， 同理可得，的坐标为：， 则， 即存在实数满足题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漯河实验高级中学2023级高三年级质量检测（三） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷、答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足为纯虚数，则（ ） A. 13 B. 5 C. D. 3. 某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有（     ） A. 72种 B. 150种 C. 243种 D. 360种 4. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 在长方形中，，，是边上一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，、是多边形的顶点，椭圆过且均以图中的为焦点，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为，则（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，E是棱的中点，S是正方形ABCD及其内部的点构成的集合，设集合，则T表示的轨迹是（ ） A. 线段 B. 圆的一部分 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 二、多项选择题（3小题，每小题6分，共18分） 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上的最大值为 D. 不等式的解集为 10. 已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ）． A. 若曲线为圆，则的值为2； B. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为； C. “”是“曲线表示椭圆”的充分不必要条件； D. 存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为. 11. 定义在上的函数同时满足以下条件： ①；②；③当时，， 则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 13. 在区间内任取一个元素 ，若抛物线在处的切线的倾角为，则的概率为_______________． 14. 在面积为的锐角中，内角的对边分别为，且，则c的最小值为__________. 四、解答题（5小题，共77分） 15. 已知正项数列满足. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 16. 目前，我国正在开展新一轮大规模设备更新和消费品以旧换新，加强回收循环利用能力建设是“两新”政策部署的重要内容.某校为了加快学生对这方面知识的了解，组织了知识问答活动，有“拯救海洋”类和“回收报废电力设备”类问题，每位参加活动的同学随机选择一类问题进行回答，若回答错误，则活动结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，活动结束.“拯救海洋”类问题回答正确，每题得10分，“回收报废电力设备”类问题回答正确，每题得20分，答错均不得分.若某同学参加了此次活动，该同学回答“拯救海洋”类问题时正确的概率为0.6，回答“回收报废电力设备”类问题时正确的概率为0.5，且第一题答题正确的情况下，第二题答题正确的概率会增大0.1. （1）若该同学先回答“拯救海洋”类问题，记为该同学的累计得分，求的分布列； （2）为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答哪类问题？ 17. 如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值． 18. 已知曲线C： （1）若曲线C过点，求曲线C在点P处的切线方程； （2）当时，求在上的值域； 19. 已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为是双曲线上关于原点对称的两点，且点在第一象限，点的坐标为. （1）求双曲线的方程； （2）若，求的面积； （3）记直线与双曲线的另一个交点分别为，直线的斜率分别为，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $