上海交通大学附属中学2025-2026学年高三第二学期考前自测数学试卷

交大附中高三三模数学试卷 2026.05 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) l.已知n为正整数且C2=C8,则n的值为 2.已知z,=2,z2=2i,若w=z,+(1-)z2(元∈R),则|w的最小值为 3.已知函数y=(a2-3)a是指数函数，则函数y=b-a(b>1)的图像过定点 4.已知x,y均为正数，且x+2y=4,则2+1的最小值为 5.函数y=sin@x+√2 cos@x(o>0)对应的图像如图， 点A为图像与x轴的交点，点B为图像的最高点，点C为 图像的最低点，若AB·AC=0,则o的值为 6.在△48C中，a=2,c=295,4=120,△4BC 3 的面积为 7.某校将学生分为5个队伍进行研学活动，这5个队伍的人数分别为：50、a、55、45、 b,已知本次研学活动的总人数为250人，且各队人数的第40百分位数不小于48，则各队 人数的第70百分位数的最大值是 ⑧.已知0为坐标原点，双曲线C:年-3=(>0，b>0)左焦点为F,腐心率为，V10 2 过F且斜率为k(k>0)的直线交C的左支于M,N两点，P为线段MF的中点， PO⊥MN,则k= x+2,x<a 9.已知f(x)= 若存在实数b,使得方程 x2-x-1,x≥a f(x)=b无解，则实数a的取值范围是 10.如图，AC为圆锥底面圆O的直径，AC=4,S0=√2，M为AC的中点，点B是 圆O上的动点（点M,B在直径AC同侧），当△SBC的面积最大时，点B到平面SMC距 离为 2026 11.已知样本数据x,x2,,x2m6的平均数为a,设k=元a,当函数f(k)=∑(x,-k)2取 i=1 最小值时，入= 12.将数列{an}中随机剔除两项a,a(其中1≤i<j≤n,i,j∈N)然后在原数列中添加 一项a+0,+a4,叫做数列a,}的一次变换，那么数列1，， 11_经过2025次 23202532026 变换后数列中还剩下的一项为 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第1516题每题5分，每题有且只有一个 正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑)》 13.“x>2”是“1<”的()条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分也非必要 14.已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，√7，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在 球O的球面上，则球O的表面积为( A.16元 B.32π C.64V2π 64V2元 D. 3 15.已知k>1,则等比数列a+log2k、a+log4k、a+log8k的公比为() A. 1 D. 2 3 C. 8 A 16.定义在(0，+oo)的函数y=f(x)满足 Bf'(x)=C,其中常数A,B,C均为正数， f(x) y=f'(x)是y=f(x)的导函数，则y=f(x)的图像可能是( VA C A A. B C. D 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分.解答下列各题必 须在答题纸的相应位置写出必要的步骤) 17.已知平面直角坐标系中，向量a=(1,-2),b=(-2,6). (1)求b在a上的投影向量的坐标； (2)若c∥(2a+b),且|c=3,求向量c的坐标； (3)若a与a+b的夹角为锐角，求实数2的取值范围. l8.人工智能中的文生视频模型Sora(以下简称Sora),能够根据用户的文本提示创建最长 60秒的逼真视频.某公司视频部现有员工l00人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每 第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为三、二、一，每轮相互独立， 轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora. (I)求员工经过培训能应用Sora的概率； (2)已知开展Sora培训前员工每人每年平均为公司创造利润6万元，开展Sora培训后， 能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润l0万元，不能应用Sora的员工保持不 变，Sora培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工 随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于 员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 19.如图，EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC=2,AC=2,F是EB的中点. (1)证明：DF∥平面ABC; E (2)若四棱锥B-ACDE的体积为3，求平面DEF与 平面ABC所成的锐二面角的余弦值的最大值. 0 y B 20.南+5p2的椭圆C·22·1的离必南为3 3 ,直线1过椭圆C的右焦点 3 F,且与椭圆C交于A,B两点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线I的斜率存在，点A关于x轴的对称点是A',求证：直线AB过x轴上的定点 M,并求其坐标； (3)在(2)的条件下，过点M作x轴的垂线'与I交于点Q,记线段AB的中点为G, △QMG的面积为S,△MAB的面积为S,求S的取值范围. S, 21.设y=f(x)是定义在D上的函数，若对任何实数a∈(O,1)以及D中的任意两个实数 x、x2,恒有f(x+(1-)x2)≤af(x)+(1-)f(x2),则称y=f(x)为C函数. 断函数y,x∈0，+o)是否为C函数，说 (2)已知m是实数，函数yx2-mx|,x∈[1，+o)是C函数，求m的最大值； (3)若y=f(x)是定义域为R的C函数，求证：“存在实数k,使得f(x)=x恒成立” 是“存在非零实数T,使得f(x+T)=f(x)+f(T)恒成立”的充要条件. 参考答案 一.填空题 1.10 2.√5 3.(0,-1) 4.2 5. 6. 2 3 -√3 7.54 8.3 10. 2 11.1 12.2026 2026 2026 2026 【11题】因为f)=∑(x-k)°=2026k2-2∑xk+ i=l 所以f(k)是一个开口向上的关于k的二次函数， 所以函数在其图象的对称轴处取得最小值， 22 2026 2026 即k= i=1 i=1 =x=a,又因为k=a,所以a=a,解得=1. 2×20262026 【12题】题目中一次变换是：删除两项a,a,添加a,+a+a,aj,观察这个变换的特点， 构造一个新的乘积式：(1+a,)1+a)=1+a,+a+a,a，这正好是1+新添加的项， 也就是说，整个数列所有项的(1+a)的乘积在变换前后是不变的，原数列是 1111 1320252026 共2026项，初始乘积为： 2026 2027 =2027,每一次变换会让数列的项数减少1，初 k=1 2026 始有2026项，经过2025次变换后，数列只剩1项，设为x,根据不变量，有 1+x=2027,解得x=2026. 二.选择题 13.A 14.B 15.B 16.D 三.解答题 17.(1)b在a上的投影向量为 a-220-2-(): 5 (2)设c=(x,y)，由题意得2ā+b=(0,2), 因为c/1(2ā+b),所以2x=0×y，即x=0, 又因为13=Vx2+y2,所以y=3，所以c=(0,3)或c=(0,-3); (3)由题意得a=(1,-2),b=(-2,6),a+b=(1-21,-2+62)， a.(a+b)=1×(1-22)+(-2)×(-2+62)=5-14, 因为夹角为锐角，所以5-14几>0，得元<5 14 若共线，则1×(-2+62)=(-2)×(1-22)，解得元=0， 所以及的取值范用是（←，00） l8.(1)员工经过培训能应用Sora,即有两轮及以上获得"优秀"，其概率为 2 .32117 ,因此员工经过培 43224 17 训能应用Sora的概率为 24 (2)设视频部调x人至其他部门，x∈N, X为培训后视频部门能应用So的人数，则X~B100-x,24 则X灯=7100-)，调人后视频部门的年利润为 24 200-0x0+-}0-×6-00- 47 (100-x); 令47100-)≥100x6,解得x≤234，因为x∈N,所以xm=23,， 因此视频部最多可以调23人到其他部门. 19.(1)取AB的中点M,连接CM,FM, 因为F,M分别是EB和AB的中点，所以FM=AE,且FMI/AE 2 因为EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC, 所以DC=AE,且DCI/AE,所以FM=DC且FM1IDC, 所以四边形FMCD为平行四边形，所以DF/ICM 又DF丈平面ABC,CMC平面ABC,所以DF//平面ABC. (2)设B到平面ACDE的距离为d, 则%ae-写ed-xg到2d-3,为1=3 1 3 2 由于DC⊥平面ABC,建立如图空间直角坐标系C-z, 因为EA=2DC=2,AC=2, 所以C(0,0,0),D(0,0,1),A(0,2,0),E(0,2,2) 使s80,则r生2F-(3生20DE=020 DF.m= 3,t+2 设平面DEF的法向量为m=(x,y,z)，由 0,得 2y0 DE.m= 2y+z=0 得y=-3,z=6，因此平面DEF的一个法向量m=(t+2,-3,6) 由于DC⊥平面ABC，因此=(0，O,1)是平面ABC的一个法向量. 设平面DEF与平面ABC所成的锐二面角大小为日， 则c0s9c0s(m,)卡ml-1Jt+2+45 mi 6 25 5 所以平面DEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值的最大值为 2v5 5 20.(1)椭圆方程是 x2,y2 =1 32 (2)设A(x,片)，B(x2,y2),F(1,0), x2 -=1 当1与x轴不重合时，设方程为x=my+1(m≠0)，由 32 x=my+1 得(2m2+3)y+4mv-4=0，且⅓+%=2m+3%2m+3 4m -4 ①， 片(，-y),4B的方程为y+片=+(x-x), X2-x1 令y=0,解得x=为伍+5=1+ 2myy2 y2+y y2+y1 -8m 将@代入得x=1+2m+3=3,M为(3,0)， 4m 2m2+3 当I与x轴重合时，即AB为x轴，过点M(3,0), 直线A'B过x轴上的定点M(3,0)· (3)当直线1的斜率为0时，S,=S2=0 S 无意义，故直线1斜率不为0· S, 4m2 32 2 两直线交于Q 闲为+名=m+1+m2+1=2m2+3+ 3 m 2 2 2m2+3 y+y2- 2m 3 -2m 2 2m2+3，所以G 2m2+3'2m2+3 m限网迎-小 6(m2+1 ）6(m2+1) 2m2+31ml(2m2+3) 8=2AF1-=以-为=0+为-4= 4V3Vm2+1 2m2+31 6(m2+1 所以 S245Vm2+1 2|m 2m2+3 1 21.(1)y=--,x∈(0，+∞)不是C函数， x 明如下（举反钢记f0=士，取名=36=1a=支，则 f(x+d-a)-af()--al/() 1>0, 即f(x+(1-a)x2)>af(x)+(1-a)f(x2）, 所以y=-1,x∈0，o)不是C函数： (2)记f(x)=x2-mx, 当m=1时，当x∈[l,+oo)时，f(x)=x2-x 对任何实数α∈(0,1)以及[L,+o)中的任意两个实数，x2, af(x)+(1-a)f(x2）-f(ax+1-a)x2)=a(1-a)(x-x2)≥0， 即f(ax+(1-a)x2)≤f(x)+(1-a)f(x2）, 所以y=x2-mx,x∈[l,+o)是C函数. 当m>1时，取a=2x=l名=m, 数af(x)+(1-)f(x2)-f(ax+(1-a)x2) 9四-）-÷2=a,少0 22 即f(ax+(1-a)x2)>af(x)+(1-a)f(x2), 所以y=x2-mx,x∈[L,+o)不是C函数. 综上，m的最大值为1 (3)先证充分性，若"存在实数k,使得f(x)=x恒成立"， 则有f(I)=k,则f(x+1)=k(x+)=x+k=f(x)+f(1)恒成立. 充分性得证. 再证必要性，若"存在非零实数T，使得f(x+T)=f(x)+f(T)恒成立"， 不妨设T>0,记k=f四，则有f0)=0,了)=灯，放对于任激整数m, T 有f(nT)=nkT，假设存在实数x。，使得f(xo)≠x, 显然x。≠nT,x。≠T,则存在整数m,使得mT<x。<(m+1)T, -方面，取a=m+1T-∈(0，)，则=amT+0-a0m+17 f(xo)=f(amT+(1-a)m+1)T)≤af(mT)+(1-a)f(mT+T)=x,即f(xo)≤ka, 另一方面，取a=_。-mT x-(m-1) 元∈(0,1)，则mT=a(mT-m)+(1-a)x。， kmT=f(mT)saf(mT-m)+(1-a)f(xo)=ak(mT-m)+(1-a)f(xo), 所以fk)≥mT-amT-m=点，，即f(k)≥a,所以f()=在， 1-a 与f(x)≠c。矛盾，假设不成立， 所以f(x)=x恒成立，必要性得证.