北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高三下学期5月热身练习数学试题

2026届高三热身练习 数学 命题：高三数学组 2026.5.27 本试卷共4页，150分，考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试 卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项， 1.集合A={1,2,3,4,5},B={x(x-2)(x-4)20},M={xx∈A且xEB},则M=() A.{3) B.{1,5) C.{2,3,4 D.{1,2,4,5} 2.已知复数z满足(1+)z=1,则z的虚部为() A B.月 C. D 3.已知a<b<0<c<d,则下列不等式一定成立的是() A.ac<bd B.ac>bd C.ad<bc D.ad>bc 4.已知等差数列{an}的公差为2，若a1,a,a成等比数列，则a=（) A.4 B.5 C.6 D.7 5.过原点的直线1与圆M:x2+y2-23x-2y+3=0相切，则满足条件的1的斜率之和为() A.√2 B.2 c.5 2 D. 3 6.定义在R上的函数y=(x),“存在a>0,使得对于任意的xeR都有f(x-a)>f(x)” 是“y=∫(x)为R上的减函数”的() A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.设函数因=(or+引@>0)，若x+刊=fW恒破立，且在[0，写 上存在零 点，则①的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 8.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T,，tmin后 的温度是7，则刀-=2，其中工表示环境温度，h称为半衰期。现有一杯8C的 -T. 咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20mi,那么降温到30℃大约 需要（)（参考数据：1g2≈0.301，lg3≈0.477) A.33min B.34 min C.35min D.36min 第1页，共4页 9.双曲线，-=1Q>0,6>0的左、右焦点分别为，乃，以FB为直径的圆与双曲线的 渐近线在第一象限的交点为M,O为坐标原点，FN⊥OM,垂足为N,若|MN=√2， 且FN,F,O=6,则双曲线的离心率为() A.5 B.2 C.√6 D.3 10,在平面直角坐标系x0y中，将函数y=∫(x)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转 a0<a≤后，所得到的曲线仍然是装个函数的图象，则称y=f似为“旋转函 数”、若4()-为“牙旋转函数”，则6的最小值是《) A.-e2 B.-e3 C.-2e D.-3e 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项， 11.抛物线y=2x2的准线为 12.己知x=a+a(x-1)+a2(x-1)2+a(x-1)3+a,(x-1)°，则a,=:a2= 13.能说明命题“若（凶={-￥+xx<0 「x2+ax+b,x20 奇函数，则a=b=c=0”为假命题的一 组a,b,c的值可以是a=,b= ,C= 14.己知平面内四个点4,4，A,A满足：4，AA,42=n+1（n=1,2), 4nA·A1A2=0（n=1,2),则4A的最小值为 15.棱长为4的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计)内放有铁质几何体，给出下列四 个猜想： ①该容器内有两个半径为1.4的球： ②该容器内有棱长为5.6的正四面体； ③该容器内有底面半径为√5，高为2的圆柱体： ④该容器内有底面边长为√2，高为5的正三棱柱。 其中所有可能正确的猜想的序号是 第2页，共4页 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程， 16.(本小题13分) 在△ABC中，已知2 bcos A+a-2c=0. (I)求角B的大小 (Ⅱ)已知b=45,BC边上的高为AD,在下列三个条件中选择一个条件，使得△ABC 存在且唯一，并求线段AD的长度、 条件①：SMcD=6V3: 条件②：SMRC=12W3; 条件③：△ABC的周长为12√5. 17.(本小题13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面ABCD,AB∥CD,M为线段PB的中点， AB=AP=2AD=2CD=4. (I)求证：CM∥平面PAD; (Ⅱ)若AC=BC,点L在线段PB上，且直线LC与平面 BDP所成角的正弦值为②， 求线段LM的长， 21 18.（本小题14分) 夏日已到，某校组织学生开展生物研学活动，共设计了三个不同方案，目的地分别为北 京动物园，大兴野生动物园，北京海洋馆，为了解该校学生对三个方案的倾向性，现对学生 进行分层抽样，获得数据如下表： 北京动物园 大兴野生动物园 北京海洋馆 支持 22 40 46 男 不支持 38 20 14 支持 15 36 24 女 不支持 25 4 16 假设学生的选择相互独立， (I)从全校学生中任取一人，已知其为女生，请估计该生支持北京动物园方案的概率： (Ⅱ)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，设随机变量X为此三 人中支持大兴野生动物园方案的人数，求X的分布列及其期望： (I)将该校学生支持北京海洋馆方案的概率估计值记为P。,假设该校高一年级有500名 男生和300名女生，他们会支持北京海洋馆的概率估计值为P,除高一年级外其他 年级学生支持北京海洋馆的概率估计值记为P2,请将P。、P,与P2由小到大排序.（结 论不要求证明，) 第3页，共4页 19.(本小题15分) 己知函数∫x)=1o8,X x-3 （I)设y=f(x)在x=4处的切线为1，求1与直线x=5的交点坐标： (Ⅱ)求函数y=(x)的单调区间： (Ⅲ)求不等式f(x)2x-2的解集， 20.(本小题15分) 已知椭圆C:mx2+y2=1(m>0,n>0,m≠n),在条件①、条件②、条件③这三个条件 中选择两个作为己知，使得椭圆C存在且唯一， (I)求椭圆C的方程： (Ⅱ)点A为椭圆C的下顶点，过点P(0,2)的直线1与椭圆C交于两个不同的点M,N, -点R,S分别在射线AM,射线AN上，满足R.M=否.N=7,若直线RS过 点2(0,4)，求直线1的方程。 条件①：椭圆C过点(2,0)： 条件②：椭圆c过点4，马： 条件③：椭圆C的离心率为 2 21.(本小题15分) 给定正整数n,对于各项均为正整数的数列A:a,a2,am,若a1之a2之…≥am≥1，且 ”,则称A为刀的一个分拆数列。对于分拆数列4，定义其共轭数列（如 的第i项b,定义为数列A中大于或等于i的项的个数，数列的各项从b开始，至b=0 前终止，即A的项数为满足b,21的最大正整数i.如果分拆数列A与A相同（即项数相同， 且对应项分别相等)，则称A为自共轭数列， (I)求n=3时的自共轭数列： (Ⅱ)若A是分拆数列，A是否一定是分拆数列？若A与A都是分拆数列，(A)是否一 定与A相同？说明理由： (Ⅲ)设正整数n的自共轭数列的个数为S(n),各项均为奇数且互不相同的的分拆数列 的个数为O(n),求{neN'IS(n)=O(n》 第4页，共4页 2026届高三热身练习 数学参考答案 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分， 1-5.ABCDC 6-10.BCBBA 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. n.=日 12.1,6（第一空3分，第二空2分) 13.1,0,1(答案不唯一，a=c≠0且b=0即可) 14.√2 15.②④（有错0分，只选了②或④之一3分，全对5分） 三、解答题共6小题，共85分 16.(本小题13分) 解：(I)法一：2 bcos A+a-2c=0, 26b2+c2-a2 +a-2c=0. …2分 2bc .a2+c2-b2=ac. …4分 .cosB=a+c2-b2 1 2ac 21 又：B∈(0，m),B= 3· …6分 法二：2 bcos 4-+a-2c=0, ..2bcos A=2c-a. 由正弦定理，∴2 sin Bcos A=2sinC-sinA. .2分 又A+B+C=元， ..2sin B cos 4=2sin(A+B)-sin A. ..2sin Bcos A=2sin Acos B+2cos Asin B-sin A. ∴.2 sin Acos B=sinA. …4分 又：A∈(0，π)，∴.sinA≠0. 1 .cosB= 又B∈(0，)，B= 31 …6分 第1页，共7页 (Ⅱ)选择② 由余弦定理得：a2+c2-2 accos B=b2, .a2+c2-ac=48. …8分 155 S.acsin B-acx ac=12W3, 2 2 24 .∴.ac=48. 10分 又a,c>0, …a=c=4V5. 11分 六AD=22c=6. b 13分 选择③：由余弦定理得：a2+c2-2 ac cos B=b2, .a2+c2-ac=48 8分 a+b+c=125, 又a,c>0, a+c=85. 10分 ..a=c=43 11分 4D=224c=6. b .13分 17.(本小题13分) 解：（I)作线段AP中点，记为E. ~M也为线段BP中点， 因此ME为△ABP中位线. ·ME∥AB且AB=2ME, 又CD∥AB且AB=2CD=4, :CD与ME平行且相等，四边形CDEM为平行四边形. .2分 :CM∥DE DEC平面PAD,CM丈平面PAD, .4分 CM∥平面PAD. .5分 (Ⅱ)作线段AB中点，记为F. 由题意，CF垂直平分AB,且AF=CD=2. B 又：AF∥CD, :四边形CDAF为矩形，AB⊥AD. :AP⊥平面ABCD, ·.AP⊥AD且AP⊥AB 因此AP、AD、AB两两垂直， 如图，建立空间直角坐标系A-z· D .6分 则P(0,4,0),B(0,0,4),D(2,0,0),C(2,0,2),可得PB=(0,-4,4), 设PZ=1PB,可得L(0,4-42,42), 第2页，共7页 所以LC=(2,42-4,2-4), 8分 又由BD=(2,0,-4), 设平面BDP的法向量为n=(x,y,z) n.PB=-4y+4z=0 则{-D=2x-4z=0 令z=1,则n=(2,1,1), .10分 设直线LC与平面BDP所成角为O, 可得sim8cos<,LC光n:C 2 √2I 1n1LC1V322-48元+24√6 21 解得元=或=} (舍) 所以LM=PM-PL=PB-PB=PB=√2， 4 4 13分 18.(本小题14分) 解：(1)在该生为女生的前提下，该生支持北京动物园方案的概率为15+258： 153 …3分 、()该校男生支持大兴野生动物园的概率估计为，一 该校女生支持大兴野生动物园的概率估计为 10 …4分 X的取值范围为0,1,2,3}， .5分 P0r=0=c号+品- +-0 P(X=2)=C2·310+31090厅 x=列品-治 .9分 所求分布列为 X 0 1 2 3 1 P 13 40 36 90 90 90 90 所求期望为E(X)=0.1+1. +2.4 +3.3667 90 90 0 9030 11分 (Ⅲ)P2<Po<P· .14分 第3页，共7页 19.(本小题15分) 解：（I)因为f(x)= 3，xe(0,3U3,+0), 所以f(4)=2, …1分 1 f(x)=In2.x (x-3)-log x 1-3-Inx 1° .3分 (x-3)2 n2(x-3)2 1 所以f'(4)=41n2 2. 所以切线1为：y=(1 4ln2 -2)x-4)+2. 1 令x=5,则y= 4In2' 所以所求交点为642之】 .5分 （I)令=l-3-ln,则h(四= 31_3-x X 2xx2’ .6分 令h'(x)=0,则x=3,列表： (0,3) 3 (3,+∞) h'(x) + 0 h(x) 7入 极大值 所以h(x)≤h(3)=-ln3<0 …8分 所以∫'(x)<0，故f(x)在区间(0,3)，(3，+o)上分别单调递减， 9分 由f(x)= f(x),x∈(0，]U(3,+o) -f(x),x∈(L,3) 知， y=f(x的单调递增区间为(L,3),单调递减区间为(0，)，(3，+∞). .10分 (Ⅲ)一、当x∈(0,2]时，f(x)≥0≥x-2,故x∈(0,2]符合. .11分 二、当x∈(2,3)时，fx≥f(2)=1>x-2,故x∈(2,3)符合. …12分 三、当x∈(3，+o)时，f(x)>x-2台f(x)>x-2台f(x)-x+2>0. 设F(x)=f(x)-x+2,则F(4)=0,F'(x)=f'(x)-1<0. 所以F(x)在(3，+o)上单调递减. 所以f(x)≥x-2台F(x)≥0=F(4). 所以x∈(3,4] 14分 综上所述，所求解集为x∈(0,3)U(3,4]. .15分 第4页，共7页 20.(本小题15分) 解：(I)选①②. …1分 m.22+n.0=1, 依题意1.2+n 2 .3分 =1, 4 2 1 解得 m4 n=1. 所以椭圆C: 4+y2=1. .5分 (Ⅱ)由题意，直线1过点P(0,2)且存在斜率，设其方程为y=c+2, y=c+2, 与椭圆方程联立： 任+r .6分 则(1+4k2)x2+16x+12=0 ,7分 依题意，△=16k)2-481+4k2）=64k2-48>0, …8分 所以心>子ke( 5u ,+w) …9分 设M(飞，y),N(,2), 16k 12 则x+名=1+4状？名1+4级 .10分 又点A(0,-1), 所以AM=(x,y+1,AN=(,y2+1) 因为R在射线AM上且AR.AM=7, 所以-恩=风孤. laMI 记d=a=+0y+1,则R7,-1+20y+ (d4 理记4=哪=+0+，有经12） .12分 所以QR= d 由题，QR与QS共线， 所以x(-5d2+7y2+7)=x2(-5d+7y+7). 又y=x+2,y2=2+2. 第5页，共7页 所以x(-5d42+7kx2+21)=2（-5d+7ka+21), 即5(x4-xd)=21(3-x). 又d,=x+(+3)2=(1+k2)x+6x+9i=1,2), 所以x,4-xd42=x(1+k2)x+6+9）-x(1+k2)x号+6e,+9 =(1+)x(x-)+9(:-x) =[9-(1+k2)xx2](x-x) 所以5[9-(1+2)x]-x)=21(3,-x): 又x≠x,所以5[9-(1+2)x2]=21. 即51+k2)xx2=24. 所以s0+品=24. 解得，k2=1,k=±1， 因此，直线1的方程为y=x+2或y=-x+2. 15分 21.(本小题15分) 解：（I)当n=3时，所有的分拆数列共有3组：3；2,1；1,1,1. 一、若A:3,则大于等于1,2,3的项各1个，大于等于4的项0个， 故A°：1,1,1，与A不同： 二、若A:2,1,则大于等于1的项2个，大于等于2的项1个，大于等于3的项0个， 故A:2,1,与A相同； 三、若A:1,1,1,则大于等于1的项3个，大于等于2的项0个， 故：3，与A不同， 综上，由定义，n=3时的自共轭数列为2,1. 4分 (Ⅱ)A一定是分拆数列，(A)°一定与A相同. …5分 一、证明A一定为分拆数列. 分拆数列A中，a≥a2≥…≥am≥1，A的第i项b,为A中大于或等于i的项的个数， 所以b之b2之…≥b。≥1，且各项均为正整数， 又当i>a,时，恒有a<i,从而b,=0,故A恰有a,项. 1,当a≥i时， 计算各项之和： -22-2-A=,中时当时 所以A一定是分拆数列. .7分 二、证明(A)°一定与A相同. (1)分拆数列A中，a≥a2≥…≥am≥1，共m项， 分拆数列A中，b≥b2≥…≥b。≥1，共a,项，且b=m. 第6页，共7页 则(A)项数为b=m,与A相同. (2)设(A)的第P项为cp,则cp为A中大于或等于P的项的个数， 注意到b≥p等价于“A中至少有p项大于等于j”(=1,2,,a), 这又等价于“a,≥j”, 所以Cp=ap 综上，(A)°一定与A相同. .9分 (Ⅲ)所求集合为N°. 10分 证明思路：设S,为n的所有自共轭数列构成的集合，On为的所有各项均为奇数且 互不相同的分拆数列构成的集合.要证对任意正整数n均有S(n)=O(n),只需在S, 与O.之间建立一一对应. .15分 第7页，共7页