精品解析：贵州省遵义市仁怀市周林学校2025-2026学年下学期 九年级自主练习2 数学

2026年春季本校九年级自主练习2 数学 （全卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．答题时，一律用2B铅笔或黑色签字笔将答案填涂或填写在答题卡规定的位置上； 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是【 】 A. B. C. D. 2. 人体中成熟的红细胞的平均直径为0.0000077米，用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是( ) A. (a+b)2=a2+b2 B. (-ab2)3=a3b6 C. 2a2+3a2=5a4 D. (b+2a)(2a-b)=4a2-b2 5. 下列图形中，一定有外接圆的是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 6. 某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间，并绘制了如图所示的折线统计图，在体育锻炼时间这组数据中，众数和中位数分别是（ ） A. 18，18 B. 9，9 C. 9，10 D. 18，9 7. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 若直线与抛物线有交点，则m的取值范围是　　 A. B. C. D. 9. 将分别标有“好”“好”“学”“习”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，搅拌均匀后随机摸出一球，摸出的球上的汉字是“好”的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 11. 如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 反比例函数的解析式是 B. 一次函数的解析式为 C. 当时，最大值为1 D. 若，则 12. 如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则m的值为（ ） A. 4 B. C. D. 6 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上．） 13. 要使代数式有意义，的取值范围是_____________． 14. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中的红球大约有_________个． 15. 如图，在中，，，，现将绕点A逆时针旋转得到，则阴影部分的面积为_________． 16. 如图，在中，，，延长至点，连接，点在上，连接，交于点，若，，则的长为_________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成各题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 18. 某学生社团为了解本校学生喜欢球类运动的情况，随机抽取了若干名学生进行问卷调查，要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类运动，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图． 请根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）参加调查的人数共有_________人；在扇形图中，_________；将条形图补充完整； （2）如果该校有1200名学生，则估计喜欢“篮球”的学生共有多少人？ （3）该社团计划从篮球、足球和乒乓球中，随机抽取两种球类组织比赛，请用树状图或列表法，求抽取到的两种球类恰好是“篮球”和“足球”的概率． 19. 如图，已知水平放置在平面直角坐标系xOy中，若点A，D的坐标分别为，，点在反比例函数图象上． （1）求反比例函数的解析式； （2）将沿x轴正方向平移m个单位后，使点C落在反比例函数的图象上，求出m的值． 20. 如图，小东在楼的顶部处测得该楼正前方旗杆的顶端的俯角为，在楼的底部处测得旗杆的顶端的仰角为，已知旗杆的高度为．（结果保留整数，参考数据：，，，） （1）求出的长度； （2）求出楼的高度． 21. 如图，已知垂直平分，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求的长． 22. 为保护和改善环境，发展新经济，国家出台了不限行、不限购等诸多新能源汽车优惠政策鼓励新能源汽车的发展，为响应号召，某市某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车共25辆，这两种型号的新能源汽车的进价、售价如下表： 进价万元辆 售价万元辆 A型 10 B型 15 如何进货，进货款恰好为325万元？ 如何进货，该专卖店售完A，B两种型号的新能源汽车后获利最多且不超过进货价的，此时利润为多少元？ 23. 如图，是圆O的直径，D、E为圆O上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交圆O于点F，连接、、． （1）写出一条与线段相等的线段（除外）：_________； （2）求证：； （3）设交于点G，若，，E是弧的中点，求的值． 24. 学科实践 问题情境： 某学校举办了校园科技节活动，培养学生的科学探究精神，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在校园科技节主题活动当天进行投石试验展示． 试验步骤： 第一步：如图，在操场上放置一块截面为的木板，该木板的水平宽度米，竖直高度米，将投石机固定在点处，紧贴木板的矩形厚木板表示城墙； 第二步：利用投石机将石块（石块大小忽略不计）从点处抛出，石块飞行到达最高点后开始下降，最终落地，其中点到地面的高度米，测得米． 试验数据： 科学小组的同学借助仪器得到石块飞行过程中的一组数据：石块飞到最高点P时离地面的高度为米，飞行的水平距离为米． 问题解决： 已知石块的飞行轨迹是抛物线的一部分，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求石块飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； （2）在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度的取值范围； 拓展应用： （3）如图，在进行第二次试验前，小组同学准备在上与轴水平距离为米的地方竖直安装一支木杆用于拦截，为确保拦截成功，则这支木杆至少为多少米？ 25. 【模型建立】 （1） 人教版八年级下册数学课本第 62 页第 15 题如下： 如图 1， 四边形 是正方形， 点 G 为 上的任意一点， 于点 E， 交于 F． 求证： 【模型应用】 （2）如图 2， 在等腰 中， ，， 点 D 在 上， 且，连接， 过点 B 作 交于点 E， 垂足为 F，探究 与之间的数量关系； 【深度探究】 （3） 在中（如备用图）， ，， 点 D 是射线上一点，，， 连接， 过点 B 作于点 F， 补全图形， 并求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季本校九年级自主练习2 数学 （全卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．答题时，一律用2B铅笔或黑色签字笔将答案填涂或填写在答题卡规定的位置上； 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是【 】 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别判断每个选项中的正视图是否满足条件即可． 【详解】解：A的主视图是矩形，不满足条件． B的主视图是矩形，不满足条件． C的主视图是三角形，满足条件． D的主视图是矩形，不满足条件． 故选：C． 【点睛】本题主要考查空间几何体的三视图的判断，要求熟练掌握常见空间几何体的三视图． 2. 人体中成熟的红细胞的平均直径为0.0000077米，用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： ， 故选：D. 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 4. 下列各式计算正确的是( ) A. (a+b)2=a2+b2 B. (-ab2)3=a3b6 C. 2a2+3a2=5a4 D. (b+2a)(2a-b)=4a2-b2 【答案】D 【解析】 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【详解】A、原式=a2+2ab+b2，不符合题意； B、原式=-a3b6，不符合题意； C、原式=5a2，不符合题意； D、原式=4a2-b2，符合题意， 故选D． 此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5. 下列图形中，一定有外接圆的是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有， 故选：A 6. 某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间，并绘制了如图所示的折线统计图，在体育锻炼时间这组数据中，众数和中位数分别是（ ） A. 18，18 B. 9，9 C. 9，10 D. 18，9 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义，找出出现次数最多的数，把这组数据从小到大排列，求出最中间的数即可． 【详解】由图可知，锻炼9小时的有18人， ∴9在这组数中出现18次，出现的次数最多， ∴众数为9，； 把这组数据从小到大排列，中位数是第23位， ∵第23位是9， ∴中位数是9， 故选：B 【点睛】本题主要考查众数和中位数，理解众数和中位数的定义是解题的关键． 7. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆内接四边形的性质得出，求出，由圆周角定理得出． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 8. 若直线与抛物线有交点，则m的取值范围是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意令x+m=x2+3x，然后化为一元二次方程的一般形式，再令△≥0即可求得m的取值范围，本题得以解决． 【详解】令x+m=x2+3x， 则x2+2x-m=0， 令△=22-4×1×（-m）≥0， 解得，m≥-1， 故选A． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用方程的思想解答． 9. 将分别标有“好”“好”“学”“习”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，搅拌均匀后随机摸出一球，摸出的球上的汉字是“好”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用符合要求的等可能情况数除以所有等可能的总情况数，即可得到所求概率． 【详解】解： 口袋中共有个除汉字外无其他差别的小球，其中标有“好”的小球有个，随机摸球时每个球被摸到的可能性相等， 故摸出的球上的汉字是“好”的概率为． 10. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：连接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8． ∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜边AB的中线，∴BD=AD=4，∴BF=DF=2，∴AF=AD+DF=4+2=6．故选B． 考点：作图—基本作图；含30度角的直角三角形． 11. 如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 反比例函数的解析式是 B. 一次函数的解析式为 C. 当时，最大值为1 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】结合图象，求出两个函数的解析式，再逐一进行判断即可。 【详解】解：A、由图象可知，两个函数图象相交于两个点，其中一个点坐标为， 把代入得，， ，选项错误，不符合题意； B、当时，， 另一个交点坐标为：， 直线解析式为：，分别代入，，得： ， 解得， ，选项错误，不符合题意； C、由图象可知，当时，随的增大而减小，当时，，选项错误，不符合题意； D、由图象可知， ，直线在双曲线的下方，，选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点、反比例函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式．解题的关键是待定系数法求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解． 12. 如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则m的值为（ ） A. 4 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先通过前几段抛物线归纳出第段的解析式规律，再用整数除法确定点所在的段数，最后代入对应解析式求出的值． 【详解】解：已知， 则的坐标为， 将绕点旋转得，交轴于点， 则的坐标为， 可得， 将绕点旋转得，交轴于点， 则的坐标为， 可得， 故， ， 位于抛物线， ， 令， ，即． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上．） 13. 要使代数式有意义，的取值范围是_____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件， 解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 观察代数式含有二次根式，因此被开方数应大于等于；同时，代数式又含有分式，因此分母不能等于；据此建立不等式组，求解即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得： ， 由得：， 对于，移项，得：， 该一元一次不等式组的解集为：且， 故答案为：且． 14. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中的红球大约有_________个． 【答案】 【解析】 【分析】用“总数×概率”算出红球数量即可． 【详解】解：由题意可得，（个），即袋子中红球的个数大约是个． 15. 如图，在中，，，，现将绕点A逆时针旋转得到，则阴影部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知，由此可得，根据扇形面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵ ∴ ． 16. 如图，在中，，，延长至点，连接，点在上，连接，交于点，若，，则的长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得，在上取点，使得，，交的延长线于点M，过点D作，根据相似三角形的判定和性质得出，，，确定，再由正切函数得出，，设，利用正切函数得出，建立方程求解即可，关键是构建相似三角形． 【详解】解：∵中，， ∴， 在上取点，使得，，交的延长线于点M，过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成各题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）0 （2），4 【解析】 【小问1详解】 解： ； ； 【小问2详解】 解： ， 当，时， 原式 ． 18. 某学生社团为了解本校学生喜欢球类运动的情况，随机抽取了若干名学生进行问卷调查，要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类运动，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图． 请根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）参加调查的人数共有_________人；在扇形图中，_________；将条形图补充完整； （2）如果该校有1200名学生，则估计喜欢“篮球”的学生共有多少人？ （3）该社团计划从篮球、足球和乒乓球中，随机抽取两种球类组织比赛，请用树状图或列表法，求抽取到的两种球类恰好是“篮球”和“足球”的概率． 【答案】（1）600；30；条形统计图见解析 （2）480人 （3） 【解析】 【分析】（1）用喜欢乒乓球的人数除以可得参加调查的人数，再算出足球人数，用足球的人数除以总人数乘以即可求出m； （2）通过调查，可知喜欢“篮球”的人数占，用总人数乘以即可得出结果； （3）通过列表可求得恰是篮球和足球的概率． 【小问1详解】 解：总人数有：（人）, 足球人数有：（人）， ． 即． 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：（人） 答：喜欢“篮球”的学生共有480人． 【小问3详解】 解：列表如下： 篮球 足球 乒乓球 篮球 （篮球、足球） （篮球、乒乓球） 足球 （足球、篮球） （足球、乒乓球） 乒乓球 （乒乓球、篮球） （乒乓球、足球） 共有6种等可能结果，其中恰好是“篮球”和“足球”有两种， ， 答：抽取到的两种球类恰好是“篮球”和“足球”的概率是． 19. 如图，已知水平放置在平面直角坐标系xOy中，若点A，D的坐标分别为，，点在反比例函数图象上． （1）求反比例函数的解析式； （2）将沿x轴正方向平移m个单位后，使点C落在反比例函数的图象上，求出m的值． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）把点B的坐标代入反比例函数解析式即可求解； （2）首先根据平行四边形的性质求出平移前点C的坐标，然后确定出平移后点C的坐标即可确定m的值． 【小问1详解】 解：点在反比例函数图象上， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， 点A，D的坐标分别为，，点， ，轴， 轴， 点C的坐标为， 若使得平移后的点C能落在的图象上 当时，， ． 【点睛】本题考查了反比例函数、平移及平行四边形的性质．能够准确对应线段的长度和坐标之间的关系是解题的关键． 20. 如图，小东在楼的顶部处测得该楼正前方旗杆的顶端的俯角为，在楼的底部处测得旗杆的顶端的仰角为，已知旗杆的高度为．（结果保留整数，参考数据：，，，） （1）求出的长度； （2）求出楼的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用的正切求出的长度； （2）过点作于点，可知四边形是矩形，根据矩形的性质可知，利用的正切求出的长度，根据即可求出的高度． 【小问1详解】 解：在中，，， ， 答：的长度约为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作于点， 四边形是矩形， 则，， 在处测得旗杆的顶端的俯角为， ， ， ， 答：楼的高度约为． 21. 如图，已知垂直平分，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的判定和性质、平行线的性质得出，进而即可得证； （2）证明根据是菱形，根据菱形的性质分析，设则，勾股定理求得，进而勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：垂直平分， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形， ， 如图，设交于点， 设则 即 解得：，即， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据全等三角形的判定和平行四边形的判定分析． 22. 为保护和改善环境，发展新经济，国家出台了不限行、不限购等诸多新能源汽车优惠政策鼓励新能源汽车的发展，为响应号召，某市某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车共25辆，这两种型号的新能源汽车的进价、售价如下表： 进价万元辆 售价万元辆 A型 10 B型 15 如何进货，进货款恰好为325万元？ 如何进货，该专卖店售完A，B两种型号的新能源汽车后获利最多且不超过进货价的，此时利润为多少元？ 【答案】(1) 当该专卖店购进A型车10辆，购进B型车15辆时，进货款恰好为325万元；(2) 当购进A型新能源汽车19辆，B型新能源汽车6辆时获利最多，此时利润为万元． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题； （2）根据题意可以得到利润和A型号汽车数量的关系，再根据该专卖店售完A，B两种型号的新能源汽车后获利最多且不超过进货价的10%，可以得到相应的不等式，从而可以解答本题． 【详解】设该专卖店购进A型车x辆，则购进B型车辆， ， 解得，． 购进B型车辆， 答：当该专卖店购进A型车10辆，购进B型车15辆时，进货款恰好为325万元； 设该专卖店购进A型新能源汽车a辆，则购进B型新能源汽车辆，专卖店的获利为y元， ， 该专卖店售完A，B两种型号的新能源汽车后获利最多且不超过进货价的， ， ． ， ， 随a的增大而减小， 当时，y最大，最大值为：万元， 购进B型新能源汽车辆， 答：当购进A型新能源汽车19辆，B型新能源汽车6辆时获利最多，此时利润为万元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答． 23. 如图，是圆O的直径，D、E为圆O上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交圆O于点F，连接、、． （1）写出一条与线段相等的线段（除外）：_________； （2）求证：； （3）设交于点G，若，，E是弧的中点，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）18 【解析】 【分析】（1）证明，即可得结论； （2）连接，证明垂直平分，即可得结论； （3）连接，由（1）可知，，在中，可得，则，可得，再证明，可得． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴垂直平分， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（1）可知，， 在中，，， ∴， ∴， ∵E是弧的中点，是的直径， ∴， ∴， ∵E是弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 学科实践 问题情境： 某学校举办了校园科技节活动，培养学生的科学探究精神，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在校园科技节主题活动当天进行投石试验展示． 试验步骤： 第一步：如图，在操场上放置一块截面为的木板，该木板的水平宽度米，竖直高度米，将投石机固定在点处，紧贴木板的矩形厚木板表示城墙； 第二步：利用投石机将石块（石块大小忽略不计）从点处抛出，石块飞行到达最高点后开始下降，最终落地，其中点到地面的高度米，测得米． 试验数据： 科学小组的同学借助仪器得到石块飞行过程中的一组数据：石块飞到最高点P时离地面的高度为米，飞行的水平距离为米． 问题解决： 已知石块的飞行轨迹是抛物线的一部分，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求石块飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； （2）在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度的取值范围； 拓展应用： （3）如图，在进行第二次试验前，小组同学准备在上与轴水平距离为米的地方竖直安装一支木杆用于拦截，为确保拦截成功，则这支木杆至少为多少米？ 【答案】（1） （2） （3）米 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可； （2）因为石块越过了城墙后落地，且紧贴木板的矩形厚木板表示城墙，所以抛物线经过点，把点的坐标代入抛物线的解析式，可得关于的方程，解方程求出的值，即可得到的取值范围； （3）求出当时，对应的抛物线上的点的纵坐标为，当时，刚好可以拦截，延长交轴于点，根据平行线分线段成比例定理可知，求出的高度，用米减去的高度，即为木杆的高度． 【小问1详解】 解：石块飞到最高点时离地面的高度为米，飞行的水平距离为米， 抛物线的顶点坐标为， ， 点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入， 可得：， 解得：， ； 【小问2详解】 解：米，米轴， （米）， 点的坐标为， 把代入解析式， 可得：， 设， 石块越过了城墙后落地，且紧贴木板的矩形厚木板表示城墙， 米，则， 把代入， 可得：， ， 解得或者（舍去）， 在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度的取值范围为； 【小问3详解】 解：当时，（米） 当时，刚好可以拦截． 如下图所示，设木杆的顶端为，延长交轴于点， 则， ， ， ， ． 答：则这支木杆至少为1米． 25. 【模型建立】 （1） 人教版八年级下册数学课本第 62 页第 15 题如下： 如图 1， 四边形 是正方形， 点 G 为 上的任意一点， 于点 E， 交于 F． 求证： 【模型应用】 （2）如图 2， 在等腰 中， ，， 点 D 在 上， 且，连接， 过点 B 作 交于点 E， 垂足为 F，探究 与之间的数量关系； 【深度探究】 （3） 在中（如备用图）， ，， 点 D 是射线上一点，，， 连接， 过点 B 作于点 F， 补全图形， 并求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析， 或 【解析】 【分析】（1）结合正方形的性质利用AAS可证，由全等三角形对应边相等的性质易证结论； （2）过点C做，交延长线于点H，证明得，证明得，从而，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解； （3）分点D在和点D在延长线上两种情况画出图形求解即可． 【详解】（1）四边形是正方形 ，， 在和中， ∴ （2） 过点C做，交延长线于点H， 同理，可证 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴F是中点 ∵ ∴ ∴E是中点 ∴ （3）当点D在BC上，补图如图 过点C作交延长线于点H 由（2）得， ∴， 由（2）知 ∴ ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴ 解得： ∴ 当点D在延长线上，过点C作于点H 同理可证， ∴， 又∵ ∴ 设，则， 则 解得： ∴ ∴长为 或 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，以及勾股定理等知识，灵活的利用正方形的性质及平行线的性质确定全等的条件是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $