2026年湖南邵阳市邵东市中考信息（二） 数学试卷

2026年中考信息（二） 数 学 时量：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号： 2．答题时，切记答案要填写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效； 3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师。 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．王老师本月体重较上月减少了，记作，的绝对值为 A． B．2 C． D． 2．从十四届全国人大四次会议民生记者会上获悉，目前我国各级各类学校在校学生2.8亿，数据2.8亿用科学记数法表示为 A． B． C． D． 3．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为 A． B． C． D． 4．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线的解析式是 A． B． C． D． 5．如图，，若，，则的度数为 A． B． C． D． 6．已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是 A． B． C． D． 7．如图，是的直径，，则的度数是 A． B． C． D． 8．数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是 A．96分，10 B．95分，10 C．95分， D．96分， 9．如图，点，，，分别是四边形边，，，的中点，如果，，则四边形的面积为 A．20 B．24 C．32 D．48 10．如图，四边形中，，，，，以点为圆心，长为半径作弧，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的值为 A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．化简：________． 12．一个边形的每一个外角都为，那么的值是__________． 13．某书店今年3月份盈利5000元，5月份盈利6000元．设该书店每月盈利的平均增长率为．根据题意，可列方程为________________________． 14．如图，随机闭合开关，，中的两个，能让两盏灯泡，同时发光的概率为__________． 15．如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口和之间的距离．点，点分别位于测绘点的正北和正西方向．已知测得两定位点和与隧道口和的距离分别为和，测绘点，分别为，的中点，测绘方在测绘点测得点在点的南偏西的方向上，且，则隧道的长约为________m．（参考数据：，，） 16．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．现有一道同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，最小的数是__________，第50个数是__________． 三、解答题（本大题共8个小题，第17题6分，第18题8分，第19-22题每小题9分，第23-24题每小题11分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（8分）如图，四边形为菱形，对角线，相交于点．，为对角线上的两点，请你从以下三个条件：①；②；③，选择一个合适的作为已知条件，使四边形为菱形．（不添加辅助线） （1）你选择的条件是______________（填序号）； （2）选择了一个条件后，请证明四边形为菱形． 19．（9分）根据以下调查报告解决问题． 调查主题 学校八年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据． 调查结果 八年级学生右眼视力频数分布表 右眼视力 频数 3 24 18 12 9 9 15 合计 90 建议：⋯⋯ （说明：以上仅展示部分报告内容）． （1）视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：4.8，4.9，4.8，4.8，4.9，4.8，4.8，4.9，4.9，这组数据的中位数是________； （2）视力低于5.0属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生有多少人？ （3）视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，用树状图法或列表法求恰好抽到两位男生的概率； （4）请为做好近视防控提一条合理的建议． 20．（9分）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为4000米的污水排放主干管道，为减少施工对城市交通所造成的影响，施工方优化了施工方案，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前2天完成铺设任务． （1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米? （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过12万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工? 21．（9分）如图，某反比例函数的图象经过点和点（点在点的右侧），分别过点作轴于点，作轴于点，连接，． （1）求的值； （2）若五边形的面积为12，求直线的表达式； （3）请根据图象，直接写出不等式的解集． 22．（9分）如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点，过点作的平行线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 23．（11分）【方法探索】 如图1，在等边中，点在内，且，，，求的长． 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路： 如图1，把绕着点顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解． （1）请在此思路提示下，求出的长． 【方法应用】 请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题： （2）如图2，点在等边外，且，，，求的长； （3）如图3，在中，，，是外一点，连接，，．已知，．求的长． 24．（11分）已知抛物线：与直线：交于，两点，其中点在轴上． （1）若点的横坐标为，直线与轴交于点，求的值； （2）在（1）的条件下，若为线段上一点，过点作轴交抛物线于点，求四边形面积最大时点的坐标； （3）若，为该抛物线上不同的两点，，且满足，已知抛物线存在最小值，设，请判断是否为定值，若为定值，请求出的值；若不是定值，请确定其取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $2026数学信息卷（二)参考答案及解析 一、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 题号 12 3 45 6789 10 答案 C 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 1.a212.813.500(1+x=600014.315.135016.11,746 三、解答题（本大题共8个小题，第17题6分，第18题8分，第19-22题每小题9分，第 23-24题每小题11分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解：原式=2+V5-3x5 +1,4分 3 =3.6分 18.方法一： (1)解：①2分 (2)证明：，四边形ABCD为菱形， ∴.AC⊥BD,AO=CO, ∴.∠AOE=∠COF=90°.4分 在Rt△AOE和Rt△COF中， AE=CF A0=CO ∴.Rt△AOE≌Rt△COF(HL),6分 ∴.OE=OF, 又：AO=CO,AC⊥EF,7分 ∴.四边形AECF为菱形.8分 方法二： (1)解：②2分 (2)证明：，四边形ABCD为菱形， .AC⊥BD,AO=CO, ∴.∠AOE=∠COF=90°.4分 在△AOF和△COE中， ∠2=∠1 AO=CO ∠AOF=∠COE .△AOF≌△COE(ASA),6分 ..OE =OF, 又：AO=CO,AC⊥EF,7分 ∴.四边形AECF为菱形.8分 19.解：(1)4.82分 (2)估计该校八年级学生中右眼视力不良的学生有600×90-15=500（人， 90 故该校八年级右眼视力不良的学生有500人.4分 (3)画树状图如图： 开始 男女男女男男6分 共有6种等可能的结果，其中恰好抽到两位男生的有2种， 21 所以从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率是 7分 63 (4)建议学校严格加强学生对手机、平板等电子产品的运用或者加强眼保健操，教室改换护眼灯等措施（答 案不唯一，只要合理就给分).9分 20.解：(1)设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道1+25%x=1.25x米，根据题意得 400 0+2=4000 2分 1.25 解得x=400,3分 经检验：x=400是分式方程的解，且符合题意，4分 ∴.1.25x=500 答：原计划与实际每天铺设管道分别为400米，500米.5分 (2)设该公司原计划应安排y名工人施工，4000÷400=10（天）， 根据题意得300×10y≤120000,7分 解得y≤40,8分 .y的最大整数值为40. 答：该公司原计划最多应安排40名工人施工.9分 21.解：(1)将点B(2,3)代入反比例函数y=中，得 .k=2×3=6.2分 6 (2)由(1)知反比例函数解析式为y=二，3分 6 设点A的坐标为 X, ,四边形OCAD为矩形， Si边oc4 ADSu+Sch号)36+6=12,4分 解得x=6, 6 ∴.y= =1, 6 ∴.点A的坐标为(61).5分 设直线AB的表达式为y=k,x+b, 将A6,1),B(2,3代入解析式得 2k,+b=3 6k3+b=1’ 1 解得 k=-2,6分 b=4 直线4B的解析式为y三一)文+4.7分 (3)0<x<2或x>6.9分 22.(1)证明：如答图，连接OD,则OD=OA, .∴.∠ODA=∠BAD, ,∠BAC的平分线交⊙O于点D, .∠CAD=∠BAD, .∠ODA=∠CAD, .OD∥AC,2分 :AB是⊙O的直径，DE∥BC, OD∥AC, ∠E=∠ACB=90°， .∠ODE=180°-∠E=90°， .OD是⊙O的半径，且DE⊥OD, .DE是⊙O的切线.4分 E B 第22题答图 (2)解：如答图，设OD交BC于点F, .∠ACB=90°， ∴.∠FCE=90°， ∠FDE=∠E=90°， 四边形CEDF是矩形，5分 :.DF=CE=√3，∠CFD=90°.6分 .OD∥AC, .∠BOD=∠BAC=60°. .OD=OB, .△DOB是等边三角形.7分 ,BC⊥OD于点F, ∴.OF=DF,8分 ..OD=2DF=23, .⊙0的半径是2√3.9分 23.解：(1)将△APC绕点A顺时针旋转60°得到△APB,如答图1， AP'=AP=2,BP'=PC=4,∠PAP=60°， △PAP为等边三角形， ∴.∠APP=60°，AP=AP'=PP'=2. .∠AP'B=∠APC=150°， .∠BP'P=∠AP'B-∠AP'P=150°-60°=90°， 在Rt△BP'P中，由勾股定理得： BP=√BP2+PP2=V42+22=2V5.3分 第23题答图1 (2)如答图2，连接PC,将△PAC绕点A顺时针旋转60°得到△PAB, P'A=PA=4,∠PAP=60°， .△PAP为等边三角形， :P'P=PA=4. :∠APB=120°， .∠BPP'=180°，即B,P,P'三点共线. ∴.PB=BP+PP'=3+4=7,5分 过点A作AM1P'B于点M,则PM=P'P=x4=2, 在Rt△AMP'中，由勾股定理得AM=√P'A2-P'M2=√42-22=2√， BM=BP'-P'M=7-2=5, 在Rt△AMB中，由勾股定理得AB=VAM2+BM=25+52=V37:7分 M B业 第23题答图2 (3)如答图3，将△APC绕点A顺时针旋转90°得到△ABP,连接PP', 过点B作BM⊥AP于点M, ∠APB=45°，BM⊥AP,PB=2, :PM BM =2, :AB=V10, 在Rt△AMB中，AM=√AB2-BM2=√10-2=22， :PA=PM+AM=3V2,8分 由旋转的性质得：P'A=PA=3√2，∠PAP'=90°， 则∠PPA=∠P'PA=45°， 在Rt△PAP'中，PP'=VPA2+PA2=6.9分 .∠P'PA=45°，∠APB=45°， .∠P'PB=45°+45°=90°， 在Rt△P'PB中，P'B=VP'P2+PB2=2V10,10分 △APC≌△AP'B, .PC=PB=2W10.11分 P' 、A M B 第23题答图3 24.解：(1)在y=x-2中，令x=-1,得y=-3;令y=0,得x=2. A-1,-3,B(2,0), 将A-1,-3)代入y=ax2-2ax,得-3=a×(-1)2-2ax(-1, 解得a=-1.3分 (2)如答图： 由(1)得抛物线解析式为y=-x2+2x, 在y=x-2中，令x=0得y=-2, .C(0,-2), 由P在线段BC上，设P(p,p-2), 其中0≤p≤2， :PQ∥y轴交抛物线于Q, .0(p,-p2+2p, .P0=-p2+2p-p-2)=-p2+p+2,5分 neaw-P0。-小=-p+p+2刘x2=-p+p+2=-(p-+ ÷当p=方时，S@即取最大散子此时点P的坐标为[行》7分 (3)k为定值. :y=ax2-2ax=ax-1)-a,且抛物线G的最小值为-2a2+1, .当x=1时，取最小值，即-a=-2a2+1, 解得：4=1或a=-】(不符合a>0,舍去)，8分 2 当a=1时，抛物线的解析式为y=x2-2x, ,M(s,t)、Nm,n)均在抛物线上， .t=s2-2s,n=m2-2m, m m-1 .∴.ms-S-1m+1=ms, .∴.m=1-S, .n=m2-2m=(1-s2-2(1-s=s2-1,9分 .t-n=s2-2s-s2-1=-2s+1, .t-n+1=-2s+2=-2(s-1, 又：t+1=s2-2s+1=(s-1)2,10分 k=亿-n+14s-1=4 t+1(s-1)2 ∴.k为定值4.11分 Q 第24题答图