河南鹤壁市高中2025-2026学年高二上学期数学作业规范化练习（六）平行A卷

**基本信息** 聚焦立体几何与解析几何核心模块，通过基底共面判断、轨迹方程求解、立体几何证明与夹角计算等问题，考查空间观念、运算能力与推理意识，适配周测分层检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/60|空间向量基底、线面角充要条件、直线与圆位置关系|基础概念辨析，突出数学思维的逻辑性| |多选题|3/18|圆的弦长、动点轨迹、空间向量应用|多维度考查知识关联，培养批判性思维| |填空题|4/20|直线方程、圆的切线、距离公式|强调运算准确性，体现数学语言的简洁表达| |解答题|4/52|轨迹方程、立体几何证明与夹角计算|综合应用空间观念与模型意识，贴合高考命题趋势|

2027届数学作业规范化练习（六） （平行A卷） 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，，若不能构成空间的一个基底，则(    ) A. B. C. D. 2.设平面的法向量为，直线的方向向量为，那么“”是“直线与平面夹角为”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.设直线，，则是的(    ) A.  充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.若点在圆：外，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 6.已知是圆上的动点，则到直线距离的最大值为(    ) A. B. C. D. 7.已知，，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.圆为过两点，的所有圆中半径最小的圆，则圆上任意一点到原点距离的取值范围为(    ) A. B. C. D. 9.已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 10.实数，满足，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 11.已知直线恒过定点，则与圆有公共的圆心且过点的圆的标准方程为(    ) A. B. C. D. 12.在平面直角坐标系中，两动圆均过定点，它们的圆心分别为，，且与轴正半轴分别交于若，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 13.已知圆，直线则下列命题中正确的有(    ) A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相离 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 14.已知实数，满足方程，则下列说法错误的是(    ) A. 直线被圆截得的弦长为 B. 的最大值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 15.在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点是底面内四边形的内部且包括边界的动点，且，则下列说法正确的有(    ) A. 动点的轨迹是一段圆弧 B. 动点的轨迹长度为 C. 线段长度的最小值为 D. 直线与平面所成角的正切值最大为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 16.已知直线经过点，且，两点到直线的距离相等，则直线的方程为          ． 17.直线经过点，且与圆相切，则直线的方程为           18.已知点在圆上，已知，，则的值为          ． 19.直线与曲线仅有一个公共点，则实数的的取值范围是           四、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 已知两直线，． 求直线与的交点的坐标； 求过，交点，且在两坐标轴截距相等的直线方程； 若直线与，不能构成三角形，求实数的值． 21.本小题分 已知直角的斜边为，且，，求： 直角顶点的轨迹方程； 直角边中点的轨迹方程． 22.本小题分 已知∆的三个顶点分别为，，，直线经过点． 求外接圆的方程； 若直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 23.本小题分 如图，四边形是平行四边形，且，四边形是矩形，平面平面，且． 求证：平面； 求平面与平面 夹角的余弦值． 2027届数学作业规范化练习（六）答案 （平行A卷） 1-5：BACBA 6-10：BDBBC 11-12：BC 13：AD 14：AB 15：BCD 16：或  17：或  18：  19：  1. 解：若不能构成空间的一个基底，则，，共面， 存在，使得，， 故，解得， 2. 解：若直线与平面夹角为， 平面的法向量为，直线的方向向量为， 那么或， 故是“直线与平面夹角为”的充分而不必要条件， 3. 解：当时，直线，， 此时，则，所以，故充分性成立； 当时，，解得或，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件， 4. 解：由于点在圆：外， 有，解得，即的取值范围是． 5.  解法一：如图所示，设、、分别为，和的中点， 则、夹角为和夹角或其补角因异面直线所成角为 可知，作中点，则为直角三角形 ，，中，由余弦定理得 ，，在中， 在中，由余弦定理得 又异面直线所成角的范围是，与所成角的余弦值为． 解法二：如图所示，补成四棱柱，求即可 ，，， ，， ． 6. 解：设圆的圆心为，点到直线的距离为， 过点作直线的垂线，垂足为， 则点到直线的距离为，所以， 又因为直线恒过定点，则垂足的轨迹为以为直径的圆， 则，所以． 7. 解：将点，代入直线的方程，可知点，均不在直线上， 因为，，所以 ，且，所以点的轨迹为线段， 又直线即， 所以直线恒过定点，又， 设的倾斜角为，则， 因为，所以  8. 解：根据题意，圆为过点，的圆中最小的圆，则圆是以为直径的圆， 则圆心为，半径为，圆的方程为， 且，则到原点距离的最小值为， 9. 【解析】解：由题的圆心为，半径为． 圆心到直线的距离为 与直线距离为的平行线有两条： 外侧平行线：，圆心到该线的距离为． 内侧平行线：，圆心到该线的距离为． 圆与这两条平行线的相交情况： 当时，圆与外侧平行线相交于两点，与内侧平行线也相交于两点，总共有个点不符合条件； 当时，圆与外侧平行线相切，有一个点，与内侧平行线相交于两点，总共有个点不符合条件； 当时，圆与内侧平行线相交于两点，与外侧平行线不相交，总共有个点，符合条件； 当时，圆与内侧平行线相切，有一个点，与外侧平行线不相交，总共有个点，不符合条件； 当时，圆与两条平行线都不相交，没有点，不符合条件． 因此，的取值范围是， 10. 解：实数，满足，即， 表示以为圆心，半径等于的圆，则表示圆上的点与定点连线的斜率， 如图，当切线位于这个位置时，最大，当切线位于这个位置时，最小， 设过与圆相切的切线方程为， 即， 可得，求得或，故的取值范围是 11. 解：由，得， 则由解得即  圆的圆心坐标是，  ，  所求圆的标准方程为， 12. 解：由题圆方程为 两动圆均过定点且与轴正半轴分别交于 故，得同理， 又，即， 整理得，故 13. 解：将直线的方程整理为， 由解得 则无论为何值，直线过定点，故A正确 令，则，解得，故圆被轴截得的弦长为，故B不正确 因为，所以点在圆的内部，直线与圆相交，故C不正确 圆心，半径为，，当截得的弦长最短时，，， 则直线的斜率为，此时直线的方程为，即故D正确． 14. 解：实数，满足方程， 所以把看作是以为圆心，以为半径的圆； 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离， 于是弦长，故A错误； B.原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为， 所以，即， 所以的最大值为，故B错误． 令，，则两条直线都与圆有公共点， 所以，，解得，， 所以的最大值为，的最大值为．故CD正确； 15.解：由题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，，． 设，，， 则，． 由，可知，即． 记，的中点为，可知点在直线上，易知， 所以项错误，项正确． 因为，所以 ， 所以的最小值为，所以项正确． 平面的一个法向量可以取， 因为， 设直线与平面所成角为，， 所以， ，则， 所以直线与平面所成角的正切值最大为，项正确． 16.或 解：直线的斜率为， 所以过且平行于直线的直线方程为 ． 线段的中点坐标为， 所以过与线段中点的直线的方程为． 所以直线或符合题意． 故答案为：或 17. 【答案】或  解：将圆的方程转化为：，则圆心，半径为， 若直线的斜率不存在，则直线方程为符合； 若直线的斜率存在，设方程为，即， 因为直线与圆相切，则，解得， 直线的方程是，故答案为或． 18.  解：点在圆上， 圆的半径为． 设， ，， ． 19.  解：如图，由题知曲线即，表示以为圆心，为半径的半圆，该半圆位于直线上方， 直线恒过点， 因为直线与曲线只有一个交点， 由圆心到直线的距离等于半径得，解得， 如图，当直线经过点时，直线的斜率为， 当直线经过点时，直线的斜率不存在， 综上，实数的取值范围是或， 20.【答案】解：由，解得： 所以点的坐标为． 设所求直线为， 当直线在两坐标轴截距为不零时，设直线方程为： ，  则，解得， 所以直线的方程为，即． 当直线在两坐标轴截距为零时，设直线方程为：， 则，解得， 所以直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 当与平行时不能构成三角形，此时：，解得； 当与平行时不能构成三角形，此时：，解得； 当过的交点时不能构成三角形，此时：，解得． 综上，当或或时，不能构成三角形．  21.【答案】解：设中点为，由中点坐标公式得，由直角三角形的性质知，  ， 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，为半径长的圆由于，，三点不共线，所以应除去与轴的交点． 所以直角顶点的轨迹方程为 且． 设点，点， 因为，是线段的中点，由中点坐标公式得且，， 于是有， ． 由知，点在圆 且上运动， 将，代入该方程得 ，即 ． 因此动点的轨迹方程为 且．  22.【答案】解：因为，，， 所以，， 所以， 所以， 又因为， 所以是等腰直角三角形， 所以的圆心是的中点，即圆心，半径， 所以的方程为； 因为圆的半径为，当直线截圆的弦长为时， 圆心到直线的距离为， 当直线与轴垂直时，此时直线斜率不存在，直线为 ，与圆心的距离为，满足条件； 当直线的斜率存在时，设，即， 则圆心到直线的距离为， 解得，此时直线的方程为，即， 综上可知，直线的方程为 或． 23.【答案】证明：因为四边形是矩形，所以 ． 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，可， 所以，又因为，且平面，所以平面． 解：由题意及知且平面，所以平面， 由已知条件可知，所以，，，两两垂直， 以点为坐标原点，以 所在直线为轴， 所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 可得，，，，，， 则，， 由知，平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 令，则，，所以， 设所求的锐二面角为，则， 即平面与平面 夹角的余弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $