精品解析：上海交通大学附属中学2025-2026学年第二学期高三年级数学模拟2

交大附中2025-2026学年第二学期高三年级数学模拟2 2026.5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 设全集，集合，，则___________ 2. 不等式 的解集为 __________________． 3. 是虚数单位，复数的虚部为__________. 4. 已知，，则向量在向量方向上的数量投影为________ 5. 对具有线性相关关系的变量、有一组观测数据，其回归方程是，且，则实数的值为______. 6. 二项式的展开式中，系数最大的项为______． 7. 已知，，试用，表示__________________． 8. 某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高二的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有__________种出场顺序.(用具体数字作答) 9. 若直线经过双曲线的一个焦点，且与该双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为__________. 10. 定义在上的函数满足，且，当不等式有解，则正实数的最大值为______. 11. 如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度.将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 __________. 12. 定义：将等差数列和等比数列中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，相同大小的项只保留中的项，其中等比数列中项在新数列中出现的“间隔数”（如：与之间的间隔数为）按从小到大顺序组成的数列为“间隔数列”，若公比和首项均为2的等比数列的“间隔数列”为等比数列本身，已知，则数列前项和为__________. 二、选择题 13. 已知、，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 14. 某企业开发了一款软件，已知下载该软件用户的“提问次数”（单位：千次）服从正态分布，且．现从下载该软件用户中随机抽取1名用户，则“提问次数”在区间的概率为（       ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 15. 已知在三棱锥中，平面，是边长为的等边三角形，直线上的动点满足：，则的值随增大而（ ） A. 不变 B. 增大 C. 减小 D. 先减小，后增大 16. 若椭圆和双曲线有相同的焦点，离心率分别为，点是这两条曲线的一个交点，且两两互不相等，则（ ） 命题①：从集合 的子集中随机抽取一个，若该子集的元素值均可知，则可求得的值的概率为 命题②：若 ，则 A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确②错误 D. ①错误②正确 三、解答题 17. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，点为圆锥底面圆周上的一点，为圆心，是的中点，且. （1）求圆锥的全面积： （2）求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 18. 已知，. （1）求的最小正周期和极大值点； （2）已知锐角的内角、、的对边分别为、、，且，，求边上的高的最大值. 19. 为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 （1）分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率； （2）小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ （3）小浦决定采用这两款软件解答道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于、两点，过的直线交椭圆于、两点，且⊥，垂足为. （1）求点的轨迹方程； （2）证明：当的斜率存在且时，、弦长的倒数和为定值； （3）求四边形的面积的最小值. 21. 已知区间，定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，点P不在函数的图像上，点A在函数的图像上．若线段PA与函数的图像有且仅有一个公共点，则称点A是“P－可见”的． （1）若，，点P的坐标为，判断点与是否是“P－可见”的； （2）已知为实数，若，，点P的坐标为，点是“P－可见”的，求m的取值范围； （3）若，点P的坐标为，证明：“函数的图像上任意一点都是‘可见’的”是“函数在上严格增或严格减”的充要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 交大附中2025-2026学年第二学期高三年级数学模拟2 2026.5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 设全集，集合，，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据集合交补含义可得. 【详解】因为，， . 故答案为: 【点睛】此题为基础题，考查集合的运算. 2. 不等式 的解集为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】去绝对值直接求解即可. 【详解】由， 可得：， 解得：， 所以原不等式的解集为：， 故答案为： 3. 是虚数单位，复数的虚部为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】对复数进行化简，从而得到复数的虚部，得到答案. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故答案为：. 4. 已知，，则向量在向量方向上的数量投影为________ 【答案】3 【解析】 【分析】根据数量积的定义和投影的计算公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以向量在向量的方向上的投影为. 故答案为：3. 5. 对具有线性相关关系的变量、有一组观测数据，其回归方程是，且，则实数的值为______. 【答案】## 【解析】 【详解】由得，， 所以，所以. 6. 二项式的展开式中，系数最大的项为______． 【答案】 【解析】 【分析】先得到展开式的通项公式，进而得到要想系数最大，则为偶数，比较后得到答案. 【详解】展开式通项公式为，且为整数. 要想系数最大，则为偶数， 其中，，， ， 显然系数最大项为. 故答案为： 7. 已知，，试用，表示__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算可得答案． 【详解】因为，所以， 所以 ． 故答案为：． 8. 某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高二的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有__________种出场顺序.(用具体数字作答) 【答案】28800 【解析】 【分析】根据相邻问题捆绑，再把不相邻问题应用插空法计算求解. 【详解】将高三2个节目捆绑，内部排列有种方法；将此捆绑视为一个整体，与高一4个节目进行全排列，有种方法； 最后将高二的3个节目插入所形成的6个空中，有种方法； 根据分步乘法计数原理，共有种. 9. 若直线经过双曲线的一个焦点，且与该双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可以求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，进而列出方程组解出的值，从而求出双曲线方程. 【详解】解：双曲线焦点在轴上，渐近线方程为：， 直线经过点，所以，且直线的斜率为， 所以，解得，所以双曲线方程为. 故答案为： 10. 定义在上的函数满足，且，当不等式有解，则正实数的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数法则可知，由求得，然后分离参数得，令，利用导数法求其最值即可得解. 【详解】， ， 在有解，， 令，则， 增 极大值 减 故答案为： 11. 如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度.将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 __________. 【答案】## 【解析】 【分析】延长，交直线于点,设,由水的体积不变可列式求出，再求出，由二倍角的正弦公式和同角三角函数的平方公式化简已知式，代入即可得出答案. 【详解】如图，延长，交直线于点， 由题意可得：，， 设，则， 因为密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上， 容器里的水的体积不变，且放在坡角为的斜坡上时， 水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为的长方体的体积的一半之和， 因为，解得：，即， 因为，所以， 因为，所以， 所以， . 12. 定义：将等差数列和等比数列中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，相同大小的项只保留中的项，其中等比数列中项在新数列中出现的“间隔数”（如：与之间的间隔数为）按从小到大顺序组成的数列为“间隔数列”，若公比和首项均为2的等比数列的“间隔数列”为等比数列本身，已知，则数列前项和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得．根据，先确定等差数列的首项为，再利用相邻两项与在中的间隔数为，推出在内恰有个等差数列的项，从而确定等差数列的公差为，进而得到，最后求前项和． 【详解】由题意得，等比数列的首项和公比均为，所以. 因为，且，所以新数列的最小项为，从而等差数列的首项为． 设等差数列的公差为，则. 由题意可知，与在中的间隔数为． 也就是说，在与之间，除去右端点本身外，恰有个等差数列的项． 下面证明． 若，设大于的第一个等差数列的项为，则前一项不大于，所以. 于是. 这说明在内至少有个等差数列的项，与题意中恰有个矛盾．故. 若，因为可以取得足够大，所以可取正整数，使. 若内有个等差数列的项，设其中第一个为，则最后一个为. 又，所以，这与最后一个项应小于矛盾． 故. 综上，，所以. 此时把等差数列与等比数列合并，并把相同大小的项只保留中的项，所得新数列仍为. 因此数列前项和为. 二、选择题 13. 已知、，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，， 所以“”不是“”的充分条件； 因为（当且仅当时等号成立）， 所以， 所以“”是“”的必要条件； 综上“”是“”的必要非充分. 14. 某企业开发了一款软件，已知下载该软件用户的“提问次数”（单位：千次）服从正态分布，且．现从下载该软件用户中随机抽取1名用户，则“提问次数”在区间的概率为（       ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【详解】 则. 15. 已知在三棱锥中，平面，是边长为的等边三角形，直线上的动点满足：，则的值随增大而（ ） A. 不变 B. 增大 C. 减小 D. 先减小，后增大 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，再结合，根据向量数量积运算得，最后结合一次函数的性质判断即可. 【详解】因为直线上动点满足：， 所以 因为平面，平面，所以，即 因为是边长为的等边三角形， 所以，， 所以， 因为是关于的一次函数，且单调递增， 所以的值随增大而增大 16. 若椭圆和双曲线有相同的焦点，离心率分别为，点是这两条曲线的一个交点，且两两互不相等，则（ ） 命题①：从集合 的子集中随机抽取一个，若该子集的元素值均可知，则可求得的值的概率为 命题②：若 ，则 A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确②错误 D. ①错误②正确 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线的定义计算与，，，之间的关系，根据古典概型可判断①错误，根据题目已知条件代入特殊值可判断②错误. 【详解】根据椭圆和双曲线的定义，可设椭圆的长半轴为，短半轴为，双曲线的实半轴为，虚半轴为，两者的半焦距均为； 有，，，，， 即，即. 对于①，根据定义，在椭圆中，有， 在双曲线中有，分别平方并相减， 可得，即； 记计算为事件， 集合共有个子集，其中能计算的子集包括集合， 全部四个有三个元素的子集，集合和集合，共个， 根据古典概型公式，，可知①错误； 对于②，由，可取，，，，此时，，，计算可得，，满足，，可知②错误. 三、解答题 17. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，点为圆锥底面圆周上的一点，为圆心，是的中点，且. （1）求圆锥的全面积： （2）求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）圆锥的全面积等于圆锥的底面积与圆锥的侧面积之和，根据圆锥的侧面积公式求得面积，代入相加即得 （2）先根据线面垂直判定定理得平面，即得是直线与平面所成角，再解三角形得直线与平面所成角的大小. 【小问1详解】 圆锥的底面积 圆锥的侧面积： 圆锥的全面积：. 【小问2详解】 由已知平面，平面，所以， ， 又平面， 则平面， 是直线与平面所成角. 在中， ， 所以， 直线与平面所成角的为. 18. 已知，. （1）求的最小正周期和极大值点； （2）已知锐角的内角、、的对边分别为、、，且，，求边上的高的最大值. 【答案】（1），极大值点为， （2） 【解析】 【分析】（1）整理得，可得其最小正周期及极大值点； （2）由，可得，设边上的高为，所以有，由余弦定理可知，得出，最后可得最大值. 【小问1详解】 由已知，最小正周期为. 当，时，即，时，函数单调递减； 当，时，即，时，函数单调递增； 所以函数的极大值点为，. 【小问2详解】 由得，而，故，. 由余弦定理可知：，故. 设边上的高为，所以有，故. 而，故，所以，当时，取等号. 所以，因此边上的高的最大值. 19. 为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 （1）分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率； （2）小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ （3）小浦决定采用这两款软件解答道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 【答案】（1）软件、软件能正确解答数学问题的概率分别为、 （2）应该使用软件来解决这道试题. （3）， 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得软件、软件能正确解答数学问题的概率； （2）利用全概率公式计算出、软件分别能解答对第题的概率，比较大小后可得出结论； （3）利用二项分布的期望公式和方差公式可求出随机变量、的期望和方差，由题意可知、相互独立，可得出，，即可得出答案. 【小问1详解】 记、软件能正确解答数学问题的概率为和， 结合题中数据以及古典概型的概率公式可得，. 【小问2详解】 记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， “该题为几何题”为事件. 则，，，，，， 由全概率公式可得. . 因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小浦应该使用软件来解决这道试题. 【小问3详解】 几何试题用软件解答，函数试题用软件解答. 因为，， 由二项分布的期望公式可得，， 由二项分布的方差公式可得，， 因为、相互独立，则， . 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于、两点，过的直线交椭圆于、两点，且⊥，垂足为. （1）求点的轨迹方程； （2）证明：当的斜率存在且时，、弦长的倒数和为定值； （3）求四边形的面积的最小值. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出焦距，由⊥知，点在以线段为直径的圆上，求出点的轨迹方程； （2）的方程为，代入椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到，进而求出，从而得到； （3）在（2）的基础上，得到，由基本不等式求出最值，再求出当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积，从而得到四边形的面积的最小值. 【小问1详解】 椭圆的半焦距， 由⊥知，点在以线段为直径的圆上，故点的轨迹方程； 【小问2详解】 当的斜率存在且时，故的方程为， 代入椭圆方程中， 化简得， 设，，则， 则 ， 因为与相交于点，且的斜率为. 所以， 当的斜率存在且时， 、弦长的倒数和为； 【小问3详解】 当的斜率存在且时，由（2）知，，， 故四边形的面积 . 当时，上式取等号. 当的斜率时，如图所示， 此时， 中，令得，故， 故四边形的面积， 当的斜率不存在，同理可得， 综上，四边形的面积的最小值为. 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 21. 已知区间，定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，点P不在函数的图像上，点A在函数的图像上．若线段PA与函数的图像有且仅有一个公共点，则称点A是“P－可见”的． （1）若，，点P的坐标为，判断点与是否是“P－可见”的； （2）已知为实数，若，，点P的坐标为，点是“P－可见”的，求m的取值范围； （3）若，点P的坐标为，证明：“函数的图像上任意一点都是‘可见’的”是“函数在上严格增或严格减”的充要条件． 【答案】（1）是，不是 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“P－可见”定义分别验证即可； （2）求出方程，转化为方程在有且仅有1解，讨论即可； （3）任取得到在有且仅有1个零点，讨论的正负，得出时的正负，结合函数单调性的定义即可证明. 【小问1详解】 ， 由解得， 故A是“P－可见”的. ， 由解得或， 故B不是“P－可见”的. 【小问2详解】 ,， 则在有且仅有1解， 整理得，为此方程的解， 则在无解， 设， 对称轴， 当时，在单调递增， 由于，，则此时不符合题意， 当时，在单调递减， 由于，，则此时不符合题意， 当时， 由于，则需， 解得， 综上 . 【小问3详解】 任取，，则， 设，， 则， 由于函数的图像是一条连续不断的曲线，则函数的图像是一条连续不断的曲线. 必要性：若函数的图像上任意一点都是‘可见’的， 则在有且仅有1个零点， 则时，恒正或恒负， 若恒正，即任取，， 则， 则， 则函数在上严格增， 同理若恒负，可得函数在上严格减. 充分性： 若函数在上严格增， 则任取，有， 则， 即， 则在有且仅有1个零点， 则函数的图像上任意一点都是‘可见’的， 若函数在上严格减同理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $