第一章　第3课时　不等式性质与一元二次不等式课件——2027届高三数学复习一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“不等式性质与一元二次不等式”核心考点，依据高考评价体系梳理了数式大小比较、不等式性质应用、不等式解法三大考查维度，通过典例分析（如多选比较大小、含参不等式求解）和真题改编（2025·全国二卷等），明确高频题型分布，构建完整解题思路体系。 课件亮点在于“考点突破+真题训练+思维建模”的备考策略，如用作差法、作商法解决大小比较，含参不等式“四步解题法”（看系数、因式分解、比根大小、写解集）培养数学思维，通过母题探究和多维变迁提升应用意识。特设易错提醒和通性通法总结，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，实现高效备考。

第3课时　不等式性质与一元二次不等式 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 常用结论必备 1．倒数性质 若ab＞0，则a＞b⇒＜； 若ab＜0，则a＞b⇒＞． 2．若a>b>0，m>0，则 (1)真分数性质：<<(b－m>0)，即真分数越加越大，越减越小； (2)假分数性质：<<(b－m>0)，即假分数越加越小，越减越大． 2 考点一　数(式)的大小比较 [典例1]　(多选)下列不等式中正确的是(　　) A．x2－2x>－3(x∈R) B．若a＝，b＝，则a＞b C．a2＋b2>2(a－b－1) D．<(b>a>0) 核心考点突破 √ √ √ ABD　[对于A，∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0， ∴x2－2x>－3，故A正确． 对于B，法一(作商法)：∵a＝＞0，b＝＞0， ∴＝×＝＝＝log89＞1， ∴a＞b． 法二(作差法)：a－b＝－＝(2ln 3－3ln 2)＝(ln 9－ln 8)＞0，即a＞b，故B正确． 对于C，∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误． 对于D，－＝， ∵b>a>0，∴>0， ∴<，故D正确．] 通性通法：比较两个数(或式子)的大小可以利用不等式的性质直接判断，也可以用作差法或作商法．作差法的关键是将差“变形”为完全平方或几个因式的积(商)的形式．作商法的关键变形是分母有理化或变为幂的形式． 考点二　不等式的基本性质 [典例2]　(1)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题错误的是(　　) A．若a>b>0，则a－>b－ B．若b<a<0，则> C．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c D．若a＞b，c＞d＞0，则＞ √ (2)(多选)(2025·西安雁塔区校级月考)已知实数a，b满足－3＜a＋2b＜2，－1＜2a－b＜4，则(　　) A．－1＜a＜2 B．－2＜b＜1 C．－2＜a＋b＜2 D．－2＜a－b＜4 √ √ √ (1)D　(2)ABC　[(1)对于A，∵a>b>0，∴<，∴－＞－，∴a－＞b－，故A正确； 对于B，若b<a<0，则－b>－a>0，∴<，则>，故B正确； 对于C，∵a＞b，c＞d， ∴由不等式的可加性可得a＋c＞b＋d，即a－d＞b－c，故C正确； 对于D，令a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，满足a＞b，c＞d＞0，但＝，故D错误．故选D． (2)因为－3＜a＋2b＜2，－1＜2a－b＜4， 所以－2＜4a－2b＜8， 所以－5＜5a＜10，即－1＜a＜2，A正确； 由－3＜a＋2b＜2，可得－4＜－2a－4b＜6， 又－1＜2a－b＜4，则－5＜－5b＜10，即－2＜b＜1，B正确； a＋b＝(a＋2b)＋(2a－b)∈(－2，2)，C正确； a－b＝－(a＋2b)＋(2a－b)∈(－1，3)，D错误． 故选ABC．] [母题探究] 1．(综合变式)已知3<a<8，4<b<9，则的取值范围是________． 　[因为4<b<9，所以<<，又3<a<8，所以×3<<×8，即<<2．] 　 2．(变结论)本例(2)条件不变，则3a＋2b的取值范围是__________． (－5，6)　[设3a＋2b＝x(a＋2b)＋y(2a－b)， 即3a＋2b＝(x＋2y)a＋(2x－y)b， 所以解得 (－5，6)　 于是3a＋2b＝(a＋2b)＋(2a－b)， 又因为－＜(a＋2b)＜，－＜(2a－b)＜， 所以－5＜(a＋2b)＋(2a－b)＜6， 即－5＜3a＋2b＜6．] 易错提醒：(1)利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意应用性质的条件． (2)多次运用不等式的性质易使变量范围扩大，导致结果错误，一般是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． [多维变迁] (多选)(2025·保定期中)若a＜0＜b，且a＋b＞0，则下列说法正确的是(　　) A．＞－1 B．＋＞0 C．a2＜b2 D．a－>b－ √ √ AC　[A中，因为a＜0＜b，且a＋b＞0，两边同时除以b， 所以＋1＞0，即＞－1，所以A正确； B中，由题意可得ab＜0，a＋b＞0两边同时除以ab， 则＋＜0，所以B不正确； C中，由题意可得|b|＞|a|，所以b2＞a2，所以C正确； D中，取a＝－2＜0＜b＝3，a＋b＝1＞0，则a－＝－＜b－＝，故D错误． 故选AC．] 考点三　不等式的解法 [典例3]　(1)(多选)下列选项中，正确的是(　　) A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2，或x>1} B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件 √ √ √ (2)(北师大版必修第一册P38例4改编)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)． (1)ABD　[因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2，或x>1}，故A正确； 因为－1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确； 由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1， 解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1，或x≥3}，故C错误； 由|x－1|<1，可得－1<x－1<1，解得0<x<2，由<0，可得－4<x<5，因此，“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件，故D正确．故选ABD．] (2)[解]　第1步　看二次项系数：二次项系数含参，则需要分系数为0、正、负三种情况讨论． 当a＝0时，原不等式可化为x＋1≤0， 解得x≤－1． 第2步　因式分解：看含参二次不等式能否因式分解． 当a≠0时，不等式ax2－2≥2x－ax可化为(ax－2)(x＋1)≥0． 第3步　能因式分解则比较根的大小，不能则利用Δ：若能通过因式分解求出根，就比较两根大小，若不能使用因式分解求根，就应用判别式判断根的情况，并求根． 方程ax2－2＝2x－ax(a≠0)的两根为x1＝－1，x2＝． 当a>0时，原不等式可化为(x＋1)≥0， 解得x≥或x≤－1． 当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0． 当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当<－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1． 第4步　写解集：在参数的不同取值范围下，分别写出不等式对应的解集． 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a>0时，不等式的解集为； 当－2<a<0时，不等式的解集为； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a<－2时，不等式的解集为． 思维建模：含参数的一元二次不等式的解法 第1步　看二次项系数：二次项系数含参，则需要分系数为0、正、负三种情况讨论． 第2步　因式分解：看含参二次不等式能否因式分解． 第3步　能因式分解则比较根的大小，不能则利用Δ：若能通过因式分解求出根，就比较两根大小，若不能使用因式分解求根，就应用判别式判断根的情况，并求根． 第4步　写解集：在参数的不同取值范围下，分别写出不等式对应的解集． [多维变迁] 1． (多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞， －2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是(　　) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6} C．a＋b＋c>0 D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为∪ √ √ √ ABD　[∵关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a>0，A选项正确； 已知－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得 则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a<0，C选项错误； 不等式bx＋c>0即为－ax－6a>0，解得x<－6，B选项正确； 不等式cx2－bx＋a<0即为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，D选项正确． 故选ABD．] 2．若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，－2) C．(－2，2) D．(－2，2] √ D　[当a＝2时，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0可化为－4<0，恒成立；当a≠2时，要使关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立， 只需 解得－2<a<2．故－2<a≤2． 故选D．] 课时作业(三)　不等式性质与一元二次不等式 一、单项选择题 1．(人教A版必修第一册P43习题2.1T3(2)改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　) A．M>N B．M≥N C．M<N D．M≤N √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 A　[因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N．故选A．] 30 2．(2026·长沙模拟)不等式＞0的解集为(　　) √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 A　[不等式＞0可化为 ＜0，解得＜x＜， ∴原不等式的解集为 ． 故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 3．(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(　　) A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x＜1} D．{x|x＞1} √ C　[由≥2，得≥0，得≤0，得得－2≤x＜1，故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 4．(2025·杭州月考)若a＞b＞0，c＞d，则下列结论正确的是(　　) A．|c|＞|d| B．ac＞bd C．ac2＞bc2 D．＞ √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 D　[因为a＞b＞0，c＞d， 当c＝0，d＝－1时，A选项显然错误； 当c＝－1，d＝－2，a＝2，b＝1时，ac＝－2＝bd＝－2，B选项错误； 当c＝0时，ac2＝0＝bc2，C选项错误； 因为d2＋1＞0，又因为a＞b＞0，所以＞，D选项正确． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 5．(人教B版必修第一册P81习题2－2BT3改编)已知6<a<60，15<b<18，则下列结论正确的是(　　) A．<< B．21<a＋2b<78 C．－12<a－b<45 D．<<5 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 C　[对于A，∵15<b<18，∴<<，又6<a<60，∴<<4，∴A错误；对于B，∵6<a<60，15<b<18， ∴36<a＋2b<96，∴B错误；对于C，∵15<b<18，∴－18<－b<－15，又6<a<60，∴－12<a－b<45，∴C正确；对于D，∵6<a<60，15<b<18，∴21<a＋b<78，由A选项知<<， ∴<<，∴D错误．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 二、多项选择题 6．(2025·兰州诊断)下列说法正确的是(　　) A．不等式4x2－5x＋1>0的解集是 B．不等式2x2－x－6≤0的解集是 C．若不等式ax2＋8ax＋21<0恒成立，则a的取值范围是∅ D．若关于x的不等式2x2＋px－3<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－ √ √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 CD　[对于A，4x2－5x＋1>0，即(x－1)(4x－1)>0，解得x<或x>1，故A错误； 对于B，2x2－x－6≤0，即(x－2)(2x＋3)≤0，解得－≤x≤2，故B错误； 对于C，若不等式ax2＋8ax＋21<0恒成立， 当a＝0时，21<0是不可能成立的，所以只能而该不等式组无解，故C正确； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 对于D，由题意得q，1是一元二次方程2x2＋px－3＝0的两根，从而解得 而当p＝1时，一元二次不等式化为2x2＋x－3＜0，即(x－1)(2x＋3) ＜0，解得－＜x＜1，满足题意，所以p＋q的值为－，故D正确．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 7．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，则(　　) A．a＜0 B．a＋b＋c＝0 C．4a＋2b＋c＜0 D．不等式cx2－bx＋a＜0的解集是 √ √ √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 ABD　[由题意可知1，3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a＜0，由根与系数的关系得 解得 对于A，由以上可知a＜0，故A正确； 对于B，a＋b＋c＝a－4a＋3a＝0，故B正确； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 对于C，4a＋2b＋c＝4a－8a＋3a＝－a＞0，故C错误； 对于D，不等式可变为3ax2＋4ax＋a＜0，且a＜0，即3x2＋4x＋1＞0，解集为，故D正确．故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 三、填空题 8．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x＋3>0的解集为R，则实数a的取值范围是____________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 　[当a－2＝0，即a＝2时，不等式为3>0恒成立，故a＝2符合题意；当a－2≠0，即a≠2时，不等式(a－2)x2＋4(a－2)x＋3>0的解集为R， 则解得2<a<．综上，实数a的取值范围是．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 9．(2026·福州长乐区模拟)已知π<α＋β<，－π<α－β<－，则2α－β的取值范围为____________． 　[设2α－β＝x(α＋β)＋y(α－β)＝(x＋y)α＋(x－y)β，x，y∈R， 则解得 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 所以2α－β＝(α＋β)＋(α－β)， 因为π<α＋β<，－π<α－β<－， 所以<(α＋β)<，－<(α－β)<－， 所以－π<2α－β<． 则2α－β的取值范围为．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 四、解答题 10．已知函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)只能同时满足下列三个条件中的两个： ①y＜0的解集为(－1，3)；②a＝－1；③y的最小值为－4． (1)请写出这两个条件的序号，并求函数y的解析式； (2)求关于x的不等式y≥(m－2)x＋2m2－3(m∈R)的解集． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 [解]　(1)若选①②，由a＝－1知函数图象开口向下，此时y＜0的解集不可能为(－1，3)，故不符合题意； 若选①③，因为y＜0的解集为(－1，3)，所以－1，3是方程ax2＋bx＋c＝0的根，所以函数图象的对称轴为直线x＝1，由y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，则b＝－2a，c＝－3a，又因为y的最小值为－4， 所以当x＝1时，y＝－4a＝－4，解得a＝1， 所以b＝－2，c＝－3，则y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3； 若选②③，由a＝－1知函数图象开口向下，则y无最小值，不符合题意． 综上，应选①③，且y＝x2－2x－3． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 (2)由y≥(m－2)x＋2m2－3(m∈R)，化简得x2－mx－2m2≥0，即(x＋m)(x－2m)≥0， 若m＜0，则不等式的解集为{x|x≤2m，或x≥－m}； 若m＝0，则不等式的解集为R； 若m＞0，则不等式的解集为{x|x≤－m，或x≥2m}． 综上，当m＜0时，不等式的解集为{x|x≤2m，或x≥－m}； 当m＝0时，不等式的解集为R； 当m＞0时，不等式的解集为{x|x≤－m，或x≥2m}． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 $