精品解析：黑龙江海伦市第一中学2025-2026学年度第二学期高一期中考试数学试题

黑龙江省海伦市第一中学 2025-2026学年度第二学期高一期中考试 数 学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案正确填写在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效. 3．本试卷命题范围：必修第二册第六章～第八章（8.5） 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法运算法则求，然后得到，最后根据虚部的定义判断即可. 【详解】因为，所以，虚部为. 故选：D. 2. 已知，，若与共线，则（　　） A. B. C. 2 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】与共线，，解得， ，， . 3. 已知，为空间中不重合的直线，，，为空间中三个不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据各项线线、线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质及空间想象判断各项的正误. 【详解】A：若，，则或，错； B：若，，则可能平行或相交，错； C：若，，，则可能平行或异面，错； D：若，，由面面平行的性质知，对. 故选：D 4. 已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，侧棱长为，则其体积为（ ） A. 108 B. 112 C. 120 D. 124 【答案】B 【解析】 【分析】根据上下底面边长和侧棱，可求出正四棱台的高，再由体积公式计算可得结果. 【详解】取正四棱台过侧棱的轴截面，上、下底面中心分别为，如下图所示： 依题意可得， 因此可得， 所以其体积为. 故选：B 5. 已知，均为单位向量，且满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，均为单位向量，所以， 由可得：， 解得：， 所以在上的投影向量为：. 6. 如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量的加减、数乘运算求解即可. 【详解】， . 故选：D 7. 下列命题正确的是（ ） A. 两条相交直线不能确定一个平面 B. 若，，三点既在平面内，又在平面内，则平面与重合 C. 若直线，，两两平行，则直线，，共面 D. 若平面与平面交于直线，直线在平面内，且与平面交于点，则点在直线上 【答案】D 【解析】 【分析】由两条相交直线确定平面判断A；当，，三点在同一条直线上时，得不出结论判断B；举反例判断C；利用基本事实3可得点在平面与平面的交线上，可判断D. 【详解】两条相交直线确定一个平面，故A错误． 当，，三点在同一条直线上时，平面与可以不重合，故B错误． 三棱柱的三条侧棱两两平行，但这三条侧棱不共面，故C错误． 由直线在平面内，且与平面交于点可知点既在平面内，又在平面内，则点在平面与平面的交线上，故D正确． 故选：D. 8. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用正弦定理及余弦定理计算求解. 【详解】因为，， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得，则． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数满足，则下列说法错误的是（　　） A. 为纯虚数 B. 的虚部为2i C. 在复平面内，对应的点位于第二象限 D. ＝ 【答案】ABC 【解析】 【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数z，再对选项一一判断即可得出答案. 【详解】设复数，由得， 则，故A错误； z的虚部为，故B错误； 复平面内，对应的点为，对应的点位于第三象限，故C错误； ，故D正确. 故选：ABC. 10. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 在中，若，则必是等腰三角形 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若，且有两解，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】A将化为，再利用正弦定理和余弦定理化简；B利用角的范围以及正弦函数图象即可；C利用以及正弦函数的单调性；D画出图形，数形结合. 【详解】，则，利用正弦定理可得，再由余弦定理可得，故角为钝角，故A正确； ，则，由可得或，即或，故B错误； 锐角有，因，则，由于在上单调递增，则，故C正确； 由图可知，欲使有两解，则，故D错误. 故选：AC 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在点，使得平面 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C. 三棱锥的体积为4 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，当为中点时，利用中位线的性质可证得，再证得线面平行；对于B，利用中位线的性质可证得，对边平行且不相等，可得到截面是梯形；对于C，利用等体积法可求得三棱锥的体积；对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体的外接球，先求半径再求表面积即可. 【详解】 对于A，当为中点时，由中位线可得， 因为平面，平面，所以平面.故A错误； 对于B，由中位线可得，在正方体中，易证，所以， 又因为，所以截面为梯形，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径， 所以表面积，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 【答案】或. 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得出关于实数的等式，即可得解. 【详解】由复数表示的点的坐标为： ， 又该复数对应的点在虚轴上， 所以，解得或， 故答案为：或. 13. 如图是水平放置的的斜二测直观图，其中，，则在中，__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的长，然后作出，利用勾股定理可计算得出的长. 【详解】在直观图中，，，则为等腰直角三角形， ， 作出如下图所示： 其中，， 且，由勾股定理可得. 故答案为：. 14. 已知AD是的中线，若，，则的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得，然后利用基本不等式求得的最小值. 【详解】， ， 所以，当且仅当时等号成立. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）若向量与垂直，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算列方程求解参数； （2）先根据数量积大于0列出不等式，再排除向量同向共线的情况，得到参数的取值范围 【小问1详解】 ，解得； 【小问2详解】 若向量与的夹角为锐角，则且与不同向共线， 且，解得且， 或. 16. 如图，一个圆锥的底面半径为1，高为4，在圆锥中有一个内接圆柱. （1）求圆锥的表面积与体积； （2）设圆柱的底面半径为，当为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的表面积及体积公式计算即可； （2）根据相似计算出圆柱的高，再写出表面积公式再结合二次函数得出最大值. 【小问1详解】 如图：圆锥的母线； ； 【小问2详解】 记圆柱的表面积为，圆柱高为，则. ，即， 解得，其中； 所以， 当时，. 17. 如图，在正四棱柱中，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若正四棱柱的外接球的表面积是，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，则，利用线面平行的判定定理即可证明； （2）求出正四棱柱的外接球半径，进而可求出，根据，即可求解. 【小问1详解】 连接交于，连接； 分别是的中点， 平面平面， 平面. 【小问2详解】 设，正四棱柱的外接球的半径为， 因为正四棱柱的外接球的表面积，解得， 由题意为正四棱柱的外接球的直径， 由，得， 解得或（舍），即. 18. 如图，四棱锥的底面为平行四边形．设平面与平面的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点． （1）求证：平面平面； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明即可； （2）利用线面平行的性质定理证明即可 【小问1详解】 因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形， 所以，， 又平面，平面， 则平面， 同理平面，平面， 可得平面， 又，平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以. 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，D是边上的点，且平分，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知边角关系式化为边的关系，再用余弦定理求出角的余弦值，结合三角形内角范围确定的大小； （2）由三角形面积公式求出的值，再用余弦定理结合完全平方公式求出，进而得到三角形周长； （3）利用面积分割法建立与的关系式，再用余弦定理结合基本不等式求的最大值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理，， 且A为三角形内角，所以. 【小问2详解】 ， 由余弦定理，， 所以，，所以， 所以的周长为. 【小问3详解】 因为， 所以，可得. 由余弦定理可知，即， 整理得，即， 于是，当且仅当时等号成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省海伦市第一中学 2025-2026学年度第二学期高一期中考试 数 学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案正确填写在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效. 3．本试卷命题范围：必修第二册第六章～第八章（8.5） 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若与共线，则（　　） A. B. C. 2 D. 5 3. 已知，为空间中不重合的直线，，，为空间中三个不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 4. 已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，侧棱长为，则其体积为（ ） A. 108 B. 112 C. 120 D. 124 5. 已知，均为单位向量，且满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题正确的是（ ） A. 两条相交直线不能确定一个平面 B. 若，，三点既在平面内，又在平面内，则平面与重合 C. 若直线，，两两平行，则直线，，共面 D. 若平面与平面交于直线，直线在平面内，且与平面交于点，则点在直线上 8. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数满足，则下列说法错误的是（　　） A. 为纯虚数 B. 的虚部为2i C. 在复平面内，对应的点位于第二象限 D. ＝ 10. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 在中，若，则必是等腰三角形 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若，且有两解，则的取值范围是 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在点，使得平面 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C. 三棱锥的体积为4 D. 三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 13. 如图是水平放置的的斜二测直观图，其中，，则在中，__________. 14. 已知AD是的中线，若，，则的最小值是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）若向量与垂直，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16. 如图，一个圆锥的底面半径为1，高为4，在圆锥中有一个内接圆柱. （1）求圆锥的表面积与体积； （2）设圆柱的底面半径为，当为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少. 17. 如图，在正四棱柱中，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若正四棱柱的外接球的表面积是，求三棱锥的体积. 18. 如图，四棱锥的底面为平行四边形．设平面与平面的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点． （1）求证：平面平面； （2）求证：． 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，D是边上的点，且平分，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $