精品解析：吉林通化市梅河口市第五中学2026届高三模拟预测数学试题

高三数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因， 则. 2. 已知复数的实部与虚部相等，则实数（ ） A. -3 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】. ∵复数的实部与虚部相等，，解得. 3. 已知数列的前项和，若为正整数，则（ ） A. 4052 B. 2026 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据条件求解出的通项公式，然后表示出并结合即可求解出结果. 【详解】因为数列的前项和， 当时，， 当时，，符合的情况，所以， . 4. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】是定义在上的奇函数， ∴当时，，解得， ∴当时，， . 5. 已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出在法向量上的投影向量，结合平行四边形法则得到答案 【详解】向量在法向量上的投影向量为 ， 设向量在平面上的投影向量，由平行四边形法则可得， 故. 6. 已知点P为抛物线上一点，过点P作圆C：的两条切线，则切线长的最小值为（ ） A. B. 3 C. 7 D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以圆的圆心为，半径. 设，则. 因为切线长等于， 所以当切线长最小时，最小. ， 当，即点的坐标为时，取得最小值，最小值为. 所以切线长的最小值为. 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数的性质及导数分析分段函数单调性及最值，再利用单调递增条件构造不等式，从而求出的取值范围． 【详解】当时，，开口向下，对称轴为， 在上单调递增，最大值为； 当时，，求导得， 要使在上单调递增，需对所有恒成立， 即，则， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得最大值，， ， 在上单调递增， ，解得， 综上可得，． 8. 如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如C，D），另外两条相对的侧棱交于一点（如O）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意用两个柱体体积减去重叠部分体积，计算即可. 【详解】如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体，取的中点I， 则多面体可以分成8个全等三棱锥， 则，且平面，， 则， 该“十字贯穿体”的体积即为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. 展开式中所有项的二项式系数和为 B. 展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】结合二项式系数和的性质判断A，结合二项式系数的增减性和最值判断B，利用二项式展开式的通项公式求含的项，判断C，利用赋值法求和所有系数的和，由此可得结论. 【详解】对于A，的展开式中所有项的二项式系数和为，故A正确； 对于B，的展开式中第项的二项式系数为，第项的二项式系数为，是所有项的二项式系数中的最大值，故B正确； 对于C，二项式的展开式的通项公式为， ， 令可得，，即展开式中含的项为， 所以，故C错误； 对于D，由取可得 ， 取可得 ， ∴ ，故D错误. 10. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 内切圆半径的最大值为 C. 椭圆C内接矩形面积的最大值为 D. 若，则的最小值是1 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，直接利用离心率公式即可判断；对B，写出半径表达式即可判断；对C，利用基本不等式即可判断；对D，利用椭圆定义结合三点共线即可判断. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，记内切圆半径为，由，得， 则，所以当时，，故B正确； 对于C选项，不妨取P为第一象限点，设，则由，得， 当且仅当时取等，所以，故C错误； 对于D选项，，当为线段与椭圆的交点时，等号成立，故D正确． 11. 设关于实数x，y的解析式为，则（ ） A. 当时，方程有唯一解 B. 若成立，则 C. 若成立，则存在，使得 D. 若成立，则存在，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，作出函数的图象即可判断；对B，根据函数的单调性即可判断；对C，根据不等式即可判断；对D，利用导数判断的单调性即可判断. 【详解】对于A选项，当时，由，得， 在同一坐标系中作出函数， 由图知方程有1解，故A正确； 对于B选项，由，得，即， 令，则，又， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为不单调，故不一定等于，即不一定成立，故B错误； 对于C选项，设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，则， 由B选项知，存在，使得， 所以，即； 对于D选项，由B选项知，当时，由，知或， 当时，，要证，即证， 又，即证， 令， 则， 当时，，则，所以， 即在上单调递增，所以，即，所以得证，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】设到平面的距离为，根据，列出方程，即可求解. 【详解】在棱长为的正方体中， 由平面，即到平面的距离为，即三棱锥的高， 所以三棱锥的体积为， 设到平面的距离为， 由，可得, 所以， 因为，可得，解得， 所以点到平面的距离为. 13. 已知（，且），则______． 【答案】## 【解析】 【详解】已知（，且），令，则，，解得， ，； ， ． 14. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，即第一项，接下来的两项，，再接下来的三项，，，…，以此类推，若该数列的前（）项和为2的整数幂，则符合条件的的最小值为______. 【答案】95 【解析】 【分析】先分析数列的分组结构，分别求出每组的和与项数，再结合“和为的整数幂”的条件，构造方程抵消常数项，最后结合的限制条件，检验并找到满足条件的最小项数. 【详解】解：由题意知：第一项为； 第二项为，； 第三项为，，， 第项为，，，，， 根据等比数列前项和的公式，求得每项的和分别为： ，，，，； 每组含有的项数分别为：，，，，； 前个完整项，总共的项数为； 前个完整项，所有项的总和为 ， 由题可知，为2的整数幂，若直接取前个完整组，和为， 不是2的整数幂， 因此，需要在第组中再取若干项，与相抵消，才能使其为2的整数幂. 设再从第组中取前项，则这项的和为： ， 此时，前项的总和为：, 令，则，此时，为的整数幂，对应的总项数为： ，很显然不合题意， ①当时，，解得，总项数项，不满足； ②当时，，时，解得，总项数项，不满足； ③当时，，解得，总项数项，满足， 的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数 （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）当时，函数f（x）的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值． 【答案】（Ⅰ）函数f（x）最小正周期为，单调增区间为，（Ⅱ）f（x）取得最大值为，此时 ． 【解析】 【分析】（Ⅰ）化简，再根据周期公式以及正弦函数的单调性即可解决 （Ⅱ）根据求出的范围，再结合图像即可解决． 【详解】（Ⅰ）由于函数 ， ∴最小正周期为． 由得：， 故函数f（x）的单调增区间为，． （Ⅱ）当时，，函数f（x）的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值， ∴， 故当时，原函数取最小值2，即，∴， 故， 故当时，f（x）取得最大值为，此时，，． 【点睛】本题主要考查了三角函数化简的问题，以及三角函数的周期，单调性、最值问题．在解决此类问题时首先需要记住正弦函数的性质．属于中等题． 16. 已知抛物线：（）的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的方程； （2）已知过点的直线交抛物线于，两点，的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）本题先判断抛物线开口向右，套用焦半径公式，代入点的横坐标与焦半径长，列式求出的值，再代入标准式即可得出抛物线方程. （2）解法一：先写出抛物线焦点，设横截距式直线方程避免斜率不存在讨论，联立抛物线方程得到一元二次方程，利用韦达定理得两根和与积，结合抛物线弦长公式表示弦长，再求原点到直线的距离，结合三角形面积条件列方程求出参数，最终整理出直线方程.解法二：设过抛物线焦点的直线为，联立抛物线方程，借助韦达定理得到纵坐标关系，利用三角形面积的纵坐标差简便公式列式，化简求解参数，进而写出直线方程. 【小问1详解】 由题意得，点在抛物线上，且， 则，所以，所以抛物线方程为. 【小问2详解】 解法一： 抛物线方程为，焦点坐标为， 由题可设直线的方程为，，， 由得， ，，. 则，所以. 原点到直线的距离为， 所以， 解得. 所以直线的方程为，即. 解法二： 抛物线方程为，焦点坐标为， 由题可设直线的方程为，，， 由得， ，，. ，解得 所以直线的方程为，即. 17. 人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让教师更加重视人工智能，某校随机抽取30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 10 30 非优秀 10 10 20 总计 30 20 50 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ （2）从样本中成绩优秀的30名教师中，随机抽取2人进行调研，记抽取的2人中女教师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）不能认为这次成绩是否优秀与性别有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意，代入的计算公式，根据独立性检验的概念求解即可； （2）根据题意随机变量的可能取值为0，1，2，分别利用古典概型的概率公式结合组合知识计算出对应的概率，进而可解出答案. 【小问1详解】 零假设：这次成绩是否优秀与性别无关， 由列联表中的数据，可得， 因为，所以根据判断，我们可以推断成立， 即不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. 【小问2详解】 由题意得，随机变量的可能取值为0，1，2， 则；；， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 所以期望为. 18. 如图，在四面体中，平面，是等边三角形，，是的中点. （1）证明：. （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的性质和判断证明平面，再由线面垂直的性质定理证明结论； （2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，利用法向量夹角的三角函数关系计算. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以. 又为等边三角形，且为的中点，所以， 因为平面，平面，， 所以平面，又平面，所以. 【小问2详解】 以A为坐标原点，AC为轴，过A且与AC垂直的直线为轴，AB为轴建立如图空间直角坐标系. 设，则，，，，， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以. 设二面角的平面角为， 则， 所以. 所以二面角的正弦值为. 19. 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，离心率为，且点在椭圆上，为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程． （2）不过点的直线与椭圆相交于M，N两点，点在轴上方，点在轴下方．当直线的斜率存在时，设直线l，AM，AN的斜率分别为，则． ①证明：直线恒过定点； ②设①中的定点为，点G，H分别满足，记的面积为，的面积为，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）①过定点，证明过程见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据离心率和所过的点，结合得到方程组，求出椭圆方程； （2）①设出直线的方程，联立椭圆方程，根据得到，故恒过点； ②根据比例关系得到各个三角形的面积关系，变形得到关于M，N两点坐标的关系，分两种情况，求出关于的关系式，得到取值范围. 【小问1详解】 由题意得，，又， 解得，所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①因直线的斜率存在，可设其方程为， 依题意，，否则不满足点在轴上方，点在轴下方， 由点不在直线上，即， 将代入，消去得（*）， ，即， 设，则， 则，， ， 因为，所以， 则，即，解得， 故直线的方程为，恒过点； ②由①得，由可知点为的重心， 连接，则在线段上，且，其中， 因为，所以，， 而，， 故， 因为，则,，， 故 ， 其中，， 故， 因，故（*）可化为 ， 恒成立， 解得， 若，则， 则， ， 因为，所以， 若，则， 则， ， 因为，所以， 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的实部与虚部相等，则实数（ ） A. -3 B. C. D. 3 3. 已知数列的前项和，若为正整数，则（ ） A. 4052 B. 2026 C. D. 4. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点P为抛物线上一点，过点P作圆C：的两条切线，则切线长的最小值为（ ） A. B. 3 C. 7 D. 9 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如C，D），另外两条相对的侧棱交于一点（如O）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. 展开式中所有项的二项式系数和为 B. 展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项 C. D. 10. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 内切圆半径的最大值为 C. 椭圆C内接矩形面积的最大值为 D. 若，则的最小值是1 11. 设关于实数x，y的解析式为，则（ ） A. 当时，方程有唯一解 B. 若成立，则 C. 若成立，则存在，使得 D. 若成立，则存在，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______. 13. 已知（，且），则______． 14. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，即第一项，接下来的两项，，再接下来的三项，，，…，以此类推，若该数列的前（）项和为2的整数幂，则符合条件的的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数 （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）当时，函数f（x）的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值． 16. 已知抛物线：（）的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的方程； （2）已知过点的直线交抛物线于，两点，的面积为，求直线的方程. 17. 人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让教师更加重视人工智能，某校随机抽取30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 10 30 非优秀 10 10 20 总计 30 20 50 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ （2）从样本中成绩优秀的30名教师中，随机抽取2人进行调研，记抽取的2人中女教师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 如图，在四面体中，平面，是等边三角形，，是的中点. （1）证明：. （2）求二面角的正弦值. 19. 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，离心率为，且点在椭圆上，为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程． （2）不过点的直线与椭圆相交于M，N两点，点在轴上方，点在轴下方．当直线的斜率存在时，设直线l，AM，AN的斜率分别为，则． ①证明：直线恒过定点； ②设①中的定点为，点G，H分别满足，记的面积为，的面积为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $