精品解析：湖北省孝感市2026年中考模拟考试(三)数学试卷

2026年中考模拟考试（三） 数学试卷 （本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 祝考试顺利 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图，数轴上表示的点是（ ） A. M B. N C. O D. P 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图可知，数轴上表示的点是M． 2. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】同底数幂乘法法则为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】． 3. 北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案． 【详解】解：这个花鹅颈瓶的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的概念是解题关键． 4. 一元二次方程的两个实数根为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当方程有两个实数根时，两根之和，据此求解即可． 【详解】解∶∵方程中，， ∴． 5. 两根形状和大小都相同的无刻度直尺如图所示摆放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“两直线平行，同位角相等”，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵，， ∴， ∵， ∴． 6. 下列事件中，随机事件是（ ） A. 明天太阳从西边升起 B. 两直线平行，同位角相等 C. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 D. 通常加热到时，水沸腾 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，需要根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义对各选项逐一判断，必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、明天太阳从西边升起，是一定不会发生的事件，属于不可能事件，不符合要求； B、两直线平行，同位角相等，是一定成立的事件，属于必然事件，不符合要求； C、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，可能发生也可能不发生，属于随机事件，符合要求； D、通常加热到时，水沸腾，是一定发生的事件，属于必然事件，不符合要求． 7. 如图，菱形的顶点B，D在y轴上，若，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴菱形是轴对称图形， 且B、D在y轴上， ∴ A、C关于y轴对称， ∵， ∴． 8. 如图，反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】反比例函数图象在点上方部分对应的的取值范围，即为时，x的取值范围． 【详解】解：由图可得，当时，x的取值范围是． 9. 如图，为的半径，点D为上的点．分别以点O，A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；作直线，与相交于B，C两点；连接，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，由作图得垂直平分，则，，进而可证明、是等边三角形，则，再根据圆周角定理得． 【详解】解：如图，连接、， 由作图可知，垂直平分， ∴，， 又∵， ∴、是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，已知正方形的边长为12，点E，F为边的三等分点，与交于点G，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作交于点，证明 以及 ，结合解题即可． 【详解】解：如图，过点作交于点， 由题意知， ，， ∴ ， 在与中， ∴，  ∴ ， ∴为等腰三角形， ∴ ； ∵，， ∴ ， ∴ ， ∴， 即， 解得； ∴． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 请写出一个无理数____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】是无理数．故答案为答案不唯一，如：． 12. 已知一次函数，其图象不经过第______象限． 【答案】一 【解析】 【分析】根据一次函数图象的性质，通过k和b的符号判断图象经过的象限，即可得到图象不经过的象限. 【详解】解：∵一次函数中， ∴图象过第二，四象限， ∵， ∴图象与y轴负半轴相交，即图象过第三象限， ∴图象过第二，三，四象限，不经过第一象限． 13. 在年，国产大模型的爆火迎来了全球瞩目，打破了技术壁垒，重塑了全球竞争格局．小华同学准备从“豆包”、“”、“文心一言”三种应用软件中随机选取一种进行学习，则他选取“”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，小华随机选取一种应用软件，所有等可能的结果共有种， 其中选取“”的结果有种， 根据概率公式，． 14. 计算的结果为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先对分式约分，再合并同类项即可得到结果． 【详解】解：． 15. 如图1，已知，点P从点B出发，沿折线向点D运动，连接．设点P运动的路径长为x，的长为y，y与x的函数关系如图2，其中点M，N分别是两段曲线的最低点．则： （1）_______； （2）点N的坐标为_______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】（1）当点P与点B重合时，，即可得解； （2）过点分别作、的垂线，当与这两条垂线重合时，分别对应点M，N，当点P与点B重合时，，，据此可求出，再根据平行四边形的性质求解． 【详解】解：（1）由图可得，当点P与点B重合时，； （2）如图，过点作于点G、于点H， 由图可得，当点P与点B重合时，，， 当点P与点H重合时，此时即对应图2的点N， 当点P与点D重合时，， ∴， ∴， ∴在中，，，， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 17. 如图，与交于点O，，．求证：． 【答案】证明：， ， ，， ， ． 【解析】 【分析】根据得，根据对顶角相等得，即可证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论． 【详解】略 18. 凌空测水，无远弗届，随着科技的发展，无人机的应用日益广泛．如图，“奋进”小组开展综合与实践活动，利用无人机测量郊区某水库水面两端点A，B之间的距离，无人机上升至距水面高度的O处，A，B，O三点在同一竖直平面内，测得从O点看A点的俯角为，从O点看B点的俯角为，请计算出点A，B的距离．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】作，垂足为点，由题意易得，，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：如图，作，垂足为点，则． 由图可知：， 在中，，即， ． 在中，，即， ． ； 答：点A，B的距离为． 19. 人机共创未来，智启AI新时代．为促进人工智能的学习和运用，学校在七、八年级学生中开展了人工智能知识与技能竞赛活动，并从七、八年级学生中各随机抽取了40名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制，均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面统计出了部分信息： 八年级40名学生竞赛成绩在C组中的数据：80，80，81，81，82，82，82，82，82，83，83，83，84，85，86，86． 七年级成绩数据条形统计图 八年级成绩数据扇形统计图 七、八年级成绩数据统计图 年级 七年级 八年级 平均数 82.6 82.6 中位数 82 m 众数 79 82 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全七年级成绩数据条形统计图，在七、八年级成绩数据统计表中， ； （2）该校七年级有学生280人，八年级有学生320人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级学生人工智能知识与技能竞赛成绩较好？并请说出一条理由． 【答案】（1）补全统计图如图所示：； （2）人 （3）八年级学生竞赛成绩要好一些，理由如下：两个年级竞赛成绩的平均数一样，但就成绩的中位数而言，八年级大于七年级；就分及以上的人数而言，八年级要好于七年级；就分及以上的人数而言，八年级也要好于七年级． 【解析】 【分析】（1）补全七年级条形图：因为抽取的七年级总人数为，所以用总人数减去已知A、C、D组的人数，即可得到B组人数，补全图形；求八年级中位数m：首先根据扇形统计图算出A、B、D组的人数，确定个数据从小到大排列后第、个数据所在的组，结合给出的C组数据，取对应两个数的平均数得到m； （2）先分别算出七年级、八年级样本中成绩不低于80分的人数占样本的比例，再分别对应乘以七、八年级的总人数，相加得到总人数； （3）结合平均数、中位数、众数的统计意义，选择其中一个统计量对比两个年级的成绩，给出对应理由即可． 【小问1详解】 解：B组人数： （人）， 补全七年级成绩数据条形统计图如图： ∵八年级的中位数在第20位和第21位， 且A组和B组人数一共 人， ∴第位和第位在C组的第位和第位， 由题可得，C组的第位和第位分别是、， ∴ ． 【小问2详解】 总人数为： （人）． 答：该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生大约有人． 【小问3详解】 八年级学生竞赛成绩要好一些，理由如下：两个年级竞赛成绩的平均数一样，但就成绩的中位数而言，八年级大于七年级；就分及以上的人数而言，八年级要好于七年级；就分及以上的人数而言，八年级也要好于七年级． 20. 人类使用密码的历史悠久，特别是在当前信息化时代，密码为保护我们的个人隐私，起到了不可或缺的作用．诸如“1234”或生日等简单密码非常容易被破解，因此利用数学原理生成一组既容易记忆又难以破解的密码，十分有必要．利用因式分解可以生成密码，其原理是：将多项式分解因式，如多项式就可以分解成，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，比如某同学在读九年级，可以用年级生成密码，取，则有，，，其中，81，26，28分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码262881．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码． （1）根据上述方法，若多项式为，当时，请直接写出生成的密码为 ． （2）某同学根据上述方法用年龄生成手机锁屏密码，选取的多项式为，已知该同学手机的锁屏密码是6位数字111519，则该同学当前年龄是多少岁？并说明理由． （3）已知多项式，当x取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15，请求出其他两个因式码． 【答案】（1）1426 （2）该同学的年龄是15岁，理由如下： ， ∵该同学手机的锁屏密码是6位数字111519， 又∵， ∴，，， 故该同学的年龄是15岁 （3）其他两个因式码为17和64 【解析】 【分析】（1）先将因式分解，再将分别代入分解后的因式计算即可； （2）先将因式分解，再确定分解后的因式的大小关系，即可得x的值，即为该同学当前的年龄； （3）先将因式分解，再确定最小的因式，根据最小的因式码为15，即可得关于的方程，解方程求出，再代入另外两个因式求值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，，， ∴密码为1426； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ∵取正整数，且由最小因式码为15知， ∴，即， 又∵， ∴为最小的因式， ∴， 解得， ∴，． 故其他两个因式码为17和64． 21. 如图，已知为的直径，过上点C作的切线，与的延长线交于点D，弦，垂足为点E，连接，． （1）求证：； （2）若，求与弦围成的阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的定义得，由得，再根据得，最后根据等角的余角相等即可得出结论； （2）先根据垂径定理得，再解，求出，进而得，，解，求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，，即， ∴， ∴． 22. 把烦恼丢进风里，把自己还给自然．随着夏季的到来，为给游客提供更好的旅游体验，某景区计划购买A，B两种型号的帐篷．已知A型号帐篷的单价比B型号帐篷的单价多300元，用3200元购买A型号帐篷的数量与用2000元购买B型号帐篷的数量相等． （1）求A，B两种型号帐篷的单价各多少元？ （2）若该景区计划购买A，B两种型号的帐篷共30顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买A型号帐篷的数量不超过B型号帐篷数量的2倍． ①B型号帐篷至少要买多少顶？ ②景区用于此次购买的计划资金为22000元，问此计划资金是否一定够用？ 【答案】（1），两种型号帐篷的单价分别为800元、500元 （2）①型号帐篷至少要买10顶；②计划资金一定够用 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设型号帐篷的单价为元，则型号帐篷的单价为元，根据用3200元购买A种帐篷的数量与用2000元购买B种帐篷的数量相等建立方程求解即可； （2）①设型号帐篷购买顶，则型号帐篷购买顶，根据购买A型号帐篷的数量不超过B型号帐篷数量的2倍列出不等式求出m的取值范围， ②设总费用为元，列出w关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设型号帐篷的单价为元，则型号帐篷的单价为元，依题意有： ， 解得． 经检验，是原方程的解． ∴ ． 故：，两种型号帐篷的单价分别为800元、500元． 【小问2详解】 解：①设型号帐篷购买顶，则型号帐篷购买顶，依题意有： ， 解得：． 故：型号帐篷至少要买10顶． ②设总费用为元，则有： ， ． ， 随的增大而减小． 又， ∴当时， ． 故：此计划资金一定够用． 23. 已知，，，．点D为边上一动点，与交于点E．把沿折叠，点C到点P处，连接与交于点O． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点P正好落在边上时，求的长． （3）如图3，点P在的下方，与交于点F，与交于点G，连接，若，求的值． 【答案】（1）证明：如图，延长与交于点． 由折叠可得， ， 又， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长与交于点，根据折叠的性质，平行线的性质，即可得出结论； （2）勾股定理求出的长，平行线分线段成比例，推出为的中位线，求解即可； （3）根据平行线的性质，折叠的性质，等角对等角，得到，，证明四边形是平行四边形，得到 ，设，证明 ，求出的长，进而求出的长，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，． 由折叠可得． ， ， ． 同理可得． ． 【小问3详解】 解：， ，． 由折叠可得． ， ． 同理可得． 由折叠可得 ． ， ． ， ， 四边形是平行四边形． ． 设，则 ． ， ，即， ． ，． 在中， ． ， ． 又， ， ，即， 解得，即． ． ． 24. 如图1，已知抛物线与x轴交于点，B，与y轴交于点C． （1）求b的值； （2）抛物线的对称轴l与x轴交于点D，点P为直线l上一动点，设其纵坐标为m． ①如图2，点M在抛物线的对称轴l上，其纵坐标为，连接，，，求四边形周长的最小值； ②当时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）①；②点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，即可求解； （2）①点A，B关于直线l对称，将点B向上平移2个单位长度得到点，则四边形是平行四边形，当点P在与对称轴l的交点时，折线 的长最小，此时四边形的周长也最小，再根据抛物线的对称性质及勾股定理求解即可； ②分两种情况：当点P在x轴上方时，连接，，，作，垂足为点E，根据得，，是等腰直角三角形，则可求、、，证明，得进而推出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得P点坐标；当点P在x轴下方时，由对称性可得其坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：①令，则， ∴， ∴ ， ∴， 令， 解得或3， ∴， ∴点A，B关于直线l对称， ∴， 如图1，将点B向上平移2个单位长度得到点， ∵点P为直线l上一动点，设其纵坐标为m，点M在抛物线的对称轴l上，其纵坐标为， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ， ∴当点P是与对称轴l的交点时， 的长最小，此时四边形的周长 也最小， ∵， ∴四边形周长的最小值； ②分两种情况： 如图2，当点P在x轴上方时，连接，，，作，垂足为点E， ∵对称轴l的解析式为， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 在中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，公共， ∴， ∴， 又∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴点P的坐标为． 当点P在x轴下方时， ∵， ， ∴， ∵点P为直线l上一动点， ∴点与关于轴对称， ∴由对称性知，点的坐标为． 综上，点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考模拟考试（三） 数学试卷 （本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 祝考试顺利 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图，数轴上表示的点是（ ） A. M B. N C. O D. P 2. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 3. 北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 4. 一元二次方程的两个实数根为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 两根形状和大小都相同的无刻度直尺如图所示摆放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列事件中，随机事件是（ ） A. 明天太阳从西边升起 B. 两直线平行，同位角相等 C. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 D. 通常加热到时，水沸腾 7. 如图，菱形的顶点B，D在y轴上，若，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的半径，点D为上的点．分别以点O，A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；作直线，与相交于B，C两点；连接，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知正方形的边长为12，点E，F为边的三等分点，与交于点G，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 请写出一个无理数____． 12. 已知一次函数，其图象不经过第______象限． 13. 在年，国产大模型的爆火迎来了全球瞩目，打破了技术壁垒，重塑了全球竞争格局．小华同学准备从“豆包”、“”、“文心一言”三种应用软件中随机选取一种进行学习，则他选取“”的概率是______． 14. 计算的结果为______． 15. 如图1，已知，点P从点B出发，沿折线向点D运动，连接．设点P运动的路径长为x，的长为y，y与x的函数关系如图2，其中点M，N分别是两段曲线的最低点．则： （1）_______； （2）点N的坐标为_______． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，与交于点O，，．求证：． 18. 凌空测水，无远弗届，随着科技的发展，无人机的应用日益广泛．如图，“奋进”小组开展综合与实践活动，利用无人机测量郊区某水库水面两端点A，B之间的距离，无人机上升至距水面高度的O处，A，B，O三点在同一竖直平面内，测得从O点看A点的俯角为，从O点看B点的俯角为，请计算出点A，B的距离．（参考数据：，，） 19. 人机共创未来，智启AI新时代．为促进人工智能的学习和运用，学校在七、八年级学生中开展了人工智能知识与技能竞赛活动，并从七、八年级学生中各随机抽取了40名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制，均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面统计出了部分信息： 八年级40名学生竞赛成绩在C组中的数据：80，80，81，81，82，82，82，82，82，83，83，83，84，85，86，86． 七年级成绩数据条形统计图 八年级成绩数据扇形统计图 七、八年级成绩数据统计图 年级 七年级 八年级 平均数 82.6 82.6 中位数 82 m 众数 79 82 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全七年级成绩数据条形统计图，在七、八年级成绩数据统计表中， ； （2）该校七年级有学生280人，八年级有学生320人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级学生人工智能知识与技能竞赛成绩较好？并请说出一条理由． 20. 人类使用密码的历史悠久，特别是在当前信息化时代，密码为保护我们的个人隐私，起到了不可或缺的作用．诸如“1234”或生日等简单密码非常容易被破解，因此利用数学原理生成一组既容易记忆又难以破解的密码，十分有必要．利用因式分解可以生成密码，其原理是：将多项式分解因式，如多项式就可以分解成，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，比如某同学在读九年级，可以用年级生成密码，取，则有，，，其中，81，26，28分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码262881．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码． （1）根据上述方法，若多项式为，当时，请直接写出生成的密码为 ． （2）某同学根据上述方法用年龄生成手机锁屏密码，选取的多项式为，已知该同学手机的锁屏密码是6位数字111519，则该同学当前年龄是多少岁？并说明理由． （3）已知多项式，当x取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15，请求出其他两个因式码． 21. 如图，已知为的直径，过上点C作的切线，与的延长线交于点D，弦，垂足为点E，连接，． （1）求证：； （2）若，求与弦围成的阴影部分的面积． 22. 把烦恼丢进风里，把自己还给自然．随着夏季的到来，为给游客提供更好的旅游体验，某景区计划购买A，B两种型号的帐篷．已知A型号帐篷的单价比B型号帐篷的单价多300元，用3200元购买A型号帐篷的数量与用2000元购买B型号帐篷的数量相等． （1）求A，B两种型号帐篷的单价各多少元？ （2）若该景区计划购买A，B两种型号的帐篷共30顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买A型号帐篷的数量不超过B型号帐篷数量的2倍． ①B型号帐篷至少要买多少顶？ ②景区用于此次购买的计划资金为22000元，问此计划资金是否一定够用？ 23. 已知，，，．点D为边上一动点，与交于点E．把沿折叠，点C到点P处，连接与交于点O． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点P正好落在边上时，求的长． （3）如图3，点P在的下方，与交于点F，与交于点G，连接，若，求的值． 24. 如图1，已知抛物线与x轴交于点，B，与y轴交于点C． （1）求b的值； （2）抛物线的对称轴l与x轴交于点D，点P为直线l上一动点，设其纵坐标为m． ①如图2，点M在抛物线的对称轴l上，其纵坐标为，连接，，，求四边形周长的最小值； ②当时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $