精品解析：2026年贵州省遵义市正安县部分学校中考一模九年级数学试卷

数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共三个大题，共25题，满分150分．考试时长120分钟，考试形式为闭卷． 2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题不计分． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 计算的结果是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 2. 下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 据预测，2025年中国新能源汽车产销量均突破1600万辆，位居全球第一．1600这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线上有一点C，过点C作射线．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 一个动物园的部分示意图如图所示，若以大象馆D为坐标原点，正东方向为横轴正方向，正北方向为纵轴正方向建立平面直角坐标系，则在第四象限内的点是（ ） A. 点A B. 点B C. 点D D. 点O 6. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（ ） A. 抽到语文作业本的可能性最大 B. 抽到数学作业本的可能性最小 C. 抽到英语作业本的可能性最大 D. 抽到物理作业本的可能性最大 8. 若分式无意义，则x的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 9. 在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙、丙、丁四人在学校举行的运动会中参加100m短跑比赛，在某一时刻，将四人已跑路程（y）与所用时间（x）的对应点在平面直角坐标系中表示出来，如图所示，则四人中平均速度最慢的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 11. 如图，点A在直线l外，以点A为圆心，a长为半径画弧，交直线l于B，C两点，分别以点B，C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D，作直线．下列说法中，一定正确的是（ ） A. B. C. 垂直平分 D. 垂直平分 12. 五一劳动节”期间，小华和小欢从A地出发，沿同一条公路匀速驾车前往B地，小华出发1小时后小欢再出发．如图是小华和小欢之间的距离y（单位：）和小华出发后的时间x（单位：h）之间的对应关系．根据图象提供的信息，有如下说法： ①小华的速度为； ②小欢的速度为； ③小华从A地到达B地所用时间为； ④A、B两地相距． 以上说法正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 如图，数轴上有A，B，C，D，E五个点，则与点A表示的数互为相反数的数对应的点是_______．（填“B”或“C”或“D”或“E”） 14. 一个不透明的口袋中装有m个红球，为了估计红球的个数，小华向口袋中加入2个白球，它们除颜色外完全相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜色后放回，通过多次摸球后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则估计m的值是_______． 15. 《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作，书中记载了一种用于观测星辰位置的圭表，已知圭的长度比表长5尺，且圭和表长度之和为21尺，则圭的长度为______尺． 16. 如图，在中，，过点作，连接，，交于点，且恰好是的平分线．若，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、化简求值： （1）； （2），其中，． 18. 在物理力学中，当物体对接触面的压力固定时，接触面受到的压强（记为p，单位：）与受力面积（记为S，单位：）满足固定公式：（其中F为固定压力，单位：N）．某实验小组对同一物体进行压力测试，得到以下实验数据（实验序号1表示第1次实验）： 实验序号 压强 受力面积S/ 1 200 0.3 2 300 0.2 3 400 0.15 4 500 0.12 5 600 0.11 请解答以下问题： （1）表中哪次实验数据明显是错误的？请说明理由； （2）判断p与S满足的函数关系______（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），并求出p关于S的函数表达式； （3）若实验中受力面积调整为，求此时接触面受到的压强． 19. 为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班分别开展不同的课后服务模式．其中，一班采用传统课后服务模式，以学科作业辅导为主；二班开展“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动．一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的综合素质进行评分（满分10分）． 【数据收集与整理】 一班和二班学生综合素质评分的数据整理如下表： 分数（分） 6 7 8 9 10 一班人数（人） 4 11 ▲ 10 3 二班人数（人） 1 7 ▲ 13 5 【数据分析与运用】 为了更深入地对比两种课后服务模式下学生综合素质的情况，学校对两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 7.925 1.219 二班 8 8 0.978 （1）表中的值为___，的值为____，的值为___； （2）对于这次测试，班级成绩比较整齐的是_____班；（填“一”或“二”） （3）在第二学期，八年级一班也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综合素质进行评分，已知全班同学的评分只有7分、8分、9分、10分四种，且中位数为8.5，众数为9，则评分为10分的同学最多有多少人？ 20. 如图，在菱形中，于点E，于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 岁末寒冬，某地党委组织党员干部开展“温暖童心新年”关爱志愿服务活动，为乡村儿童购买A，B两种款式的书包．已知A款书包的单价为50元/个，B款书包的单价为70元/个． （1）如果用3400元刚好买A，B款书包共60个，那么这两种书包各买了多少个？ （2）为关爱更多儿童，需购买A，B款书包共80个，总花费不超过5000元，那么B款书包最多能买多少个？ 22. 如图①，是世界第一高桥-贵州花江峡谷大桥，其主跨径（即两侧立柱之间的距离）为，是目前世界山区峡谷中跨度最大的钢桁梁悬索桥，同时其桥面距水面垂直高度也刷新了世界纪录．如图②，立柱和均垂直于桥面．已知．在立柱的桥塔区顶部B处设有一个“云端咖啡厅”，是著名的网红打卡点． 根据以上信息，完成下列任务： （1）任务一：如图②，小欢乘坐观光电梯从立柱底部A出发，到达“云端咖啡厅”B处后，测得点F处的俯角则的度数为____； （2）任务二：根据任务一的条件，求立柱高出桥面部分的长（精确到）； （3）任务三：如图③，小欢想测量桥面到水面的垂直距离，她在点B处俯视桥面的中点O正下方的水面上点N（其中），测得俯角，求桥面与水面之间的距离的长（精确到）．（参考数据：，，，，，） 23. 如图，是的外接圆，是的直径．的平分线交于点D，交于点E．过点D作的切线，交的延长线于点P． （1）的度数是____，与的关系是_____； （2）求证：； （3）若，，求的长． 24. 弹力球是一种常见的儿童玩具．如图①，弹力球在撞击地面后弹起，其运动路径可以近似地看成一组形状相同的抛物线．如图②，在平面直角坐标系中，欢欢从离地面高度的A处抛出弹力球，弹力球在B处第一次着地，随后弹起，在点C处再次着地，弹力球着地前后的运动路径可以近似看成形状相同的两条抛物线．弹力球第一次着地前抛物线的表达式为．设弹力球每次着地后弹起的最大高度均为着地前最大高度的（其他因素忽略不计）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）当时，求弹力球第一次着地前抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，求弹力球第二次着地点C距第一次抛出点的水平距离的长； （3）为控制弹力球抛出后第一次着地前的高度，要求在的区域内，弹力球离地面的最大高度与最小高度之差为，求欢欢抛出弹力球的高度的长． 25. 如图，在正方形中，点P为对角线上任意一点（不与点B，D重合），连接． （1）【问题解决】：如图①，当时，连接，则____度，线段与线段的数量关系是_____； （2）【问题探究】：如图②，在线段上找一点E（点E不与点A重合），使得，探究线段与线段的位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】：当，时，在射线上找一点E（点E不与点A重合），使得，射线交射线于点F．求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共三个大题，共25题，满分150分．考试时长120分钟，考试形式为闭卷． 2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题不计分． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 计算的结果是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据乘方的定义，表示n个a相乘，解答即可． 【详解】解： ． 2. 下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心；据此逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， B．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， D．是中心对称图形，故该选项符合题意． 3. 据预测，2025年中国新能源汽车产销量均突破1600万辆，位居全球第一．1600这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，要求，的值为原数整数位数减1． 【详解】 ． 4. 如图，直线上有一点C，过点C作射线．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平角的定义求解． 【详解】是平角， ， ． 5. 一个动物园的部分示意图如图所示，若以大象馆D为坐标原点，正东方向为横轴正方向，正北方向为纵轴正方向建立平面直角坐标系，则在第四象限内的点是（ ） A. 点A B. 点B C. 点D D. 点O 【答案】A 【解析】 【分析】按要求建立平面直角坐标系进而得出在第四象限内的点． 【详解】解：按要求建立平面直角坐标系，如图所示， ∴在第四象限内的点是点A． 6. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，判断即可． 【详解】解：， A、不等式两边同时减1，不等号方向不变，可得，故A错误； B、不等式两边同时乘以正数2，不等号方向不变，可得，故B正确； C、不等式两边同时乘以负数，不等号方向改变，可得，故C错误； D、不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，可得，故D错误； 故选：B． 7. 小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（ ） A. 抽到语文作业本的可能性最大 B. 抽到数学作业本的可能性最小 C. 抽到英语作业本的可能性最大 D. 抽到物理作业本的可能性最大 【答案】A 【解析】 【分析】求出抽到每种作业本的概率，再比较大小即可． 【详解】解：∵总共有8个作业本，其中语文3本，数学2本，英语2本，物理1本， ∴， ， ， ， ∵， ∴抽到语文作业本的可能性最大，抽到物理作业本的可能性最小， ∴因此选项A正确，选项B，C，D错误． 8. 若分式无意义，则x的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式无意义时分母为0，解答即可． 【详解】分式无意义， ， 解得：． 9. 在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之差比上面那根小棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； B选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比下面那根小棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； C选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比上面那根小棒长，这两段之差比上面那根小棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形，符合题意； D选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和与上面那根小棒长度相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意． 10. 甲、乙、丙、丁四人在学校举行的运动会中参加100m短跑比赛，在某一时刻，将四人已跑路程（y）与所用时间（x）的对应点在平面直角坐标系中表示出来，如图所示，则四人中平均速度最慢的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【详解】如图，先分别连接原点与甲、乙、丙、丁四个点，再找一条垂直轴的网格线，与丁点所在直线交点在最下方，即相同时间内丁已跑路程最小， 所以平均速度最慢的是丁． 11. 如图，点A在直线l外，以点A为圆心，a长为半径画弧，交直线l于B，C两点，分别以点B，C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D，作直线．下列说法中，一定正确的是（ ） A. B. C. 垂直平分 D. 垂直平分 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图痕迹可知，，即可得出结论． 【详解】根据作图痕迹可以判断作图过程为过点作直线的垂线，且，， 所以垂直平分一定正确． 故选：D． 12. 五一劳动节”期间，小华和小欢从A地出发，沿同一条公路匀速驾车前往B地，小华出发1小时后小欢再出发．如图是小华和小欢之间的距离y（单位：）和小华出发后的时间x（单位：h）之间的对应关系．根据图象提供的信息，有如下说法： ①小华的速度为； ②小欢的速度为； ③小华从A地到达B地所用时间为； ④A、B两地相距． 以上说法正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知，当时，，这是小华1小时行驶的路程，可判断①；根据当时，两人相距，小欢行驶了1小时，可判断②；代表小欢追上了小华，而不是小华到达B地，可判断③；设A、B两地相距，根据题意列方程求解，可判断④． 【详解】解：由图象可知，当时，，此时小欢还未出发（小华出发1小时后小欢才出发）， ∴这是小华1小时行驶的路程， ∵速度路程时间， ∴小华的速度为，①正确； 当时，小华出发了2小时，行驶路程为， ∵此时两人相距，小欢行驶了1小时， ∴小欢在（小时）内行驶了， ∴小欢的速度为，②正确； 当时，，代表小欢追上了小华，而不是小华到达B地， 若小华2.5小时到达B地，则A、B两地相距， 小欢到达B地的时间为，对应小华出发时间， 与图象矛盾，③错误； 设A、B两地相距，则小华行驶完全程的时间为，小欢行驶完全程的时间为，小欢晚出发1小时，且小欢到达时追上小华（）， 因此， ，④正确． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 如图，数轴上有A，B，C，D，E五个点，则与点A表示的数互为相反数的数对应的点是_______．（填“B”或“C”或“D”或“E”） 【答案】B 【解析】 【分析】从数轴上可以直接看出五个点表示的数，根据相反数的定义即可作答． 【详解】解：点A表示的数是2，与2互为相反数的数是，点B表示的数是， ∴与点A表示的数互为相反数的数对应的点是点B． 14. 一个不透明的口袋中装有m个红球，为了估计红球的个数，小华向口袋中加入2个白球，它们除颜色外完全相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜色后放回，通过多次摸球后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则估计m的值是_______． 【答案】18 【解析】 【分析】根据概率公式得到，即可得到答案． 【详解】解：， 解得． 15. 《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作，书中记载了一种用于观测星辰位置的圭表，已知圭的长度比表长5尺，且圭和表长度之和为21尺，则圭的长度为______尺． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键．设圭的长度为x尺，表的长度为y尺，根据“圭的长度比表长5尺，且圭和表长度之和为21尺”列出方程组并求解即可． 【详解】解：设圭的长度为x尺，表的长度为y尺， 则， 解得：， ∴圭的长度为13尺． 16. 如图，在中，，过点作，连接，，交于点，且恰好是的平分线．若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定；分别过点，作，，垂足分别是，，由角平分线的性质可得，，进而可证明，设 ，则，在中，利用，建立方程可求出，最后利用，得出，即可求出． 【详解】解：∵在Rt中，，， ， 如图所示，分别过点，作，，垂足分别是，， 平分，， ，， ， ， ， ， 设 ，则， 在中，，即，解得：， ， ∵在中，，， ， ， ∴在中，， ，， ， ， ． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、化简求值： （1）； （2），其中，． 【答案】（1） （2）化简为，值为 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 当，时，原式 ． 18. 在物理力学中，当物体对接触面的压力固定时，接触面受到的压强（记为p，单位：）与受力面积（记为S，单位：）满足固定公式：（其中F为固定压力，单位：N）．某实验小组对同一物体进行压力测试，得到以下实验数据（实验序号1表示第1次实验）： 实验序号 压强 受力面积S/ 1 200 0.3 2 300 0.2 3 400 0.15 4 500 0.12 5 600 0.11 请解答以下问题： （1）表中哪次实验数据明显是错误的？请说明理由； （2）判断p与S满足的函数关系______（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），并求出p关于S的函数表达式； （3）若实验中受力面积调整为，求此时接触面受到的压强． 【答案】（1）第5次实验数据明显是错误的，理由见解析 （2）反比例函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据各组数据中p与S的乘积应为定值，分别计算各组的值，即可得解； （2）根据每一对值乘积为60，确定是反比例函数，可得函数关系式； （3）将代入解析式，求出对应的p值即可． 【小问1详解】 解：第5次实验数据明显是错误的，理由如下： 根据物理公式，压力F固定， ∴各组数据中p与S的乘积应为定值，分别计算各组的值： 第1次：， 第2次：， 第3次：， 第4次：， 第5次：， 第5次实验数据的值为66，与前4次的固定值60不符， ∴第5次实验数据（，）明显是错误的； 【小问2详解】 解：p与S满足的函数关系：反比例函数； 由（1）可知，固定压力，根据公式，变形可得， ∴p关于S的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当时，， ∴此时接触面受到的压强为． 19. 为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班分别开展不同的课后服务模式．其中，一班采用传统课后服务模式，以学科作业辅导为主；二班开展“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动．一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的综合素质进行评分（满分10分）． 【数据收集与整理】 一班和二班学生综合素质评分的数据整理如下表： 分数（分） 6 7 8 9 10 一班人数（人） 4 11 ▲ 10 3 二班人数（人） 1 7 ▲ 13 5 【数据分析与运用】 为了更深入地对比两种课后服务模式下学生综合素质的情况，学校对两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 7.925 1.219 二班 8 8 0.978 （1）表中的值为___，的值为____，的值为___； （2）对于这次测试，班级成绩比较整齐的是_____班；（填“一”或“二”） （3）在第二学期，八年级一班也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综合素质进行评分，已知全班同学的评分只有7分、8分、9分、10分四种，且中位数为8.5，众数为9，则评分为10分的同学最多有多少人？ 【答案】（1） （2）二 （3）人 【解析】 【分析】（1）先求出一班、二班得分人数，再由众数、中位数和平均数的求法求解即可； （2）通过比较题中数据里方差的大小即可得到答案； （3）由题中得分情况、得分中位数及众数分析即可得到答案． 【小问1详解】 解：学校对八年级一班和二班各40名学生的综合素质进行评分， 一班得分的人数为；二班得分的人数为； 则一班得分的众数为，即；一班成绩的中位数为第名成绩的平均数，为，即；二班成绩的平均数为，即； 【小问2详解】 解：由题中数据可知，一班成绩的方差为；二班成绩的方差为， ， 二班得成绩比较整齐； 【小问3详解】 解：设得7分、8分、9分、10分的人数分别为， 全班同学的评分中位数为8.5， 由一班成绩的中位数为第名成绩的平均数，可知第名成绩为分、第名成绩为分， 则班级得分学生的总人数为人，即， 一班成绩的众数为9， ， 则， ， 则取得的最小整数为，此时有最大值，为， 当全班得或分的人数不超过人时，即、时，分为10分的同学最多，有人． 20. 如图，在菱形中，于点E，于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得，，由已知得，即可由证明； （2）连接，交于点M，由，根据全等三角形的性质得，，再根据菱形的性质可推出，则垂直平分，由勾股定理求出、，再根据三角形等面积法求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ，， ∵于点E，于点F， ， ； 【小问2详解】 解：如解图，连接，交于点M． ， ，， ∵四边形是菱形， ， ，即， ∴垂直平分， ，， ， ， ∴， ， ， ， ， ． 21. 岁末寒冬，某地党委组织党员干部开展“温暖童心新年”关爱志愿服务活动，为乡村儿童购买A，B两种款式的书包．已知A款书包的单价为50元/个，B款书包的单价为70元/个． （1）如果用3400元刚好买A，B款书包共60个，那么这两种书包各买了多少个？ （2）为关爱更多儿童，需购买A，B款书包共80个，总花费不超过5000元，那么B款书包最多能买多少个？ 【答案】（1）购买A款书包40个，B款书包20个 （2）B款书包最多能买50个 【解析】 【分析】（1）设购买A款书包个，则购买B款书包个，列出一元一次方程进行计算即可； （2）设购买B款书包个，则购买A款书包个，列出一元一次不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设购买A款书包个，则购买B款书包个， 根据题意，得， 解得， 则， 答：购买A款书包40个，B款书包20个； 【小问2详解】 解：设购买B款书包个，则购买A款书包个， 根据题意，得 ， 解得， 答：B款书包最多能买50个． 22. 如图①，是世界第一高桥-贵州花江峡谷大桥，其主跨径（即两侧立柱之间的距离）为，是目前世界山区峡谷中跨度最大的钢桁梁悬索桥，同时其桥面距水面垂直高度也刷新了世界纪录．如图②，立柱和均垂直于桥面．已知．在立柱的桥塔区顶部B处设有一个“云端咖啡厅”，是著名的网红打卡点． 根据以上信息，完成下列任务： （1）任务一：如图②，小欢乘坐观光电梯从立柱底部A出发，到达“云端咖啡厅”B处后，测得点F处的俯角则的度数为____； （2）任务二：根据任务一的条件，求立柱高出桥面部分的长（精确到）； （3）任务三：如图③，小欢想测量桥面到水面的垂直距离，她在点B处俯视桥面的中点O正下方的水面上点N（其中），测得俯角，求桥面与水面之间的距离的长（精确到）．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） （3）625m 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等即可得到答案； （2）由题意可知：，，根据，即可求出答案； （3）设与交于点，由题意可得：，求出，再根据是的中点，求出，再根据，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可知：，， ； 【小问2详解】 解：由题意可知：，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：设与交于点， 由题意可得：， ， 在中， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 23. 如图，是的外接圆，是的直径．的平分线交于点D，交于点E．过点D作的切线，交的延长线于点P． （1）的度数是____，与的关系是_____； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得，再根据角平分线的定义可得的度数；由可得； （2）连接，根据切线的性质可得：，则圆周角定理可得，再运用平行线的判定即可； （3）过点C作于点F，运用勾股定理求得，可得：，再证明四边形是正方形，可得：，再证明，则，即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵是的平分线， ∴； ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点C作于点F， ∵，，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 24. 弹力球是一种常见的儿童玩具．如图①，弹力球在撞击地面后弹起，其运动路径可以近似地看成一组形状相同的抛物线．如图②，在平面直角坐标系中，欢欢从离地面高度的A处抛出弹力球，弹力球在B处第一次着地，随后弹起，在点C处再次着地，弹力球着地前后的运动路径可以近似看成形状相同的两条抛物线．弹力球第一次着地前抛物线的表达式为．设弹力球每次着地后弹起的最大高度均为着地前最大高度的（其他因素忽略不计）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）当时，求弹力球第一次着地前抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，求弹力球第二次着地点C距第一次抛出点的水平距离的长； （3）为控制弹力球抛出后第一次着地前的高度，要求在的区域内，弹力球离地面的最大高度与最小高度之差为，求欢欢抛出弹力球的高度的长． 【答案】（1） （2） （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）当时，即点，利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设弹力球第一次着地与第二次着地之间运动路径函数表达式为，将点代入求出的值，再求出点坐标，即可得解； （3）设弹力球在的区域内的最大高度为，最小高度为．分四种情况讨论，利用二次函数的性质分别得出最大值和最小值，即可得解． 【小问1详解】 解：（1）当时，即点， ， ，（舍去）， ∴弹力球第一次着地前，抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得：得，（舍去）， ∴点． 设弹力球第一次着地与第二次着地之间运动路径函数表达式为， ∵点在函数的图象上， ， 解得：，（舍去）． 当时，， 解得，（舍去）， ∴点， ∴的长为； 【小问3详解】 解：设弹力球在的区域内的最大高度为，最小高度为． 情况1：如解图①，当时，时取得最大高度，时取得最小高度， ， 解得：， ； 情况2：如图②，当时，时取得最大高度，时取得最小高度， ， 解得：， ； 情况3：如图③，当，且时，即，时取得最大高度为2，时取得最小高度， 则， 解得：，． ， 和均不符合，舍去； 情况4：如图④，当，且时，即，时取得最大高度为2，时取得最小高度， 则， 解得：，． ， 和均不符合，舍去． 综上可知，的长为或． 25. 如图，在正方形中，点P为对角线上任意一点（不与点B，D重合），连接． （1）【问题解决】：如图①，当时，连接，则____度，线段与线段的数量关系是_____； （2）【问题探究】：如图②，在线段上找一点E（点E不与点A重合），使得，探究线段与线段的位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】：当，时，在射线上找一点E（点E不与点A重合），使得，射线交射线于点F．求线段的长． 【答案】（1）135， （2），理由见解析 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质以及等边对等角得到，即可求出，再证明，即可得到； （2）连接，证明，得到，再根据，，求出，即可得到结论； （3）分当点在线段上时，过点作，交的延长线于点，和当点在线段延长线上时，过点作，交的延长线于点，两种情况进行分类讨论即可． 【小问1详解】 解：正方形， ，，， ， ， ， 四边形内角和为， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 连接， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：当点在线段上时，过点作，交的延长线于点， 由（2）知， ， ， ， ， 连接， ， ， ， ， ， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，过点作，交的延长线于点， 由（2）知， ， ， 设与交于点， ， ， ， 连接， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $