专题10 机械振动和机械波（7知识点+6题型+分层限时练）（期末复习讲义）高一物理下学期人教版

专题10 机械振动和机械波（期末复习讲义） 目录 【考情透视·目标导航】 2 【知识梳理·方法技巧】 2 知识点01 简谐运动的特征 2 知识点02 简谐运动的两种模型 4 知识点03 受迫振动和共振 5 知识点04 机械波及波动图像 6 知识点05 波的多解问题 7 知识点06 振动图像和波动图像的综合应用 8 知识点07 波的干涉和衍射 多普勒效应 9 【典例引领·即时检测】 10 题型1 简谐运动的图像 10 题型2 弹簧振子模型 10 题型3 单摆模型 12 题型4 振动图像与波动图像的结合 16 题型5 波的多解问题 19 题型6 波的叠加 21 【考场练兵·分层实战】 26 基础通关练（测试时间：10分钟） 26 重难突破练（测试时间：15分钟） 30 综合拓展练（测试时间：20分钟） 37 1. 分值占比 本专题是高中波动体系的奠基内容，贯穿振动、波动、光学波动原理，属于高考必考、期末重难点板块，期末总分占比 15～24分。图像分析、单摆实验、波的多解问题、干涉衍射辨析为高频拉分点，知识点细碎、模型固定、逻辑性强，是冲刺高分必须满分吃透的专题。 2. 核心考查方向 （1）基础层：机械振动、简谐运动本质、回复力属性、振幅/周期/频率物理意义、全振动概念 （2）中层：简谐运动四参量动态变化规律、机械能变化、单摆模型原理与实验、周期公式应用 （3）拔高层：机械波形成机制、传播本质、波速波长周期决定关系、振动图像与波动图像精准辨析 （4）压轴层：波形质点振动方向判断、波的双向性与周期性多解问题、波的干涉衍射、多普勒效应综合辨析 3. 命题特点 命题主打“图像分析+规律辨析+多解计算+现象识记”。振动侧重动态规律判断，波动侧重图像解读与多解计算，实验固定考查单摆测重力加速度，选择填空高频考查波的特有现象，题型套路极度固定，吃透模型零难度得分。 4. 高频易错盲区（全册最全汇总） （1）混淆必修、选必教材归属，记错知识点体系； （2）分不清振动、波动图像横纵坐标，误判物理过程； （3）误解简谐运动变化规律，认为速度、加速度同步变化； （4）忽略单摆小角度条件、等效摆长易错、周期影响因素记混； （5）记错波速、频率、波长决定因素，误以为波速随频率改变； （6）波的多解遗漏双向传播、周期性，导致答案不全； （7）干涉、衍射条件混淆，分不清“一切波都衍射、干涉需条件”； （8）多普勒效应误认为波源频率变化，实际仅接收频率变化； （9）误认为介质质点随波迁移，混淆振动形式与质点运动。 必备知识 知识点01 简谐运动的特征 一、简谐运动 1．简谐运动的概念 如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。 2．平衡位置 振动物体原来静止时的位置。 3．回复力 （1）定义：使振动物体在平衡位置附近做往复运动的力。 （2）方向：总是指向平衡位置。 （3）来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。 4．描述简谐运动的物理量 物理量 定义 意义 位移 由平衡位置指向物体所在位置的有向线段 描述物体振动中某时刻的位置相对于平衡位置的位移 振幅 振动物体离开平衡位置的最大距离 描述振动的强弱和能量 周期 振动物体完成一次全振动所需要的时间 描述振动的快慢，两者互为倒数：T＝ 频率 振动物体完成全振动的次数与所用时间之比 相位 ωt＋φ0 描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态 二、简谐运动的特征 1．动力学特征 F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。 2．运动学特征 做简谐运动的物体加速度与物体偏离平衡位置的位移大小成正比而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。 3．周期性特征 相隔nT(n为正整数)的两个时刻，物体处于同一位置且振动状态相同。 4．对称性特征 （1）时间对称性：相隔或(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等、方向相反。如图甲所示： O为平衡位置，A、B为振子偏离平衡位置最大位移处，振子t时刻在C点，t＋时刻运动到D点，则位移xD＝－xC，速度vD＝－vC，加速度aD＝－aC。 （2）空间对称性：如图乙所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。 此外，振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。 5．能量特征 简谐运动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。 三、简谐运动的公式和图像 1．表达式 （1）动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。 （2）运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A表示振幅，ω＝＝2πf表示简谐运动的快慢，ωt＋φ0表示简谐运动的相位，φ0叫作初相。 2．简谐运动的图像 （1）如图所示。 （2）物理意义：表示振动质点的位移随时间的变化规律。 （3）图像信息 ①由图像可以看出质点振动的振幅、周期、初相位。 ②可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。 ③可以确定某时刻质点所受的回复力、加速度和速度的方向。 知识点02 简谐运动的两种模型 模型 弹簧振子 单摆 示意图 简谐运 动条件 (1)弹簧质量可忽略 (2)无摩擦等阻力 (3)在弹簧弹性限度内 (1)摆线为不可伸缩的轻质细线 (2)无空气阻力 (3)最大摆角θ<5° 回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直方向的分力 平衡位置 弹簧处于原长处 最低点 周期 与振幅无关 T＝ 能量转化 弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒 重力势能与动能的相互转化，机械能守恒 1．对单摆的理解 （1）回复力：摆球重力沿轨迹切线方向的分力，F回＝－mgsinθ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。 （2）单摆是一个理想化模型，摆角θ<5°时，单摆的周期为T＝2π，与单摆的振幅A、摆球质量m无关，式中的g由单摆所处的位置决定。 2．等效摆长及等效重力加速度 （1）l′——等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。如图甲所示的双线摆的摆长l′＝r＋Lcosα。乙图中小球(可看作质点)在半径为R的光滑圆槽中A点的附近振动，其等效摆长为l′＝R。 （2）g′——等效重力加速度：与单摆所处物理环境有关。 ①在不同星球表面：g′＝，M为星球的质量，R为星球的半径。 ②单摆处于超重或失重状态下的等效重力加速度分别为g′＝g＋a和g′＝g－a，a为超重或失重时单摆系统整体竖直向上或竖直向下的加速度大小。 知识点03 受迫振动和共振 1．振动中的能量损失 （1）阻尼振动：由于实际的振动系统都会受到摩擦力、黏滞力等阻碍作用，振幅必然逐渐减小，这种振动称为阻尼振动。 （2）振动系统能量衰减的方式：①由于受到摩擦阻力的作用，振动系统的机械能逐渐转化为内能；②由于振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量向四周辐射出去。 2．受迫振动 系统在驱动力作用下的振动叫作受迫振动。做受迫振动物体的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)无关。 3.共振曲线 如图所示的共振曲线，表示某振动系统受迫振动的振幅A(纵坐标)随驱动力频率f (横坐标)变化的关系。驱动力的频率f跟振动系统的固有频率f0相差越小，振幅越大；驱动力的频率f等于振动系统的固有频率f0时，振幅最大。 知识点04 机械波及波动图像 一、机械波 1．波的形成和传播 （1）产生条件 ①有波源；②有介质，如空气、水、绳子等。 （2）传播特点 ①传播振动形式、能量和信息；②介质中质点不随波迁移；③介质中各质点振动频率、起振方向都与波源相同。 2．机械波的分类 分类 质点振动方向和波的传播方向的关系 形状 举例 横波 垂直 凹凸相间；有波峰、波谷 绳波等 纵波 在同一条直线上 疏密相间；有密部、疏部 弹簧波、声波等 二、机械波的图像 1．坐标轴：横坐标x表示在波的传播方向上各质点的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移。 2．意义：表示介质中的“各个质点”在“某一时刻”的位移。 3．图像(以简谐波为例) 4．应用 （1）可直接读取振幅A、波长λ，以及该时刻各质点偏离平衡位置的位移。 （2）可确定该时刻各质点加速度的方向，并能比较该时刻不同质点速度或加速度的大小。 （3）可结合波的传播方向确定各质点的振动方向，或结合某个质点的振动方向确定波的传播方向。 三、波速、波长、频率(周期)及其关系 1．波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。 2．波速v：波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定，不同的介质，一般波速不同。 3．频率f：由波源决定，等于波源的“振动频率”；与周期的关系为f＝。 4．波长、波速、频率和周期的关系：v＝fλ＝。 四、机械波的传播特点 1. 波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向相同； 2. 介质中每个质点做的都是受迫振动，所以任一质点的振动频率和周期都与波源相同.因此可以断定：波从一种介质进入另一种介质，由于介质的情况不同，它的波长和波速可能改变，但频率和周期都不会改变. 3. 波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离所以有v＝fλ＝. 4. 质点振动nT(波传播 nλ)时，波形不变； 5. 相隔波长整数倍的两质点，振动状态总相同；相隔半波长奇数倍的两质点，振动状态总相反。 五、波的传播方向与质点的振动方向的判断方法 上下坡法 沿波的传播方向，上坡时质点向下 振动，下坡时质点向上振动 S 同侧法 波形图上某点表示传播方向和振动 方向的箭头在图线同侧 微平移法 将波形图沿传播方向进行微小平移，再由某一位置的两波形曲线上的点来判定 知识点05 波的多解问题 1. 周期性 （1）时间周期性：时间间隔△t 与周期T 的倍数关系不明. （2）空间周期性：传播距离△x 与波长λ的倍数关系不明. 波经△t由质点O传到相距△x的质点A，两质点振动情况始终相同，则△t= nT， △x=nλ 。 2. 双向性 （1）传播方向双向性：无法确定传播方向时，两个方向都要考虑 （2）振动方向双向性：无法确定位移方向或振动方向是要考虑正负两个方向 3. 波形的隐含性 只给出完整波形的一部分，或只给出几个质点的振动情况和质点之间的联系， 而其余信息处于隐含状态，这时波形可能有多种情况. 例：波上恰好处于平衡位置的两质点间只有一个波峰. 知识点06 振动图像和波动图像的综合应用 1．振动图像与波的图像的比较 振动图像 波的图像 图像 物理意义 表示某质点各个时刻的位移 表示某时刻各质点的位移 图像信息 (1)质点振动周期 (2)质点振幅 (3)各时刻质点位移 (4)各时刻速度、加速度方向 (1)波长、振幅 (2)任意一质点在该时刻的位移 (3)任意一质点在该时刻的加速度方向 (4)传播方向、振动方向的互判 图像变化 随时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，图像沿传播方向平移 形象比喻 记录着一个人一段时间内活动的录像带 记录着许多人某时刻动作、表情的集体照片 “一分、一看、二找”巧解波的图像与振动图像综合类问题 知识点07 波的干涉和衍射 多普勒效应 1．波的干涉中振动加强点和减弱点的判断 某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr，稳定干涉中，振动加强区域或振动减弱区域的空间位置是不变的； （1）当两波源振动步调一致时，若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动加强；若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．加强区域中心质点的振幅等于两列波的振幅之和，即：振动变剧烈了； （2）当两波源振动步调相反时，若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2,3，…)，则振动加强；若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．减弱区域中心质点的振幅等于两列波振幅之差，即：振动减弱了。 2．多普勒效应的成因分析 (1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数． (2)波源与观察者如果相互靠近，观察者接收到的频率增大． (3)波源与观察者如果相互远离，观察者接收到的频率减小． (4)波源和观察者如果相对静止，观察者接收到的频率等于波源的频率． 题型1 简谐运动的图像 模｜型｜解｜读 简谐运动的图像问题通常从三个角度考查：一是根据图像确定振动的振幅、周期、初相位等物理量；二是结合图像分析不同时刻质点的位移、回复力、加速度、速度的变化特点；三是根据某一时刻的状态，判断经过一段时间后质点的振动情况。解决这类问题的核心是紧扣简谐运动的周期性、对称性特征，从图像中提取关键信息，结合简谐运动的规律分析。 【典例1】（24-25高一下·辽宁大连·期末）（多选）如左图所示，t=0时刻起，一质点从P点出发做顺时针匀速圆周运动，O为圆心，x轴为垂直于线段OP的一条直径，右图为该质点在x轴上的投影坐标随时间t变化的图像，可证明该运动为简谐运动。Q为圆周上另一点，线段OQ与x轴正方向夹角为30°。由上述及图中条件可知（    ） A．圆的半径为10cm B．质点做圆周运动的角速度大小为4rad/s C．从t=0开始到质点第一次到达Q点的过程中，该质点投影的加速度先减小后增大 D．时，质点运动至Q处 【答案】AD 【详解】A．由图像可知，其对应的振幅等于圆的半径，则有，故A正确； B．由图像可知，周期为，则质点做圆周运动的角速度大小为，故B错误； C．质点做匀速圆周运动，加速度大小保证不变，设质点与圆心连线与轴的夹角为，则该质点投影的加速度为 从t=0开始到质点第一次到达Q点的过程中，从减小为，再增大到，则该质点投影的加速度先增大后减小，故C错误； D．时，质点转过的角度为 可知此时质点运动至Q处，故D正确。 故选AD。 【即时检测1】（24-25高一下·四川巴中·期末）某弹簧振子在竖直方向上做简谐运动，其振动图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．简谐运动的频率0.5Hz B．任意1s内振子经过的路程均为10cm C．从第1s末到第3s末，振子的速度方向不变 D．弹簧振子在第1s末与第3s末的加速度相同 【答案】C 【详解】A．由图可知，振动周期为 则频率为，故A错误； B．振幅，而，振子在最大位移处或者平衡位置处出发，在内经过的路程才等于振幅，其余均不等于，故B错误； C．由图可知，从第1s末到第3s末，振子的速度方向均为负方向，故C正确； D．弹簧振子在第1s末与第3s末的位移大小相同，方向相反，则回复力相反，由牛顿第二定律，可知加速度大小相同，方向相反，故D错误。 故选C。 【即时检测2】（24-25高一下·四川内江·期末）（多选）如图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以点为平衡位置，在两点之间做简谐运动，取向右为正方向，其振动图像如图乙所示。由振动图像可以得知（　　） A．振子的振动周期等于 B．在时刻，振子的位置在点 C．在时刻，振子的加速度为零，速度最大 D．从到，振子从O点向b点运动，加速度为正 【答案】BC 【详解】A．从振动图像可以看出振子的振动周期为2t1，故A错误； B．在t＝0时刻，振子的位移为零，所以振子应该在平衡位置O，故B正确； C．在时刻，振子在平衡位置，位移为零，速度最大，故C正确； D．从到，振子从O点向b点运动，位移为正，回复力为负，加速度为负，故D错误。 故选BC。 题型2 弹簧振子模型 模｜型｜解｜读 弹簧振子模型是简谐运动的基础模型，考查方向主要包括利用简谐运动的规律分析振子的运动过程，结合对称性、周期性计算振子的运动时间、路程、位移，以及分析振子运动过程中能量、回复力、加速度的变化规律。 解决弹簧振子问题的关键：一是确定平衡位置，明确回复力由弹簧弹力的合力提供；二是充分利用简谐运动的周期性和对称性分析运动过程，避免多解遗漏；三是结合机械能守恒分析振子的能量变化，注意水平弹簧振子和竖直弹簧振子的能量转化区别，水平振子是动能和弹簧弹性势能相互转化，竖直振子还要额外考虑重力势能的变化。 【典例2】（2026·河南郑州·一模）如图，两相同小球甲、乙用轻绳连接后悬挂在轻质弹簧下端，整个系统处于静止状态，弹簧的伸长量为。某时刻剪断轻绳，取竖直向上为正方向，重力加速度大小为。下列图中能正确描述此后甲球的加速度随位移变化关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】剪断轻绳前，设弹簧的劲度系数为k，小球质量为m，对甲乙整体，由平衡条件有 剪断轻绳瞬间弹簧弹力不能突变，对小球甲，由牛顿第二定律有 解得 剪断轻绳后小球做简谐运动，根据简谐运动的对称性，可知小球甲在最高点时的加速度为，而小球甲经过简谐运动的平衡位置满足 联立解得 综合可知C选项符合题意。 故选C。 【即时检测1】（24-25高一下·湖北孝感·期末）如图所示，光滑固定的斜面上有一倾斜放置的弹簧，弹簧上端固定，下端连接物体P，其正在做振幅为的简谐运动，当达到最高点时弹簧恰好为原长。当P振动到某个位置时恰好断开为质量相等的两部分A、B，B掉下斜面，此后A继续做简谐运动。则下列说法中正确的是（　　） A．无论在什么地方断开，此后A振动的振幅一定增大 B．如果在平衡位置处断开，此后A能运动到原来的最低点 C．如果在最低点处断开，此后A振动的振幅不变 D．如果在最高点处断开，此后A振动的振幅变为 【答案】D 【详解】A．越是在弹簧短的时候断开，此后A的振幅就越小，故A错误； B．如果在平衡位置处断开，由于振子质量减小，从能量角度分析，假设依然可以到达断开的最低点，则弹簧弹性势能的增加量大于A振子动能和重力势能的减小量（弹簧弹性势能的增加量等于整个物体的动能和重力势能的减小量），则假设错误，经过分析，A到不了原来的最低点，故B错误； C．最低点的位置振子掉下一半时，设振幅为，最低点的位置没有变化，振子在平衡位置时有 则振幅有 故C错误； D．设物体掉下前弹簧的劲度系数为，质量为，振幅为，振子在平衡位置时有 振子到达最低点时，弹簧的形变量为，当物体掉下一半时，振子在平衡位置时有 则 如果在最高点（弹簧原长）处断开，此后A振动的振幅变为，故D正确。 故选D。 【即时检测2】（24-25高一下·江西宜春·期末）（多选）质量均为m的小球A、B由劲度系数为k的轻弹簧连接，小球A由不可伸长的细线悬挂于O点，系统处于静止状态，如图所示，将B竖直下拉长度L后由静止释放，重力加速度为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，以下说法中正确的是（　　） A．A可能会动 B．B的振幅为 C．当且仅当时，B球可以做简谐运动 D．当且仅当时，B球可以做简谐运动 【答案】AC 【详解】B．如果A球不动而B球单独振动则B球做简谐振动，简谐振动的平衡位置合力为零，即B球初始时刻位置，则可知B的振幅为，故B错误； ACD．A球发生运动的临界条件为弹簧对A球向上的弹力等于A球的重力，则此时对A球有 此时对B球有 由简谐振动的对称性可得向下拉到最低点松手释放的加速度也为，即 解得 即当且仅当时，B球可以始终做简谐运动，否则A会发生运动，故AC正确，D错误。 故选AC。 题型3 单摆模型 模｜型｜解｜读 单摆模型的考查主要围绕四个方向展开：一是对单摆做简谐运动条件的理解，周期公式的应用；二是等效单摆问题，计算等效摆长和等效重力加速度，进而求解单摆的周期；三是结合单摆的周期性、对称性分析摆球的运动过程，计算运动时间、路程；四是单摆实验相关的结合考查。 解决单摆问题的核心要点：首先，明确只有摆角小于5°时，单摆才可近似看作简谐运动，周期公式才成立，其周期只与摆长和重力加速度有关，与振幅、摆球质量无关；其次，处理等效单摆问题时，要准确找准等效摆长即摆动圆弧圆心到摆球重心的距离，以及等效重力加速度，不要误将摆线长度当作摆长，也不要忽略超重失重、不同重力环境对等效重力加速度的影响；最后，结合单摆运动的对称性分析运动时间、路程时，要注意单摆运动的周期性，避免漏解。 【典例3】（24-25高一下·湖北·期末）如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置，摆角为θ（θ<5°）。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，最小值为F1、最大值为F2，表图中t=0为摆球从A点开始运动的时刻，重力加速度为g。 (1)求单摆的振动周期T和摆长L（用π、g、t0表示）； (2)求摆球的质量m（用F1、F2、g表示）。 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）根据图甲、图乙可知，从A位置开始，经过到达C，再经过回到A，完成一次周期性振动，故周期 根据单摆的周期公式 解得摆长 （2）当摆球在A点或者C点时，根据平衡条件 当摆球在B点时，根据牛顿第二定律 摆球从A点到B点，根据动能定理 解得 【即时检测1】（24-25高二下·重庆·期中）如图，倾角30°的光滑斜面固定在地面上，现将一长度为l的轻绳一端固定在O'点，另一端系一小球（可视为质点），小球静止在斜面上的O点，现将小球拉开一很小角度θ后由静止释放运动到最低点时的速度为v。已知小球质量m，重力加速度g，不计空气阻力，则小球从最高点第一次运动到最低点的过程中（　　） A．运动时间为 B．小球经过最低点O时加速度为零 C．最低点时重力的瞬时功率为mgv D．减小小球释放角度θ，小球运动的周期将减小 【答案】A 【详解】A．把重力加速度沿斜面向下和垂直斜面方向分解，沿斜面向下的分加速为 摆球在斜面内做单摆运动，所以运动的周期为 则小球从最高点第一次运动到最低点的时间为 故A正确； B．小球运动到O点时受到重力、支持力、拉力作用，做圆周运动，则合外力指向圆心，存在向心加速度，故B错误； C．摆球运动到最低点时，重力与速度方向垂直，所以重力的瞬时功率为零，故C错误； D．根据A选项可得 可知减小小球释放角度θ，小球运动的周期不变，故D错误。 故选A。 【即时检测2】（24-25高一下·河北石家庄·期末）如图甲所示，单摆固定悬点为O，将可看成质点的摆球拉至A点，然后由静止释放，并开始计时，摆球在竖直平面内的A、C之间来回摆动，摆角θ小于5°，B点为运动中的最低位置。摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度g取9.8m/s2，π2≈9.8。下列说法正确的是（　　） A．该单摆摆长约为1m B．摆球受到重力、拉力、向心力、回复力的作用 C．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大 D．在0.5~1s内，摆球从C点向B点运动 【答案】A 【详解】A．根据图乙可知，周期为2s，根据周期公式 解得，故A正确； B．摆球受到重力、拉力两个力的作用。向心力、回复力都是效果力，在实际受力分析中不存在，故B错误； C．最低位置B是单摆做简谐运动的平衡位置，摆球在B点处，速度最大，向心加速度最大，但回复力最小，故C错误； D．从A点刚释放开始计时，根据图乙可知，在的时间内，摆球从B点向C点运动，故D错误。 故选A。 题型4 振动图像与波动图像的结合 模｜型｜解｜读 这类题型是机械振动与机械波部分的高频考点，核心考查对两种图像物理意义的区分与综合应用，题目通常会给出其中一种图像，提取对应质点的振动信息后，再分析另一张图像的相关物理量，比如判断波的传播方向、求解波长波速周期、分析质点振动情况等。 解决这类问题的关键就是做好两类图像的区分，找准解题的突破口：第一步先分清图像类型，看清横坐标是时间t还是平衡位置坐标x，横坐标为t的是振动图像，横坐标为x的是波动图像；第二步从已知图像中提取关键信息，如果已知振动图像，可以直接得到质点振动的周期、振幅，以及指定时刻质点的位移和振动方向，再结合波动图像确定波的传播方向、计算波速；如果已知波动图像，可以得到波长、振幅和该时刻质点的振动方向，再结合振动图像确定周期，进而计算波速，判断波的传播方向；第三步结合波的传播规律和质点振动规律，进一步分析位移、速度、加速度的变化，完成相关计算或判断。 【典例4】（24-25高一下·吉林·期末）一列简谐横波沿轴传播，是波上的两个质点。某时刻开始计时，在时的波形如图甲所示，的振动图像如图乙所示。已知波速，求： (1)平衡位置间的距离； (2)点在内的路程。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图像可知，该机械波的周期为，振幅为 由图乙可知，时的位移为0，且向下振动，根据“同侧法”可知，波沿轴负方向传播，由图像可知，振动比落后，即波从传至需 所以两者平衡位置之间的距离为 （2）的振动方程为 当时，第一次处于波峰，0时刻位移为，则路程为 【即时检测1】（24-25高一下·四川广安·期末）一列简谐横波沿x轴传播，当t=2s时其波形如图甲所示，介质中横坐标为x=2m的质点的振动图像如图乙所示。下列判断中正确的是（　　） A．简谐波沿x轴正方向传播 B．简谐波的波速为1m/s C．这列简谐波遇到大小为12m的狭缝时，将观察到明显的衍射图样 D．这列简谐波传入另一种介质时，其波长不会改变 【答案】B 【详解】A．t=2s时的质中x=2m处质点的振动图像沿y轴负方向，根据同侧法和波形图可知该波沿x轴负方向传播，故A错误； B．由图甲所示波形图可知，波长 由图乙所示质点振动图像可知，周期为 波速为，故B正确； C．由于波长为4m，波长小于障碍物的尺寸12m，则该列波遇到宽度为12m的障碍物时不能发生明显的衍射现象，故C错误； D．这列简谐波传入另一种介质时，波速会发生变化，频率不变，根据 可知波长会改变，故D错误。 故选B。 【即时检测2】（24-25高一下·河南商丘·期末）一列简谐横波在x轴上传播，时刻的波形图如图甲所示，质点B的振动图像如图乙所示，则下列说法中正确的是（　　） A．该简谐横波一定沿x轴正方向传播 B．该简谐横波的波速大小为1m/s C．该波遇到尺寸约为40m的障碍物时会发生明显的衍射现象 D．在时刻，质点A的加速度比质点B的加速度小 【答案】B 【详解】A．根据波形图以及B质点的振动图像不能确定该简谐横波的传播方向，选项A错误； B．该简谐横波的波速大小为，选项B正确； C．因该波的波长为4m，则该波遇到尺寸约为40m的障碍物时不会发生明显的衍射现象，选项C错误； D．在时刻，质点B在平衡位置，质点A在位移最大的位置，可知质点A的加速度比质点B的加速度大，选项D错误。 故选B。 题型5 波的多解问题 模｜型｜解｜读 波的多解问题的核心成因在于波的传播具有周期性和双向性，题目往往不会直接给出传播方向、时间间隔与周期的关系、传播距离与波长的关系，因此很容易出现漏解的情况，常见考查方向包括：求解波速的可能值、确定波形的可能情况、分析周期的多解可能性等。 解决这类问题，首先要明确多解产生的原因，分情况讨论不遗漏：一是波既可以沿x轴正方向传播，也可以沿x轴负方向传播，传播方向不确定时两种情况都要考虑；二是波传播具有时间周期性，经过时间Δt=nT+Δt'，n=0,1,2…，因此经过Δt时间后波形会出现多种可能；三是波传播具有空间周期性，传播距离Δx=nλ+Δx'，n=0,1,2…，同样会带来多解。其次要根据题目给出的限制条件，筛选出符合要求的解，比如题目限定了波速范围、时间范围，就可以据此确定n的取值，得到对应的可能结果，避免多余解或漏解。 【典例5】（24-25高一下·吉林·期末）如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，P、Q为介质中的两个质点，已知两质点平衡位置之间的距离为x=12m，t=0时刻，质点P、Q均已开始振动，P、Q的振动方程分别为、。则下列说法正确的是（　　） A．波长可能为24m B．若波速为4.8m/s，波沿x轴的负方向传播 C．若波速为8m/s，波沿x轴的负方向传播 D．波传播过程中，P、Q两质点可能同时位于各自平衡位置 【答案】B 【详解】A．由题知两质点的相位差为，当t=0时，质点P位于平衡位置向上运动，质点Q处在波峰处 若波沿x轴的正方向传播，则有 解得 若波沿x轴负方向传播，则有 解得 如果波长为24m，代入上述两式得n=−0.25或n=0.25，不符合要求，故波长不可能为24m，故A错误； BC．由振动方程可知角速度为 则波的周期为 若波沿x轴正方向传播，波速为 n=0时v=8m/s 若波沿x轴负方向传播，波速为 n=1时v=4.8m/s，故B正确，C错误； D．由题知两质点的相位差为，所以两质点不可能同时位于各自平衡位置，故D错误。 故选B。 【即时检测1】（24-25高一下·河北石家庄·期末）一列简谐横波沿x轴传播，a、b为x轴上的两质点，其平衡位置相距1m。a、b的振动图像分别如图乙、丙所示。 (1)求质点a在0~2.6s时间内的运动路程； (2)若该波的波长大于0.8m，求波速大小。 【答案】(1)52cm (2)或 【详解】（1）根据振动图像可得周期为，振幅A=4cm 因，故质点a在0~2.6s时间内的运动路程 （2）如果波沿方向传播，则有 解得 因该波的波长大于0.8m，即 解得 故 则波长为 所以波速为 如果波沿方向传播，则有 解得 因该波的波长大于0.8m，即 解得 故 则波长为 所以波速为 【即时检测2】（24-25高一下·重庆·期末）（多选）如图所示，一根张紧的水平长绳上的a、b两点相距6m，b点在a点右方。一列上下振动的简谐波沿此绳向右传播。t=0时，a在最高点，b在平衡位置且向下运动。t=1s时，a在平衡位置且向下运动，b在最低点，则这列简谐波的波速可能等于（　　） A．2m/s B．6m/s C．12m/s D．18m/s 【答案】AD 【详解】由题意，可知a、b两点平衡位置之间的距离满足 t=1s时，a在平衡位置且向下运动，b在最低点，则有 则这列简谐波的波速 可得，当，时，；当，时，；当，时，。 故选AD。 题型6 波的叠加 模｜型｜解｜读 波的叠加问题主要考查两列波相遇过程中的位移、速度叠加规律，以及振动加强点、减弱点的判断，常见类型包括：对波的叠加基本规律的理解判断、结合相干条件分析干涉图样中质点的振动情况、计算两列波传播到某点后质点的位移与振幅等。解决这类问题的核心，首先要明确波的叠加的基本规律：几列波相遇时能够保持各自的运动状态继续传播，互不干扰，在重叠区域内，任一质点的总位移等于各列波单独传播时引起的位移的矢量和。其次，要注意区分波的叠加和波的干涉，干涉是一种特殊稳定的叠加，只有频率相同、相位差恒定、振动方向平行的相干波叠加才会产生稳定的干涉现象。处理具体问题时，若是判断质点振动加强还是减弱，可以根据该质点到两波源的路程差，结合两波源的振动步调分析：振动步调一致的相干波源，路程差为波长整数倍时振动加强，半波长奇数倍时振动减弱，若波源振动步调相反，结论正好相反；计算叠加后质点的振幅、位移时，振动加强点振幅为两列波振幅之和，但位移仍会随时间变化，不是始终为最大值，振动减弱点振幅为两列波振幅之差，不要混淆振幅和位移的概念。 【典例6】（24-25高一下·湖北孝感·期末）（多选）两列简谐横波在x轴上传播、a波沿x轴正向传播，b波沿x轴负向传播，t=0时刻的波形图如图所示，此时刻平衡位置在x=4m和x=8m的质点P、Q刚好开始振动，两列波的波速均为2m/s，质点M、N的平衡位置分别为x=5m和x=6m，下列说法正确的是（　　） A．两列波相遇时刻为1.0s，此时刻质点N不振动 B．P、Q间（不包括P、Q）有2处振动加强点 C．0~2.5s内质点M运动路程为32cm D．两列波振幅不同，故不能发生干涉 【答案】BC 【详解】A．0时刻P、Q两质点刚好开始振动，且振动方向相反，经过时间t两列波在N点相遇，则有 相遇时两列波在N点引起的振动方向相反，根据叠加原理，可知此时刻质点N向上振动，故A错误； B．由题图可知波长 因为PQ间波程差在与之间，由于两列波振动方向相反，故波在处加强，可知P、Q间（不包括P、Q）有2处振动加强点，故B正确； C．周期 a波传播到M点时间 b波传播到M点时间 可知b波传到M时，M已经振动 由B选项分析易知M为振动加强点，故0~2.5s内质点M运动路程，故C正确； D．两列波周期相同，振动方向在同一直线上，有稳定相位差，可以发生干涉，故D错误。 故选BC。 【即时检测1】（24-25高一下·河南商丘·期末）（多选）两列简谐横波分别沿x轴正方向和负方向传播，两波源分别位于和处，两列波的波速均为，波源的振幅分别为1cm和2cm。时刻两列波的图像如图所示，此刻平衡位置在和的P、Q两质点刚开始振动。质点M的平衡位置处于处。下列说法正确的是（　　） A．两列波经1.5s后相遇 B．时刻，质点M的位移为3cm C．0~3.5s内，质点M的路程为4cm D．稳定后，P、Q之间有4个振动减弱点 【答案】AC 【详解】A．设两列波经时间相遇，则有，故A正确； B．两列波的周期均为 由题图可知，在时，两列波在处相遇，根据波形平移法可知，两列波在质点M引起的起振方向相反，其中向左传播的波的起振方向向上，向右传播的波的起振方向向下，可知质点M为振动减弱点，则时刻，质点M起振后经过 质点M的位移为，故B错误； C．0~3.5s内，点M振动的时间为 则质点M的路程为，故C正确； D．把P、Q看成两个振源，起振方向相反，P、Q之间点与P、Q的距离差满足 当P、Q之间点与P、Q的距离差等于波长的整数倍时，该点为振动减弱点，则有，， 可知P、Q之间有3个振动减弱点，故D错误。 故选AC。 【即时检测2】（24-25高一下·四川成都·期末）（多选）如图为甲、乙两列简谐横波在同一绳上传播时t=0时刻的波形图， 甲、乙两列波的波源S1、S2分别位于x1=-0.2m、x2=0.6m处，且两波源同相振动。甲向右传播，乙向左传播。振动在绳中的传播速度v=0.1m/s，质点M位于x=0.2m处，则（　　） A．这两列波不会发生干涉现象 B．M点的振动总是加强 C．从t=0时刻开始，再经过1s时间，M点将位于波峰 D．M点的振动方程为 【答案】BD 【详解】A．两波的波长相等，波速相等，根据，即两波周期或频率相等，这两列波会发生干涉现象，故A错误； B．质点M位于x=0.2m，距离两波源都是刚好一个波长，即波程差为0，且两波源同相振动，即M点的振动总是加强，故B正确； CD．根据波动图像和“上下坡法”，t=0时刻M点的位移为0，振动方向向下，振幅变为两波振幅之和，M点的初相为，根据，可求周期为，角速度为，则M点的振动方程为，再经过1s时间，M点将位于波谷，故C错误，D正确。 故选BD。 基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·吉林·期末）如图是某质点做简谐运动的振动图像。由图像中的信息可知，下列说法正确的是（　　） A．质点离开平衡位置的最大距离为10cm B．1.5s时质点沿x轴正向运动 C．质点在第2s末的位移为20cm D．质点在前2s内运动的路程为10cm 【答案】A 【详解】A．由题可知，该图像为质点做简谐运动的振动图像，其质点离开平衡位置的最大距离由图像可知为10cm，故A项正确； B．由于质点的振动时间图像的斜率为质点的速度，由题图可知，在1.5s时质点的速度方向为负，所以当时，质点运动方向为沿x轴负方向，故B项错误； C．由振动图像可知，质点在第2s末时处于平衡位置，其位移为零，故C项错误； D．根据振动图像可知，质点在2s内运动了半个周期，其运动路程为振幅的2倍，即为20cm，故D项错误。 故选A。 2．（24-25高一下·湖北武汉·期末）装有砂粒的试管竖直静浮于水中，如图（a）所示，将试管提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图（b）所示，则试管（　　） A．上下振动的频率为2.5Hz B．一个周期运动的总路程为2.0cm C．在时曲线斜率最大，加速度最大 D．在时速度最大，方向竖直向上 【答案】A 【详解】A．根据图像(b)可知，周期为0.4s，则频率为Hz，故A正确； B．一个周期运动的总路程为cm，故B错误； C．根据图像可知，时曲线斜率最大，此时速度最大，故C错误； D．根据图像可知，时质点处于负向最大位置处，则此时速度最小，故D错误。 故选A。 3．（24-25高一下·北京海淀·期末）一个单摆在地面附近做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系）如图所示，下列说法正确的是（　　） A．此单摆的固有周期为0.5s B．此单摆的摆长约为0.5m C．若摆长增大，单摆的固有频率减小 D．若摆长增大，共振曲线的峰值将向右移动 【答案】C 【详解】AB．由共振曲线可知，此单摆的固有频率为f=1.0Hz，根据，则此单摆的固有周期为T=1.0s，结合，可求得此单摆的摆长约为，故AB错误； CD．根据，可知若摆长增大，单摆的固有周期变大，则固有频率减小，共振曲线的峰值将向左移动，故C正确，D错误。 故选C。 4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图所示，在一条张紧的绳子上挂3个摆。当C摆振动时，通过张紧的绳子给A、B摆施加驱动力，使A、B摆也振动起来（A、B、C的摆球质量相等），以下说法正确的是（　　） A．A摆的固有周期最大 B．A、B摆振动周期不同 C．A摆比B摆振幅大 D．B摆比A摆振幅大 【答案】D 【详解】A．因C摆的摆长最长，根据可知，C摆的固有周期最大，故A错误； B．A、B摆都做受迫振动，其周期都等于驱动力的周期，即C摆的固有周期，故振动周期相同，故B错误； CD．因A摆和B摆摆长都比C摆的摆长短，且B摆摆长更接近C摆，故B摆的固有周期更接近驱动力的周期（即C摆的固有周期），故B摆比A摆振幅大，故C错误，D正确。 故选D。 5．（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）一列沿轴正方向传播的横波，为振源，某时刻的完整波形如图所示，此时波刚好传到处，点的横坐标为，时刻点起振，则点的振动图像为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由波形图可知处的质点此时刻沿y轴负向振动，可知波源起振方向也沿y轴负向，波传到P点需要的时间为且P点起振方向也沿y轴负向，开始一个周期内振幅较大，以后振幅较小。 