河北定州中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

高一数学参考答案及解析 2205G101A 题号 1 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 答案 C 0 B C 0 C A ACD ABC ABC 1A【解析】之在复平面内对应的点为（停，），故选A 2,C【解析】因为原正方形的面积为4，根据斜二测画法的特征，可知直观图的面积是2×4=2.故选C 3.D【解析】若ma,mn,则na或nCa,A错误；若m⊥a,a⊥B,则mB或mβ，B错误；若m∥n, nCa,则ma或mCa,C错误；若m⊥a,a⊥B,所以m∥3或mCB,当m∥3时，存在直线lC3,使得 m儿，又因为n⊥3，所以n⊥l,则m⊥n;当mCβ时，因为n⊥β，所以m⊥n.综上，若m⊥a,n⊥3，a⊥3， 则m⊥n,D正确.故选D. 4.B【解析】取AF中点H,连接DH,易得DH/GF/EC,且有DH=BE=号BC, 则F店=2(H币+C面)=2(E+C)=2C成=2A成-AC)=2A店-2AC.故选B 5.C【解析】连接A1D,DE,易得A1DB1C,所以异面直线A1E与B1C所成角为∠DA1E(或其补角)， 不妨设正方体的棱长为2a(a>0), 则A1E=√(2a)2+a2=√5a,A1D=2√2a,DE=√5a, 所以在△A1DE中，由余弦定理可得cos∠DA,E=AE+A:D-DE_5a2+8a-5a一10 2·AE·AD2X5aX22a=5,所以 uAE=-可了=5放选C 6.D【解折】设0B=A米，因为∠PB0=60,tam60-8咒-0P,则OP=3h,又∠PA0=30 ∠PC0=45,所以OA=0P-3h=3h,0C=0P tan30° tan 45=3h. 3 在△OBC中，OC2=OB2+BC2-2OB·BC·cos∠OBC,即3h2=h2+602-2X60Xh×cos∠OBC①； 在△OAB中，OA2=OB2+AB2-2OB·AB·cos∠OBA,即9h2=h2+602-2X60×h Xcos,∠OBA②. 因为cos∠OBC+cos∠OBA=0,所以①②两式左右两边分别相加可得12h2=2h2十2×602，解得h= 12√5，所以OP=√3h=1215,即该楼阁的高度为12√15米.故选D. 7.C【解析】对于A,因为a十b12=a|2+2a·b十|b2=1,所以|a十b|=1,A正确；对于B,a在b上的 投影狗最的模即为alo,b61-la日名-名：所以B正确：对于C,a+bP=6a中2a·6十 高一数学A参考答案第1页（共7页） b)a+b》=a+a+2abh+十+2aba十b,所以C错误：对丁D,由2c-a+b)-号，可得 1c-2(a十b)=1,结合题意画图，设OA-a,Oi-b,O元-c,0D-2(a+b),则c-2(a+b)=0元- OD=DC,所以c是以O为起点，终点C在以D为圆心、以1为半径的圆上，又因为|OD|=2(a十b)|= 2a+b+2a·b=2,√1+1+2×()=2，所以c的取值范圈是[1,3]，故D正确.故选C 8.A【解析】结合题意作直观图如图： 60 02 设正方体为ABCD-A1B1C1D1, 作出截面AA1C1C,连接球心O1与上底面的切点，球心O2与下底面的切点，如图所示， A G 9 0 A H 因为球O1,O2的半径分别为1,2，所以O1G=1,O2H=2, 面在正水体中，结合愿点易知-82-0-5，所以A0,=8,C0,=25。 AA O2H OG 所以A1C=3+33,而A1C=√3a,所以a=3+√3.故选A. 9.ACD【解析】之=(1+i)(1+2i)=1+2i+i-2=-1+3i,之的实部为-1，A正确；之的共轭复数为-1一 3i,B错误；|z|=√(-1)2+32=√10，C正确； 千西=-计二骨g-iD正确放途AGD 10.ABC【解析】由于在正方体中，平面ADD1A1平面BB1C1C,又D1EC平面ADD1A1,所以D1E伻 面BB1C1C,A正确； 当E为A1D中点时，易知D1E⊥A1D,又CD⊥平面ADD1A1,D1EC平面ADD1A1, 所以CD⊥D1E,又CD∩A1D=D,CD,A1DC平面A1DCB1,以D1E⊥平面A1DCB1,又D1EC平 面ED1C,所以平面ED1C⊥平面A1DCB1,B正确； 因为CDL平面ADD1A1,所以∠CED为直线CE与平面ADD1A1所成的角， 显然当点E与点A1重合时，∠CED最小，此时余弦值最大， 此时cos∠CED=AD_226 A1C2V3=3,C正确； 高一数学A参考答案第2页（共7页） 易知A1DB1C,又A1D平面B1D1C,B1CC平面B1D1C, 所以A1D∥平面B1D1C, 又因为E为A1D上的动点， 所以E到平面B1D1C的距离等于A1到平面B1D1C的距离， 设A1到平面B1D1C的距离为h, 1 1 SOBR.=号×22X22X9=2V3,S△B1A1P1=2》 X2X2=2, 由V44e=VA,得X25Xa=写X2X2, 所以A=2,所以E到平面BD,C的距离为 ,D错误 11.ABC【解析】选项A:因为a=(-3,2),根据新定义，[a]=|一3+|2=5，故A正确； 选项B:[m]=|x1+y1l,[n]=|x2+ly2,[m十n]=|x1十x2|+ly1+y2, 由绝对值不等式得x1+x2|≤x1+x2,y1十y2≤|y1|+|y2, 即[m+n]≤[m]+[n],故B正确； 选项C:[m]×[n]-(|x1|+|y1l)(x2|+ly2)=|x1x2|+|x1y2|+|x2y1+|y1y2l, n·n=x1x2十y1y2, 因为x1x2|+|y1y2≥x1x2+y1y2|≥x1x2十y1y2, 所以[m]X[n]>≥m·n,故C正确； 选项D:当m=(1,1),n=(1,1)时，[m]=2,[n]=2,[m]-[n]=0, m·n=1×1十1×1=2，此时[m]-[n]<m·n.故D错误.故选ABC. 12.【答案】1 【解析】因为a=(1,2),b=(-2,m),a⊥b,所以1×(-2)+2m=0,解得m=1. 13.【答案】5 【解析】沿过P点的母线剪开摊平为扇形SPQ,如图，由已知得SP=SQ=1,PQ=√3， 所o∠PsQ-=专所以∠PsQ等 2×1×1 设圆锥底面半径为，则四-2平-受，所以7=了， 1 1 1 所以弧长为2r=2x, 3 所以这个圆锥的侧面积为分×行×1= 3 1.【答案)（层，》 【解标】由三角形面积公式S=2 sinA并结合c=S 2sin2 A' 2 可知2sinA=1-c0sA,即sinA=21-cosA), 高一数学A参考答案第3页（共7页） 将其代入sin2A+cos2A=1,得4(1-cosA)2十cos2A=1, 即5csA-8csA+3-0,解得cmsA=号或cosA-1会去)，所以snA-号 由正弦定理可得久-sinB-in[r(A+C)]_sin(A)_sin Acos C十cos Asin C_sinA+ c sin C sin C sin C sin C tan C 4 3 cos A= 5tan C5' 在锐角△ABC中，显然有A+C>2,所以0<2-A<C<受， 因为正切函数y=tanx在(0，）上单调递增， sm(-A） 3 所以tanC>tan(受-A） cos A 5 3 cos(-A) sin A 44' 5 所以0<1<4 tan C3 5c3 故2的取值范围为（层，号》）】 15.【解】(1)由之是实数，得m2-2m=0, 獬得m=0或m=2.…3分 m2-m-2=0, (2)由之是纯虚数，得 m2-2m≠0. 獬得m=一1.… 6分 (3)由之在复平面内对应的点在第二象限， m2-m-2<0, 得 …8分 m2-2m>0. 由m2-m-2<0,解得-1<m<2; 由m2-2m>0,解得m<0或m>2,…12分 所以m的取值范围为（一1,0）.…13分 16.【解】(1)因为d为非零向量，c/,则存在实数入，使得c=d,…2分 即2a-tb=入(a十2b)=λa十2λb,…4分 所以 2=入 。獬得t=-4.…6分 -t=2, （2由1a+b=1,得ab=-2 …9分 所以a-b|2=(a-b)2=a2-2u(a·b)+u2b2=1+u十u2 u叶8mmB分 所以当u=一2时，a一ub取得最小值.… …15分 17.【解】(1)因为PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD, 所以PA⊥AD, 又因为底面ABCD为正方形，所以AD⊥AB.…2分 高一数学A参考答案第4页（共7页） 又PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB,所以AD⊥平面PAB, 又PBC平面PAB,所以AD⊥PB.… …4分 (2)过点B作BE⊥PC于点E,连接DE, 在等腰Rt△PAB和等腰Rt△PAD中，可求得PB=PD=2√2， 所以在△PBC和△PDC中， 有PB=PD,BC=CD,PC=PC, 所以△PBC≌△PDC,… …7分 所以当BE⊥PC时，有DE⊥PC,且BE=DE, 所以∠BED为二面角B-PCD的平面角，… 8分 连接AC,易求得AC=2√2， 在Rt△PAC中，PC=√22+(2√2)=23，… …9分 因为底面ABCD为正方形，所以ADBC, 又由(1)知AD⊥PB,所以BC⊥PB.…10分 在Rt△PBC中，有PB·BC-PC·BE,得BE-PB,BC_22X2_26 PC =DE, …12分 2√3 在△BED中，由余弦定理得cOS∠BED=BE十DE-BD2=-1】 2BE·DE …14分 所以二面角B-PCD的大小为 …15分 18.【解】(1)因为E为A1B,的中点，所以当点G为BB1的中点，即入=2时，有EG/A1B, 又因为EG中平面A1C1B,A1BC平面A1C1B,所以EG/平面A1C1B, 所以=2时，EG/平面A,CB. …4分 (2)由(1)知G为B1B的中点，设四棱台上底面A1B1C1D1的面积为S,则下底面ABCD的面积为4S, 易得△EFB,的面积为。 …6分 设正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为h, 则三棱锥GEFB:的高为会 …7分 1 V三棱锥GEFB 所以V西装台ADA1BC,D 112 9分 3h(S+S·4S+4S) (3)如图，连接B1D1,交EF于点H,连接HG,由题知HGC平面D1DBB1,D1MC平面D1DBB1,所以 只要D1M∥HG即可. D 高一数学A参考答案第5页（共7页） 取正四棱台ABCD-A1B1C1D1的对角面D1DBB1,如图， BH 1 易得BD14 …10分 D H B G M 因为当点M与点B重合时，由D,M/IHG可得B,BB,D,4' BG BH 1 此时入=子； …11分 当点G与点B重合时，由D1MHG可得BM=HD1,满足题意， 此时入=1. …12分 所以∈子 13分 而在此条件下，要使2sin(2以-3）-1≤0能成立，只需x∈[，l时，≥2sin(2以-3）能成立.… …14分 设fa)=2sin(2d-3）,则问题转化为≥fa)m, …15分 因为<A≤1，所以-≤2d<5,所以万<3sn2d-3）≤2， 所以f(入)mn=一√2，… …16分 所以t≥一√2，故t的最小值为一√2. ……17分 1以.【解】(1由osA-5mB=0, 根据正弦定理得n BsA-怎sin Asin B=O, …1分 在△ABC中，nB≠0，则asA=怎smA,即amA-5, …2分 又0A<x,故A=吾 …3分 2)因为B∈o,则B+∈（经，》， 丙为B+》-号所un(B+--s(B+-1高-7 ,…4分 所以血B-a(+子-)-78×咨6×经-是 …5分 sB=m(B-》-号×号+×号- 6分 所以如c=nA+B)=n传+-停x号+号×号-3， …7分 高一数学A参考答案第6页（共7页） 又面积S= =2 hinC-2Rs血Asin Bsin C--9C4R=8+2,5,其中R为△ABC外接圆的半径， 50 廊得月- …8分 所以b=2R$inB=4.…9分 (3)因为(OA+OB)·AB=(OA+OC)·AC=0, 所以O为△ABC的外心.… …10分 又AO=xAB+yAC(x,y∈R), 则AO·AB=(xAB+yAC)·AB=xAB2+yAC·AB(x,y∈R), 得号=w2+cosA,即e2=2xc2+次， 从而(1一2x)c=yb①； …11分 同理A可·AC=(xAB+yAC)·AC=xAi·AC+yAC(x,y∈R), 可得(1-2y)b=xC②.…12分 南08可得2-1,1号红即6y=1-2如1-2w018分 因为△ABC为锐角三角形，所以 0,。得<x<2:同时 y>0, 1-2x>0, 1-2y>0, 得0<y< 。…14分 将⑤化简得1+3xy=2x十)，从面有x十y-1+82Y≥2V,得0<<号，所以0y≤行… …………………………………15分 /1+3xy\ 而2+y=x2十y2_(x十y)2-2y 2 V xy ty 2-(+6+9w)-2=(xy+)… …16分 令=y,则0，， 设F=+-l+日 ,则结合对勾函数性质可知F()=9+在(0，号)上单调递减， 1 xy= 所以+-y+） 9 xy/ 2≥2，当且仅当 x=y, 即x=y= 3时取等号， x>0,y>0, 所以Z十义的取值范围为[2，十∞).… …17分 高一数学A参考答案第7页（共7页）绝密★启用前 高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知复数-2(：为虚数单位)，则复数：在复平面内对应的点为 A(层) B(后) c(-号) n(层-》 2.用斜二测画法画一个边长为2的正方形的直观图，则该直观图的面积是 A号 B号 C.√2 D.√3 3.已知m,是两条不同的直线，，3是两个不同的平面，则下列说法正确的是 A.若ma,mm,则na B.若m⊥a,a⊥3，则m3 C.若mm,nCa,则ma D.若m⊥a,n⊥3，a⊥3，则m⊥n 4.在△ABC中，A=}A店，BE=}BC,C市=Ci,G为DE中点，则FG A号A店-号AC B2A店-号AC c号a-号ad D号店-ad 5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，则异面直线A1E与B1C所成角的 正弦值为 D C D C A.5 B10 5 C.v15 D26 5 5 高一数学A第1页（共4页） 6.一辆汽车在一条水平的公路上行驶，如图，在A处时测得公路右侧一楼阁屋顶仰角为30°，向 前行驶60米到达B处时又测得楼阁屋顶仰角为60°，继续向前行驶60米到达C处时再次测 得楼阁屋顶仰角为45°.则该楼阁的高度OP= .30° .609 3 459 A.165米 B.1615米 C.125米 D.12/15米 7.已知平面向量a,b,c满足a=b=1,a·b=一号，则以下结论中错误的是 1 A.a+bl=1 B.a在b上的投影向量的模是 C.(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 D若2c-(a+b)-,则c的取值范围是[1,3] 8.已知棱长为α的正方体内恰好装入两个相外切的球O1,O2,球心O1,O2在正方体的体对角线 上，其中球O2的半径为2，球O1的半径为1，则该正方体的棱长a= A.3+√3 B.3+23 C.3+33 D.2+23 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数之=(1+i)(1+2i)(i为虚数单位)，则下列命题正确的是 A.之的实部为一1 B.之的共轭复数为1一3i C.|之|=10 D.2es十s=2-i 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B1C1D1中，E为A,D上的 D 动点（包含端点），则下列结论正确的是 B A.D1E平面BB1C1C A B.当E为A1D中点时，平面ED,C⊥平面A1DCB C直线CE与平面ADD,A,所成的角的余弦值的最大值为 D点E到平面BD,C的距离为 B 11.定义平面向量a=(x,y)的一种新运算[a]=|x|十|y|.现有平面向量m=(x1,y1),n= (x2,y2),则下列说法正确的是 A.当a=(-3,2)时，[a]=5 B.[m+n]≤[m]+[n] C.[m]X[n]≥m·n D.[m]-n]≥m·n 高一数学A第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知平面向量a,b满足a=(1,2),b=(一2，m),若a⊥b,则m= 13.如图，圆锥的母线长为1，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P处出发，绕圆锥面爬行一周后回 到点P处，若该小虫爬行的最短路程为√3，则这个圆锥的侧面积为 S 14.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的面积S满足bc= A,则 2sin b的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分)已知复数之=(m2一m一2)+(m2-2m)i,其中m∈R. (1)若之是实数，求实数m的值； (2)若之是纯虚数，求实数m的值； (3)若之在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围. 16.(本小题满分15分)设a,b是两个不共线的单位向量，c=2a一tb,d=a+2b,t∈R. (1)若c∥d,求t的值； (2)若a+b|=1,则当u为何值时，a一b的值最小？ 高一数学A第3页（共4页） 17.(本小题满分15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形. (1)求证：AD⊥PB: (2)若PA=AB=2,求二面角B-PC-D的大小. D 18.(本小题满分17分)如图所示，正四棱台ABCD-A,B,C,D,的上、下底面面积之比是 4,E, F分别为AB1,BC1的中点，点G满足B1G=λB1B,A∈[0,1]. (1)当入为何值时，EG平面A1C1B; (2)在(1)的条件下，求三棱锥G-EFB,与四棱台ABCD-A1B1C,D1的体积之比； (3)连接BD,在线段BD上取点M,且满足D,M,/件面EFG,求能使2sim(2一）-1<0 成立的t的最小值. D D… -------C B 19.(本小题满分17分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且bcos A一 3 3asin B=0. (1)求A; (2若cB+）-品.且△ABC的面积为8+2,5，求b的值： (3)若△ABC为锐角三角形，O为△ABC所在平面内一点，且满足(OA+OB)·AB= (OA+O元)·AC=0,设AO=xAB+yAC(x,y∈R),求+y的取值范围. 高一数学A第4页（共4页）