北京市顺义区第一中学2025-2026学年第二学期高一年级4月考试数学试卷

**基本信息** 高一年级4月数学月考卷，以复数、向量、解三角形等核心知识为载体，通过阿基米德螺线情境题、三维向量递推压轴题，考查数学抽象、几何直观与推理能力，层次分明且具创新应用价值。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|复数坐标、向量平行、旋转体判断|基础巩固，如复数对应点坐标直接考查数学眼光| |填空题|5/25|正三棱柱侧面最短路线、阿基米德螺线结论判断|创新应用，阿基米德螺线结合坐标规律考查数学语言表达| |解答题|6/86|三维向量递推、解三角形条件选择|能力提升，三维向量递推题综合考查推理能力与创新意识|

顺义一中 2025-2026学年第二学期高一年级4月考试 数学试卷 一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. A. AE B. C. D. 2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1，2)，则=( ). A. 1+2i B. - 2+i C. 1-2i D. - 2-i 3.已知向量=(-1,2), //,那么向量可以是( ) A. (-2,-1) B. (-2,1) C. (1,2) D. (1,-2) 4.如图 若直角梯形ABCD及其内部各点绕边AB所在的直线旋转360°，则得到的旋转体是( ). A.圆锥 B.圆台 C.圆锥与圆台的组合体 D.圆锥与圆柱的组合体 5.已知向量 若与垂直，则 A. 2 B. 2 C. D. 4 6.设，是非零向量，则“存在实数λ，使得 是 的( ) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 7.在△ABC中，三边长分为5，7，8，则最大角和最小角之和是( ) 8.如图，在△ABC中，点 M是AB上的点且满足 A是CM上的点，且 设 则 A. B. C. D. 试卷第 Ⅱ页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 9、△ABC中, a,b,c分别是内角A,B,C的对边,若 且 则△ABC的形状是( ) A.底角是的等腰三角形 B.等边三角形 C.三边均不相等的直角三角形 D.等腰直角三角形 10.已知点O(0,0), A(2,1); B(1,2).若平面区域D由所有满足 的点P组成，则D的面积为( ) A. B. 3 C. 6 D. 12 二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分. 11.若复数 则|z|= . 12.已知正三棱柱ABC-A'B'C'的底面边长为1，高为8，一质点自点A'出发，沿着棱柱侧面绕行一周到达A点的最短路线的长为 . 13.已知向量与的夹角为则 14.在△ABC中, ①若=5，则角B的大小为 ②若角B有两个解，则的取值范围是 . 15.阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用，如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点A₁(-1,0), A₂(0,-2), A₃(3,0), A₄(0,4), A₅(-5,0), A₆(0,-6), A₇(7,0), A₈(0,8),并按这样的规律继续下去.给出下列四个结论： ①对于任意正整数n， ②不存在正整数n，使得 为整数； ③不存在正整数n，使得三角形，的面积为2025； ④对于任意正整数n，三角形，为锐角三角形. 其中所有正确结论的序号是 . 试卷第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题，共6小题，共86分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. (14分)已知向量=(3,-1), =(2,1). (1)求; (2)求 (3)求与 的夹角θ的余弦值. 17. (14分)在△ABC中, (1)求cosA的值; (2)若 求的值. 18. (14分)已知复数:z=+4i(a∈R) (i为虚数单位). (1)若(1-i)z是纯虚数,求z: (2)若 求的值； (3)若复数z²在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围. 19.（15分)在△OAB中,P为边AB上的一点, 且 设 (1)设 试求x，y的值； (2)试求 的值； (3)试求∠BOP的余弦值. 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 20. (14分)设△ABC的内角A,B,C 的对边分别为,b,c,且 (1)求角A大小; (2)再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC的面积. 条件①： 条件②： 条件③：AB边上的高 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 21.(14分)已知三维向量 其中,,是两两不相等的正整数.记 其分量之间满足递推关系： (1)当 时，直接写出向量 (2)是否存在 使得 其中 若存在，请给出一组符合条件的三维向量 若不存在，说明理由； (3)证明:存在k∈,当i≥k时,向量 满足 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $