重庆市三峡名校联盟2025-2026学年高二下学期学情调研数学试卷

重庆市三峡名校联盟2026年春期高2027届联考 数学试卷 命题人：万州第二高级中学校 杨蕊溢 审题人：三方机构 重庆市云阳中学校 贾少军 重庆市忠县中学校 周泽华 重庆市巫山中学校 曹成金 重庆市涪陵实验中学校 黄塑雯 (总分：150分考试时间：120分钟) 注意事项 1.本试卷分第丨卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写 在本试卷和答题卡相应位置. 2.回答第丨卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效， 3.回答第川卷时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效 4.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）， 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1.曲线y=ex在x=0处的切线的斜率为（) A.-1 B.0 C.1 D.e 2.重庆铁路沿线预备设巫山、云阳、万州、忠县、涪陵等5个客运站，则铁路部门需要准备 （)种不同的车票， A.10 B.20 C.25 D.120 3.下列等式成立的是() A.C=15 B.A3=A C.CB+C8=C5 D.nA%-=(n+1)1(n≥2，n∈N) 4.函数f(x)=ax3+bx2-12x在x=2处取得极小值-20，则a+b的值为() A.1 B.-1 C.3 D.-3 5.某校高一年级学生的身高Y(单位：厘米)近似服从正态分布N(165,52)。若规定高一学生 的身高至少要有160厘米才算达标，现从该校高一年级的学生中随机抽取一名学生，则该学 生身高达标的概率约为()附：若随机变量X服从正态分布N(山，σ2)，则P(u一o≤X≤+ σ)=0.6827 A.0.6827 B.0.9545 C.0.85135 D.0.84135 第1页共10页 6.某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：m)与时间t（单位：s)之间的关系为 y=-3cost) 则该弹簧振子在t=1s时的瞬时速度是()m/s A.0 B.V3π C.2V3π D.3 7.某校进行篮球队员选举，选举的轮次为两轮，待选人群共10人，每一轮都从待选人群中选 取6人，每一轮选举都是独立的，互不影响。记两轮选举后，被选到的总人数为X人（若两轮 中选取的相同之人只算一个，例如小明两次都被选中则在总人数中只会记录成一人)，则 p(X=8)=() A. B.月 c. D 8.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见 我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.多项式函数f(x)=ax”+a-1-1+ …+a1x+a0,其中ao,a1,a2,a3,…an-1,a为杨辉三角第n行从左到右的n+1个数（杨辉 三角如下图所示)，例如当n=3时a0=1,a1=3,a2=3,a3=1则当n=15时，f(x)在x=1 处的导数f(1)=() 杨辉三角 第0行 第1行 B.15×215 第2行 121 A.15×(215-1) 第3行 1 33 1 第4行 6 第5行 1510105 1 C.7.5×215 D.7.5×(215-1) 第6行 1615201561 第7行 172135352171 第8行 8285670562881 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9、随机变量X满足(X=内=1(k=1,25),随机变量Y=3X-2,则下列结论正确的是 () A.E(X)=1 B.E(Y)=3E(X)-2 C.D(Y)=18 D.D(X)=D+2 10、袋子中装有大小相同的2个白球和3个黑球，现从中不放回的抽取两次，每次取一个， 记事件A;为第次抽到的是白球，B;为第次抽到的是黑球，A;为第次抽到的不是白球，则下列 结论正确的是() A.P(A1)=P(A2) B.P(A2A1)=P(A1A2) C.P(A2B)=P(A2)-P(BA2) P(B1) D.P(A|B2)+P(B21A1=1 11、已知函数f(x)=e2x-2ln(x+a)-b,则() 第2页共10页 A.若函数f(x)在点(0，f(0)处的切线为x轴，则a=b B.当a=时，函数f(x)在区间(-号，+o)上单调递增 C.当a=1时，若函数f(x)有两个零点x1<x2,则x1+x2≤0 D.若函数f()min=0,则a+2b≥号-7m2 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12、f(x)=2f'(1)x-x2,则f(x)= 13、据统计，某校有高一、高二、高三共三个年级，喜欢羽毛球运动的学生分别占该年级学 生的40%、30%、30%，且这三个年级的学生之比为3：3：4，若从该校抽取的一名学生喜欢打 羽毛球，则该学生是高二年级的概率为 14、对Vx>0,恒有ax(eax+1)≥2(x2+1)nx成立，则实数a的最小值是 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15、(本小题13分) 由于国际形势动荡，自2026年2月28日霍尔木兹海峡被封锁以来，全球石油供应遭遇巨大 冲击。该海峡承担全球约20%海运石油贸易，封锁致日均近1700万桶原油运输受阻，国际能 源署称这是史上最严重供应梗阻。国际油价剧烈波动，下表统计了随后7天原油的大致价格. 随后天数x 1 2 3 4 6 7 油价y(美元/桶〉 72.5 75.1 78.1 79.0 82.6 84.3 86.8 (1)由上表数据，从①y=bx+a,②y=mx(m>0,k>0)两个函数中选一个作为油价y 关于随后天数x的回归模型，判断哪个更适合，不必说明理由，并求出回归方程.（最后系数 精确到0.1) (2)由(1)得到的回归方程，预测3月8日的原油价格. 参考数据：立y=2994, ∑=5584，x-2=28.0,设y=血片，设4=血￥， 24%376,2=306 24-0822 参考公式：回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 6x可 xy =1 ,a=y-b -可 x2-m 16.(本小题15分) 已知函数f(x)=lnx-ax, 第3页共10页 (1)当a=1时，求函数f(x)在区间[1,3]上的最小值和最大值： (2)求f(x)的单调区间. 17.(本小题15分) 已mEN，二项式（丘+）”的二项展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， (1)问展开式中是否存在含x2的项，若存在，则求出x的系数，若不存在，说明理由： (2)求展开式中系数最大的项. 18.(本小题17分) 某科技公司生产的智能设备控制系统由2k一1(k∈N*)个相同的独立元件组成，每个元件正 常工作的概率均为(0<p<1),当控制系统中有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行， 否则设备停机。记设备正常运行的概率为Pk(例如：p2表示控制系统由3个元件组成时设备 正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率)· (1)若p=子当k=2时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求即2： (2)己知设备升级前，单位时间的产量为b(b∈N*)件，每件产品的利润为2元，设备升 级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的3倍，且出现了高端产品，每件产品成 为高端产品的概率为号，每件高端产品的利润是4元.记设备升级后单位时间内的利润为Y(单 位：元) （i)请用p表示E(Y): (i)设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间 内的利润是否提高.（取p=计算） 19.(本小题17分) 已知f(x)=(x-a)ex+(a-1)x,其中a∈R,e是自然对数的底 (1)当a=2时，求函数y=f(x)在x=0处的切线 (2)若函数f(x)=(x-a)ex+(a-1)x,对于Hx>0,f(x)>-2恒成立，求a的取值范围 （3)求证：对于YnEN,都有x3+V2×4+…+Vnm+可≥+nn3 2 第4页共10页 三峡名校联盟五校联考高2027届2026年春期考试数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 心 A 6 D 及 BC ACD ABD 12.f(x)=4x-x2 13.3 11 14a≥2 7.解析： CCa3 Cio 7 8.解析： 函数可改写为fx)=Cx+Ch-x-1+…+Cx+C,根据二项式定理，这个多项式可以化简为：f(x)=(1+ x)”,则f(x)=n(1+x)m-1,n=15,x=1时，f(1)=15×214. 11.解析： A88--。0a-6-1做A a B:自a=号f0=2-品22-品是然6（经+）递指， f(-)=->0,所以(，+∞)上f)>0,所以f)单调递增，故B正确。 C:由a=1,f)=2e2x-子显然f)在(-1，+)递增，且f0)=0,所以-1<x<0<x2,易 得b,使得x2>1成立，x1+x2>0,故C错误。 D:f)=2e2-在(-a,+m)递增，所以x∈(-a,+m)使得fx)=0,所以f(mm=fx)= e2xo-2ln(x+a)-b=0,又由f'(x)=02e2x0=2 xo+a a=e-2x0-x0 巨6=2m26,+0=e2w+0所以a+2h=2e2+e0+7zn:令2nEt0+0Ee20 恒成立，t∈R a+2b=2e+是+3t怜g①=2e+3+t,则g'()=2e-+3,当g'(因=2e-是+3=0 即2e-吉+子=0→4e2s+7e-2=0→e=子所以t=-21n2,所以g(0mm=g(-2n2)=}-7m2, 故D正确 14.解析： 由不等式a(er+1)-2xlnx-2lnx≥0，同时乘以x,可得ax(eax+1)≥(x2+1)mx2 设f因=c+1)t(t>0),f因=lmt++1f因=吉=岩 则f(t)在(0,1)上单调递减，(1，+∞)上单调递增 f(t)≥f'(1)=2>0因此f(t)在(0，+∞)上单调递增 由f(e≥f(x2)得ear≥x2即a≥2 设g6)=婴9四=22” x2 易得当>e时，g(x)<0,函数单调递减，当0<r<e时，g'(x)>0,函数单调递增 第5页共10页 从而，g(oax=g(e)=故a≥ 15.答案： (1)选择①y=bx+a更合适，回归方程：)=2.4x+70.4,(2)89.6美元/桶 解析：(1)选择①y=bx+a更合适， 分 由题可知x=4,万= 5584≈79.77 > 3分 c0刀 ∑xy-n可 所以6=过 i=1 658=2.35≈24 .6分 x,可 2x可 28.0 à=-bx=79.77-2.35×4=70.37≈70.4 8分 所以回归方程为：少=2.4x+70.4 9分 (2)3月8日对应的x=8, …11分 所以)=2.4×8+70.4=89.6， 所以预测3月8日的原油价格为89.6美元桶 13分 16.解析： (1)当a=1时，f(x)=lnx-x,函数的定义域为(0，+o∞) 1分 f()=-1=令f()>0得0<x<1,令f6)<0得x>1, 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)单调递减 4分 故f(x)max=f(1)=-1, 所以f(x)mm=f(3)=ln3-3 综上得：f(x)nmm=f(3)=ln3-3,f(x)max=f(1)=-1, .7分 (2)函数的定义域为(0，+0)，f)-}-Q=1,所以当a≤0时， f'(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，+o)单调递增 .10分 当a>0时，令f(x)=0,得x=>0, 由f'()>0得0<x<。由f()<0得x>。所以f()在(0，月)上单调递增，在 气日）十00）单调递减l4分 第6页共10页 综上：当a≤0时，f(x)在(0，+∞)单调递增：当a>0时，f(w)在(0，)上单调递增，在 (任，+∞）上单调递减 15分 17.解析： (1)因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等， 所以c3=C7,解得n=10, 2分 则展开式的通项公式为T+1=C(V冈-()》 =co(yrxx7-Co(y”, 20-37 4分 令20产=2，解得7=4，代入通项公式有：T5=C6(约=誓2， 4 所以存在x2的项，2的系数为 .7分 (2)二项式(+)”通项公式为：T+1=C》学。 设第k项的系数最大，故 目≥c) c周≥c2.0 …11分 10 10 1 k-1(11-)` k!(10-k)! ) 1-≥2 10! 10 1 (k-10(11-)!` 2k-2(2-0 解得片≤k≤兰 13分 因为k∈N*,所以k=4, ..14分 故系数最大的项为T4=15x号 15分 18.解析： (1)因为k=2,所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为 0,1,2,3 …1分 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为p=手所以X~B(飞，)： 所以P0x=0=c目（份）= Px=1)=c××(=品 Px=2)=C×)°x=品 Px=3)=C()G)°- 所以控制系统中正常工作的元件个数X的分布列为 X 0 2 3 第7页共10页 9 27 64 64 6 64 …3分 控制系统中正常工作的元件个数X的数学期望为卫0)=3×一景 …4分 p:=c目)°+c×目×+c)×10 …5分 (2)()升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 0 0 设备运行概率 Px 1-Pi 所以升级改造后单位时间内产量的期望为3bpk, …7分 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） bpk 2bPk 利润（单位：元） 4 2 …9分 设备升级后单位时间内的利润为4bpk+4bps=bpk,即E(Y)=8bpk. …10分 (ⅱ)若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有4个元件正常工作，其概率为 p0=h3-Cp-p)2; …12分 第二类：原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为p2)=CP0-p[1-Q-p]=C1-pP(2-p …14分 第三类：原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为p3)=CpQ-p·p2=Cp1-p)2 =P:-Cp(-P)+Cp-p)(2-p)+Cp'-p)=;+Cp(1-p)(2p-1) 则P4-P=Cp1-p)(2p-1), …16分 当p=时，P,P>0,所以增加2个元件后利润提高。 …17分 (法二)：现有系统：5个元件，即k=3,对应概率P,=器利润期望： 第8页共10页 0Y)=8提- 增加2个元件后：变为7个元件，即k=4,设备稳定运行需要不少于4个元件正常工作， 设正常工作的元件数为X,则XB(7,,则P4=PX=4)+PX=5)+PX=6)+P(X=7)-C((+ c935(2+C9((+C33°= 4096 对应利润期望： E(Y2)=8b*3807=3807九 4096 512 因为(Y1)E(Y2)b>0),所以增加2个元件后利润提高。 19.解析： (1)a=2,f(x)=(x-2)ex+x求导得f'(x)=(x-1)e+1 将x=0代入，得到f(0)=0 而f(0)=-2 所以函数y=f(x)在x=0处的切线为y=一2 …4分 (2)设函数g(x)=(x-a)ex+(a-1)x+2 则g(x)=(x-a+1)e+(a-1) g(0)=(-a+1)+(a-1)=0g(x)=(x-a+2)ex (1)a-2≥0，即a≤2时，g(x)=(x-a+2)ex≥0即g(x)在(0，+o)单调递增 所以g(x)>g(0)=0即g(x)在[0，+∞)单调递增 所以g(x)mm>g(0)=-a+2≥0符合题意 (ii)a-2≥0即a>2时，g(0)=(0-a)e°+2=2-a<0不符合题意 故a≤2 9分 (3)证明：由（2)可知，当a=2,x>0时，(x-2)e*+x>-2, 故当x>1时，lx>0,则有(mx-2)er+r>-2, 化简可得x> 2(x-1) x+1 11分 令x= /n+2 (n∈N),可得： /n+2 2+2 2( -1) n n n+2 _2n+2-ym=6n+2-=20m+)-20+), +1 √n+2+√n Inn+2-Inn 2(n+1)-2.n(n+2), .13分 第9页共10页 则l√5-lnN1>2x2-2N1x3, ln√4-l√2>2×3-2√2×4， lm5-lm√3>2×4-2√3x5, …y Wn+1-1Nm-1>2n-2√n-1)n+1), Nn+2-lWn>2(n+1）-2Vn(n+2), 将以上n个式子左右分别相加， 可得：ln√n+2+ln√n+l-ln√2-lvi >2x0+1+2加-2Vx3+2×4++Vmm+2], 即m0+20+D>r+3n-2Nx3+2x4++vm+2]. …15分 V2 整理得1x3+V2x4++Vnm+2>心+3n_hn+2n+)」 24 2 2 即x3+2x4++Va0n+2)>”)+4加r+3n+2万 2+ …17分 第10页共10页