精品解析：2026年江苏省南京市鼓楼区南京师范大学附属中学树人学校中考数学二模试卷

九年级数学模拟练习卷（二） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 1. 水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（ ） A. B. C. D. 2. 面积为16的正方形的边长是（ ）． A. 16的算术平方根 B. 16的平方根 C. 16的立方根 D. 16开平方的结果 3. 已知，，当，时，、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（ ） A. 一直变长 B. 一直变短 C. 先变长，后变短 D. 先变短，后变长 5. 如图，在正方形中，点、在对角线上，连接、、、，若要判定四边形是菱形，则添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 6. 将一次函数的图像绕原点旋转一周，在这个过程中不会经过的点是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 8. 计算的结果是______． 9. 计算的结果是____________． 10. 已知是正五边形的外接圆，点P在上，则的度数为_____． 11. 设，是关于x的方程的根，且，则k的值为_______． 12. 如图，将矩形纸片折叠，使点A落在的中点E处，若，，则折痕的长为_________． 13. 如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 14. 某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量（单位：万件）是销售单价x（单位：元）的反比例函数，其图像如图所示．该产品的月供应量（单位：万件）是销售单价x的一次函数，若销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件．当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为______元． 15. 实数a，b，c满足，且．下列结论：①；②a与b异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_______． 16. 在一块木板上绘制一个边长为的正方形．在，，，四点处钉上四枚钉子，将长度为的细绳环放在木板上围出一个封闭区域，且四枚钉子在此区域内．用一支铅笔拉紧细绳，移动笔尖一周，笔尖在木板上留下了封闭的轨迹，则下列说法正确的有_________（填序号）． ①轨迹是一个圆； ②轨迹所围成的图形的面积小于； ③木板四边上的任意两点的连线与轨迹最多有两个交点． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．） 17. 解不等式组． 18. 计算：． 19. 已知：如图，在中，点是它的对称中心，过点分别作于M，于N，． （1）求证：是菱形； （2）请添加一个条件______，使是正方形．（写出所有正确答案的序号） ①；②M是的中点；③；④． 20. 甲袋中有1个白球、1个红球，乙袋中有2个红球、1个白球．这些球除颜色外无其他差别．从甲、乙两袋中各随机摸出一个球． （1）求摸出的两个球颜色相同的概率； （2）若将摸出的两个球相互交换，分别放入对方的袋子中，则此时再重新从甲、乙两袋中各随机摸出一个球，摸出的两个球颜色相同的概率为____． 21. 《哪吒2》自2025年1月29日上映以来，票房表现非常强劲．阅读以下统计图并回答问题． （1）1月29日至2月7日，单日票房的中位数为_______亿元． （2）1月29日至2月7日，单日票房较前一日增长率最大的是_______．（填日期） （3）下列结论中，所有正确结论的序号是_______．（说明：全部填对的得4分，部分填对的得2分，有填错的得0分） ①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势 ②1月29日至2月7日，单日票房的极差为3．87亿元 ③1月29日至2月7日，2月4日的单日总票房最高 ④1月29日至2月7日，单日总票房先上升后下降 22. 已知，试比较与的大小． 23. 解答下列问题： （1）如图1，点E，F分别在矩形边，上，连接．求作，使点G，H分别在边，上（均不与顶点重合），且； （2）已知点P，Q，R的位置如图2所示，用两种不同的方法求作一点S，使得点P，Q，R，S一定分别在一个长宽比为的矩形的四条边上．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 24. 某科技公司生产的智能机器人装配了“超敏”感应器，可感应周围米范围内的移动物体；机器人还装配了一枚高清广角摄像头，该摄像头的可视角度为，其可视范围如图所示．公司对该机器人的相关性能进行测试．如图，机器人（其高度忽略不计）在点处，摄像头正对测试轨道，且与测试轨道的距离为米．一测试物体沿轨道自左向右运动时，于点处恰好被机器人感应到．感应到移动物体后，机器人的摄像头立即朝移动物体的方向转动．当摄像头转动角度为时，运动到点处的移动物体恰好进入摄像头的可视范围，摄像头随即停止转动．求摄像头转动的过程中，测试物体移动的距离的长．（参考数据：，，，）． 25. 如图①，在半径为10的中，弦，点P在优弧上，过点P作分别交、弦于点C、D．