河北廊坊市永清县第一中学等校2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

高二5月数学 参考答案及评分意见 1.A【解析】因为f'(1)=3,所以1im f(1+△x)-f(1) 2△x 2 lim f(1+△x)-f(1)1 △x 2-2f'1)=号×3=故选A △x 2.C【解析】因为随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=0.6, 所以P(X=0)=1-P(X=1)=1-0.6=0.4.故选C. 3.D【解析】因为二项式(2x一1)”的展开式中仅有第5项的二项式系数最大， 所以展开式一共有9项，即n十1=9，解得n=8.故选D. 4.A【解析】函数f(x)= alnt有意义，则x>0且lnx≠0，即函数f(x)的定义域为(0,1DU(1,十oo). f(x)= (xln x)2 ←》令f'()>0.得-2mx+D>0,即1nx<-1,解得0<23 所以函数f)的单润递增区间为0，)，故选A 5B【解析】由题意，先将甲乙丙、丁戊5名教育专家分成2,1,1,1四组，有A10种分法，再将这四组专 家分配到四个不同地区，所以有10A=240种分法.故选B. 6A【解折】由题意，对Vz∈[1，f'x)=e-≤0恒成立，即a≥ze在[1，上恒成立，则a≥(xe) 令h(x)-xe,求导得h'(x)=e+xe=e(1+x), 当x∈[1,4]，h'(x)>0,h(x)单调递增，所以h(x)mx=4e,即a≥4e. 所以实数a的取值范围是[4e,十∞).故选A. 7.C【解析】方法一：设取出的白球个数为离散型随机变量X,则X的所有可能取值为0,1,2,3， 则P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=CC+CC=15+1_2 C+ C-56+56=7 所以至少有2个白球的概率是号故选C. 方法二：设A=“至少有2个白球”，则A=“至多有1个白球”， 所以PA)=1-PA)=1-SCC-1-5.5-2. 2828=7.故选C. 8.C【解析】由题意得2x2-4x十2=2(x-1)2,且f(1)=2,则有f(x-1)<f(1)·(x-1)2. 由f(x)的定义域得x-1≠0，即x≠1.两边除以红-1D:,得x-<f=2. (x-1)212 令两数g)-f,则有g-1D<g61. g'x)=f'x)·xfx)·2_f'x)2fx,因为f')-2fz)>0恒成立， 所以当x>0时，x3>0,则g'(x)>0,g(x)在(0，+∞)上单调递增； 数学答案第1页（共7页） 当x<0时，x3<0,则g'(x)<0,g(x)在（一∞，0）上单调递减. 又因为f(x)是偶函数，所以g(-)=f一x〉_-f）=g(x),即函数g(x)是偶函数. (-x)2 所以g(|x-1|)=g(x-1),又因为g(x)在(0，十∞)上单调递增， 所以0<x-1|<1,解得0<x<2且x≠1. 所以不等式f(x一1)<2x2-4x十2的解集为(0,1)U(1,2).故选C. 9.AC【解析】对于A,若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)+P(B)=1, 但P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(A)+P(B)=0.9≠1，故A错误. 对于B,若A二B,即A∩B=A,则P(AB)=P(A)=0.4,故B正确. 对于C,若事件A,B互斥，则P(AUB)=P(A)十P(B)=0.9≠0.5，故C错误. 对于D,若事件A,B相互独立，则事件A与B,事件A与B也相互独立. 所以P(B1A)=P(B)=1-P(B)=1-0.5=0.5,P(B|A)=P(B)=0.5, 即P(B|A)=P(BA),故D正确.故选AC. 10.AD【解析】对于A,因为杨辉三角第n行的数对应组合数C%,Ch,…,Cm, 当m为偶数时，最大数是C,对应第号十1个数， 所以第20行，最大数为C唱，对应第)+1=1个数，放A正确 对于B,由题意得，第20行的数对应组合数Co,C2o,…,C8, 20×19×18×17 4×3×2×11 侧从左到右第17个数为C8,第18个数为C3,所以C=C 20×19×18 4,放B错误. 3×2×1 对于C,因为第20行第i个数为a:=C(=1,2,…,20),所以22-1a,=是2-1C 令i-1=k,则22-4：=》2*C.由二项式定理，得》2*C=(1十2)”-C820=32”-20≠300，故C错误. 0 对于D,因为第四斜行的数为1,4,10,20，…，对应组合数为C3,C,Cg,C,…,即an=C+2, 所以数列{an}的前n项和为C+C十C+Cg+…十C+2=C4十C十Cg+Cg+…十C%+2 =C+Cg十C%+…十C%+2=C+Cg十…+C%+2=C4+3,故D正确.故选AD. 11.ACD【解析】由题意得，f'(x)=3a.x2+2bx十1，△=4(b2-3a) 对于A,若b2-3a≤0，则△=4(b2-3a)≤0，由b2≥0得3a≥b2≥0， 因为a≠0，则a>0,所以f'(x)的图象开口向上，f'(x)≥0恒成立，没有变号零点， 所以f(x)在R上单调递增，故无极值点，故A正确. 对于B,若a>0,b>0,则f'(x)的图象开口向上，对称轴为x= b∠0， _3 f'(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f'(x)>f'(0)=1>0, 故f(x)在(0，十∞)上单调递增，故B错误. 数学答案第2页（共7页） 对于C,当a=1,b=-2时，f(x)=x3-2x2十x,f'(x)=(3x-1)(x-1). 、1 令f'(x)=0,则x1=3x:=1, 当x∈(，时，f')>0:当x∈(glj时f'x)0:当xe4,+o)时，f')>0. 所以授大值/付)一极小值/1)=0.因为f:)=有三个实根，所以0<k<号放C正确， 、4 对于D,当a=1,6=-2时，解f(x)=27得x=3或x=号， f)在(-，)上单调通增，在（行，1上单调通减，在1，十∞）上单调递增。 ①当m≤兮时，最大值小于克 ②当m>时，存在x使得了x)>最大值大于引放m∈(G],放D正确放选ACD, 12.63【解析】当x=0时，a。=(-1)5=1.当x=1时，2=ao十a1十a2十a3+…十a6 所以a1十a2+a3+…十a6=(ao十a1十a2十a3十…十a6)-ao=25-1=63. 13,【解析】由题意，有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数， 所有可能的结果共有44=256种，恰有3个不同整数的排法，有C?A=6×24=144种， 在恰有3个不同整数的前提下，第二次取到3的排法，有CA+C号A-3×6十3×6=36种， 所以在恰有3个不同整效的前提下，第二次取到3的概率P=识-子 ia(o得 【解析】当x<1时，f(x)=xe2,则f'(x)=e(x十1)， 解f'(x)<0,得x<-1;解f'(x)>0,得-1<x<1. 所以当x∈(-∞，-1)时，f(x)单调递减；当x∈(-1,1)时，f(x)单调递增. 所以当x<1时，f(x)n=f(-1)=-是，f(0)=0,当x-∞，f(x)→0. 当≥1时)=，则了x)=1h, x2 解f'(x)>0,得1<x<e;解f'(x)<0,得x>e. 所以函数f(.x)在(1，e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减. 当x≥习1时fx)m=f(e)=e=f1)=0,当+o,f)0. e 作出函数f(x)的大致图象如图. =1 y=m= y=f(x) 数学答案第3页（共7页） 因为函数g(x)=f(x)一m有2个零点，所以直线y=m与f(x)的图象有2个交点. 由图可知 。n<0或m=。即实数m的取位范国是(-。，0U{侣} 1 15解：1)由题意得，二项式丘-号)” 的展开式的通项为 +1=C(E)7-2=C(-2)yz,r≤6，z∈N. …3分 二项式系数最大的项为中间项即第4项， 所以T4=C8(-2)3x=-160x号.…5分 (2)由题意得，二项式反一是) 的展开式的通项为 …6分 2rC6≥2r+1Cg+1, 设第r+1项系数的绝对值最大，显然0<r<6,则 2rCs≥2-1Cg-1, 6！ 61 1.6-r2122·+101:6-1' r+1≥12-2r 整理得 即 解得1 14 6！ 14-2r≥r, 3≤r≤3· …9分 6! 2·r1·6-r1产(-1D1…(7-r) 因为r∈N,所以r=4.…10分 所以系数的绝对值最大的项是第5项， 所以展开式中的第5项系数的绝对值最大.… …11分 所以系数最大的项为第5项T5=(一2)4C%x7=240x一7.…13分 16.解：(1)由f(x)=x(x-a)2,得f'(x)=(x-a)2+2x(x-a)=(x-a)(3x-a). 因为x=4为f(x)的极小值点，所以f'(4)=0,解得a=4或a=12.…2分 当a=4时，f'(x)=(x-4)(3x-4), 当x<专时，f'(x)>0了)单调递增，当号<<4时，f'(x)<0,f)单调递减； 当x>4时，f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以x=4为f(x)的极小值点.……5分 当a=12时，f'(x)=3(x-12)(x-4), 当x<4时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当4<x<12时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 当x>4时，f'(x)>0,f(x)单调递增.所以x=4为f(x)的极大值点.…8分 所以当a=12时，f(x)在x=4处取极大值，不符合题意， 所以实数a的值为4.…… …9分 (2)当a=6时，f'(x)=3(x-6)(x-2), 令f'(x)=0得x=6或x=2.……10分 数学答案第4页（共7页） 当x∈[-1,2)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当x∈(2,3]时，f'(x)<0,f(x)单调递减。 所以f(2)=2×(2一6)2=32为f(x)在区间[一1,3]的极大值，也是最大值.…13分 因为f(-1)=-49,f(3)=27,f(-1)<f(3),所以最小值为-49. 综上，函数f(x)在区间[一1,3]上的最小值为一49，最大值为32.… …15分 17解：1)对于男生，从5名男生中选2人，选法有C心-X10种。 对于女生，从4名女生中选2人，选法有C=仪8-6种，…2分 1X2 根据分步乘法计数原理，总选法有10×6=60种， 所以男生、女生各选2人，共60种选法.…4分 ©由越意，从9人中选取4人滋法有C心-资× =-126种. 若男生甲和女生乙都不在，则从剩下的7人中选取4人， 法有C生=7X6义5义435孙，…………6分 所以男生甲和女生乙至少选1人的选法有126一35=91种.…8分 (3)由(2)得，从9人中选取4人，选法有C=126种， 若透愿的4人全部为男生，则滋法有G-改父-5后， 若选取的4人全部为女生，则选法有C4=1种.… …10分 所以选取的4人中，既有男生又有女生的选法有126-5一1=120种， 若男生甲和女生乙都不在，则从剩下的7人中选取4人，选法有C=35种. 12分 此时还剩下了4名男生和3名女生， 在这种条件下，选取的4人全部为男生的选法有C4=1种， 选取的4人全部为女生的选法有0种.…13分 所以选取的4人中，男生甲和女生乙都不在且既有男生又有女生，选法有35一1=34种. 所以从9人中选取4人，男生甲和女生乙至少选1人，且既有男生又有女生的选法有120一34=86种. ………15分 18.解：(1)甲在乒乓球比赛中积1分， 则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，胜1场，负2场， 所以概率为c'-8 ……4分 (2)甲在游戏中总得分为2，对应事件：甲在乒乓球比赛中获得1积分，抽奖1次中1次； 或甲在乒乓球比赛中获得2积分，抽奖2次中0次， 故所求概*p)=()p+C()1-pr-2)+品 所以当p=2时，f(p)取得最小值，f(p)的最小值为32 …9分 数学答案第5页（共7页） (3)在乒乓球比赛中，若事件A发生，则甲胜乙，甲胜丙，甲胜丁， 其余三人的积分有两种情形：2,1,0或1,1,1. 记事件“甲在乒乓球比赛中积3分，乙、丙、丁各积1分”为C, 则P(C)= …11分 事件“甲在乒乓球比赛中积3分，另3人积分为2,1,0分”为C2, 3 则P(C2)= 13分 甲要获得奖励，则对应两种情况： “甲抽奖3次至少中1次”，或者“甲抽奖3次中0次，且积2分的人至多抽中1次”， 所以Ps1c,)=1-(份)+()×1-()门0 …15分 125 由全概率公式，得P(AB)=P(BC)P(C)+P(BC,)P(C)=1O24' 所以P(BA)=P(A)=128 P(AB)125 ……17分 19.(1)解：f(x)=e2-ax-1的定义域为R,f'(x)=e-a. ①当a≤0时，f(x)>0,.函数f(x)在R上单调递增.…2分 ②当a>0时，令f'(x)=0,解得x=lna. 当x∈(-o∞，lna)时，f'(x)<0;当x∈(lna,+∞)时，f'(x)>0, ∴.函数f(x)在（一∞，lna)上单调递减，在(lna,十∞）上单调递增. 综上，当a≤0时，函数f(x)在R上单调递增； 当a>0时，函数f(.x)在(-o∞，lna)上单调递减，在(lna,十o∞)上单调递增.…5分 (2)证明：当a=1时，由(1)得，函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，十∞)上单调递增. 不妨设x2<0<x1,要证x1十x2<0,即证x1<-x2,即证f(x1)<f(-x2). f(x1)=f(x2),.即证f(x2)一f(-x2)<0.…7分 令g(x)=f(x)-f(-x)=e-ex-2x(x≤0)，则g'(x)=e+ex-2≥0， ∴g(x)在(-∞，0)上单调递增，.当x<0时，g(x)<g(0)=0,∴f(x2)-f(-x2)<0. ∴.f(x1)<f(-x2),x1<-x2,x1十x2<0。…10分 (3)解：f(x)≥(1-x)e+lnx,即e-ax-l≥(1-x)e+lnx, 对V>0,都有a≤e-1nx-成立. x 令x)=C-nr-1(x>0),则a≤(x)a: x 求导得h'(x)=e+lnx x 数学答案第6页（共7页） 令p(x)=xe+inxx>0,则p'x)=(x+2x)e+>0, p(x)在(0，十∞)上单调递增.。 …11分 又9-e+-e-10,ga-e>0, “存在唯一的，∈（日小使得9x)=ic+n=0, 1 …13分 令t(x)=xe'(x>0),则t'(x)=(x十1)e>0,.t(x)在(0，十∞)上单调递增， ito=In 1=-In oIn o=0,eto=1 o …14分 当x∈(0，xo)时，p(x)<0,则h'(x)<0,h(x)在(0，xo)上单调递减， 当x∈(xo,十∞)时，p(x)>0,则h'(x)>0,h(x)在(xo,十∞)上单调递增. h)≥A()=e0_nx+1-1--,+1=, a≤1，即实数a的取值范围为（一∞，1].…17分 数学答案第7页（共7页）高二5月数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.设函数f(x)满足f'(1)=3,则li f(1+△x)-f(1)= 2△x A号 R号 1 C.3 D.1 2.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=0.6,则P(X=0)= A.0.7 B.0.5 C.0.4 D.0.1 3.已知二项式(2x一1)”的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则n的值为 A.10 B.4 C.6 D.8 2 4.已知函数f(x)= ,则f(x)的单调递增区间为 xIn x Al0.) B日+ C.(1,+∞) D(8,1)和a,+y 5.某市教育行政部门近期将安排甲、乙、丙、丁、戊5名教育专家前往四个不同地区指导教育 教学工作，则每个地区至少安排1名专家的方法有 A.80种 B.240种 C.120种 D.60种 6.已知函数f(x)=e2一alnx一1在[1,4]上单调递减，则实数a的取值范围为 A.[4e4,+o∞) B.(-∞，e) C.(4e4,十∞) D.[e,+o∞) 7.袋中有5个黑球、3个白球，从袋中任取3个球，则至少有2个白球的概率是 A号 B号 c号 D 第1页（共4页） 8.已知函数f(x)和f'(x)的定义域均为D=(-∞，0)U(0,十∞)，f(x)为偶函数，且对任 意x∈D,都有xf'(x)-2f(x)>0恒成立，f(1)=2,则不等式f(x-1)<2x2-4x十2 的解集为 A.(-∞，0)U(2,+∞) B.(0,2) C.(0,1)U(1,2) D.(-∞，0) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知随机事件A,B满足P(A)=0.4,P(B)=0.5,则下列说法错误的是 A.事件A与B互为对立事件 B.若A二B,则P(AB)=0.4 C.若事件A,B互斥，则P(AUB)=0.5 D.若事件A,B相互独立，则P(BA)=P(BA) 10.杨辉是我国古代数学家，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，我国古代数学的成就是 非常值得中华民族自豪的.则下列结论正确的是 第0行 第1行 第2行 第3行 3 第4行 14641 第5行 15101051 第6行 1615201561 第n-1行 1C1CR1…C}C-1…C1 第n行 1 CL C2 C1CC1…C1 A.第20行中最大的数是第11个数 B.第20行中从左到右第17个数与第18个数之比为6：1 C.记第20行第i个数为a:,则22-1a,=3020 D.第四斜行的数：1,4,10,20，…，构成数列{am},则数列{am}的前n项和为C+3 11.已知函数f(x)=ax3十bx2十x(a≠0)，则下列说法正确的是 A若b2一3a≤0，则f(x)在R上无极值点 B.若a>0,b>0,则f(x)在(0，十∞)上单调递减 C.当a=1,b=一2时，若关于x的方程f(x)=有三个实根，则实数k∈0,27 4 D.当a=1,6=-2时，若fx)在(-0，m)上最大值为7则实数m∈行，] 第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知(3x-1)5=ao十a1x十a2x2+a3x3+…十a6x6,则a1+a2十a3+…十a6= 13.一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1,2,3,4，从中有放回地随机取球，每次 取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则在恰有3个不同整数的前提 下，第二次取到3的概率为 xe,x<1, 14.已知函数f(x)= In x 若函数g(x)=f(x)一m有2个零点，则实数m的取值 -,x≥1. x 范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1.13分)在(G-)” 的展开式中. (1)求二项式系数最大的项； (2)判断系数的绝对值最大的项是第几项，并求出系数最大的项， 16.(15分)已知函数f(x)=x(x一a)2. (1)若函数f(x)在x=4处有极小值，求实数a的值； (2)若a=6,求函数f(x)在区间[一1,3]上的最值. 第3页（共4页） 17.(15分)从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.（用数字作答） (1)若4人中男生、女生各选2人，则有多少种选法？ (2)若男生甲和女生乙至少选1人，则有多少种选法？ (3)若4人中必须既有男生又有女生，且男生甲和女生乙至少选1人，则有多少种选法？ 18.(17分)某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场 乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局.乒乓球比赛结束后，再进行抽 奖，积分为的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总 得分最高者（允许并列）获得奖励.已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为？，每次 抽奖每人中奖的概率均为力(0<p<1),且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响. (1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； (2)记甲在游戏中总得分为2的概率为f(饣)，求f(p)的最小值； (3)若力=2，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖 励”，求P(BA). 19.(17分)已知函数f(x)=ex一ax一1. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a=1时，存在不相等的x1,x2,满足f(x1)=f(x2),证明：x1十x2<0; (3)对Hx>0,f(x)≥(1-x)e+lnx恒成立，求实数a的取值范围. 第4页（共4页）