精品解析：河南省部分重点高中2022-2023学年高三上学期12月联合考试数学（理）试题

河南省部分重点高中2022—2023学年高三上学期12月联合考试 数学（理）试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合，然后利用交集运算即可得到答案 【详解】由题意知，，即集合， 因为， 所以， 故选：B. 2. 若，，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数单调性的性质，结合存在性质的定义进行求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 显然在上单调递减， 所以，即实数a的取值范围为. 故选：D 3. 在△ABC中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理求解可得，，进而可得答案. 【详解】由可得，则，即，，所以. 故选：B． 4. 已知点是角的终边上一点，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可求得、的值，再利用二倍角公式可求得的值. 【详解】由三角函数的定义可得，， 所以，. 故选：A. 5. 已知某圆台的上、下底面面积分别为和，高为2，上、下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，分情况讨论，利用其轴截面，根据勾股定理，可得答案. 【详解】解：由题可知圆台上下底面的半径分别为1和2，轴截面如图所示， 设球的半径为R， 当两底面在球心同侧时，有，即，即，即，方程无解； 当两底面在球心异侧时，有，即， 所以，即，则，. ∴这个球的表面积是. 故选：B. 6. 已知数列满足，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据累加法求解即可. 【详解】由，且，根据累加法可得： ， 所以，则. 故选：B 7. 已知为等差数列的前项和，，且，，则满足的最大的正整数（ ） A. 2021 B. 2022 C. 4042 D. 4043 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的单调性，结合第项与前项的关系进行求解即可. 【详解】为等差数列，∵，且， ∴，，， 即该等差数列的公差， ∴数列是递减的等差数列，当时，，当时，， ∵，∴， ， ，，∴满足题意的最大的正整数， 故选：C 8. 已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，再求导分析函数的单调性，进而结合判断大小关系即可. 【详解】由，化简，令，则，所以函数在上单调递增，，所以. 故选：D 9. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，若函数的极大值与极小值之和为，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算函数的对称中心为，确定，求导得到单调区间，计算最值得到答案. 【详解】，，得，， 即函数的对称中心为， 函数存在极大值与极小值，设极值点为，， ，即或．， ， 当和时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. ，，故的值域为． 故选：D 10. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】变换得到，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】，，因为，，故，， ， 当且仅当时，即时等号成立．所以的最小值为． 故选：C 11. 已知函数定义域为，，是偶函数，设，则下列选项中一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定为奇函数，是偶函数，函数周期为4，再依次判断每个选项得到答案. 【详解】，所以为奇函数，故函数图象关于点对称， 是偶函数，故，即， 函数图象关于直线对称，所以 所以，所以函数周期为4， 对选项A：，故A正确； 对选项B：无法确定，错误； 对选项C：，错误； 对选项D：，故，即，，错误. 故选：A 12. 设函数，若关于x的方程（）有四个实数解，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数图像，由图像得出函数单调性，再作直线由直线与函数图像交点得满足的性质，再求得其范围． 【详解】如图所示： 因为关于x的方程（）有四个实数解，且，，所以.的对称轴为，所以. 因为，所以，即，.因为，所以. 所以，令，， 因为，为减函数，所以. 故选：A. 【点睛】本题考查方程解的问题，解题方法是把方程的解转化为直线与函数图像交点问题，作出函数图像与直线，利用数形结合思想得出解具有的性质，然后再求解. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 命题“，”的否定是__________． 【答案】， 【解析】 【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案. 【详解】命题“，”的否定是，． 故答案为：， 14. 已知，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量垂直的性质、平面向量模的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为，由，则，则，所以，则. 故答案为： 15. 写出一个同时满足下列性质的函数：__________. ①定义域为R； ②； ③设是函数的导函数，且. 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】根据三角函数的性质结合基本函数的导数公式即得. 【详解】因为函数的定义域为R， 所以，， 所以， 所以满足题意. 故答案为：.（答案不唯一） 16. 设函数（），若在上有且仅有5个极值点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据极值的定义，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】 当时，， 令，则， 由函数（，）性质可知，若函数在上有且仅有5个极值点，只需，解得. 故答案为： 【点睛】关键点睛：利用函数极值与单调性的关系进行求解是解题的关键. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知数列的前项和为，，，． （1）求； （2）设是数列的前项和，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知可推出，数列是首项为1，公差为的等差数列，即可解出，进而解得； （2）由（1）可得，然后求和即可得到. 【小问1详解】 由题，可得， 又知，所以数列是首项为1，公差为的等差数列， 所以，即． 【小问2详解】 由（1）可得， ∴． 18. 如图，在四棱锥中，为正方形，平面平面，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面平面，根据平面，得到证明. （2）确定B，D两点到平面EFG的距离相等，，计算得到答案. 【小问1详解】 ，，分别是线段，，的中点，故，， 平面，平面，平面，平面， 故平面，平面， ，平面，平面，平面平面， 平面，故平面． 【小问2详解】 连接，平面PAD⊥平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，PA⊥AD， 故PA⊥平面ABCD，平面，PA⊥CD， 四边形ABCD为正方形，AD⊥CD，，平面， 故CD⊥平面PAD．GD＝2，． 平面EFG，故B，C两点到平面EFG的距离相等， G是线段CD的中点，C，D两点到平面EFG的距离相等， 即B，D两点到平面EFG的距离相等， ， 三棱锥B－EFG的体积为． 19. 已知数列{}满足＝，＝，＝． （1）证明：{－}为等差数列，并求； （2）设＝＋·，求数列{}的前项和． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】(1)定义法证明等差数列, 应用等差数列通项公式可得通项,再构造等比数列, 应用等比数列通项公式计算即可. (2)分奇偶讨论,并应用等差数列求和公式计算即可得解. 【小问1详解】 根据题意得an＋1＝4an－3an－1，可得an＋1－3an＝an－3an－1， 又知a2－3a1＝－2， 所以数列是首项为－2，公差为0的等差数列， 所以an－3an－1＝－2，即an－1＝3（an－1－1）， 又知a1－1＝4－1＝3，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以． 【小问2详解】 ， 当n为偶数时，前n项和； 当n为奇数时，前n项和， 则 20. 如图，在四棱锥中，，垂足为，平面，，，． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，证明平面即可 （2）计算，再利用等体积法得到点到平面的距离为，再计算线面夹角得到答案 【小问1详解】 ∵平面，平面，故， 又，，平面，平面， 故平面，又平面． 平面平面 【小问2详解】 在中，由得， 在中，由得， 在中，由得． 在中，由得， 在中，由， 由可得， ， 设点到平面的距离为， 由，得， 即， 设直线与平面所成的角为，则． 21. 如图所示，在平面四边形中，，，． （1）求角的大小； （2）当角为何值时，四边形的面积最大． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简得到，计算得到答案. （2）计算，，得到，根据三角函数的有界性得到最值. 【小问1详解】 因为，所以， 即，解得，，． 【小问2详解】 ，，为等边三角形， 在中，由余弦定理知： ， 而， ， 四边形ABCD的面积 ， ，，当即时，取得最大值为， 故四边形ABCD面积的最大值为． 22. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若（）有两个零点，，且，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可得出结果； （2）由题可得，令，则，构造函数，求导判断单调性，即可求出，再利用基本不等式即可证明. 【小问1详解】 ， 则，即切线斜率为2， 又， 则切线l的方程为，即切线方程为. 【小问2详解】 ∵是的零点，，且，， 则，即， ∴，即， 令，则，则， 令，则. 令，则，则单调递增， ∴，即，则单调递增， ∴， ∴，即，即， 则（由于，故不取等号），得证. 【点睛】关键点点睛：本题第二小问的关键在于得到后，令，则，进而构造函数，求导判断单调性，即可求出，从而可证得结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省部分重点高中2022—2023学年高三上学期12月联合考试 数学（理）试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 在△ABC中，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点是角的终边上一点，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知某圆台的上、下底面面积分别为和，高为2，上、下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知为等差数列的前项和，，且，，则满足的最大的正整数（ ） A. 2021 B. 2022 C. 4042 D. 4043 8. 已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，若函数的极大值与极小值之和为，则的值域为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12 11. 已知函数定义域为，，是偶函数，设，则下列选项中一定成立的有（ ） A. B. C. D. 12. 设函数，若关于x的方程（）有四个实数解，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 命题“，”的否定是__________． 14. 已知，，，则__________. 15. 写出一个同时满足下列性质的函数：__________. ①定义域为R； ②； ③设是函数的导函数，且. 16. 设函数（），若在上有且仅有5个极值点，则的取值范围是__________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知数列的前项和为，，，． （1）求； （2）设是数列的前项和，求． 18. 如图，在四棱锥中，为正方形，平面平面，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 19. 已知数列{}满足＝，＝，＝． （1）证明：{－}为等差数列，并求； （2）设＝＋·，求数列{}的前项和． 20. 如图，在四棱锥中，，垂足为，平面，，，． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 21. 如图所示，在平面四边形中，，，． （1）求角的大小； （2）当角为何值时，四边形的面积最大． 22. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若（）有两个零点，，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $