24.2 数据的离散程度 第1课时教案 -2025-2026学年人教版数学八年级下册

该教案聚焦“数据的离散程度”核心知识点，围绕方差的定义、计算及统计意义展开，承接前节集中趋势内容。通过立定跳远成绩对比的情境导入，构建从直观感知数据波动到抽象理解方差概念的学习支架。 以甜玉米选种、射击成绩等实际问题驱动教学，通过“离差求和为零”的矛盾探究方差必要性，培养推理意识与数据观念。特色作业让学生收集生活数据计算分析，提升应用意识，助力学生深化理解，教师教学更易操作。

第二十四章 数据的分析 24.2 数据的离散程度 第1课时   一、教材分析 本节课是人教版八年级下册《数据的分析》单元的刻画数据特征的重要内容，承接前一节“集中趋势”(平均数、中位数、众数)，从“波动情况”维度完善数据分析的核心逻辑，是统计知识体系的关键一环. 教材以“甜玉米产量稳定性”的实际问题引入，先通过图表直观呈现数据波动，再通过“离差求和为零”的矛盾，引出离差平方和，进而推导方差的定义与计算公式，体现了从直观感知到抽象定义、从问题驱动到概念生成的教学逻辑.教材通过“思考”环节对比离差、离差平方和的局限性，突出方差的优势，再以射击运动员成绩的例题巩固方差计算与应用，最后设置练习强化离散程度的直观判断与定量计算的联系，层层递进，符合学生的认知规律. 方差作为刻画数据离散程度的核心统计量，不仅是后续统计推断、数据分析的基础，更能培养学生用数据说话、定量分析问题的能力，体现了统计学科的实用性与严谨性.   二、学情分析 已有基础：八年级学生已掌握平均数、中位数、众数等刻画数据集中趋势的统计量，能通过表格、折线图直观描述数据分布，具备基本的数据分析和运算能力，且对“稳定性”“波动大小”等生活概念有感性认知，为本节课从直观到抽象的过渡奠定了基础. 存在困难：学生首次接触方差的抽象定义，对“为什么要对离差平方”“离差平方和与方差的区别”理解存在障碍，易混淆方差与平均数的统计意义；在实际应用中，难以将“方差大小”与“数据稳定性”建立关联，定量分析离散程度的意识薄弱. 认知特点：八年级学生以具象思维为主，抽象逻辑思维正处于发展阶段，对纯公式推导兴趣不高，更易接受“问题驱动+实例探究”的学习方式，对贴近生活的实际问题(如产量、成绩稳定性)兴趣浓厚，适合通过情境探究突破难点.   三、教学目标 1.理解方差的定义与计算公式，掌握方差的计算方法，能利用方差比较两组数据的离散程度. 2.理解方差的统计意义，明确方差大小与数据离散程度、稳定性的关系，体会方差公式中 “离差平方” 的必要性. 3.经历从直观感知数据波动到抽象推导方差公式的过程，体会 “数形结合”“从特殊到一般” 的数学思想，提升数据分析与定量建模的能力. 4.通过解决生活中的实际问题，感受统计知识的实用性，培养用数据说话的严谨态度，增强对数学的应用意识与学习兴趣.   四、教学重难点 重点：理解方差的定义与计算公式，掌握方差的计算方法，能利用方差比较两组数据的离散程度. 难点：理解方差的统计意义，明确方差大小与数据离散程度、稳定性的关系，体会方差公式中 “离差平方” 的必要性.   五、教学过程 · 情境导入 问题1：我们班两位同学的5次立定跳远测试成绩(单位：cm)： 同学甲：190，190，190，190，190 同学乙：170，180，190，200，210 大家快速计算一下，两位同学成绩的平均数分别是多少? 两人的平均数都是190cm，从集中趋势来看，他们的平均水平一样. 但仔细观察这两组数据，你能感受到它们的差异吗? 甲的成绩每次都很稳定，而乙的成绩忽高忽低，波动很大. 在数据分析中，除了集中趋势，数据的波动情况也是我们经常关注的特征，统计中把它称为数据的离散程度.本节课我们就来学习刻画一组数据离散程度的两个常见统计量——离差平方和、方差. 师生活动：教师提问平均数计算，学生快速作答；再引导对比两组数据差异，学生交流发现甲稳定、乙波动大，引出离散程度的概念 设计意图：以学生熟悉的跳远成绩情境，通过平均数相同但波动不同的对比，引发认知冲突，自然引出方差的学习必要性，激发探究兴趣. · 探究新知 活动：探究离差平方和、方差的概念及统计意义 问题2：某农业农科院专家为某地选择合适的甜玉米种子. 选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10 块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表： 根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢？ 师生活动：教师以甜玉米选种问题引导，学生计算平均数，再通过图形观察波动；教师追问如何量化波动，引导学生探究离差、离差平方和、方差概念，最后计算方差解决选种问题. 思考1：计算出两组数的平均数，你有什么发现？ ，. 说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大．由此可估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大． 由样本平均数估计总体平均数 思考2：如何考察一种甜玉米产量的稳定性呢？ 答：为了直观地观察甲、乙两种甜玉米在各试验田产量的分布情况，我们把表中的两组数据分别用图形进行描述. 比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好. 问题3：如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？ 答：当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大； 当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小.反过来也成立. 这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画. 离差： 一般地，有 n 个数据 x1，x2，···，xn，用 表示它们的平均数，我们把 xi－ (i = 1，2，···，n)叫作xi 关于平均数 的离差. 追问：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？ 答：用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由 (x1－)＋(x2－)＋ ··· ＋( xn－)＝x1＋x2＋ ··· ＋xn－n＝0 可知，一组数据的离差和总是 0， 因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异. 问题4：我们应该用什么方法刻画呢? 答：为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和. 我们把 叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和，记作“ d2”. 把离差的平方的平均数 叫作这组数据的方差，记作“ s² ”. 方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量. 方差越大，数据的离散程度越大；（数据分布比较分散） 方差越小，数据的离散程度越小.（数据分布比较集中） 根据样本数据计算得到的方差，叫作样本方差； 根据总体数据计算得到的方差，叫作总体方差. 问题5：请利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度． 　 解：两组数据的方差分别是： . . 由，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量波动较小，稳定性较好. 由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定. 问题6：专家应该选择哪种甜玉米种子呢? 答：正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差. 因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比种植甲种的稳定，综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米. 设计意图：以真实农业问题驱动，让学生经历“直观感知——矛盾发现——概念生成——应用解决”的过程，理解方差的统计意义，体会量化离散程度的必要性. 问题7：用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？ 师生活动：教师提问离差平方和的不足，学生对比发现其受数据个数限制，理解方差的优势；教师演示计算器求方差的步骤，学生尝试操作，掌握快捷计算方法. 答：离差平方和可以刻画一组数据的离散程度. 在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制. 利用计算器求方差： 1.不同品牌的计算器的操作步骤有所不同，操作时需要参阅计算器的使用说明书. 2.通常先按某一功能键，使计算器进入统计状态； 然后依次输入数据x1，x2，…，xn ；最后按求方差的功能键，计算器便会求出方差 的值. 设计意图：通过对比凸显方差的普适性，完善学生对离散程度统计量的认知；借助计算器实操，提升计算效率，深化对方差概念的理解. · 应用新知 【教材例题】 师生活动：教师出示射击成绩例题，引导学生分析“稳定性”与方差的关系；学生计算平均数、方差，对比得出结论，共同总结方差计算步骤，强调数据处理的严谨性. 例1 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10 次射击成绩（单位：环）如表所示. 哪名射击运动员的发挥更稳定? 分析：方差越大，数据离散程度越大，发挥就不稳定； 方差越小，数据离散程度越小，发挥就更稳定. 解：两名运动员射击成绩的平均数分别为 ，. 两名运动员射击成绩的方差分别为 由可知，乙射击运动员的发挥更稳定. 总结：求一组数据的方差的一般步骤： （1）求这组数据的平均数； （2）根据方差公式求这组数据的方差． 注意：一组数据中的任何一个数据的变化都可能影响方差的大小，因此计算一组数据的方差时，确保不要遗漏和重复任何一个数据. 设计意图：通过射击场景的应用例题，让学生掌握方差计算方法，深化“方差越小越稳定”的理解，形成规范的解题流程培养数据分析能力. 【经典例题】 师生活动：教师出示数据变换例题，引导学生推导平均数与方差的变化规律；再呈现射击游戏综合题，学生计算并结合实际场景分析选择，教师补充简便计算方法. 例2 若一组数据 x1，x2，x3，…，xn的平均数是͞x＝9，方差是s2＝6，则另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，…，3xn－2 的平均数是______，方差是_______. 分析：3x1－2，3x2－2，3x3－2，…，3xn－2的平均数为 ＝ ＝3͞x－2 ＝3×9－2 ＝25； 3x1－2，3x2－2 ，3x3－2，…，3xn－2的方差为 [(3x1－2－3͞x＋2)2＋(3x2－2－3͞x＋2)2＋(3x3－2－3͞x＋2)2＋…＋(3xn－2－3͞x＋2)2] ＝×9×[(x1－͞x)2＋(x2－͞x)2＋(x3－͞x)2＋… ＋(xn－͞x)2] ＝9s2 ＝9×6 ＝54. 故答案为：25；54 总结：两组相关数据的平均数、方差的关系： 方法拓展： 求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法： ①取一个适当的基准数 a ②将原数据都减去 a，得到一组新数据 ③求新数据的方差 例3 在射击游戏中，甲、乙分别进行了次射击，成绩单位：环如下表所示． 通过比较方差，判断甲、乙两人射击成绩谁更稳定； 假设两人第次射击成绩均为环，与前次成绩的方差相比，甲这次成绩的方差          ，乙这次成绩的方差          填“变大”“变小”或“不变” 解：(1) ∵ ∴乙的方差更小，成绩更稳定． ， 甲这次成绩的方差变小； ， 乙这次成绩的方差变大． 故答案为：变小；变大. 设计意图：通过规律探究深化方差本质理解，通过综合应用培养学生结合平均数、方差分析实际问题的能力，提升数据应用素养. · 课堂练习 【教材练习】 1.如图，有4组数据，将这4组数据按离散程度从小到大排序. 先通过直观判断排序，再根据方差排序. 这两种排序的结果是否一致？ 解：这4组数据按离散程度从小到大排序为(1)<(2)<(3)<(4). =6 ， =0； =6 ， =0.4 =6 ， =2； =6， =3.2. 根据方差可知，这4组数据按离散程度从小到大排序为(1)<(2)<(3)<(4). 这两种排序的结果一致. 2.根据方差比较第149页“问题1”中两组跳绳成绩的离散程度. 解：两组跳绳成绩的方差分别为 . 由可知，甲组跳绳成绩的离散程度更小. 师生活动：教师出示教材练习，引导学生先直观判断数据离散程度，再通过计算方差验证排序结果；学生独立完成跳绳成绩方差计算，对比分析两组数据的稳定性. 设计意图：通过“直观感知+定量计算”的对比练习，巩固方差概念与计算方法，强化“方差越小离散程度越小”的认知，提升学生的数据分析与验证能力. 【限时训练】 1.小明想要计算一组数据，，，，，的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去，得到一组新数据，，，，，，记这组新数据的方差为，则(     ) A. B. C. D. 【答案】B  2.下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数环 方差 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择(    ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D  【解析】解：由平均数越高成绩越好，可知运动员乙和丁的成绩好 由方差越小成绩越稳定，可知运动员甲和丁的成绩发挥稳定， 所以成绩好且发挥稳定的运动员是丁． 3.求一组数据方差的算式为由算式提供的信息，下列说法错误的是(     ) A. 的值是 B. 该组数据的平均数是 C. 该组数据的离差平方和是 D. 若该组数据加入两个数，，则这组新数据的方差变小 【答案】C  4.下表记录了四名短道速滑选手几次选拔赛成绩的平均数和方差： 小明 小红 小芳 小米 平均数单位：秒 方差 根据表中数据，可以判断小红是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的，则，的值可以是  (     ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A  5.某中学的国旗护卫队需从甲、乙两队中选择一队身高比较整齐的队员担任护旗手，两队中每个队员的身高单位：厘米如下： 甲队 乙队： 两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 平均数 中位数 众数 方差 甲队 乙队 表中          ，          ，          ． 根据表格中的数据，你认为选择哪队比较好？请说明理由． 【答案】(1)178；178 ；1.8  (2)选甲队好．∵甲、乙两队的平均数，中位数和众数均相等，而甲队的方差为0.6，乙队的方差为1.8，∴甲队的方差小于乙队的方差．∴甲队的身高比乙队整齐．∴选甲队比较好．  师生活动：教师出示分层练习，学生独立完成数据变换、实际决策等题目，教师针对易错题(如方差变化规律)进行点拨，组织学生交流解题思路，巩固知识. 设计意图：通过梯度练习覆盖方差的概念、性质与应用，帮助学生辨析易错点，强化“平均数反映水平、方差反映稳定性”的核心认知，提升解题能力. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.什么是离差？ 3.什么是方差？ 4.方差的意义是什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：用方差“PK”身边数据的稳定性 任务：1.收集两组生活中的数据（如：你和同桌连续 5 次数学单元测试成绩、家里近 10 天早晚的气温）； 2.计算两组数据的平均数与方差，完成表格记录； 3.结合数据说明：哪组数据更稳定？方差大小和数据稳定性有什么关系？尝试用折线图直观呈现两组数据的波动情况，对比图表与方差结果是否一致. 要求：数据真实，计算过程完整，用文字说明方差的实际意义，能结合生活场景解释 “稳定性” 的价值（如成绩稳定利于查漏补缺、气温稳定利于出行），作业以 “数据 + 图表 + 分析” 的形式呈现. 学科网（北京）股份有限公司 $