连接，过点A作分别交、弦、于点E、F、G． （1）如图②，当为的直径时，求的长； （2）求证：； （3）当点P运动时，的长是否随之改变呢？若不改变，请直接写出的长；若改变，请说明的长的变化情况． 26. 已知二次函数（）的图象经过点和． （1）若该函数的图象经过原点，求a的值； （2）求证：无论a取何值，方程总有实数根． （3）直接写出该函数图象与一次函数的图象的公共点个数及对应的a的取值范围． 27. 汽车前视野盲区是由于驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车头结构遮挡，而不能直接观察到的那部分区域． 研究时可简化模型：如图所示为汽车的左视图和俯视图．在左视图中，驾驶员眼睛距地面的高度为，障碍物高度为，车头前沿到驾驶员眼睛所在位置的水平距离，驾驶员的视线与地面交点到车头前沿的水平距离为盲区长度．事实上视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域，我们可以借助汽车俯视图来呈现． 问题1： （1）请结合左视图，在俯视图中画出驾驶员的视线从点出发，因遮挡而产生的视野盲区； （2）已知，，请用含、的代数式来表示俯视图中盲区的面积； 问题2：下表为某型小轿车实验数据： （实验条件：平坦路面、驾驶员坐直目视前方） （1）用、、和的数量关系验算下表四个实验，数据差异最大的实验是___________（填序号）． 实验编号 眼高 障碍物高 水平距离 实测盲区 ① 1.40 1.00 1.50 3.70 ② 1.50 1.00 2.00 3.50 ③ 1.60 1.00 2.00 3.20 （2）若、保持不变，减小，则___________（填“减小”、“不变”或“增大”），请用数学的方法说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学模拟练习卷（二） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 1. 水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，科学记数法表示较小的数，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．根据题意列出算式求解，然后运用科学记数法表示即可． 【详解】解： ∴一个水分子的质量大约是． 故选：C． 2. 面积为16的正方形的边长是（ ）． A. 16的算术平方根 B. 16的平方根 C. 16的立方根 D. 16开平方的结果 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义得出即可． 【详解】解：=4，即是16的算术平方根， 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根、立方根和算术平方根的定义和正方形的性质，能求出正方形的边长是解此题的关键． 3. 已知，，当，时，、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】用差值法比较大小，计算，先通分作差，再根据，判断结果正负，即可得解． 【详解】解： ， ，， ，，， ， ． 4. 如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（ ） A. 一直变长 B. 一直变短 C. 先变长，后变短 D. 先变短，后变长 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，掌握中心投影的定义是解答本题的关键．根据接近光源时，影子会变短，远离光源时，影子会变长解答即可． 【详解】解：如图，夜晚冬冬从点走向点，他的影子会先变短，再变长． 故选：D． 5. 如图，在正方形中，点、在对角线上，连接、、、，若要判定四边形是菱形，则添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质和判定，菱形的性质和判定，根据相关性质逐一判断即可，综合掌握相关知识点是解决问题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， 在和中： ∴ ()， ∴； 同理可证： ()， ∴； 选项：∵，， ∴，依据四条边相等的四边形是菱形， 选项正确． 选项： ∵ ∴ 是成立的结论，无法推出四边形的边或对角线满足菱形的判定条件，选项不符合题意． 选项：仅知道，无法保证四边形的四条边相等或对角线互相垂直平分，不能判定其为菱形，选项错误． 选项： 仅能确定点的位置，无法保证点的位置使四边形满足菱形的判定条件，选项不符合题意． 6. 将一次函数的图像绕原点旋转一周，在这个过程中不会经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画出函数图象，然后得到原点到直线的距离最小，进而根据两点距离公式计算两点之间距离，最后问题可求解． 【详解】解：画出函数的图象，如下所示： 当时，则有，解得：；当时，则有， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 过点O作于点C， ∴， 由将一次函数的图像绕原点旋转一周，可知：只要满足旋转后直线经过的点到原点的距离大于或等于即可； ∴A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ， 解得． 8. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 9. 计算的结果是____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减． 【详解】解： ． 故答案为：2． 10. 已知是正五边形的外接圆，点P在上，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出弧所对圆心角的度数，再根据圆周角定理计算即可求解． 【详解】解：是正五边形 的外接圆， 弧所对圆心角的度数为， 是弧所对的圆周角， ∴的度数为． 11. 设，是关于x的方程的根，且，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 根据条件得出，，原式整理为，从而列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意，知， ∴，即 解得． 故答案为：． 12. 如图，将矩形纸片折叠，使点A落在的中点E处，若，，则折痕的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据翻折的性质，在中，利用勾股定理求出、，再证明，，由对应线段成比例，求解、，在中，利用勾股定理即可求解的长． 【详解】解：过点作与点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点， ∴， 由翻折的性质有，，，， 设，则， 在中，， 即， 解得， 即，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，． 13. 如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】由，可知，利用三角形外角和定理，得到，则，又由，即可求解． 【详解】解：如图， 连接，交于点， ∵四边形是正方形，  ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 14. 某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量（单位：万件）是销售单价x（单位：元）的反比例函数，其图像如图所示．该产品的月供应量（单位：万件）是销售单价x的一次函数，若销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件．当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为______元． 【答案】 30 【解析】 【分析】根据待定系数法分别求出月需求量、月供应量关于销售单价x的函数，然后令求解即可. 【详解】解：设， 把代入，得， ∴， 设， 把，；，分别代入，得， 解得， ∴， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为30元. 15. 实数a，b，c满足，且．下列结论：①；②a与b异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】③④ 【解析】 【分析】先根据变形得到，结合绝对值性质和等式性质判断③④，再根据已知绝对值的大小关系判断，的符号关系，分类讨论的符号判断①②，即可得到正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故④正确； 且， ∵， ∴等式两边同时除以，得， 整理得，故③正确． ∵， 假设，异号，则， ∵， ∴， ∴，这与已知条件矛盾， 故假设不成立，，必为同号，故②错误． 又因为， 所以的符号与，的符号相反， 分两种情况讨论： 当时，，，此时； 当时，，，此时， 因此不一定成立，故①错误． 综上，正确结论的序号是③④． 16. 在一块木板上绘制一个边长为的正方形．在，，，四点处钉上四枚钉子，将长度为的细绳环放在木板上围出一个封闭区域，且四枚钉子在此区域内．用一支铅笔拉紧细绳，移动笔尖一周，笔尖在木板上留下了封闭的轨迹，则下列说法正确的有_________（填序号）． ①轨迹是一个圆； ②轨迹所围成的图形的面积小于； ③木板四边上的任意两点的连线与轨迹最多有两个交点． 【答案】③ 【解析】 【分析】正方形四顶点为焦点，绳圈绕动。关键在于：当绳圈绷紧时，笔尖绕哪两个钉子转动，这两个钉子就是椭圆的两个焦点。正方形边长2，对角线为 ​，绳长 l，余量（绳长减去缠绕路径）恒为常数，从而确定各段椭圆方程。 【详解】解：如图，设笔尖为， 根据题意可得，当绕正方形的外面移动一周，轨迹是旋转对称图形，根据不同的位置，相对于的距离不相等，故轨迹不是一个圆，故①错误； 当在的垂直平分线的下方时，即运动到点的位置时，， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， 当运动到的垂直平分线上时，同理可得， ∴轨迹必经过点， 如图，当经过的延长线点时，此时， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，，，， ∴， 即离的距离最小值为， 当以为半径作圆时，面积为， 当以为半径作圆时，面积为 ， ∴轨迹所围成的图形的面积大于，故②错误； 根据题意可得轨迹是一个闭合图形， ∴木板四边上的任意两点的连线与轨迹最多有两个交点，故③正确； 综上所述，正确的是③． 先明确轨迹G的构成：细绳长度为10，正方形ABCD边长为2，周长为8，因此细绳比正方形周长多2。当铅笔拉紧细绳移动时，轨迹G是由四段直线段和四段圆弧组成的封闭曲线，不是圆。 对于①，轨迹G上各点到中心O的距离不相等，因此不是圆，故①错误。 对于②，计算轨迹G到中心O的最小距离OF=√7，以OF为半径的圆面积为7π，而轨迹G的面积大于这个圆的面积，因此轨迹G所围成的图形的面积大于7π，故②错误。 对于③，轨迹G是凸的封闭曲线，根据凸曲线的性质，任意一条直线与凸曲线的交点最多有两个，因此木板四边上的任意两点的连线与轨迹G最多有两个交点，故③正确。 综上，说法正确的是③。 三、解答题（本大题共11小题，共88分．） 17. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．熟练掌握该知识点是关键．分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得解． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得，． 原不等式组的解集为：． 18. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，分式的分子与分母分解因式后约分化简． 【详解】解；原式=． 19. 已知：如图，在中，点是它的对称中心，过点分别作于M，于N，． （1）求证：是菱形； （2）请添加一个条件______，使是正方形．（写出所有正确答案的序号） ①；②M是的中点；③；④． 【答案】（1）见解析 （2）①，②，③，④任意一个即可（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）连接、，根据平行四边形的性质得出点O为、的交点，，根据平行线的性质得出，根据角平分线的判定可得出，根据等角对等边得出，然后根据菱形的判定即可得证； （2）添加①，根据四边形内角和求出，然后根据正方形的判定即可得证；添加②M是的中点，根据线段的垂直平分线的性质得出，结合平行四边形的性质可得出，然后根据正方形的判定即可得证；添加③，证明，得出，则可判断垂直平分，设与的交点为H，则，根据等积法可得出，根据勾股定理得出，则，结合完全平方公式可得出，则，则可判断四边形是菱形，结合，得出菱形是正方形，则，然后根据正方形的判定即可得证；添加④，根据等边对等角和三角形内角和定理得出，则，然后根据正方形的判定即可得证． 【小问1详解】 证明：连接、， ∵在中，点是它的对称中心， ∴点O为、的交点，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形； 【小问2详解】 解：添加①， ∵，， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加②M是的中点， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加③， ∵，，， ∴， ∴， 又， ∴垂直平分， 设与的交点为H， 则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴四边形是菱形， 又， ∴菱形是正方形， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加④， ∵， ∴， ∵， ∴， 又是菱形， ∴是正方形， 故添加①，②，③，④中的任意一个条件，即可使是正方形 20. 甲袋中有1个白球、1个红球，乙袋中有2个红球、1个白球．这些球除颜色外无其他差别．从甲、乙两袋中各随机摸出一个球． （1）求摸出的两个球颜色相同的概率； （2）若将摸出的两个球相互交换，分别放入对方的袋子中，则此时再重新从甲、乙两袋中各随机摸出一个球，摸出的两个球颜色相同的概率为____． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出表格，可得一共有6种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有3种，再根据概率公式解答即可． （2）分三种情况：若将摸出的两个球为（白，红）的情况有2种，此时一共有种情况， 其中摸出的两个球颜色相同的种情况；若将摸出的两个球为颜色相同，此时一共有种中情况， 其中摸出的两个球颜色相同的种情况；若将摸出的两个球为（红，白），将摸出的两个球相互交换后，此时一共有6种情况， 其中摸出的两个球颜色相同的0种情况，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，列出表格如下： 白 红 红 （白，红） （红，红） 红 （白，红） （红，红） 白 （白，白） （红，白） 一共有6种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有3种， 所以摸出的两个球颜色相同的概率为； 【小问2详解】 解：若将摸出的两个球为（白，红）的情况有2种，将摸出的两个球相互交换后，甲袋中有2个红球，乙袋中有1个红球、2个白球，再重新从甲、乙两袋中各随机摸出一个球，此时一共有种情况， 其中摸出的两个球颜色相同的种情况； 若将摸出的两个球为颜色相同的情况有3种，将摸出的两个球相互交换后，甲袋中有1个白球、1个红球，乙袋中有2个红球、1个白球，再重新从甲、乙两袋中各随机摸出一个球，此时一共有种情况， 其中摸出的两个球颜色相同的种情况； 若将摸出的两个球为（红，白），将摸出的两个球相互交换后，甲袋中有2个白球，乙袋中有3个红球再重新从甲、乙两袋中各随机摸出一个球，此时一共有6种情况， 其中摸出的两个球颜色相同的0种情况； ∴再重新从甲、乙两袋中各随机摸出一个球，摸出的两个球颜色相同的概率为． 21. 《哪吒2》自2025年1月29日上映以来，票房表现非常强劲．阅读以下统计图并回答问题． （1）1月29日至2月7日，单日票房的中位数为_______亿元． （2）1月29日至2月7日，单日票房较前一日增长率最大的是_______．（填日期） （3）下列结论中，所有正确结论的序号是_______．（说明：全部填对的得4分，部分填对的得2分，有填错的得0分） ①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势 ②1月29日至2月7日，单日票房的极差为3．87亿元 ③1月29日至2月7日，2月4日的单日总票房最高 ④1月29日至2月7日，单日总票房先上升后下降 【答案】（1） （2）月31日 （3）①② 【解析】 【分析】本题考查中位数，极差，掌握中位数，观察折线图的变化趋势是解题关键， （1）根据中位数的定义解答即可； （2）结合条形统计图解答即可； （3）结合折线统计图和条形统计图解答即可． 【小问1详解】 解：把1月29日至2月7日，单日票房从小到大排列为， 位于正中间的两个数为， ∴中位数为； 故答案为： 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴单日票房较前一日增长率最大的是1月31日； 【小问3详解】 解：①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势，正确； ②1月29日至2月7日，单日票房的极差为亿元，正确； ③1月29日至2月7日，2月4日的单日票房最高，原说法错误； ④1月29日至2月7日，单日总票房先下降，再上升后，然后下降，原说法错误； 故答案为：①② 22. 已知，试比较与的大小． 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用作差比较大小；法二：利用不等式变形比较；法三：作商比较大小；法四：构造函数，利用二次函数的性质比较大小；法五：利用几何图形判断． 【详解】法一： 解： ． ． ， ， ， ． 法二： 解：， 两边乘以，得． 两边乘以，得． ． 又， ． 法三： 解： ， ，， ． 将两边除以，得． 将两边除以，得 ． 将两边乘以，． ． ． 法四： 解：构造函数，即， 它的图像如图所示． 可以看出，当时，随的增大而减小． 因此，当时，． 法五： 用图形说明，过程如下： ， ． 如图，以，为边长的正方形面积分别为，； 以，为边长，另一边为1的矩形面积分别为，． 所以拼成的矩形面积为与． ． 23. 解答下列问题： （1）如图1，点E，F分别在矩形边，上，连接．求作，使点G，H分别在边，上（均不与顶点重合），且； （2）已知点P，Q，R的位置如图2所示，用两种不同的方法求作一点S，使得点P，Q，R，S一定分别在一个长宽比为的矩形的四条边上．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】（1）解：如图，分别以点E，F为圆心，大于为半径画弧，连接交点，交于点G，交于点H，点G，H即为所求： （2）解：方法1：如图，连接，作的垂直平分线交于点Z，过点P作的垂线，以为半径，点P为圆心画弧交的垂线于点S；以点S为圆心，为半径画弧，交于点W，连接并延长两端；分别过点Q作的垂线，过点R作的垂线，过点S作的垂线，所得点P，Q，R，S分别在一个长宽比为的矩形的四条边上： 方法2：如图，连接，，作以，为直径的圆，两条中垂线交各自的圆于点S，L，连接交以为直径的圆于点J，连接；连接并延长交以为直径的圆于点K，连接并延长；过点S作的垂线交点M，延长交的延长线于点N，所得点P，Q，R，S分别在一个长宽比为的矩形的四条边上： 【解析】 【分析】（1）作的中垂线即可； （2）方法1：利用尺规作垂线和垂直平分线即可得出点P，Q，R，S分别在一个长宽比为的矩形的四条边上； 方法2：利用圆的性质，尺规作出垂直平分线即可点P，Q，R，S分别在一个长宽比为的矩形的四条边上． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法1证明：过点P作交于点O，过点Q作 于点T，设与交于点I，与交于点， ∵， ∴在中，， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 即点P，Q，R，S分别在一个长宽比为的矩形的四条边上； 方法2证明：∵，，， ∴四边形是矩形， 连接，，，则，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P，Q，R，S分别在一个长宽比为的矩形的四条边上． 24. 某科技公司生产的智能机器人装配了“超敏”感应器，可感应周围米范围内的移动物体；机器人还装配了一枚高清广角摄像头，该摄像头的可视角度为，其可视范围如图所示．公司对该机器人的相关性能进行测试．如图，机器人（其高度忽略不计）在点处，摄像头正对测试轨道，且与测试轨道的距离为米．一测试物体沿轨道自左向右运动时，于点处恰好被机器人感应到．感应到移动物体后，机器人的摄像头立即朝移动物体的方向转动．当摄像头转动角度为时，运动到点处的移动物体恰好进入摄像头的可视范围，摄像头随即停止转动．求摄像头转动的过程中，测试物体移动的距离的长．（参考数据：，，，）． 【答案】测试物体移动的距离的长约为米． 【解析】 【分析】由题意可得米，米，，，通过勾股定理求出米，再求米，最后由线段的和与差即可求解． 【详解】解：由题意可得，米，米，，， 由勾股定理得：（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴测试物体移动的距离的长约为米． 25. 如图①，在半径为10的中，弦，点P在优弧上，过点P作分别交、弦于点C、D．连接，过点A作分别交、弦、于点E、F、G． （1）如图②，当为的直径时，求的长； （2）求证：； （3）当点P运动时，的长是否随之改变呢？若不改变，请直接写出的长；若改变，请说明的长的变化情况． 【答案】（1）2 （2）见解析 （3）当点P运动时，的长不改变；的长为16 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理勾股定理求解即可； （2）连接，证明，可得，即可求证； （3）作直径，连接，根据题意可得，再证明四边形为平行四边形，可得，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵为的直径，，， ∴， ∵的半径为10， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：当点P运动时，的长不改变， 作直径，连接， 在中，， ∴点G为的垂心， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 在中，， ∴， ∴当点P运动时，的长不改变， 的长为16． 26. 已知二次函数（）的图象经过点和． （1）若该函数的图象经过原点，求a的值； （2）求证：无论a取何值，方程总有实数根． （3）直接写出该函数图象与一次函数的图象的公共点个数及对应的a的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3）当或时，公共点个数为；当且或时，公共点个数为；当 时，公共点个数为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意可得，再利用一元二次方程根的判别式解答即可； （3）分三种情况解答即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数（）的图象经过点，，原点， ∴， 解得：， 即； 【小问2详解】 解：∵二次函数（）的图象经过点，， ∴ ， ∴ ， ， 整理得：， ∴ ， ∴无论a取何值，方程总有实数根； 【小问3详解】 解：联立得：， 整理得：， 当时，没有交点； 由（2）得： ， 即， ， 即， ∴， ∴ 或 ， 解不等式得：无解； 解不等式得：， ∴当时，没有公共点，即公共点个数为； 当时，公共点个数为， 即， 解得：或1， ∴当或1时，公共点个数为； 当时，公共点个数为， 即， ∴③或④， 解不等式③得：； 解不等式④得：， ∴当或且时，公共点个数为； 综上所述，当或时，公共点个数为；当且或时，公共点个数为；当 时，公共点个数为． 27. 汽车前视野盲区是由于驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车头结构遮挡，而不能直接观察到的那部分区域． 研究时可简化模型：如图所示为汽车的左视图和俯视图．在左视图中，驾驶员眼睛距地面的高度为，障碍物高度为，车头前沿到驾驶员眼睛所在位置的水平距离，驾驶员的视线与地面交点到车头前沿的水平距离为盲区长度．事实上视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域，我们可以借助汽车俯视图来呈现． 问题1： （1）请结合左视图，在俯视图中画出驾驶员的视线从点出发，因遮挡而产生的视野盲区； （2）已知，，请用含、的代数式来表示俯视图中盲区的面积； 问题2：下表为某型小轿车实验数据： （实验条件：平坦路面、驾驶员坐直目视前方） （1）用、、和的数量关系验算下表四个实验，数据差异最大的实验是___________（填序号）． 实验编号 眼高 障碍物高 水平距离 实测盲区 ① 1.40 1.00 1.50 3.70 ② 1.50 1.00 2.00 3.50 ③ 1.60 1.00 2.00 3.20 （2）若、保持不变，减小，则___________（填“减小”、“不变”或“增大”），请用数学的方法说明理由． 【答案】问题1：（1）见解析；（2）；问题2：（1）②；（2）增大，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了三视图、相似三角形的性质与判定、反比例函数的性质，理解题意，正确画出视野盲区是解题的关键． 问题1：（1）结合左视图，画出视野盲区即可； （2）先证明得到，进而得到，，再证明，再利用相似三角形的性质得到，再利用即可求解； 问题2：（1）结合问题1可知，根据、、的数据分别验算实验①②③中的长，找出数据差异最大即可得出答案； （2）根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：问题1： （1）如图所示，视野盲区即为所求： （2）由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， 结合左视图和俯视图可得，是的高，是的高， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即盲区的面积为； 问题2： （1）由问题1可知，， ①当，，，则； ②当，，，则； ③当，，，则； 结合实验数据可知，数据差异最大的实验是②； 故答案为：②； （2）若、保持不变，减小，则增大，理由如下： 令，则，其中， ∴是关于的反比例函数， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当减小时，也减小，即减小，则增大， ∴若、保持不变，减小，则增大． 故答案为：增大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $