精品解析：江西南昌市外国语学校2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

南昌市外国语学校2025—2026学年下学期 高一数学期中考试卷 一、单选题 1. 已知向量与，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量平行的坐标运算即可. 【详解】因为，所以，即. 2. 在半径为5的圆中，的圆心角所对弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】弧长公式,已知,, 代入得弧长. 3. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【详解】∵ 目标函数为，可变形为，此式是将中的替换为得到. ∴ 要得到的图象，只需将的图象上所有点向左平移个单位长度. 4. 已知复数在复平面内表示的点在直线上，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的几何意义得出点，再应用点在线上得出，最后应用共轭复数定义求解. 【详解】复数在复平面内表示的点在直线上， 则，即得，则， 则复数的共轭复数. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将原式平方求出的值，进而求出的值，将变形，并将求出的两值代入变形之后的式子即可得解. 【详解】将两边平方可得，解得. 因为，所以，故，所以， 因为，所以. 所以. 6. 已知函数是定义在R上的偶函数，在上单调递减，若，，，则a，b，c大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数性质和单调性比较函数值大小. 【详解】是上的偶函数，故，又在单调递减， ，得. ，得. ，得. 由，在单调递减， 可得：， 即. 7. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得、、，再利用正弦定理计算即可得解. 【详解】，， ，则， 由正弦定理可得， 即， 则. 8. 已知常数，若，，使得成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式将不等式转化为，根据余弦函数的性质求出的取值范围，再分析区间覆盖条件，列不等式求解. 【详解】因为，所以可化为． 由三角函数的定义解得 ，，即 ，． 该解集在数轴上表示如下： 若，，使得成立，则只需的长度大于等于相邻解集之间的长度， 所以，解得． 又，所以的最小值为． 二、多选题 9. 下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点在第三象限 C. 的共轭复数为 D. 若，则的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【详解】由题意得， 对于A选项，的虚部为，故A错误； 对于B选项，复数在复平面内对应的点在第三象限，故B正确； 对于C选项，的共轭复数为，故C正确； 对于D选项，，由复数模的三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立，即的最大值是，故D正确. 10. 水车在古代是灌溉引水的重要工具，是人类的一项古老的智慧发明，也是人类利用自然和改造自然的美好象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从水平面与水斗的交点处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且10秒后水斗第一次旋转到最高点位置，设经过秒后，水斗旋转到点，设，其纵坐标近似满足关系式，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 当时， D. 当时，点到水面的距离的最大值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，先求得水车的半径和周期，进而可求得，得到解析式，再根据三角函数的性质，逐项判断即可. 【详解】由题意，，且，则， 由于从处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转， 10秒后水斗第一次旋转到最高点位置， 此时转过的角度为，因此转动一周需要30秒，所以， 所以，则， 将代入中， 可得，故， 则，故， 又，所以，因此，故A正确，B错误； 因为，则， 则 ，所以 ， 则为水车直径，所以，故C正确； 当时，，， 则，所以点到水面的距离的最大值为2，故D正确. 11. 已知边长为的个全等的菱形如图所示进行排列（其中，当时，与重合），其中，下面说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得，，由向量数量积定义，求出结果即可判断；对于B，举反例，当时，等式不成立，即可判断；对于C，因为，可得,由向量的加法法则，求出的结果，即可判断；对于D，求得,以，由向量的数量积定义，求出的结果，即可判断. 【详解】对于A，因为，且是边长为的菱形， 所以，， 所以，故A正确； 对于B，当时，， 而， 此时不满足，故B错误； 对于C，因为（只有）， 所以， 所以，, 所以，故C正确； 对于D，因为, 由C可知， 所以， 所以 ，故D正确. 三、填空题 12. 已知，则__________. 【答案】##0.6 【解析】 【详解】. 13. 记的面积为，的外接圆半径为，且，则为____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由正弦定理把已知等式中的角用边表示，再结合余弦定理和三角形面积公式求解. 【详解】， 由正弦定理， ，代入上式得： ，所以， 又，，所以，所以. 14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若是平面内三个不同的单位向量，且满足 ，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据奇函数性质推导在全体实数域上的分段表达式，结合取值条件求出三个单位向量两两数量积的取值范围，通过建立平面直角坐标系简化向量运算，将目标式转化为三角函数求值域问题，最终得到取值范围. 【详解】∵ 是定义在上的奇函数，且时，, ∴ 当时，，则，且. 结合已知条件: 由，得. 由，得. 由，得. ∵ 是互相垂直的单位向量，建立平面直角坐标系，设，单位向量, ∴ ，，解得. ∵ ，, ∴ . 由辅助角公式得, ∵ ，∴ , ∴ ，则, ∴ 原式的取值范围为. 四、解答题 15. 已知均为单位向量，且． （1）求； （2）求向量与的夹角； （3）求向量与方向上的投影数量． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件，结合数量积的性质求出，再由求结论； （2）结合向量夹角的计算公式求解； （3）根据投影数量的定义求解. 【小问1详解】 由均为单位向量，则， 由，即，得， 故； 【小问2详解】 ， 由（1）知，，且， 故与的夹角为； 【小问3详解】 由投影数量的定义可知， 向量与方向上的投影数量为. 16. 如图，以为始边作角与，角终边过点. （1）求值； （2）求的值； （3）若角与的终边分别与单位圆相交于点，，且.求的值.] 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义求解即可； （2）利用齐次式法求解即可； （3）利用三角函数的定义可求得，结合图形与已知可得，利用诱导公式求解即可. 【小问1详解】 因为角终边过点，所以. 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 因为角终边过点，所以， 所以， 因为，结合图形可得， 所以，， 所以. 17. 已知的内角所对的边分别为向量,,且. （1）求角； （2）若,,求的面积； （3）若求的最大值. 【答案】（1） （2） （3）12 【解析】 【分析】（1）根据向量的共线可得角的三角函数值，进而可得角的值； （2）先由余弦定理求得，再由面积公式可得； （3）先由余弦定理得,再由基本不等式可得最大值. 【小问1详解】 因为向量，且，所以. 又由正弦定理得，因为，所以 又因为，所以. 【小问2详解】 因为中,,,由（1）知，由余弦定理， 即,所以,解得或（舍去）. 所以的面积. 【小问3详解】 由余弦定理可知，，即， 则，因为， 所以，则，当时等号成立， 则，且，所以， 所以的最大值为. 18. 在中国的传统节目里，舞龙是具有一个代表性的，舞龙表演时龙身上下起伏可以近似看作由函数的图象组成，其中，，．下面是该函数的部分图象． （1）求的解析式，并求其对称中心及单调增区间； （2）令，对，都存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1），对称中心为，，单调增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可得与周期，从而可求得，，，利用待定系数法结合求出，进而求出，结合正弦型函数的性质可得对称中心及单调区间. （2）求出，分别求出和的范围，再根据题意可得的范围是的范围的子集，进而可得出答案. 【小问1详解】 由图像可知，，解得， 又，所以，又，，所以， 所以， 将代入得，即， 所以，，解得，， 又，所以，故. 令，，解得，，所以对称中心为，. 令，，解得，， 单调增区间为． 【小问2详解】 ， 又，则，所以. 又，则，所以. 由，得，即， 所以，即，解得. 故的取值范围为． 19. 在锐角三角形中，角的对边分别为，若，. （1）求角的大小； （2）求边的值； （3）角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，进一步整理得，即可求得角； （2）利用正弦定理将所给等式转化为关于的等式，结合余弦定理即可求出； （3）利用三角形面积公式，将角平分线表示为，对边对角模型，，转化为三角函数求值域． 【小问1详解】 由及正弦定理得： ， 因为，所以， 所以，又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理，得， 由得：， 即， 由余弦定理得，， 联立解得. 【小问3详解】 如图所示，由（1）知，由于， ， ， 由（2）知， 因为，所以， 则 令 ，则， 因为是锐角三角形，则， 则， 令，由解析式可知在单调递增， 所以，即 即长度的范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市外国语学校2025—2026学年下学期 高一数学期中考试卷 一、单选题 1. 已知向量与，若，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 在半径为5的圆中，的圆心角所对弧长为（ ） A. B. C. D. 3. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 4. 已知复数在复平面内表示的点在直线上，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在R上的偶函数，在上单调递减，若，，，则a，b，c大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ） A. B. C. D. 8. 已知常数，若，，使得成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点在第三象限 C. 的共轭复数为 D. 若，则的最大值是 10. 水车在古代是灌溉引水的重要工具，是人类的一项古老的智慧发明，也是人类利用自然和改造自然的美好象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从水平面与水斗的交点处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且10秒后水斗第一次旋转到最高点位置，设经过秒后，水斗旋转到点，设，其纵坐标近似满足关系式，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 当时， D. 当时，点到水面的距离的最大值为2 11. 已知边长为的个全等的菱形如图所示进行排列（其中，当时，与重合），其中，下面说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知，则__________. 13. 记的面积为，的外接圆半径为，且，则为____． 14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若是平面内三个不同的单位向量，且满足 ，则的取值范围为__________． 四、解答题 15. 已知均为单位向量，且． （1）求； （2）求向量与的夹角； （3）求向量与方向上的投影数量． 16. 如图，以为始边作角与，角终边过点. （1）求值； （2）求的值； （3）若角与的终边分别与单位圆相交于点，，且.求的值.] 17. 已知的内角所对的边分别为向量,,且. （1）求角； （2）若,,求的面积； （3）若求的最大值. 18. 在中国的传统节目里，舞龙是具有一个代表性的，舞龙表演时龙身上下起伏可以近似看作由函数的图象组成，其中，，．下面是该函数的部分图象． （1）求的解析式，并求其对称中心及单调增区间； （2）令，对，都存在，使得，求的取值范围． 19. 在锐角三角形中，角的对边分别为，若，. （1）求角的大小； （2）求边的值； （3）角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $