广东中山市龙山中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试卷

广东省中山市龙山中学2025-2026学年高二下数学5月月考试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.设离散型随机变量X服从两点分布，其分布列如下表，则a=() X 0 1 a a+0.4 A.0.2 B.0.3 c.0.6 D.0.7 2.函数f(x)=2x3-3x+1的图象在点(1，f(1)处的切线斜率为（) A.0 B.1 C.2 D.3 3.用0,1,2,3,4,5可组成无重复数字的三位数的个数为() A.98 B.99 C.100 D.101 4.质数(primenumber)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则 这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5,5和7，，那么，如果我们 在不大于30的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件A:这两个数都是素数；事件B:这两个数是 李生素数，则P(B|A)=() A司 B c D. 2 5.等差数列{an}的公差为2，且a1+a4+a6=10,则a2+a5十a7=（) A.12 B.14 C.16 D.18 6.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和50次骑自行车所花的时间，经 数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X~N(山1,6)，Y~V(2,2) ,X和Y的正态曲线如图所示.则下列结果正确的是() VA Y的正态 曲线 X的正态 曲线 26303438 A.D(X)=6 B.h1<2 C.P(X≤38)>P(Y≤38) D.P(X≤34)<P(Y≤34) 7.f(x)=x2-alnx在(1，十oo)上单调递增，则实数a的取值范围为() A.(-∞，1) B.（-0∞，1] C.(-o,2) D.(-∞，2] 第1页 共4页 8.已知在等比数列{an}中，a1=1,a2020=2,若函数f()=x(x-a)(x-a2)·(c-a2020),则 f(0)=() A.2 B.21010 C.210 D.22020 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.小张同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了右表，其中一些数据丢失，只记得 这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为y=0.65x-1.8,若a,b,c成等差数列，则() 4 6 8 10 12 y a 2 c 6 A.变量x与y的样本相关系数r<0 B.b=3 C.当x=6时，残差为-0.1 D.当x=20时，y的预测值为11.2 10.若数列{am}为等比数列，其前n项积为Tn,且T3=-1,则T7的值可能为() A.-64 B.-128 C.64 D.128 山.对于函数@)三/ 远，下列说法正确的是（） A.f(x)在(O,e)上单调递减，在(e,+oo)上单调递增 B.若方程f(x)=2m有4个不等的实根，则m>e C.当0<1<x2<1时，c1nx2<x2lnx1 D.设g(x)=2x2+a,若对c1∈R,3x2∈(1，+o∞)，使得2g(c1)=f(x2)成立，则 a>e 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 的二项展开式中x的系数为一 13.设A,B是一个随机试验中的两个事件，若P(回)-子PA到-行P(A+到-手则P)= 14.设点P在曲线y=lnx上，点Q在直线y=x+3上，则PQ的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.知等差数列{am}和等比数列{bn},满足a1=b1=1,a2=2b2,a3=2b3-1. (I)求数列{an}和{bn}的通项公式： 2)求数列{云}的前n项和工n, 第2页 共4页 16.为了研究高中学生每天整理数学错题的情况，沈阳市某校数学建模兴趣小组的同学在本校高二年级学 生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计 得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人 数学成绩总评非优秀 合计 数 人数 每天都整理数学错题人 14 数 不是每天都整理数学错 b 15 题人数 20 合计 40 (1)计算a,b的值，并判断是否有99%的把握认为数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ n(ad -bc)2 附：X2= (a+b)(c+d)(a+c)(6+d) 0.10 0.01 0.001 P(x2≥a 2.706 6.635 10.828 (2)从样本中不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成 绩总评优秀的人数为X,求X的分布列和期望。 17.已知函数f回)=23+o2+3-别z-a (1)若函数f(x)在定义域上不单调，求实数b的取值范围： (2)若b=0,且函数f(x)有三个零点，求实数a的取值范围： (3)若a=b=0,过点(-1，-3)作函数f(x)的切线，求切线方程. 第3页 共4页 18.已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球， 个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个 3号球. (1)从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量X为1号球的个数，求随机变量X的分布列和数学期 望； (2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入 甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1 个球求第二次摸到的是3号球的概率. 19.已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn ,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图像上. (I)求数列{an}的通项公式； (②)设b,=3 是数列，}的前n项和，求使得买<分对所有n∈N都成立的最小正整数 anan+l m. 第4页共4页 广东省中山市龙山中学2025-2026学年高二下数学5月月考试卷 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.B 2.D 3.C 4.B 5.C 6.B 7.D 8.B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.B,C,D 10.A,B 11.B,D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-160 8003 14.22 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(1)an=3m-2,bn=2n-1 (2)T=8-3m+4 2n-1 16.(1)a=6,b=5,有把握 ②分布列见解析， 的 17.(1)b<3或b>6 第1页 共9页 (2)(-√2，√2) (3)y=3x或21x+2y+27=0 18.(1)(1)分布列见详解；E(X)=1 ②② 29 19.(1)an=6m-5. (2）)10. 数学参考解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.B 【解答过程】 依题意可得a+a+0.4=1,解得a=0.3. 故选：B 2.D 【解答过程】 函数f(x)=2x3-3x+1,求导得f(x)=6x2-3,则f'(1)=3, 所以所求切线的斜率为3 故选：D 3.C 【解答过程】 先填百位数，有5种选法， 再填十位数，有5种选法， 最后填个位数，有4种选法， 由分步乘法计数原理可得， 一共可以组成无重复数字的三位数5×5×4=100个 故选：C 4.B 【解答过程】 不超过30的自然数有31个，其中素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个， 孪生素数有3和5,5和7,11和13,17和19，共4组， 所以P(A)= C1045 44 C31 P(AB)- 4 所以P(BA)= P(AB) 4 P(A) 45 45 C 故选：B. 第2页 共9页 5.C 【解答过程】 由条件可知，等差数列的公差d=2, 则a2+a5+a7=(a1+d)+(a4+d)+(a6+d)=(a1+a4+a6)+3d=10+6=16. 故选：C 6.B 【解答过程】 对于A,随机变量X服从正态分布，且X~N(1,6), 所以随机变量的方差D(X)=6=36,故A错误； 对于B,根据给定的正态分布密度曲线图象，可得山1=30,2=34， 所以山1<2，故B正确： 对于C,根据正态分布密度曲线图象，可得X≤38时随机变量X对应的曲线与x轴围成的面积小于 Y<38时随机变量Y对应的曲线与x轴围成的面积， 所以P(X≤38)<P(Y≤38)，故C错误； 对于D,根据正态分布窑度曲线图象，可得P(X≤3>分P(Y≤3-， 即P(X≤34)>P(Y≤34)，所以D错误. 故选：B. 7.D 【解答过程】 因为函数f(x)在(1，+o∞)连续可导且单调递增， 所以财()=2x-a≥0在(1，+0)恒成立， m 分离参数得a≤2x2恒成立，即a≤2，故选D. 【点睛】本题考查函数在区间内单调递增等价于∫(x)≥0在该区间内恒成立. 8.B 【解答过程】 略 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.B,C,D 【解答过程】 由表格中的数据可计算平均数：x=4+6+8+10+12-8, y=a+2+b+c+6_8+a+b+e 5 5 又因为a,b,c成等差数列，所以a+c=2b,则y-8+3b 5 根据经验回归方程为g=0.65x-1.8必过点(x,y) 则8+30=0.65×8-1.8，解得6=3，故8正确： 5 第3页 共9页 由于经验回归方程为y=0.65x-1.8是递增的一次函数，所以两个变量是正相关， 则样本相关系数r>0,故A错误； 当c=6时，=0.65×6-1.8=2.1，所以残差为2-2.1=-0.1，故C正确： 当x=20时，=0.65×20-1.8=11.2，所以y的预测值为11.2，故D正确： 故选：BCD. 10.A,B 【解答过程】 设{am}的公比为q, 由等比数列的性质可得乃3=a1a2ag=(a2)3=-1,所以a2=-1, 则77=a1a2…a7=(a4)7=(a2g2)7=(-g2)7=-q4<0 由选项可知，T7的值可能为-64，-128. 故选：AB 11.B,D 【解答过程】 ,所以f()的定义域为{x2>0且x升 B.如图所示 v=2m =In 因为f(x)偶函数，当x>0时，考查函数f(x)的性质， “1)=品e到 ∴f'()= (2z)'Inz-2x(Inz)'2Inz-2 (Inz)2 (n2 当x∈(0,1)时，f(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递减且f(x)<0, 当x∈(1，e)时，(x)<0,所以f(x)在(1，e)上单调递减且f(x)>0, 当x∈(e,+o∞)时，f'(x)>0,所以f(x)在(e,+o∞)上单调递增且f(x)>0, 所以当=e时，函数f(x)的极小值为f(e)=2e 若方程f(x)=2m有4个不等的实根，由偶函数的对称性可得， 当c>0时f(x)=2m有两个不等实数根，即y=f(x)与y=2m有两不同交点， .2m>2e,即m>e,故B正确 C.由B知，当0<1<2<1时， 2℃1 -,又lnx1·lnx2>0, Inzi 所以lnx1·n2·n 1>ln1·lh2'nr2 22,即1n2>l血1，故c错误. D.g(x)=2x2+a,当x∈R时，2g(x)的值域为 第4页 共9页 G={y∈Ry≥2a}, 当x∈(1，+oo)时，由B知f(x)的值域为F={y∈Rly≥2e} 若对x1∈R,3x2∈(1，+∞)，使得2g(x1)=f(x2)成立， 则GCF,所以2a≥2e,即a≥e,故D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-160 【解答过程】 由题应得二项武式为展开式的通项公式为1=c-2,(后)广=c妙，(-一共， 令6-k=2,得k=3,所以x2项的系数为Cg2.(1)=-160. 故答案为：-160 80 【解答过程】 由条件概率的公式：P(AB)=P(BP(AB)=, 计算和事件的概率：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), 可得P刻=PA++PA回-PD=言+品 故答案为：10 3 14.2√2 【解答过程】 设与直线y=x+3平行并与y=nx相切的直线为y=x+c, 则两平行线间的距离即为PQ的最小值， 因为g=1,所以g=子，设切点为e,w） 则1=1，解得0=1，此时6=0，则切点为(1,0)， 花0 代入y=x+c中，可得0=1+c,解得c=-1, 则直线方程为x-y-1=0,而y=x+3可化为x-y+3=0, 由平行线间距离公式得平行线间距离为3-（一1 =2v2. V2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(1) an=3n-2,bn=2n-1 【解答过程】 设公差为d,公比为g(g≠0，则1+d2g 11+2d=2g2-1' 解得g=0(舍)，g=2,所以d=3, 故an=1+(m-1)×3=3n-2,bn=1×2n-1=2n-1. 