专题05 导数及其应用全章24大题型（期末复习专项训练）高二数学下学期沪教版

**基本信息** 系统覆盖导数从概念到应用的全链条，以分层题型构建“定义-运算-性质-应用”逻辑体系，强化数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与运算|题型1-9（40题）|聚焦导数定义、公式法则及切线问题，标注重点常考点|从极限定义到四则运算，构建导数工具基础| |导数应用|题型10-24（54题）|涵盖单调性、极值最值、不等式、零点等，突出含参难点|以导数性质为核心，递进解决函数综合问题与实际应用|

专题05 导数及其应用 题型1 导数定义中极限的简单计算 题型13 函数极值点的辨析（常考点） 题型2 求曲线切线的斜率（倾斜角）（重点） 题型14 求已知函数的极值 题型3 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 题型15 根据极值求参数（难点） 题型4基本初等函数的导数公式（重点） 题型16 根据极值点求参数 题型5 导数的运算法则 题型17 由导数求函数的最值（不含参）（常考点） 题型6 导数的加减法（重点） 题型18 由导数求函数的最值（含参）（难点） 题型7 导数的乘除法 题型19 函数单调性、极值 与最值的综合应用 题型8求某点处的导数值（重点） 题型20利用导数证明不等式 题型9简单复合函数的导数（常考点） 题型21利用导数研究不等式恒成立问题（难点） 题型10用导数判断或证明已知函数的单调性 题型22利用导数研究函数的零点（难点） 题型11利用导数求函数的单调区间（不含参） 题型23利用导数研究方程的根 题型12由函数在区间上的单调性求参数 题型24利用导数解决实际问题（难点） 题型一、导数定义中极限的简单计算（共4小题） 1．已知函数的导函数为，若，则________. 2．已知是定义在上的可导函数，若，则__________. 3．（25-26高二下·上海·阶段检测）若，则______ 4．（23-24高二下·上海·期末）若则__________ 题型二、求曲线切线的斜率（倾斜角）（共4小题） 5．（24-25高二下·上海浦东新·期末）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 6．（25-26高二下·上海松江·期中）若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为______． 7．（24-25高二下·上海黄浦·阶段检测）已知的图象如图所示，则与的大小关系是________．    8．（24-25高二下·上海·期末）已知，设曲线与函数的图象关于直线对称.若曲线仍然是某函数的图象，则的取值范围是______. 题型三、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）（共4小题） 9．（25-26高二下·上海·期中）曲线在处的切线方程为__________. 10．（23-24高二下·上海·期中）函数，则函数在点处的切线方程为__________. 11．（25-26高二下·上海浦东新·月考）设点P在曲线上，点Q在直线上，则PQ的最小值为________. 12．（25-26高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆是以原点为圆心，为半径的圆，直线与抛物线和圆分别相切于，两点，当最小时，的值为__________. 题型四、基本初等函数的导数公式（共4小题） 13．（25-26高二下·上海·期中）函数，则 ______. 14．（25-26高二下·上海闵行·期中）函数的导函数________. 15．（24-25高二下·上海·月考）已知函数，则______． 16．（24-25高二下·上海虹口·期末）曲线与曲线分别交于两点，设曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线斜率为，若，则_____． 题型五、导数的运算法则（共5小题） 17．（25-26高二下·上海·期中）函数的导函数______． 18．（25-26高二下·上海·期中）已知函数的导函数为，则________. 19．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知函数满足：，且，则______. 20．（24-25高二下·上海·月考）设函数，其中，则导数的取值范围是______． 21．（25-26高二下·上海·期中）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是__________. 题型六、导数的加减法（共3小题） 22．（25-26高二下·上海·期中）若，则__________. 23．（25-26高二下·上海徐汇·期中）曲线在处的切线与坐标轴围成三角形的面积为______． 24．（24-25高二下·上海虹口·期末）函数的导数_____． 题型七、导数的乘除法（共3小题） 25．（25-26高二下·上海浦东新·阶段检测）下列求导运算中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高二下·上海·期中）已知，则___． 27．（25-26高二下·上海·期中）曲线在处的切线方程是_______． 题型八、求某点处的导数值（共3小题） 28．（23-24高二下·上海·阶段检测）已知函数，则_______ 29．函数，则__________. 30．（25-26高二下·上海·期中）已知函数的导函数为，则________． 题型九、简单复合函数的导数（共5小题） 31．（24-25高二下·上海浦东新·期中）假设聪明的你已掌握以下结论：函数图像关于中心对称的充要条件是对定义域内的任意恒成立.请你解决下面问题：已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论中正确的个数为（     ）. ①的图象关于点对称；  ②的图象关于点对称； ③；                   ④ A． B． C． D． 32．（25-26高二下·上海闵行·期中）已知曲线的方程为，函数的图像与曲线重合，则________. 33．已知定义在上的奇函数的导函数为，且恒成立，则__________． 34．（23-24高二下·上海·期末）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）满足关系，其中. (1)求的导数； (2)计算，并解释它的实际意义. 35．已知函数，其中b，d为常数，函数是其导函数，且满足 (1)求函数的解析式； (2)若函数在某点处的切线过点，求切线的一般式方程． 题型十、用导数判断或证明已知函数的单调性（共5小题） 36．（25-26高二下·上海闵行·期中）定义在区间上的函数的导函数为，则“在上恒成立”是“在上严格单调增”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 37．已知函数，若在平面直角坐标系中，所有满足的点都不在直线上，则直线的方程可以是__________（写出满足条件的一个直线方程即可）. 38．设定义在上的奇函数的导函数为，已知，当时，，则不等式的解集为________． 39．（25-26高二下·上海·期中）对于一个函数和一个点，定义. (1)设，求函数的最小值； (2)设，若集合是双元素集，求的取值范围； (3)已知及其导函数的定义域均为，函数恒大于0，对于点，点，记集合，对任意，集合，对任意.若对任意，集合､非空，且，试判断的单调性. 40．（24-25高二下·上海·期末）设函数的定义域为.给定闭区间，若存在，使得对于任意，①均有，则记；②均有，则记. (1)设，，求，； (2)已知，设，.若对任意，均有，求的取值范围； (3)已知，，且对任意闭区间，与均存在.证明：“在区间上严格增”是“对任意两个不同的、，与至少有一个成立”的充要条件. 题型十一、利用导数求函数的单调区间（不含参）（共3小题） 41．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，其中，则的单调增区间为________． 42．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知函数，则的单调减区间是__________. 43．（25-26高二下·上海·期中）已知在处的切线与垂直， (1)求实数的值； (2)求在区间上的单调区间. 题型十二、由函数在区间上的单调性求参数（共3小题） 44．（23-24高二下·上海·期末）“”是“函数是增函数”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 45．（24-25高二下·上海松江·月考）已知函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是_________. 46．（23-24高二下·上海·期末）设，已知函数． (1)若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a的值及函数的单调区间； (2)若函数在区间上严格增，求实数a的取值范围． 题型十三、函数极值点的辨析（共4小题） 47．（25-26高二下·上海·月考）若函数的定义域为，则“是函数的驻点”是“是函数的极值点”的条件（   ） A．充分必要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要 48．（24-25高二下·上海·期末）＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 49．（25-26高二下·上海闵行·期中）关于下列两个命题的判断，说法正确的是（   ） ①已知函数，则存在实数，使得恰有2026个极值点； ②已知函数的导函数为，，且在上为严格增函数，“”是“”的充分不必要条件. A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②真命题 C．①真命题；②假命题 D．①假命题；②假命题 50．（24-25高二下·上海宝山·月考）设函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)设为的一个极值点，证明； (3)设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明 题型十四、求已知函数的极值（共5小题） 51．（24-25高二下·上海青浦·期末）已知函数，其中.若的一个极值点为则的极大值是_____. 52．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数．求函数的单调区间和极值． 53．（25-26高二下·上海宝山·期中）（1）已知函数．求的极值； （2）已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围． 54．（24-25高二下·上海·期末）设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 55．（24-25高二下·上海·期末）已知、为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意、，，均有．则称是集合到集合的一个“完美对应”． (1)构造区间到区间的一个完美对应，并说明理由； (2)求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应； (3)若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围． 题型十五、根据极值求参数（共3小题） 56．函数既存在极大值也存在极小值，则实数的取值范围是_______． 57．（25-26高二下·上海·月考）已知函数； (1)若函数在处取得极小值－4，求实数的值； (2)写出当时函数的单调区间； 58．（24-25高二下·上海·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，存在极小值且极小值小于，求的取值范围． 题型十六、根据极值点求参数（共5小题） 59．已知函数，若是函数的驻点，则实数___________ 60．（25-26高二下·上海闵行·期中）函数在处取得极小值，则的值为________. 61．（24-25高二下·上海·期末）若函数在上无极值点，则实数a的取值范围是______． 62．（23-24高二下·上海·期中）已知函数在和处取得极值. (1)求的值： (2)求在区间上的最大值. 63．（25-26高二下·上海·月考）已知． (1)若函数在处取到极值，求的值； (2)设，，若，函数恰有三个零点，求的取值范围． 题型十七、由导数求函数的最值（不含参）（共6小题） 64．（24-25高二下·上海·期中）函数，的最小值是________. 65．（25-26高二下·上海青浦·期中）一块边长为的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器，则该容器的容积最大时正四棱锥的高为__________. 66．（25-26高二下·上海闵行·期中）已知函数的解析式为. (1)求函数的严格单调区间； (2)求函数在闭区间上的最大值与最小值. 67．（25-26高二下·上海·期中）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)求在上的最小值. 68．（25-26高二下·上海·期中）某体育公园欲建连片的羽毛球馆若干间，用200万元购买土地15000平方米.该公园每间球馆的建设面积为1500平方米，球馆的总建筑面积的每平方米平均建设费用与球馆数有关：当建间球馆时，每平方米的平均建设费用（单位：元）可近似用表示.为了使该球馆每平方米的综合费用最省（综合费用是建设费用与购地费用之和），该体育公园应建几个球馆？ 69．（25-26高二下·上海·期中）已知为常数，且， ，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若函数在处的切线过原点，求的值； (3)对于正实数，比较与的大小. 题型十八、由导数求函数的最值（含参）（共3小题） 70．（25-26高二下·上海·月考）已知函数． (1)求在上的单调区间； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围； 71．（24-25高二下·上海·期末）已知函数， (1)若是奇函数，求实数的值，并求在此条件下满足的实数的取值范围； (2)若的定义域是. （i）求的单调递增区间； （ii）记在定义域上的最小值是，求的解析式. 72．（24-25高二下·上海·月考）函数满足：对任意，恒成立（或恒成立），则称直线是函数在上的支撑线． (1)指出下列哪些函数在定义域上存在支撑线：①；②； (2)已知直线是函数在其定义域上的支撑线，求实数a的值； (3)直线是函数在上的支撑线，求实数a的取值范围． 题型十九、函数单调性、极值 与最值的综合应用（共3小题） 73．（25-26高二下·上海·期中）已知函数的值恒大于零，则实数的取值范围为__________. 74．（25-26高二下·上海·期中）若动直线与函数，的图象分别交于点，当两点距离最近时，的值为__________. 75．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，，其中． (1)若是函数的极值点，求实数的值： (2)当时，讨论函数的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点； (3)若存在（e为自然对数的底），使得不等式成立，求实数的取值范围． 题型二十、利用导数证明不等式（共4小题） 76．（24-25高二下·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知，两点连线的斜率为1，有下列两个结论:①; ②; 那么（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 77．（25-26高二下·上海闵行·期中）已知函数，为坐标平面上不在图象上的一点.若过点至少可以作1条函数的切线，则称点具有性质，所作切线为的线. (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由； (2)若，点具有性质，且的线不超过1条，求实数的取值； (3)若，对于所有满足的，证明：若点具有性质，则. 78．（24-25高二下·上海·期末）已知A，B，C是函数图象上不同的三点，若它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设． (1)当时，求函数在处的切线方程 (2)若是定义域上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围； (3)当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：． 79．（24-25高二下·上海浦东新·期末）牛顿法又称切线法，是牛顿提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是方程的解，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为．称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：，根据已有精确度，当时，取为方程近似解．已知函数，其中．    (1)当时，试用牛顿法求方程满足精度的近似解；（取，且结果保留两位小数） (2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题． （ⅰ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，当时，比较与的大小； （ⅱ）当时，若关于的方程的两个根分别为，证明：． （参考数据：时，） 题型二一、利用导数研究不等式恒成立问题（共5小题） 80．（25-26高二下·上海·期中）已知，对任意，都有成立，则的最小值为__________. 81．（24-25高二下·上海黄浦·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对任意恒成立，求正实数的取值范围． 82．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，（），设. (1)求的单调区间； (2)若以（）图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求正实数的最小值； (3)是否存在实数，使得函数的图像与的图像恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由. 83．（24-25高二下·上海·期末）在湖边，我们常看到成排的石柱子之间用铁链相连，这就是悬链线.选择适当的坐标系后，悬链线的解析式是一个双曲余弦函数，记为，其图象是曲线，与之对应的双曲正弦函数，其图象是曲线. (1)类比正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：，写出双曲正弦和双曲余弦的两种性质（不必证明）； (2)若当时，双曲余弦函数的图象曲线终在直线上方，求实数的取值范围； (3)若为坐标原点，直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点处的切线是，曲线在点处的切线是，且与相交于点，记与面积的乘积为，证明：存在两个不同的实数，使，且任意． 84．（24-25高二下·上海·期中）已知函数，. (1)若函数在处有极值，求实数a的值； (2)在（1）的条件下，关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围； (3)记函数（是自然对数的底数），若对任意、且时，均有，求实数a的取值范围. 题型二二、利用导数研究函数的零点（共4小题） 85．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数，若存在三个互不相等的实数m，n，p，使得，则实数a的取值范围是_______． 86．（25-26高二下·上海·期中）若函数有3个零点，则实数的取值范围为__________. 87．（25-26高二下·上海·期中）对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. (1)若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围； (2)若函数是定义在上的“0跃点”函数，且在定义域内存在三个不同的“0跃点”，求实数的取值范围； (3)若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”，求实数满足的条件. 88．（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)函数在区间上有零点，求的值； (3)记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 题型二三、利用导数研究方程的根（共3小题） 89．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知函数在上的导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ） 命题①：方程至多只有一个实数根； 命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有． A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 90．（25-26高二下·上海·期中）已知函数 (1)若函数在处的切线的斜率是2，求的值； (2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围. 91．（23-24高二下·上海·期末）函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（，为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求证：为奇函数； (2)当a变化时，求函数不动点个数； (3)若存在，，且为函数的一个不动点，求a的取值范围． 题型二四、利用导数解决实际问题（共3小题） 92．（25-26高二下·上海闵行·期中）某校开展阳光体育活动，羽毛球筒的盖子如图呈圆锥漏斗形状，已知圆锥的母线长是R，它的值是固定的.当盖子的深度h为（   ）可使其体积最大. A． B． C． D． 93．（25-26高二下·上海宝山·期中）将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的最大容积为___________． 94．（24-25高二下·上海静安·期中）某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)写出利润y关于半径的函数关系式，并写出定义域； (2)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ 2 / 80 1 / 80 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 导数及其应用 题型1 导数定义中极限的简单计算 题型13 函数极值点的辨析（常考点） 题型2 求曲线切线的斜率（倾斜角）（重点） 题型14 求已知函数的极值 题型3 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 题型15 根据极值求参数（难点） 题型4基本初等函数的导数公式（重点） 题型16 根据极值点求参数 题型5 导数的运算法则 题型17 由导数求函数的最值（不含参）（常考点） 题型6 导数的加减法（重点） 题型18 由导数求函数的最值（含参）（难点） 题型7 导数的乘除法 题型19 函数单调性、极值 与最值的综合应用 题型8求某点处的导数值（重点） 题型20利用导数证明不等式 题型9简单复合函数的导数（常考点） 题型21利用导数研究不等式恒成立问题（难点） 题型10用导数判断或证明已知函数的单调性 题型22利用导数研究函数的零点（难点） 题型11利用导数求函数的单调区间（不含参） 题型23利用导数研究方程的根 题型12由函数在区间上的单调性求参数 题型24利用导数解决实际问题（难点） 题型一、导数定义中极限的简单计算（共4小题） 1．已知函数的导函数为，若，则________. 【答案】6 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【详解】依题意，. 2．已知是定义在上的可导函数，若，则__________. 【答案】2026 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【详解】依题意，. 3．（25-26高二下·上海·阶段检测）若，则______ 【答案】12 【知识点】导数定义中极限的简单计算、利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】将进行变形，得，利用导数的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，即. 4．（23-24高二下·上海·期末）若则__________ 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导函数的定义可得答案. 【详解】令， 因为 . 所以. 故答案为：. 题型二、求曲线切线的斜率（倾斜角）（共4小题） 5．（24-25高二下·上海浦东新·期末）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 【答案】C 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数的定义及割线的定义结合函数的图象判断即可． 【详解】通过图象可知，曲线在点处、点处切线的斜率为正，在点处切线的斜率为负，割线的斜率为正， 所以最小值为曲线在点处切线的斜率. 故选：C 6．（25-26高二下·上海松江·期中）若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为______． 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算、利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【详解】注意到， 则， 从而在的斜率为：. 7．（24-25高二下·上海黄浦·阶段检测）已知的图象如图所示，则与的大小关系是________．    【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】利用导数的几何意义,根据图形中函数图象在点处的切线下降和陡峭程度判断即可. 【详解】和分别表示函数图象在点处的切线斜率，    由图知: 函数图象在点处的切线斜率均为负，且处切线更陡， 所以， 所以． 故答案为：. 8．（24-25高二下·上海·期末）已知，设曲线与函数的图象关于直线对称.若曲线仍然是某函数的图象，则的取值范围是______. 【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】先确定曲线的切线的变化规律，再根据曲线的切线关于的对称直线不能与轴垂直，可求的取值范围. 【详解】因为，所以，在上单调递增. 当时，函数在处的切线与轴垂直. 所以要使曲线与函数的图象关于直线对称.若曲线仍然是某函数的图象，则需. 由，又，所以. 所以. 故答案为： 题型三、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）（共4小题） 9．（25-26高二下·上海·期中）曲线在处的切线方程为__________. 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】结合导数，利用切点和斜率求得切线方程. 【详解】由题可得,由于,， 所以曲线在处的切线方程为，即 10．（23-24高二下·上海·期中）函数，则函数在点处的切线方程为__________. 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据题意，求出函数的导数以及的值，由函数导数的几何意义可得切线方程. 【详解】根据题意，， 则， 又因为， 所以由点斜式方程得， 化解得. 故答案为：. 11．（25-26高二下·上海浦东新·月考）设点P在曲线上，点Q在直线上，则PQ的最小值为________. 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求平行线间的距离 【分析】在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得的最小值. 【详解】令，即，解得或. 由已知，，所以，代入曲线方程求得，故切点为， 斜率为的直线方程为， 将两条平行直线的方程化为一般式得， 故两平行直线的距离为，所以的最小值为. 12．（25-26高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆是以原点为圆心，为半径的圆，直线与抛物线和圆分别相切于，两点，当最小时，的值为__________. 【答案】 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、圆的弦长与中点弦、由直线与圆的位置关系求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】先利用抛物线切线方程与圆相切的条件，用点到直线距离公式建立关于切点横坐标与的关系式，再由切线长公式表示出，通过基本不等式求最值的代数式，求出最小值成立的条件，最后回代算出． 【详解】因为抛物线和圆均关于轴对称， 所以只需研究与抛物线切于第一象限的直线，此时，所以， 设，则直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，则，化简得， 因为， 所以 ． 当且仅当，即，即时，等号成立， 此时． 题型四、基本初等函数的导数公式（共4小题） 13．（25-26高二下·上海·期中）函数，则 ______. 【答案】 【知识点】导数（导函数）概念辨析、基本初等函数的导数公式 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】因为，所以， 根据导数的定义可知. 14．（25-26高二下·上海闵行·期中）函数的导函数________. 【答案】0 【知识点】基本初等函数的导数公式 【详解】函数的导函数. 15．（24-25高二下·上海·月考）已知函数，则______． 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】因为，所以． 故答案为：. 16．（24-25高二下·上海虹口·期末）曲线与曲线分别交于两点，设曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线斜率为，若，则_____． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、基本初等函数的导数公式 【分析】根据已知得、、，进而得到，则，最后求出，即可得参数值. 【详解】由题意，， 的导数为，在处斜率为， 的导数为，在处斜率为， 根据题意，， 结合和、，得， 对于，则，故时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，当时，显然均为正数， 而在上单调递增，故，即， 此时：， 设，方程变为：或， 当时，， 当时，不符， 综上：. 故答案为： 题型五、导数的运算法则（共5小题） 17．（25-26高二下·上海·期中）函数的导函数______． 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【详解】. 18．（25-26高二下·上海·期中）已知函数的导函数为，则________. 【答案】 【知识点】求某点处的导数值、导数的运算法则 【详解】由函数，求导得， 所以. 19．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知函数满足：，且，则______. 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求某点处的导数值 【详解】由于，两边求导，得， 令，分别得，， 由，可得，所以. 20．（24-25高二下·上海·月考）设函数，其中，则导数的取值范围是______． 【答案】 【知识点】导数的运算法则、辅助角公式 【分析】先对进行求导，将表示出来，在结合的范围求解的取值范围. 【详解】由题意，所以， 则， 又因为，所以 则所以. 故答案为： 21．（25-26高二下·上海·期中）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是__________. 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】设切点，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】因为，所以， 设切点为，则，切线的斜率， 所以切线方程为， 因为切线过原点，所以， 整理得，又切线有两条，所以， 整理得，解得或， 所以的取值范围为. 题型六、导数的加减法（共3小题） 22．（25-26高二下·上海·期中）若，则__________. 【答案】 【知识点】求某点处的导数值、导数的加减法 【详解】，则，解得， 则，则. 23．（25-26高二下·上海徐汇·期中）曲线在处的切线与坐标轴围成三角形的面积为______． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法 【分析】求出切线方程，可求出该切线与两坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为，则，所以，，切点坐标为， 所以曲线在处的切线方程为，即， 在直线中，令可得， 故直线与轴、轴分别交于点、， 故曲线在处的切线与坐标轴围成三角形的面积为. 24．（24-25高二下·上海虹口·期末）函数的导数_____． 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的加减法 【分析】根据基本初等函数的导数公式及加法法则求导即可. 【详解】由. 故答案为： 题型七、导数的乘除法（共3小题） 25．（25-26高二下·上海浦东新·阶段检测）下列求导运算中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的乘除法 【分析】结合导数的基本运算直接判断即可. 【详解】选项A：，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D正确. 26．（25-26高二下·上海·期中）已知，则___． 【答案】1 【知识点】求某点处的导数值、导数的乘除法、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【详解】因为，所以，所以. 27．（25-26高二下·上海·期中）曲线在处的切线方程是_______． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法 【分析】对函数求导将代入即可计算斜率，利用点斜式即可． 【详解】， 将代入，则切线斜率， 当时，， 故，化简可得：． 题型八、求某点处的导数值（共3小题） 28．（23-24高二下·上海·阶段检测）已知函数，则_______ 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】先求导数，再令即可得到答案. 【详解】因为，，所以． 故答案为：. 29．函数，则__________. 【答案】0 【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值 【详解】，令得，解得， 则，故. 30．（25-26高二下·上海·期中）已知函数的导函数为，则________． 【答案】 【知识点】求某点处的导数值、基本初等函数的导数公式 【分析】先利用基本初等函数的求导公式求出的导函数，再代入计算即可得到结果. 【详解】函数 的定义域为，， 所以. 题型九、简单复合函数的导数（共5小题） 31．（24-25高二下·上海浦东新·期中）假设聪明的你已掌握以下结论：函数图像关于中心对称的充要条件是对定义域内的任意恒成立.请你解决下面问题：已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论中正确的个数为（     ）. ①的图象关于点对称；  ②的图象关于点对称； ③；                   ④ A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、简单复合函数的导数 【分析】根据函数的对称性与周期性直接判断. 【详解】对于①，因为为奇函数，所以， 即，所以的图象关于中心对称，正确； 对于②，由为偶函数，所以， 所以，即， 即，则， 所以的图象关于中心对称，正确； 对于③，由，即，则，即，即是以为周期的函数，且，， 不妨设，所以，周期均为且，，，， 所以，所以③错误； 对于④，由，，知， 又，，所以， 所以，即，所以为周期是的函数， 即，故④正确； 故选：C. 32．（25-26高二下·上海闵行·期中）已知曲线的方程为，函数的图像与曲线重合，则________. 【答案】 【知识点】简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式、导数定义中极限的简单计算 【详解】因为函数的图象与曲线重合，曲线的方程为， 化简可得，即， 求导可得， 因为， 所以， 当时，， 即. 33．已知定义在上的奇函数的导函数为，且恒成立，则__________． 【答案】 【知识点】由函数的周期性求函数值、简单复合函数的导数、函数奇偶性的应用 【分析】由奇函数的定义可得，等式两边求导可得，在等式两边求导可得，推导出函数为周期函数，再利用函数的周期性和奇偶性可求得的值. 【详解】因为函数为上的奇函数，则， 等式两边求导可得， 所以，函数为偶函数， 因为，则，等式两边求导可得， 所以，， 故函数是以为周期的周期函数， 在等式中，令可得， 又因为为偶函数，则，故， 所以，， 故答案为：. 34．（23-24高二下·上海·期末）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）满足关系，其中. (1)求的导数； (2)计算，并解释它的实际意义. 【答案】(1) (2)，实际意义见解析 【知识点】简单复合函数的导数、导数（导函数）概念辨析 【分析】（1）利用复合函数的求导法则即可得解； （2）将代入（1）中导数，再利用导数的意义解释即可. 【详解】（1）因为， 令，则可以看作和的复合函数， 根据复合函数的求导法则，有 . （2）由（1）得， 它表示当时，弹簧振子振动的瞬时速度为． 35．已知函数，其中b，d为常数，函数是其导函数，且满足 (1)求函数的解析式； (2)若函数在某点处的切线过点，求切线的一般式方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求解析式中的参数值、简单复合函数的导数、导数的运算法则、求过一点的切线方程 【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意先判断点不是切点，再设切点为，再根据切线的斜率与函数导数的关系即可求得或，从而即可求解切线方程． 【详解】（1）由，则， 所以，解得， 所以， 函数的解析式为． （2）由， 则点不在函数上，即其不是切点， 则设切点为， 结合（1）有， 则切线的斜率为， 又切线过点， 则，解得或， 当时，，此时切线方程为； 当时，，此时切线方程为，即， 综上所述，所求的切线的一般式方程为或． 题型十、用导数判断或证明已知函数的单调性（共5小题） 36．（25-26高二下·上海闵行·期中）定义在区间上的函数的导函数为，则“在上恒成立”是“在上严格单调增”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、判断命题的充分不必要条件 【详解】若在上恒成立，则函数在上严格单调增， 反之，函数在上严格单调增，则有， 如函数在上严格单调增，而且， 所以“在上恒成立”是“在上严格单调增”的充分不必要条件. 37．已知函数，若在平面直角坐标系中，所有满足的点都不在直线上，则直线的方程可以是__________（写出满足条件的一个直线方程即可）. 【答案】（答案不唯一，在表示的半平面内的直线均可） 【知识点】根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数对称性的应用、判断或证明函数的对称性 【分析】利用导数法求函数的单调性，结合函数的对称性和函数的单调性即可求解. 【详解】由，得， 故在上为单调增函数， 又， 故的图像关于对称， 所以，代入， 可得，即，可得. 所以满足条件的一条直线方程为，（答案不唯一，在表示的半平面内的直线均可）. 故答案为：（答案不唯一，在表示的半平面内的直线均可）. 38．设定义在上的奇函数的导函数为，已知，当时，，则不等式的解集为________． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、由奇偶性求函数解析式 【分析】令，函数为偶函数，当时，，确定函数单调性，，等价于或，解得答案. 【详解】令，取，则函数为偶函数， 当时，，故，即， 由偶函数性质知，函数在是严格减函数，在是严格增函数， 又，故等价于或， 解得． 故答案为： 39．（25-26高二下·上海·期中）对于一个函数和一个点，定义. (1)设，求函数的最小值； (2)设，若集合是双元素集，求的取值范围； (3)已知及其导函数的定义域均为，函数恒大于0，对于点，点，记集合，对任意，集合，对任意.若对任意，集合､非空，且，试判断的单调性. 【答案】(1) (2) (3) 在 上单调递减. 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数新定义 【分析】（1）直接把写成关于的式子，再利用基本不等式求最小值. （2）先把方程化简，再令，转化为函数在上与水平直线的交点个数问题，由导数讨论单调性后确定的范围. （3）先对固定的分别写出函数和，由证明公共最小值点只能是，再由极值点处导数为得到，从而判断的单调性. 【详解】（1）由题意，，其中. 因为，当且仅当，即时取等号. 所以函数的最小值为. （2）由题意，. 令，则，原方程化为. 设，则. 所以在上递增，在上递减，在上递增. 又，，. 因为集合是双元素集，所以方程恰有两个不同实数解. 而，当时对应两个实数解，当时只对应一个实数解. 因此方程在上必须恰有一个正根. 由函数的单调性可知，当时，方程在上恰有一个正根； 当时，方程在上至少有两个正根；当时，方程在上恰有一个正根. 所以的取值范围为. （3）对任意固定的，设，则，. 由且非空，取. 因为，，所以，且. 又，，于是有. 另一方面，. 代入，得. 所以，从而. 因此，即同时是函数和的最小值点. 因为可导，所以在处导数为 . 由，可得. 令，得，所以. 又因为对任意，都有，所以对任意，都有. 故函数在上单调递减. 40．（24-25高二下·上海·期末）设函数的定义域为.给定闭区间，若存在，使得对于任意，①均有，则记；②均有，则记. (1)设，，求，； (2)已知，设，.若对任意，均有，求的取值范围； (3)已知，，且对任意闭区间，与均存在.证明：“在区间上严格增”是“对任意两个不同的、，与至少有一个成立”的充要条件. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）按照，的定义利用求导求解即可； （2）由题意可得是在处的切线，分分别求解即可； （3）按照，的定义，及充要条件的定义证明即可. 【详解】（1）因为，，求导得， 所以在上为单调递增函数， 所以当时，， 因此 （2）因为，所以， 令可得，又，故， 当时，；当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 表示过点，斜率为的直线， 当时，函数，在上都单调递增， 所以， 等价于对任意的，不等式恒成立， 整理得， 当时，，成立， 当时，， 所以， 当时，此时， ，所以，不符合题意舍去； 当时，此时，， 因为函数的导函数， 当时，， 所以函数在上单调递增， 所以，故 所以，故时，不满足条件，舍去， 所以， 综上所述，的取值范围为. （3）①证明充分性: 若为上的单调增函数， 则任取， 由题意可得， ， 因为，所以或， 因为为上的单调增函数， 所以或， 所以或成立. ②证明必要性: 首先证明：对任意，都有， 否则存在，使得或， 若存在，，则存在，使得， 记，，， 则 设 则或， 对应有或，均与题目条件矛盾， 当存在，使得时，同理可推出矛盾. 因此假设不成立，即对任意，都有.(*) 下面证明：为上的单调增函数. 否则，则存在、，满足，且. 由(*)可知， 此时在区间上，存在，使得. 重复前述命题的证明过程，可以推出矛盾. 因此假设不成立，即为上的单调增函数. 即证. 题型十一、利用导数求函数的单调区间（不含参）（共3小题） 41．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，其中，则的单调增区间为________． 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求定义域，求导数，利用导数可得答案. 【详解】由，即，可得函数定义域为. 易知， 即在定义域内恒成立， 综上，的单调增区间为. 42．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知函数，则的单调减区间是__________. 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【详解】定义域为，， 令，解得：， 的单调减区间是. 43．（25-26高二下·上海·期中）已知在处的切线与垂直， (1)求实数的值； (2)求在区间上的单调区间. 【答案】(1)2 (2)单调递减区间，单调递增区间. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，根据两直线垂直的性质即可求得a的值； （2）利用求导，判断函数的单调性即可. 【详解】（1）由求导得， 则在处的切线的斜率为，因切线与垂直， 故，解得. （2）由（1）可得 ， 因，则当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增. 题型十二、由函数在区间上的单调性求参数（共3小题） 44．（23-24高二下·上海·期末）“”是“函数是增函数”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用导数，求出是增函数的的取值范围，再用充分性和必要性知识来进行判别即可． 【详解】是增函数，求导，即恒成立， 参变分离即恒成立，则．则“”是“函数是增函数”的充分不必要条件． 故选：A. 45．（24-25高二下·上海松江·月考）已知函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是_________. 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导数转化为在上恒成立，利用参变分离转化为求函数最值问题. 【详解】由于函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立，即恒成立， 由在上单调递增，则， . 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 46．（23-24高二下·上海·期末）设，已知函数． (1)若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a的值及函数的单调区间； (2)若函数在区间上严格增，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；减区间是，增区间是 (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）求出函数的导数，由，求出a的值即可； （2）求出函数的导数，结合函数的单调性讨论a的范围即得. 【详解】（1）由得， 由曲线在处切线斜率为-1， 可得，. ,当单调递增；单调递减. 减区间是，增区间是. （2）由得： ①   时，，∴在递增，满足函数在区间上严格增， ②   时， 时，，在递增，若函数在区间上严格增， 综上可得 题型十三、函数极值点的辨析（共4小题） 47．（25-26高二下·上海·月考）若函数的定义域为，则“是函数的驻点”是“是函数的极值点”的条件（   ） A．充分必要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要 【答案】D 【知识点】充分条件、必要条件、函数极值点的辨析 【分析】根据驻点、极值点的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】驻点：函数在处可导，且的点. 极值点：函数在处的函数值比附近的函数值都大（极大值）或都小（极小值）的点. 充分性：如，，，是驻点但不是极值点（在上单调递增），故充分性不成立. 必要性：，是极小值点但函数在处不可导，不是驻点，故必要性不成立. 48．（24-25高二下·上海·期末）＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】函数极值点的辨析、既不充分也不必要条件 【分析】通过举特例可判断选项正误. 【详解】驻点不一定是极值点，如， 极值点也不一定是驻点，如. 则＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的既不充分也不必要条件. 故选：D 49．（25-26高二下·上海闵行·期中）关于下列两个命题的判断，说法正确的是（   ） ①已知函数，则存在实数，使得恰有2026个极值点； ②已知函数的导函数为，，且在上为严格增函数，“”是“”的充分不必要条件. A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②真命题 C．①真命题；②假命题 D．①假命题；②假命题 【答案】D 【知识点】判断命题的真假、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数极值点的辨析 【分析】由为奇函数，且，结合对称性可判断①，构造函数，求导确定单调性，即可判断②. 【详解】函数，极值点满足且导数变号， 求导得： ，定义域为R， ，故是奇函数， 当，，又是奇函数，图象关于原点对称，故在的两侧导数符号相反， 故是的一个极值点， 若存在非零根，由对称性可知， 若是根，则也一定是根，即非零根一定成对出现， 因此的总根个数为：（非负整数），必为奇数， 由于是奇函数，图象关于原点对称，每个根都对应导数变号，都是极值点， 因此的极值点个数一定是奇数，不可能等于偶数，故①是假命题。 命题②判断： 不等式移项整理： ， 构造函数，求导得： ， 已知是R上的严格增函数， 因此对任意， ， 即是R上的严格增函数， 严格增函数满足：​， 因此"​"是不等式成立的充要条件，不是充分不必要条件，故②是假命题。 50．（24-25高二下·上海宝山·月考）设函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)设为的一个极值点，证明； (3)设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明 【答案】(1)函数为偶函数，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数极值点的辨析、求已知函数的极值点 【分析】（1）由偶函数的定义即可判断； （2）根据函数导数可得，然后根据同角关系式结合条件即得； （3）由题可得极值点为第二或第四象限角，然后结合正切函数的性质讨论两极值点的差的范围即得. 【详解】（1）函数定义域为，对任意，有， 且恒成立，故函数为偶函数. （2）因为函数， 所以， 令，则，对满足方程的有， 所以， 由函数与函数的图象可知此方程一定有解， 故的一个极值点满足， 所以； （3）设是的任意正实根，则， 则存在一个非负整数，使，即为第二或第四象限角， 因为， 所以在第二或第四象限变化时，变化如下， (为奇数) 0 + (为偶数) + 0 所以满足的正根都为函数的极值点， 由题可知为方程的全部正实根且满足， 所以， 因为，， 则， 由，可得， 所以. 题型十四、求已知函数的极值（共5小题） 51．（24-25高二下·上海青浦·期末）已知函数，其中.若的一个极值点为则的极大值是_____. 【答案】4 【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】由题意求出函数的解析式，然后利用导数分析单调性求解极值即可. 【详解】定义域为， ， 由题意得， 故， 令得，或，令得，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以在处取得极大值为. 故答案为： 52．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数．求函数的单调区间和极值． 【答案】答案见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】利用导数与函数单调性的关系，求导，研究导数与零的大小关系，结合极值的定义，可得答案. 【详解】由函数，求导可得， 令得或，令得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为， 故函数的极大值为，极小值为. 53．（25-26高二下·上海宝山·期中）（1）已知函数．求的极值； （2）已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围． 【答案】（1）极大值，极小值；（2） 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）求得，得出函数的单调性，结合极值的定义，即可求解； （2）求得，根据题意，转化为在上恒成立，结合函数的单调性，求得，得到，即可求解. 【详解】（1）由函数，可得其定义域为，且，令，即，解得或． 当时，，单调递增： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以当时，取得极大值，极大值为； 当时，取得极小值，极小值为． （2）由函数，可得其定义域为，且， 因为在上是严格减函数，所以在上恒成立，且不恒为0， 即在上恒成立，即在上恒成立， 又因为在上为单调递减函数， 所以，可得，解得，经验证：时，仅在时取等号，符合题意， 所以实数的取值范围是． 54．（24-25高二下·上海·期末）设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)极大值为，没有极小值 (2)答案见解析 (3)或 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）根据导数的正负即可求解极值； （2）分类讨论，及时的正负即可得出的单调性； （3）分类讨论，结合零点存在性定理，以及函数的单调性即可求解． 【详解】（1）当时，，令，解得， 当时，，时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，， 所以当时，的极大值为，没有极小值． （2）， ， ①当时，，则在上为增函数； ②当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数； ③当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数． （3）由（2）知： ①当时，在上为增函数，且， 则在上只有一个零点； ②当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令， 则， 在上为减函数，， 所以时，，即， ，则只有一个零点， ③当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令，且， 则，则在上为增函数， 故时有， 即，则只有一个零点； ④当时，在上为增函数，在上为减函数； ， 因为只有一个零点，所以，； 综上所述，当或时，只有一个零点． 55．（24-25高二下·上海·期末）已知、为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意、，，均有．则称是集合到集合的一个“完美对应”． (1)构造区间到区间的一个完美对应，并说明理由； (2)求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应； (3)若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】求已知函数的极值、求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的值域及最值、函数新定义 【分析】（1）取，根据正切型函数的图象与性质即可证明其满足题意； （2）利用反证法，假设有是集合到的一个完美对应，最后得到，这与假设矛盾即可. （3）利用导数对分，和讨论，求出每个情况下的取值范围，再取并集即可. 【详解】（1）结合题意令，当时，， 则其值域为，满足条件①， 根据复合函数单调性知在单调递增，则其满足条件②， 故可取. （2）假设有是集合到的一个完美对应， 则有，其中，于是，， 由完美对应的定义，存在整数，使得且， 这与为整数矛盾，故假设不成立. 所以，整数集到有理数集之间不存在完美对应. （3）由题意得，而令，解得或， 若，则严格递增，且，此时；满足题意; 若，当时，； 当时，；时，； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增; 又，故只有极小值才满足题意， 即，解得， 若，当时，； 当时，；当时，； 则在单调递增，在单调递减，在单调递增； 又，故只有极大值才满足题意， 即，即解得. 综上, 的取值范围是 . 题型十五、根据极值求参数（共3小题） 56．函数既存在极大值也存在极小值，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】根据极值求参数 【分析】先求导函数，根据函数既有极大值，又有极小值，故方程有2个不等的实数根，可求实数的取值范围． 【详解】， 因为函数既存在极大值也存在极小值， 所以方程即有2个不相等的实数根， 所以，解得或， 所以实数的取值范围是， 故答案为：． 57．（25-26高二下·上海·月考）已知函数； (1)若函数在处取得极小值－4，求实数的值； (2)写出当时函数的单调区间； 【答案】(1) (2)的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【知识点】根据极值求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间、根据极值点求参数 【分析】（1）利用极值点处导数值为0，求得的值，并检验，再根据极小值为求得的值； （2）利用导数求解函数的单调性即可. 【详解】（1）函数的定义域为，， 由题可得，即，所以， 当时，， 当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，所以； 又极小值为，所以，所以， 所以. （2）函数的定义域为， ， 当时，的两根为，且， 所以当或时，；当时，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为. 58．（24-25高二下·上海·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，存在极小值且极小值小于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数 【分析】（1）当时，求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）当时，利用导数分析函数的单调性与极值，结合其极小值小于，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，，令可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数既有极大值，也有极小值，且极小值为，解得. 因此，实数的取值范围是. 题型十六、根据极值点求参数（共5小题） 59．已知函数，若是函数的驻点，则实数___________ 【答案】5 【知识点】根据极值点求参数、导数的运算法则、根据零点求函数解析式中的参数 【分析】求出函数的导数，再利用驻点的意义列式计算即可. 【详解】函数，求导得， 由是函数的驻点，得， 所以. 故答案为：5 60．（25-26高二下·上海闵行·期中）函数在处取得极小值，则的值为________. 【答案】2 【知识点】根据极值点求参数 【分析】求出函数的导数，利用极值点的意义求出的值并验证得解. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 依题意，，解得或， 当时，是常数函数，不存在极值； 当时，，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此是函数的极小值点， 所以. 61．（24-25高二下·上海·期末）若函数在上无极值点，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据极值点求参数 【分析】根据题意可得在上无变号零点，根据二次函数性质求解. 【详解】因为， 令， 由题意可知，或，解得. 故答案为：. 62．（23-24高二下·上海·期中）已知函数在和处取得极值. (1)求的值： (2)求在区间上的最大值. 【答案】(1)， (2) 【知识点】根据极值点求参数、根据值域求参数的值或者范围 【分析】（1）由已知可得和是的两个零点，再使用韦达定理即可求出； （2）先判断在和上递增，在上递减，再求极值与区间端点函数值即可. 【详解】（1）由已知可得和是的两个零点. 所以，，解得，. 经检验符合题意. （2）由（1）的结果知. 则， 由或，由； 所以在和上递增，在上递减， 又因为. 所以在上的最大值是. 63．（25-26高二下·上海·月考）已知． (1)若函数在处取到极值，求的值； (2)设，，若，函数恰有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据极值点求参数 【分析】（1）导数在处为即可求解，并检验导数在的左右正负符号是否发生变化. （2）考察函数的单调性，关键在于导数正负的判断，因式分解判断各个因式的正负，从而得到原函数的单调性，通过极值的符号得出不等关系进行求解. 【详解】（1）已知，求导得， 因为函数在处取到极值，所以， 解得. 检验，当，此时 当，则，所以 . 当，则，所以 所以 （2）因为，所以，求导得， 令，解得或者 当，此时，所以，那么单调递增 当，此时，所以，那么单调递减. 当，此时，所以，那么单调递增. 又因为，，且，， 所以为使函数恰有三个零点， 则有， 解得 题型十七、由导数求函数的最值（不含参）（共6小题） 64．（24-25高二下·上海·期中）函数，的最小值是________. 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调性，求出端点处的函数值，即可得解. 【详解】因为，，所以， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以. 故答案为； 65．（25-26高二下·上海青浦·期中）一块边长为的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器，则该容器的容积最大时正四棱锥的高为__________. 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、面积、体积最大问题、由导数求函数的最值（不含参） 【详解】由正方形的边长为，所以可得正四棱锥的斜高为， 设正四棱锥的底面边长为，高为， 所以，所以， 所以正四棱锥的体积， 令，求导得， 令，得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 所以，故该容器的容积最大时正四棱锥的高为. 66．（25-26高二下·上海闵行·期中）已知函数的解析式为. (1)求函数的严格单调区间； (2)求函数在闭区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)严格递增区间为，严格递减区间为； (2)最大值与最小值分别为. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求出函数的导数，再解不等式、即可. （2）由（1）的结论，利用单调性求出最值. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的严格递增区间为，严格递减区间为. （2）当时，由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 所以函数在闭区间上的最大值与最小值分别为. 67．（25-26高二下·上海·期中）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)求在上的最小值. 【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增 (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）当时，对函数求导，讨论导数符号，以此确定函数的单调区间； （2）对函数求导，根据导函数零点与区间的位置关系分类讨论，求出函数在区间上的最小值． 【详解】（1）函数 的定义域为 ， 求导： ， 当 时，，故 ，函数 单调递减； 当 时，，故 ，函数 单调递增， 因此， 在 上单调递减，在 上单调递增． （2）函数 ，定义域为 ，求导得： ， 根据 的取值范围，分三种情况讨论： 当 时：在区间上，，故 ， 在上单调递增， 最小值为： ； 当 时：当 时，，， 单调递减； 当 时，，， 单调递增， 最小值为： ； 当 时：在区间上， ，故 ， 在上单调递减， 最小值为： ． 综上，最小值函数为：． 68．（25-26高二下·上海·期中）某体育公园欲建连片的羽毛球馆若干间，用200万元购买土地15000平方米.该公园每间球馆的建设面积为1500平方米，球馆的总建筑面积的每平方米平均建设费用与球馆数有关：当建间球馆时，每平方米的平均建设费用（单位：元）可近似用表示.为了使该球馆每平方米的综合费用最省（综合费用是建设费用与购地费用之和），该体育公园应建几个球馆？ 【答案】5 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】设应建间，得到综合费用函数，利用导数判断单调性，求出答案. 【详解】设应建间球馆，则总建筑面积为平方米，每平方米购地费用为元， 由题意，球馆的总建筑面积不能超过购买的土地面积，故，解得， 又为球馆间数，故是区间内的整数， 所以综合费用为， 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为为正整数，又， , 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，故，即， 所以 所以，所以应建5个球馆. 69．（25-26高二下·上海·期中）已知为常数，且， ，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若函数在处的切线过原点，求的值； (3)对于正实数，比较与的大小. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，即可得出该函数的最小值； （2）求出函数的解析式，利用导数求出切线方程，将原点坐标代入切线方程，即可得出的值； （3）设函数，求得，求得函数的单调性和最小值为，得到，即可得证. 【详解】（1）当时，，该函数的定义域为，， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. （2），则， 所以，， 所以函数在处的切线方程为， 将原点坐标代入切线方程得，解得. （3），理由见解析： 设函数， 可得，其中， 则， 令，可得，即，即，解得， 令，可得，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 可得的最小值为，所以， 又由， 所以. 题型十八、由导数求函数的最值（含参）（共3小题） 70．（25-26高二下·上海·月考）已知函数． (1)求在上的单调区间； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)减区间，增区间； (2)． 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知函数最值求参数、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）利用导数的正负判断单调性即可； （2）利用分类讨论思想，通过构造函数求导，来研究最大值成立，即存在性问题成立即可． 【详解】（1）求导得：， 当时，，当时，， 所以的减区间是，增区间是； （2）由，可得， 题意等价于在上有解． 设，，求导得， 当时，，递增，， 所以存在，即，使得成立； 当时，时，，在上递增， 时，，在上递减， 所以， 由得， 所以存在，即，使得成立， 综上，． 71．（24-25高二下·上海·期末）已知函数， (1)若是奇函数，求实数的值，并求在此条件下满足的实数的取值范围； (2)若的定义域是. （i）求的单调递增区间； （ii）记在定义域上的最小值是，求的解析式. 【答案】(1) (2)（i）和； （ii） 【知识点】根据函数的单调性解不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）根据奇函数的定义求得，求导可得函数的单调性，列不等式可得结果. （2）（i）通过导数可求的单调递增区间. （ii）分析函数的极小值，与作比较可得结果. 【详解】（1）由题意得，定义域为，关于原点对称. 因为是奇函数， 所以恒成立， 所以，解得， 所以， 由得，或，由得，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围为. （2）（i）由题意得，， 由得或. 因为，所以由得，或，由得，， 所以的单调递增区间为和. （ii）由（i）得，在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的极小值为，且. 当，即时，，， 当，即时，，， 综上得，. 72．（24-25高二下·上海·月考）函数满足：对任意，恒成立（或恒成立），则称直线是函数在上的支撑线． (1)指出下列哪些函数在定义域上存在支撑线：①；②； (2)已知直线是函数在其定义域上的支撑线，求实数a的值； (3)直线是函数在上的支撑线，求实数a的取值范围． 【答案】(1)② (2)1 (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参）、函数新定义 【分析】（1）由函数新定义判断可得； （2）结合函数新定义，分参数的范围讨论，当时，构造函数，求导分析单调性得到最值可得； （3）由函数新定义，分和两类情况，当时，构造函数利用导数分析单调性可得. 【详解】（1）因为或在不能恒成立， 所以无支撑线； 函数恒成立，即是的一条支撑线． （2）直线是在定义域上的支撑线， 若，则时，；时，，不合题意， 所以，因为直线是在定义域上的支撑线，所以恒成立． 令，所以， 由；由， 所以在上递增，在上递减， 所以的最大值为， 设，则， 所以当时，，函数在上递减， 当时，，在上递增，且， 所以． （3）由（2），所以，故，当且仅当等号成立， 直线是函数在上的支撑线． ①若在上恒成立， 所以， 记，，则， 当时，，所以在上单调递减，符合题意； 当时，，符合题意． 当时，，在上单调递减，，符合题意； 当时，在上单调递增，上单调递减，不符； ②若在上恒成立， 在上，不符合题意， 综上，a的范围为． 题型十九、函数单调性、极值 与最值的综合应用（共3小题） 73．（25-26高二下·上海·期中）已知函数的值恒大于零，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据题意，问题转化为，对恒成立，令，利用导数求出的最大值，得解. 【详解】由题意，可得，即，对恒成立， 令，则， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以，所以，即实数的取值范围为. 74．（25-26高二下·上海·期中）若动直线与函数，的图象分别交于点，当两点距离最近时，的值为__________. 【答案】/0.5 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】根据题意可得，结合图象推得，利用函数求导判断的单调性，求出其极小值点即得. 【详解】因函数的定义域为，依题意，， 由图知，当取定时，的函数值恒大于的函数值， 因，则， 设，则， 则当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时取得最小值， 即当两点距离最近时，的值为 . 75．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，，其中． (1)若是函数的极值点，求实数的值： (2)当时，讨论函数的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点； (3)若存在（e为自然对数的底），使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】根据极值点求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究能成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）根据题意，求得，结合题意，得到，列出方程，即可求解； （2）求得，分，和，三种讨论，得到函数的单调性，结合极值点的定义，即可求解； （3）由，得到，令，转化为存在，使得，求得，得到的单调性和最小值，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且， 因为是函数的极值点，可得，即， 可得，解得，所以实数的值为. （2）解：由函数，可得其定义域为， 且， 令，即，所以， 因为，解得或， 当时，即时，， 在上单调递增，无极值点； 当时，即时， 令，可得或；令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当时，即时， 令，可得或；令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点； 综上可得，当即时，无极值点； 当时，是极大值点，是极小值点； 当时，是极大值点，是极小值点. （3）解：由，可得， 整理得，即， 令，则问题转化为，， 又由，令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在或处取得最小值， 计算， 因为，所以， 因为存在，使得，所以， 所以实数的取值范围为 题型二十、利用导数证明不等式（共4小题） 76．（24-25高二下·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知，两点连线的斜率为1，有下列两个结论:①; ②; 那么（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】对于①，由题意，进一步即可判断；对于②，将题目转换为只需证明，即可. 【详解】设，易知， 单调递增，故的图象上某点处的切线的斜率随着自变量的增大而增大， ，即， 所以，所以，故①正确； 设直线的方程为， 则和是函数的两个零点，， 又，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 下面证明，只需证， 由于，在上单调递减， 即证，即证. 设，， 因为，， 所以在上单调递增，所以， 故，即成立.故②正确. 故选：A 77．（25-26高二下·上海闵行·期中）已知函数，为坐标平面上不在图象上的一点.若过点至少可以作1条函数的切线，则称点具有性质，所作切线为的线. (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由； (2)若，点具有性质，且的线不超过1条，求实数的取值； (3)若，对于所有满足的，证明：若点具有性质，则. 【答案】(1)否，理由见解析. (2). (3)证明见解析. 【知识点】利用导数证明不等式、已知切线（斜率）求参数、求过一点的切线方程 【分析】（1）利用导数与切线的关系求出切线的方程，判断切线的条数即可求解； （2）利用导数与切线的关系求出切线的方程，列出关于的方程，求解； （3）由于，对于所有满足的，通过构造函数求解. 【详解】（1）设函数图象过点的切线切点为， 那么 ，方程无实数解，故点不具有性质. （2）设函数图象过点的切线切点为 ，，那么 ， 化简得 由于点具有性质，且的线不超过1条， 所以, 解得  或， 据题意，点 不在函数图象上，所以，即，故舍去. 所以 （3）设函数图象过点的切线切点为，，那么 ，化简，得 设，那么 令，得；令，得 所以，在处取得极小值，也是最小值 所以，由于 ， 所以，若点具有性质，则. 78．（24-25高二下·上海·期末）已知A，B，C是函数图象上不同的三点，若它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设． (1)当时，求函数在处的切线方程 (2)若是定义域上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围； (3)当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、函数新定义 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求解即可； （2）设，，，故只需判断的符号即可； （3）由题意，证明得到，放缩即可得证. 【详解】（1），，则切线方程为； （2）设A，C两点的横坐标分别为，，则B点横坐标为， 由“等差偏移”函数定义知：，化简得： ， 即：，即， 令，函数，， 故，又因为，所以； （3），则， 设，， 因为，当时在单调递增，，故． 构造函数， 即在单调递增，则，故当时， 所以有，故 即． 所以，即； 故 79．（24-25高二下·上海浦东新·期末）牛顿法又称切线法，是牛顿提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是方程的解，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为．称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：，根据已有精确度，当时，取为方程近似解．已知函数，其中．    (1)当时，试用牛顿法求方程满足精度的近似解；（取，且结果保留两位小数） (2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题． （ⅰ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，当时，比较与的大小； （ⅱ）当时，若关于的方程的两个根分别为，证明：． （参考数据：时，） 【答案】(1)－1.35 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、函数新定义 【分析】（1）构造函数，再根据题设定义，即可求解； （2）（i）点的坐标为，根据条件可得，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求得，即可求解；（ii）根据条件，先证明，进而证明，即可求解. 【详解】（1）当时，令， 则，所以，又， 所以曲线在处的切线为， 令，得，则． 又， 曲线在处的切线为， 令，得，则， 故用牛顿迭代法求原方程满足精度的近似解为－1.35． （2）（ⅰ）设点的坐标为，则，即， 所以，得到，解得，则， 又，则， 曲线在点处的切线方程为，即， 令，即，则． 因为在上单调递减，所以在上单调递减． 又因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以对任意的正实数都有，即当时，都有． （ⅱ）因为在上单调递减，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是在的极大值点，也是在的最大值点， 即． 又，所以当方程有两个根时， 必满足，且， 曲线过点和点的割线方程为． 下面证明：． 设， 则，令，得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，， 在上单调递减，， 所以当时，，即． 因为，所以，解得①． 曲线过点（1，n－1）和点的割线方程为． 下面证明：． 设， 则，即在上单调递减， ． 因为，且，即和都在的严格减区间内， 所以，即， 所以，即． 由零点存在性定理可知，存在，使得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，， 在上单调递减，， 所以当时，，即． 因为，所以，解得②． 由②①，得， 即证得． 题型二一、利用导数研究不等式恒成立问题（共5小题） 80．（25-26高二下·上海·期中）已知，对任意，都有成立，则的最小值为__________. 【答案】 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【详解】定义域为，求导得， 令得，因此，，单调递减； ，，单调递增， 因此的最小值为，且时（从下方趋近于0）， 题中条件，等价于在上的最大值减去最小值的差小于等于， 若，则，最小值，最大值， 代入不等式得， 由得， 若，根据上述分析可知满足条件，但的取值大于，不是最小值， 因此的最小值为. 81．（24-25高二下·上海黄浦·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对任意恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是. (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）求出，在定义域内，令求得的范围，可得函数增区间，令求得的范围，可得函数的减区间； （2）对一切，恒成立等价于对一切恒成立，利用导数可得的最小值为，从而可得结果； 【详解】（1），，. 令，解得；令，解得， 的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）由，即， 又，整理得， 所以 “对任意成立”等价于“对任意恒成立”. 令，则， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. ， 又是正实数，即，. 即所求实数的取值范围是. 82．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，（），设. (1)求的单调区间； (2)若以（）图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求正实数的最小值； (3)是否存在实数，使得函数的图像与的图像恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为. (2) (3)存在实数，的取值范围是. 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）先求出其导函数，根据导函数的正负即可求出其单调区间； （2）利用分离参数求得函数的最大值即可求解； （3）先化简函数将所求转化为两个函数的交点，通过导数得到函数的极值及单调性求解. 【详解】（1），定义域为，，求导得. 令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）切线斜率，对任意恒成立， 整理得， 设，， 的最大值为，故. 即正实数的最小值为. （3）先化简两个函数，因此左边函数为， 右边函数为，交点满足方程， 整理得， 令，问题转化为与的交点个数. 是偶函数，求导得，令得， 单调性分析： 区间 递增 递减 递增 递减 极大值，极小值 且时， 因此与有个不同交点，当且仅当. 即存在实数，的取值范围是. 83．（24-25高二下·上海·期末）在湖边，我们常看到成排的石柱子之间用铁链相连，这就是悬链线.选择适当的坐标系后，悬链线的解析式是一个双曲余弦函数，记为，其图象是曲线，与之对应的双曲正弦函数，其图象是曲线. (1)类比正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：，写出双曲正弦和双曲余弦的两种性质（不必证明）； (2)若当时，双曲余弦函数的图象曲线终在直线上方，求实数的取值范围； (3)若为坐标原点，直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点处的切线是，曲线在点处的切线是，且与相交于点，记与面积的乘积为，证明：存在两个不同的实数，使，且任意． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】导数的运算法则、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）类比，写出平方关系，和角关系和导数关系；（2）构造函数，求导，得到函数单调性，进而得到答案；（3）通过导数求出，，联立求得，由面积公式求导和，则，分类讨论当，，时函数的单调性，再根据题意求解即可. 【详解】（1）因为正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：， 类比得到①，           ②； （2）即当时，恒成立，故， 令，， 由，即，解得（负值舍去）， 当严格减，当严格增， 故， 所以. （3）由题可知：，，， 则，，则， 同理，联立求得， 此时， ； 同理，求得， 则， 当时，记， ，， 当时，，即在严格减， 当时，，即在严格增， 易得，，， 故存在，使， 此时，在严格减，在严格增， 又，故，在严格增，在严格减， 故存在两个不同的，使， 因为即， 此时 ，当且仅当时取等， 因为，故对任意． 84．（24-25高二下·上海·期中）已知函数，. (1)若函数在处有极值，求实数a的值； (2)在（1）的条件下，关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围； (3)记函数（是自然对数的底数），若对任意、且时，均有，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数 【分析】（1）根据极值，求出，进而检验是否符合题意即可； （2）结合（1）的结论，可求得的取值范围； （3）根据的单调性，问题转化为，整理得，分别判断函数和函数在上的单调性，根据不等式恒成立的性质，分离参数，即可求出a的取值范围． 【详解】（1）在处取得极值， 又因为，则， 故，得； 当时，，， 当或时，，所以在和是单调递增， 当时，，所以在时单调递减， 所以是极值点，所以符合题意， （2）由（1）知在和上单调递增，在上单调递减， 又，， 当时，，当时，， 所以关于x的方程有3个不同的实根，所以， 所以实数m的取值范围为； （3），在上单调递减， 对任意、且，、则， 则对任意、且，均有成立， 转化为，对任意、且时、 均有成立， 即，即 所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增， ①函数在上单调递减，即在上恒成立， 又因为，， 故，得在上恒成立， 令，则，令，得， 所以，在上单调递增，在上单调递减， 故，故． ②函数在上单调递增，即在上恒成立， 又因为，， 故，得在上恒成立， 因为函数在上为单调递增函数，故，此时． 综上所述，实数的取值范围为． 题型二二、利用导数研究函数的零点（共4小题） 85．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数，若存在三个互不相等的实数m，n，p，使得，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】首先求函数的导数，再求函数的极值，根据函数有3个零点，结合三次函数的单调性和极值，列式求解. 【详解】，得， ，得，，得或， 所以的增区间是，减区间是和， 函数的极小值是，极大值是， 由条件可知函数有3个零点，所以，得. 故答案为：. 86．（25-26高二下·上海·期中）若函数有3个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点 【详解】有三个零点有三个解有三个解， 令，， 令，得或， 的单调递增区间有，， 令，得，在上单调递减，故的大致图象为 要想使得有三个解，必有，所以的取值范围是. 87．（25-26高二下·上海·期中）对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. (1)若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围； (2)若函数是定义在上的“0跃点”函数，且在定义域内存在三个不同的“0跃点”，求实数的取值范围； (3)若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”，求实数满足的条件. 【答案】(1) (2) (3)且 【知识点】函数新定义、利用导数研究函数的零点、函数单调性、极值与最值的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）求出给定函数的导数，再由“跃点”函数的定义结合三角函数的性质求得实数的范围作答. （2）根据“0跃点”函数的定义，可得方程在R上有3个不同的解，构造函数令，利用导数判断单调性，求出极值得解. （3）根据题意将问题转化为在R上恰有两根，再构造函数，借助导数求解作答. 【详解】（1）函数的导函数为， 因为函数是“跃点”函数， 所以方程有解，即有解， 又，所以. （2）函数的导函数为， 由题意可得方程，即在R上有3个不同的解， 令，则，令，得或， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 又，，，当时，，当时，， 所以，即实数的取值范围为. （3）函数的导函数为， 因为函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”， 所以方程，即在R上恰有两根， 令，则， 当时，，在R上单调递增，此时最多只有一个实根，不合题意； 当时，令，得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，且， 又当时，，当时，， 要使得在R上恰有两根，仅需，即. 综上，实数满足的条件为且. 88．（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)函数在区间上有零点，求的值； (3)记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程； （2）求出的导数，判断的单调性，利用零点存在性定理判断即可； （3）求函数的导函数，令，依题意方程有两不相等的正实根、，利用韦达定理，结合的取值方程，即可求出的取值范围，则，构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解． 【详解】（1）因为，所以，则切线斜率为， 又，切点为，所以切线方程为； （2），， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以的极小值为，， 在区间上存在一个零点，此时； 又，， 在区间上存在一个零点，此时， 综上，的值为或； （3）函数，， 所以， 由得，依题意方程有两不相等的正实根、， 则，所以， ，，， 又，，，解得， ， 构造函数，， 所以， 在上单调递减， 所以当时，， 因为恒成立， 所以，则的最大值为． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 题型二三、利用导数研究方程的根（共3小题） 89．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知函数在上的导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ） 命题①：方程至多只有一个实数根； 命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有． A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【答案】C 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究方程的根 【分析】对于命题①：构造函数，利用导数判断其单调性，结合单调性分析其零点即可；对于命题②：利用函数是定义域为的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，得到，再对与1的大小关系进行分类讨论，即可得出结论. 【详解】因为，即， 对于命题①：令，故， 可知函数在上单调递增，则至多有一个零点， 所以方程至多只有一个实数根，故命题①为真命题； 对于命题②：因为函数是周期为2，取一个周期， 由题意可知在内连续不断，则在内必有最大值和最小值， 设在内的最大值为，最小值为， 设，，且， 对任意， 显然时，恒成立，下面考虑的情况， 由导数定义可知，即， 若，则成立； 若，设，即， 则，且，可得， 所以成立； 综上所述：对任意实数，都成立，故命题②为真命题； 故选：C. 【点睛】关键点点睛：对于命题②：设的最大值为，最小值为，在一个周期上，，当时，结论显然成立，当时，利用不等式的性质可证明. 90．（25-26高二下·上海·期中）已知函数 (1)若函数在处的切线的斜率是2，求的值； (2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究方程的根、根据极值求参数、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）求导后由即可得解； （2）根据导数与极值点关系计算可求出，得到，利用导数得到函数单调性后即可得有3个不同的实根时，的取值范围. 【详解】（1），则，解得； （2），， 由在处有极值，故，解得； 则，此时，， 当或时，，当， 故在、上单调递增，在上单调递减， 因此是极值点，故符合要求， 因为关于的方程有3个不同的实根， 则有，由， ， 故. 91．（23-24高二下·上海·期末）函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（，为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求证：为奇函数； (2)当a变化时，求函数不动点个数； (3)若存在，，且为函数的一个不动点，求a的取值范围． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)答案见解析 (3) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、利用导数研究能成立问题、利用导数研究方程的根、函数新定义 【分析】（1）根据变形得到，从而得到，证明出结论； （2）由得，令，求导得到函数单调性和极值情况，从而得到的解的情况，得到答案； （3）由题目条件得到在R上单调递减，变形得到，即，由函数单调性得到，根据不动点得到在时有解，构造，，求导得到其单调性和最值，从而得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】（1），故， 其中，则， 其中定义域为R，故为奇函数， （2）由得，令，则 令，解得，令，解得， 所以在单调递减，在上单调递增， 其中， 故当时，无解，当时，有1个解， 当时，有2个解； 综上，当时，函数没有不动点； 当时，函数有1个不动点； 当时，函数有2个不动点. （3）当时，，故， 所以在上单调递减， 根据奇函数的对称性，可得在R上单调递减， 因为存在，即， 则， 故，则，即， 因为为函数一个不动点， 所以在时有解， 令，， 因为当时，， 所以在上单调递减，且趋向于时，趋向于， 所以只需，即， 解得， 故a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 题型二四、利用导数解决实际问题（共3小题） 92．（25-26高二下·上海闵行·期中）某校开展阳光体育活动，羽毛球筒的盖子如图呈圆锥漏斗形状，已知圆锥的母线长是R，它的值是固定的.当盖子的深度h为（   ）可使其体积最大. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、面积、体积最大问题 【分析】将圆锥的体积转化为关于深度的关系式，再利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】依题意，羽毛球筒盖子的体积为，而， 则，，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则当时，函数取得最大值， 所以盖子的深度h为，其体积最大. 93．（25-26高二下·上海宝山·期中）将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的最大容积为___________． 【答案】1024 【知识点】面积、体积最大问题 【分析】由题意可知方盒的底面是边长为的正方形，方盒高为，进而可得方盒的容积为，.利用导数研究函数的单调性，再求出最大值. 【详解】由题意可知，无盖方盒的底面为边长是的正方形，高为， 则满足，即定义域为， 因此方盒的容积为. . 令，结合定义域，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因此在处取得最大值，则. 94．（24-25高二下·上海静安·期中）某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)写出利润y关于半径的函数关系式，并写出定义域； (2)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ 【答案】(1)， (2)当时，最大利润为分 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、利润最大问题 【分析】（1）根据题意，结合球的体积公式求解； （2）利用导数求最值. 【详解】（1）设每瓶饮料的利润为 由题可知， （2）则， 由，可得，或（舍） 当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增 由上分析，当时，利润最大，， 故当时，利润最大，此时最大利润为分. 2 / 80 1 / 80 学科网（北京）股份有限公司 $