2026年山东省菏泽市牡丹区九年级数学中考二模试题

九年级阶段性学业水平考试检测（二） 数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图，数轴上点M表示的数可能是（ ） A． B． C． D． 2．新春佳节，班级文化长廊布置喜庆国风装饰，整齐悬挂着四个样式相同、寓意吉祥团圆的中国结，既装点教室又传承传统民俗文化．四个相同的“中国结”的悬挂位置如图所示，已知悬挂点A，B，C，D的坐标分别是，，，．为让排布规整对称、尽显中式对称美学，下列平移中，能使四个“中国结”关于y轴对称的是（ ） A．将A向右平移5个单位 B．将B向右平移5个单位 C．将C向右平移4个单位 D．将C向右平移2个单位 3．篆刻是中华优秀传统文化的重要载体，印章雕刻是篆刻艺术的基本功．如图是一块用于篆刻印章的材料，其主体为圆柱，上方嵌入一个长方体印钮．请从下列选项中，选出该几何体的俯视图（ ） A． B． C． D． 4．家乡菏泽产业蓬勃发展，民生建设稳步推进，根据菏泽市统计局2026年5月5日发布的统一核算结果：2026年一季度菏泽市为1178.71亿元，见证着鲁西南大地蒸蒸日上的发展势头．其中数据“1178.71亿”用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 5．在“整式的乘法”单元复习课上，老师组织了一场“数学小医生”活动，要求同学们扮演“医生”，诊断同桌小明完成的5道整式运算题，找出他做对的题目数量．请你作为“主诊医生”，帮小明检查一下，他做对的有（ ） ①； ②； ③； ④； ⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣题探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为72平方米，从水池边到圆周，每边均相距3米．设水池的边长为米，则下列方程能正确表示数量关系的是（ ） A． B． C． D． 7．校园科技节的手工展上，小明设计了一款抛物线形的趣味投篮架．已知篮球架的轮廓抛物线表达式为：（其中为水平距离，为高度，单位：米）．根据比赛规则，投篮架的顶点（即抛物线最高点）必须落在直线上，才能确保投篮轨迹与得分线完美契合．求满足条件的的值为（ ） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 8．如图，某中学为“数学文化节”设计纪念徽章，徽章主体为边长为2 cm的正六边形（象征六艺兼修），内接于圆形基底，其中的阴影区域代表学生成长中“被点亮的知识星火”．请计算这部分阴影区域的面积为（ ）（结果保留π） A． B．2π C． D．6π 9．为践行“绿色低碳、节能降耗”的校园理念，我校开展“节约一度电”实践活动．已知某型号节能灯泡在恒定总做功（消耗电能）W（J）一定的条件下，灯泡的实际功率P（W）与发光时间t（s）成反比例关系，其函数关系如图所示．当发光时间时，灯泡的实际功率P的值可以为（ ） A．24 B．27 C．45 D．50 10．如图，某校园规划中，矩形花坛长米，宽米，园丁计划在花坛边缘安装自动灌溉装置：装置E从A出发沿向B移动，同时装置F从C出发沿向D移动，两者速度均为1米/秒，装置间的连接管l随位置变化而移动．为保证主喷头A的灌溉效果，需在A处向连接管l作垂线（垂足为G），若表示喷头到连接管的距离，则在装置移动过程中，的最大值为（ ） A． B． C．2 D．1 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，直接填写答案．） 11．在一次函数中，y随x的增大而减小，且k为正整数，则k的值可以是________．（任意写出一个符合条件的数即可） 12．如图，把放大后得到，则与的相似比是________． 13．某班开展“互助学习接力”活动，将班级学习小组划分为、、、四个小组，对应如图所示三棱锥的四个顶点，规则为：小球（代表学习任务）在三棱锥的顶点间传递，每传递一次，任务随机传给相邻的小组．若任务初始在组，连续传递两次后，任务回到组的概率为________． 14．已知（且），，，…，，则的值为________． 15．定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该线段为原三角形的“妙分线”．如图，在中，，，若为的“妙分线”，则的长为________． 三、解答题：（本大题共8个小题，共75分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本题满分8分，每小题4分） （1）计算：； （2）先化简，再从，，中选取一个适合的数代入求值． 17．（本题满分8分） 如图，点在直线外． ①在直线上任取一点，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点； ③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线； ④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ⑤连接，． （1）由②得与的数量关系是________；由③得到的结论是________． （2）求证：四边形是菱形． 18．（本题满分8分） 菏泽是中国牡丹之都，戏曲、武术、书画之乡，近年来文旅产业蓬勃发展．为响应“传承非遗文化，讲好菏泽故事”的号召，某社区青年创业团队计划销售两款菏泽特色文创产品：A款为牡丹主题手绘折扇，B款为面塑工艺钥匙扣．已知用900元购进的A款折扇与用720元购进的B款钥匙扣数量相同，且每件A款折扇的进价比B款钥匙扣多18元． （1）求A、B两款文创产品每件的进价各是多少元？ （2）已知A款折扇每件售价112元，B款钥匙扣每件售价86元．为扩大非遗文化影响力，团队计划再用不超过7550元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，所得利润将全部用于社区非遗体验课的公益活动．请问：怎样进货才能使公益活动的资金（即利润）最大？最大资金是多少元？ 19．（本题满分9分） 【项目背景】 “一方水土养一方果”．红富士苹果是我国重要的经济果树品种，其果实品质不仅关系着果农的收成，也承载着乡村振兴的希望．某中学开展“科技助农·走进果园”综合实践活动，学生们走进本地甲、乙两处红富士种植园，以苹果果径为核心指标，调查土壤、光照、空气湿度等环境因素对果实生长的影响，为优化种植管理、提升果品质量提供数据参考． 【数据收集与整理】 从两处果园中随机采摘样本红富士苹果，在技术人员指导下测量每个果实的果径（最大横径，单位：cm），并按照果品分级标准进行分组： 从两块红富士苹果园各随机选取相同数量的红富士苹果．在技术人员指导下，测量每个红富士苹果的直径，作为样本数据．红富士苹果的果径用x（单位：cm）表示．将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的统计图，部分信息如下： （注：图1为甲园样本数据扇形统计图，图2为甲园样本数据频数分布直方图，图3为乙园样本数据频数分布直方图） 【数据分析与运用】 （1）请补全图2甲园频数分布直方图；并求出的值． （2）A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为，，，，，计算乙园样本数据的平均数． （3）下列结论一定正确的是________（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． （4）结合市场情况，将C，D两组的红富士苹果认定为一级，B组的红富士苹果认定为二级，其它组的红富士苹果认定为三级，其中一级红富士苹果的品质最优，二级次之，三级最次．试分析两个园的红富士苹果品质差异，并说明理由，为果农提出合理化建议． 20．（本题满分9分）如图，点在以为直径的上，过点作的切线，过点作，垂足为，连接、． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 21．（本题满分10分） 【问题情境】 为打造安全、人性化的校园地下停车空间，某校基建处启动地下车库升级改造工程．在设计入库坡道时，校数学兴趣小组的同学们主动承担了方案优化任务——他们结合《车库建筑设计规范》的安全标准，运用所学解直角三角形的知识，对坡道坡度、净高、缓坡过渡等关键指标进行了严谨测算与优化，既保障了行车安全，也兼顾了空间利用效率，为学校基建工程提供了科学的数学依据． 【方案设计】 入库坡道示意图如下： 【数据收集】 （i）直线主坡道的水平距离为20 m，坡度为0.12； （ii）左，右两段缓坡道为，，水平距离均为5 m； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 【问题提出】 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： （1）求主坡道的铅直高度； （2）根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于2.2 m．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若m，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． （参考数据：当时，，） 22．（本题满分11分） 已知二次函数． （1）若，且函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式； （2）在（1）的条件下，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），将这条抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线于轴交于，两点（点在点的左侧），若，是线段的三等分点，求的值． （3）已知，当，（，是实数，）时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证． 23．（本题满分12分） 【课本再现】 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段，构造出____≌____，进而得到．请根据题意填空并写出解答过程． 【类比迁移】 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3，四边形是边长为3的菱形，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $九年级阶段性学业水平考试检测（二） 数学试题参考答案与评分标准 阅卷须知： 1.为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考 生将主要过程正确写出即可。 2.若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。 3.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。) 1.B;2.A;3.D;4.C;5.B;6.B;7.C:8.A;9.C;10.D。 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，直接填写答案。） 11.答案不唯一，只要是满足K5的正整数即可：12.1：3：13.：14x+1:15.25或4V3。 三、解答题：（本大题共8个小题，共75分。解答要写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤。) 16解：（1)原式=1+4+2×5-65-) =5+√2-V2+1 =6。…4分 (2)原式=4-13) a-1 a-1a-1a2+4a+4 =(a+2)(a-2)a-1 a-1 (a+2)2 =a-2 ，…7分 a+2 由题意，得a≠1且a≠2。 当a0时，原式=0-2 -1。 0+2 …8分 17.(1)AP=AB;射线AQ平分∠BAP。… …2分 (2)证明：，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线1于点B: ,∴.AP=AB。 ,射线AQ平分∠BAP, ∴.∠BAC=∠PAC。 在△ABC和△APC中， ,AB=AP,∠BAC=∠PAC,AC=AC, ∴.△ABC≌△APC(SAS), .BC=PC。 又，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C, ∴.PA=PC,∴.AP=AB=BC=PC。 .四边形ABCP是菱形。…8分 18.解：(1)设B款每件的进价a元，则A款每件的进价是(a+18)元。 由题意，得900720 a+18a 解之，得a=72。 经检验，a=72是原分式方程的解。 则a+18=72+18=90: 答：A款文创产品每件的进价90元，则B文创产品每件的进价是72元。…4分 (2)设购进A款文创产品x件，则购进B款文创产品(100-x)件，总利润为W。 由题意，得90x+72(100-x)≤7550。 解之，得x1 ,x应为正整数，x最大取19。 W=(112-90)x+(86-72)(100-x)=8x+1400。 ,k=8>O,p随x的增大而增大， ∴.当x=19时，利润最大，W最大=8×19+1400=1552，此时B款：100-19=81（件）。 答：购进A款文创产品19件，购进B款文创产品81件，才能使销售完后获得的利润 最大，最大利润是1552元。…8分 19.解：(1)，70÷35%=200，∴.200×25%=50， ∴.a=200-70-50-15-25=40: …1分 补全图2甲园频数分布直方图图形如下： ◆频数 70 70 60 50 50 40H 40 30 125 20 15 10 ……2分 0 45556.57.58.595直径/cm 图2甲园样本数据频数直方图 (2)1 (15×5+50×6+70×7+50×8+15×9)=7, 200 ∴.乙园样本数据的平均数为7cm。…4分 (3)由统计图可知，两园样本数据的中位数均在C组， 故①正确： 每一组的数据是一个范围，甲园的众数，乙园的众数是不能确定具体在哪一组， 故②结论错误； 两园样本数据的最大数与最小数的差不一定相等， 故③结论错误； 故答案为：①： …6分 (4)乙园的红富士苹果品质更优，理由如下：由样本数据频数分布直方图可得， 甲园一级红富士苹果所占比例为50+0 ×100%=45% 200 70+50 乙园一级红富士苹果所占比例为 ×100%=60%,大于甲园， 200 因此可以认为乙园的红富士苹果品质更优。…8分 合理化建议： α.乙园可优化水肥、光照管理，提高大果径苹果占比： b.甲园保持现有种植模式，可适当提升、特优果比例： ℃.统一分级标准，一级果优先高端市场，二级果拓展大众渠道，三级果深加工。等 等。…9分 (说明：学生所给合理化建议，至少答出一条，合理即给分。) 20.(1)证明：连接OC。 21..1是⊙O的切线， ∴.OCLl。 ,AD⊥1， ∴.OC∥AD, ∴，∠CAD=∠ACO。 ,OA=OC,∠ACO=∠BAC。 .∠CAD=∠BAC。 又，AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°=∠ADC。 .△ABC∽△ACD。…5分 (2)解：AC=10,CD=8,∠ADC=90°， 3 AD=√AC2-CD2=6。 △ABC∽△ACD: .ABAC AC AD ..4B10 106 解之，得AB=50 。 ·半径为25 ……9分 3 21.解：(1)主坡道BC的坡度为0.12， ∴.在Rt△BCG中， CG-0.12。 BG ,BG=20m,∴.CG=0.12×20=2.4m。 答：主坡道的铅直高度CG为2.4。…3分 (2)①：缓坡道坡度为主坡道坡度的 ∴.缓坡道AB的坡度为0.06， ∴.在Rt△ABH中， BH=0.06。 AH .AH=5m,∴.BH-0.06×5=0.3m。 由题意可知：右段缓坡道CD的铅直高度也等于0.3，车库总高度AK等于各段坡道铅 直高度之和。 .AK=0.3+2.4+0.3=3m。 答：车库高度AK为3m。…6分 ②该坡道的最小净高EF符合设计规范。… …7分 理由如下：如图， 车库上方横梁 D 缓坡道 车库入口地面 直线主坡道 W G 车库地面 缓坡道 -5m -…20m- 过点E作铅垂线交BC于点M,过点M作水平线交AK于点T,过点B作BN⊥MT于 点N,则四边形TME和四边形ANT均为矩形。 ,KE=2AH+BG-DE=5×2+20-22=8m。 ∴.N=TM-TN=E-AH=8-5=3m。 .主坡道BC的坡度为0.12，MN/IHG, BN ∴.在Rt△BMN中， 0.12。 MN ,.BN=0.12×3=0.36m。 ∴.AT=HN=BN+BH=0.36+0.3=0.66me ,∴.EM=KXT=AK-AT=3-0.66=2.34m。 .'EM/CG,∴.∠EMF=∠BCG。 ,EF⊥BC,CG⊥BG, ∴.∠EFME∠BGC=90°。 在Rt△EMF中，∠MEF+∠EMF-90°。 在Rt△BGC中，∠a+∠BCG=90°。 ∴.∠MEF=∠a 在Rt△BMF中，由coS∠MEF-EF 可得EF-=EM·cosa≈2.34×0.99=2.3166m。 M .2.3166>2.2, ∴.该坡道的最小净高EF符合设计规范。…10分 a=-1, 22.解：（1)由题意，得 C=3, 4au+2b+c=-5, a=-1, 解之，得b=-2, c=3。 .抛物线的解析式为：y=一xX2-2x+3。…2分 (2)当y=0时，0=-x2-2x+3, （x+3)(x-1)=0,x+3=0或x-1=0 .X=1,6=-3, ∴A(-30),B(1,0), .AB=3+1=4。…4分 ①如图，当C在B的左侧时， ,B,C是线段AD的三等分点， ∴AC=BC=BD, 由题意，得AC=BD=, .AC=BC=AB=2, ..m=2。 …6分 ②同理，当C在B的右侧时，AB=BC=CD=4, ∴.=AB+BC=4+4=8, 综上，m的值为2或8。 B …8分 (3)证明：由a=b=c=1,得y=x2+x+1, 由题意，得P=p2+p+1,Q=q+q+1, 所以P+Q=p2+p+1+q2++1 =p2++4=(2-q)+q2+4=2(q-1)+6≥6。 由条件卫≠q,知q≠1.所以P+9>6。…11分 23.(1)△HAE,△CEF。…1分 解答过程如下： 如图，取AB的中点H,连接HE。 ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠B=∠BCD=9O°。 ,H,E分别是AB和BC的中点， E 图1 1 ∴AH=BF2AB=CE=BE=BC。 .∠BHE=∠BEG=45°。 .∠AHE=135°。 ,EF交正方形外角的平分线CF于点F, ∴.∠DCF=45°。 ∴.∠ECF=135=∠AHE。 ,∠AEF=90°， ∴.∠CEF+∠AEB=∠BAE+∠AEB=90°。 ∴.∠CEF=∠BAE。 ∴.△HAE≌△CEF(ASA)。 AE=EF。…5分 （2)AE=3EF。…7分 理由如下：在AB上取点H,使BH=BE,连接HE。 由（1)同理可得∠AHE=∠ECF=135°，∠EAH=∠FEC。 ∴.△HAE∽△CEF。 .AEAH EF CE .AB=2BC, B E C G 设BC=2x, 图2 则BH=BE=CE=x,AB=4x。 ..AH=3x。 :4g=4g-3s=3。 EF CE x 即AE=3EF。 …10分 (3)CE的长为2或3。…12分 附： 命题说明 本套试题严格以《义务教育数学课程标准(2022年版)》为核心命题依据，参照2024、 2025年山东省中考统一命题数学试卷的命题思路、题型结构与考查方向进行命制，全面凸 显试题的基础性、综合性、应用性、创新性、实践性与情境性六大特征，贴合中考命题趋势 与学段教学要求。 1.强化基础考查，夯实学科根基。聚焦数学学科必备知识、基本技能与核心能力，立足 课本主干内容，全面检测学生对基础知识的理解、掌握与灵活运用情况，引导教学回归课堂、 回归教材。 2.突出学科综合，落实核心素养。注重知识模块间的融合贯通，打破单一知识点考查模 式，多角度测评学生综合思维、逻辑推理等学科素养，全面反映学生数学综合学习水平。 3.立足学以致用，提升应用能力。坚持理论联系实际，将数学知识融入真实问题场景， 重点考查学生运用数学思维分析、解决现实问题的能力，凸显数学的实用价值。 4.坚持守正创新，引领教法学法。大幅弱化单纯识记、机械刷题类题型，合理增加开放 性、探究性、综合性试题比重，引导教师转变教学模式、学生优化学习方式，培养自主探究 能力。 5.紧扣生活实践，深化知识运用。试题取材贴近社会发展、日常生活与学生成长经验， 在巩固“双基”的前提下，进一步强化实践应用类内容考查，做到学用结合。 6.丰富命题情境，凸显育人导向。创设多样化、生活化、时代化问题情境，以情境承载 知识考查，引导学生在真实情境中感知数学、运用数学，提升知识迁移与临场应变能力。 总而言之，本次期中考试旨在明确下一阶段教学核心方向：深耕基础知识，回归数学学 科本质；聚焦思维方法，提升学生思维品质。坚决摒弃盲目机械刷题的低效模式，让学生完 整经历知识生成、探究、运用的全过程，真正做到学会思考、学会学习。 特别说明：模拟训练绝非猜题、押题，而是对标中考标准开展常态化学情诊断、能力训 练与查漏补缺。本次二模试题与一模试题形成深度互补，一模重点考查的内容与题型在二模 中均未重复设置，实现考点全覆盖、能力分层测。棋拟训练是日常教学与自主学习的有效 补充，本次二模也着重加大了情境化试题的考查力度，针对性锤炼学生的综合应用能力。