第5页 共9页 (2) 1n=8-3m+4 2n-1 【解答过程】 由(1)得： an3n-2 20,所以7=1+ 4,7 3m-20, 4， 22 2n-1 1T=2+22+23+…+m® -@，-1+3（++ 3m-2 22+ 23 2n-1/ =1+3× -(- 1-分 =1+3×(-) 3n-2=4-3n+4 2n 2n 2n 故Tn=8一 3m+4 2n-1 16.(1) a=6,b=5,有把握 【解答过程】 依题意，a=40-20-14=6,b=20-15=5, 数学成绩总评优秀人 数学成绩总评非优秀 数 合计 人数 每天都整理数学错题人 14 6 20 数 不是每天都整理数学错 题人数 5 15 20 合计 19 21 40 s 40(14×15-5×6)2 ≈8.120>6.635 20×20×19×21 所以有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关” (2) 分布列见解析， 3 【解答过程】 不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5，X的所有可能值为0,1， 2,3, P(X=0)= CCi 28,P(X=1)= 91 CiCis 35 C30 C3%0 76 1 P(X=2)= Cis c 38, P(X=3)= CC Co 114’ 所以X的分布列为： X 0 2 3 91 器 1 228 38 114 第6页 共9页 期望E(X)=0× 91 228+1× 35 5 +2× 13 76 8+3×1i4=4 17.(1) b<3或b>6 【解答过程】 f(x)=-2x3+bz2+3- 3 b x-a的定义域为R. 2 f'(x)=-6x2+2bx+(3- 2). 函数(x)在定义域上不单调，说明f'(x)=0有两个不相等的实数根， 所以△=(2b)2-4×(-6)×(3- )=462-366+72>0,解得6<3或b>6. 3, (2) (-V2,V2) 【解答过程】 b=0,f(x)=-2x3+3x-a,f'(x)=-6x2+3. V 令f(x)=0,即-6x2+3=0,∴x= 或=V2 2 2 列表如下： x 2 (-0,- 2 2 ←E 22 2 9 f'() - 0 0 极小值 极大值 f(x) 心9.0。 9-6。 x→-o,f(x)→+o,x→+o,f(x)→-∞. 要使函数fe有三个零点，则V2a>0 /-V2-a<0 ,解得-V2<a<V2. 故实数a的取值范围是(-√2，√②). (3) y=3x或21x+2y+27=0 【解答过程】 a=b=0时，f(x)=-2x3+3c,f'(x)=-6x2+3. 设切点P(x0,-2x8+3axo),则切线的斜率k=f(ao)=-6ax号+3. 故切线方程为y+2x-3x0=（-6x好+3)(x-o). 又切线经过(-1，-3)，∴.-3+2x8-30=(-6x+3)(-1-c0),整理得：2+3哈=0， 解得0=0成=子 当0=0时，切点坐标为(0,0)，切线方程为y=3x. 当0=号时，切点坐标为(-含.切线方程为212+2刘+27=0 39、 综上，切线方程为y=3x或21x+2y+27=0. 第7页 共9页 18.(1) (1)分布列见详解；E(X)=1 【解答过程】 【详解】(1)由题意可知：随机变量X的可能取值为0,1,2，则有： P(X=0)= 言Px--爱-台号x- C9c C2 2= C C 61 可得随机变量X的分布列为 X 0 1 2 1 所以随机 6 3 6 6+1x2 变量X的期望E(X)=0× +2× 1 61. (2) 品 【解答过程】 (2)记第一次从甲袋中随机摸出1个球，摸出的是1、2、3号球分别为事件A1,A2,A3, 第二次摸到的是3号球为事件B, 则P(A)=子，P(A)=P(As)=,P(BA)=子，P(BA)=子P(BAs)= 所以 P(回倒=Pa)PBA)+Pa)PaA+PA)P(aA)-x日+豆×+×号-温 19.(1) an=6n-5. 【解答过程】 .f(2x)=6x-2, ∴.f(x)=3x2-2x+c, .f(x)的图象经过坐标原点， ∴.c=0,f(x)=3x2-2x, .Sm=3n2-2m,①， a1=S1=1, 当n≥2时，Sn-1=3(n-1)2-2(n-1),②， ①-②得，an=6n-5, 经检验：a1=6×1-5, .am=6m-5(n∈N*). (2) 10. 【解答过程】 第8页 共9页 6 3 3 andn+i= (6m-)(6m+) =(+) (1-+忘+忘++m-5m 111 1 1-1 21 1 6m+1 .随着n的增大， 1 6m+1在减小， :.Th <2 对于任意m∈N有红<分 1 m 2≤201 .m≥10， .满足条件的最小整数m=10. 第9页 共9页