故选C。 6．（24-25高一下·四川广元·期末）如图所示是观察水波衍射的实验装置。AC和BD是两块挡板，AB是一个孔，O是波源。图中已画出波源所在区域波的传播情况，每两条相邻波纹（图中曲线）之间的距离表示一个波长，则关于波经过孔之后的传播情况，下列描述正确的是（　　） A．图中孔AB的尺寸太大，不能观察到水波的衍射现象 B．如果将孔AB扩大，有可能观察不到明显的衍射现象 C．挡板前相邻两波纹间的距离小于挡板后相邻两波纹间的距离 D．如果孔的大小不变，使波源频率增大，能观察到更明显的衍射现象 【答案】B 【详解】A．图中孔的尺寸与波长差不多，能观察到波明显的衍射现象，故A错误； B．孔的尺寸比波长小或与波长差不多才能观察到明显的衍射现象，图中孔的尺寸与波长差不多，如果将孔AB扩大，有可能观察不到明显的衍射现象，故B正确； C．因波的传播速度不变，频率不变，故波长不变，即挡板前后波纹间距离应相等，故C错误； D．波速由介质决定，故波速不变，由可知，若使波源频率增大，则波长变小，如果孔的大小不变，则衍射现象变得更加不明显，故D错误。 故选B。 重难突破练（测试时间：15分钟） 7．（24-25高二下·吉林长春·月考）（多选）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。将摆球拉到A点从静止释放，摆球将在竖直面内的A、C之间做简谐运动，其中B点为运动中的最低位置。乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t=0为摆球从A点开始运动时的（g取10m/s2）。下列说法中正确的是（　　） A．单摆的摆长为0.1m B．小球的质量为0.10kg C．小球在最低点的速度大约为0.283m/s D．小球运动到B点时回复力为0 【答案】CD 【详解】A．根据图像可知单摆周期为 根据周期公式 解得 故A错误； BC．小球在最高点时 小球在最低点时 从最高点到最低点根据机械能守恒定律 解得， 故B错误，C正确； D．小球运动的到B点时合外力垂直速度方向，速度最大，回复力为0，故D正确。 故选CD。 8．（2024·山东淄博·一模）（多选）2024年我国将加速稳步推进载人登月，未来中国航天员将登上月球。试想航天员用同一装置对同一单摆分别在地球和月球上做受迫振动实验，得到如图所示的共振曲线，共振频率为、。将月球视为密度均匀、半径为r的球体，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，不考虑星球自转的影响。下列说法正确的是（　　） A．该单摆在月球上的共振频率为 B．月球表面的重力加速度 C．月球的质量 D．月球的密度 【答案】BD 【详解】AB．根据单摆周期公式可得 可得 由于月球的重力加速度小于地球的重力加速度，所以该单摆在月球上的共振频率为；设月球表面的重力加速度为，则有 ， 可得月球表面的重力加速度为 故A错误，B正确； CD．物体在月球表面上，有 解得月球质量为 根据 可得月球的密度为 故C错误，D正确。 故选BD。 9．（2024·山东日照·二模）（多选）如图所示为一列沿x轴方向传播的简谐横波，A为时刻的波形图，B为时的波形图。已知该简谐横波的周期大于0.1s，下列说法正确的是（　　） A．该简谐横波沿x轴正方向传播 B．该简谐横波的周期可能为0.24s C．该简谐横波的传播速度可能为25m/s D．时，在处的质点在最大位移处 【答案】CD 【详解】ABC．由图像可知该简谐波波长为 当该简谐波沿x轴正方向传播时 （n=0，1，2，3…） 解得 （n=0，1，2，3…） 因为该简谐横波的周期大于0.1s，所以时 符合题意。此时波速为 当该简谐波沿x轴负方向传播时 （n=0，1，2，3…） 解得 （n=0，1，2，3…） 因为该简谐横波的周期大于0.1s，所以时 符合题意。此时波速为 故AB错误，C正确； D．若该简谐波沿x轴正方向传播，，则 故在处的质点此时在最大位移处。若该简谐波沿x轴负方向传播，，则 故在处的质点此时在最大位移处。故D正确。 故选CD。 10．（24-25高一下·吉林长春·期末）（多选）一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t0时刻的波形如图所示，此时波刚好传播到B点，B点的平衡位置为xB15m，波上的质点A的平衡位置为。时质点A（t0时刻后）第一次出现在波峰位置，则下列说法正确的是（　　） A． t0时刻，质点A的振动方向沿y轴负方向 B．该列波的传播速度为8m/s C．质点A的振动方程为 D． t0时刻后，质点A和质点B第三次位移相同的时刻为 【答案】BCD 【详解】A．由于波沿x轴正方向传播，根据同侧法，质点A的振动方向沿y轴正方向，A错误； B．波上的质点A的平衡位置为 时质点A（t=0时刻后）第一次出现在波峰位置，可知 解得 故，故B正确； C． 结合图像知质点A的振动方程为，故C正确； D．质点B的振动方程为，质点A和质点B第一次位移相同的时刻为 每隔半周期位移又一次相同，所以质点A和质点B第三次位移相同的时刻为，故D正确。 故选BCD。 11．（24-25高三上·河南·月考）（多选）如图甲所示，一列水波由A 向B 传播，A、B两质点的平衡位置相距3m ，A 质点的振动图像如图乙中的实线所示，B质点的振动图像如图乙中的虚线所示。下列说法正确的是（　　） A．10 s内 A 质点通过的路程一定为 20cm B．t=18.5s 时，B 质点的位移为 cm C．该波的波长可能为0.8 m D．该波的波速可能为1.8 m/s 【答案】AC 【详解】A．由图知，周期为，则 A 质点通过的路程，故A正确； B．由题知，，由图可知，B 质点的位移为 cm，故B错误； C．A、B两质点的平衡位置相距3m ，由图可知 当时，，故C正确； D．由，可得，代入，可知n不为整数，故D错误。 故选AC。 12．（23-24高一下·湖北武汉·期末）（多选）同种介质中，分别沿轴正方向和负方向传播的两简谐横波，振幅均为，时刻波刚好传到、两点，如图1所示。、、、在轴上的坐标分别为：、、、。平衡位置在处的质点振动图像如图2所示。下列说法正确的是（　　） A．时刻质点、振动方向均沿轴负方向 B．在到内，质点通过的路程为 C．后，轴上范围内，共有7个振动加强点7个振动减弱点 D．后，轴上范围内，关于对称的任意两点位移总是相同 【答案】AD 【详解】A．根据题意，两简谐横波分别沿轴正方向和负方向传播，根据“同侧法”可知，时，质点、振动方向均沿轴负方向，故A正确； B．在到内，由图2可知周期4s，则波速为 左侧波距质点的距离均为2m，经时间 传到质点的位置，再向下振动一个周期，运动路程时，右侧波距质点的距离为6m，刚好经时间 传到质点的位置，再同时向下振动半个周期，振动步调相同，为振动加强点，根据波的点叠加原理知，质点又通过路程为 故在到内，质点通过的路程为，故B错误； C．后，轴上范围内，波源连线上，相邻加强点相差半个波长，因此，连线上加强点的坐标，从左向右依次为2m、4m、6m、8m、10m、12m、14m，共7个，相邻加强点和减弱点相差四分之一个波长，因此，连线上减弱点的坐标，从左向右依次为1m、3m、5m、7m、9m、11m、13m、15m，共8个，故C错误； D．根据题意分析知，两波源同时向下起振，振动步调相同，左右侧波距N点距离均为4m，距N点左右侧距离处的质点，两列波传到的时间差相同，为 根据波的叠加原理知，关于对称的任意两点位移总是相同，故D正确。 故选AD。 综合拓展练（测试时间：20分钟） 13．（24-25高一下·四川广元·期末）某同学用如图（a）所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。 (1)实验中下列物体最适合作摆球的是（　　） A．乒乓球 B．实心小塑料球 C．实心小铁球 (2)选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在固定装置的横杆上，为了提高实验的精度，悬线应采用图___________（选填“b”“c”或“d”）所示的连接方式； (3)用手机作为计时器（计时格式为：分：秒：毫秒），正确操作实验，单摆稳定摆动且摆球从左边通过最低位置时开始计数1，当摆球第21次从左边通过最低位置时结束计时，计时截图如图（e）所示。则该单摆的周期为T=___________s（计算结果保留2位有效数字）。 (4)由于当时无游标卡尺可用，无法测量摆球的直径d，实验中将摆线长作为摆长l，测得多组周期T和l的数据，作出T2-l图像，如图（f）所示： ①实验得到的T2-l图像应该是___________（选填“a”“b”或“c”）； ②实验测得当地重力加速度g=___________m/s2（计算结果取3位有效数字）。 【答案】(1)C (2)d (3)1.0 (4) a 9.86/9.87 【详解】（1）为减小空气阻力对实验的影响，摆球应选质量大、体积小的，所以最适合作摆球的是实心小铁球。 故选C。 （2）为提高实验精度，悬线长度应保持不变，d图的连接方式能保证悬线长度不变，所以悬线应采用图d所示的连接方式。 （3）单摆的周期为 （4）[1]根据 解得 可知图象为a。 [2]因为 图像斜率 解得 14．（24-25高一下·重庆·期末）如图，质量均为m的物块a、b与劲度系数为k的轻弹簧固定拴接，竖直静止在水平地面上。质量为2m的物块c从a正上方某处由静止释放，与a碰撞后立即粘在一起，碰撞时间极短，之后的运动过程中物块b恰好没有脱离地面。忽略空气阻力，轻弹簧足够长且始终在弹性限度内，重力加速度为g。 (1)物块c与a碰撞刚结束时的速度大小； (2)从释放物块c到c与a刚要碰撞，c所受重力的冲量大小； (3)若物块c与a碰撞后一起做简谐运动的周期为T，则c与a碰撞后经过多久到达最高点。 【答案】(1) (2) (3)（n∈N） 【详解】（1）碰撞前弹簧压缩量 碰撞后ac到最高点时，弹簧拉伸量 从碰撞结束到ac到最高点， ac上升高度 ac碰后的共同速度为，由系统机械能守恒有 解得 （2）规定向下为正方向，设c所受重力的冲量为I，对c，由动量定理有 对ac碰撞，由动量守恒有 联立解得 （3）c与a碰撞后一起做简谐运动，处在平衡位置时弹簧压缩量 则振幅 碰后初始位置位移 则碰后到最高点时间（n∈N） 15．（23-24高一下·北京·期末）轴上的波源、分别位于和处，时刻两波源同时开始振动，产生的两列简谐横波沿、连线相向传播，时两列波的图像如图所示。假设波源的振动情况始终不变，不考虑波源之间的相互影响。求： (1)两列波传播速度的大小； (2)请问平衡位置位于处的质点（图中未画出）是否能有位移为的时刻，如果有请给出一个此质点位移为的时刻，如果没有请说明理由。 (3)若质点的平衡位置位于处，请求出质点从开始振动到时运动的总路程； 【答案】(1) (2)没有，见解析 (3) 【详解】（1）由题图可知，两列波传播速度的大小均为 （2）由题图可知，两列波的波长均为，则周期均为 根据波形平移法可知，两列波引起质点的起振方向均向上； 处与两波源的距离差为 由于距离差不等于波长的整数倍，所以处不是振动加强点，而位移为等于两波的振幅之和，只有振动加强点才存在位移为，所以平衡位置位于处的质点没有位移为的时刻。 （3）波源的振动传到处所用时间为 波源的振动传到处所用时间为 处与两波源的距离差为 可知两波叠加后处为振动加强点；则在内，质点不振动；在内，只有波源引起质点振动，振动了1个周期，则通过的路程为 在内，两波源共同引起质点振动，振动的时间为 则该段时间内通过的路程为 故质点从开始振动到时运动的总路程为 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 机械振动和机械波（期末复习讲义） 目录 【考情透视·目标导航】 2 【知识梳理·方法技巧】 2 知识点01 简谐运动的特征 2 知识点02 简谐运动的两种模型 4 知识点03 受迫振动和共振 5 知识点04 机械波及波动图像 6 知识点05 波的多解问题 7 知识点06 振动图像和波动图像的综合应用 8 知识点07 波的干涉和衍射 多普勒效应 9 【典例引领·即时检测】 10 题型1 简谐运动的图像 10 题型2 弹簧振子模型 10 题型3 单摆模型 12 题型4 振动图像与波动图像的结合 16 题型5 波的多解问题 19 题型6 波的叠加 21 【考场练兵·分层实战】 26 基础通关练（测试时间：10分钟） 26 重难突破练（测试时间：15分钟） 30 综合拓展练（测试时间：20分钟） 37 1. 分值占比 本专题是高中波动体系的奠基内容，贯穿振动、波动、光学波动原理，属于高考必考、期末重难点板块，期末总分占比 15～24分。图像分析、单摆实验、波的多解问题、干涉衍射辨析为高频拉分点，知识点细碎、模型固定、逻辑性强，是冲刺高分必须满分吃透的专题。 2. 核心考查方向 （1）基础层：机械振动、简谐运动本质、回复力属性、振幅/周期/频率物理意义、全振动概念 （2）中层：简谐运动四参量动态变化规律、机械能变化、单摆模型原理与实验、周期公式应用 （3）拔高层：机械波形成机制、传播本质、波速波长周期决定关系、振动图像与波动图像精准辨析 （4）压轴层：波形质点振动方向判断、波的双向性与周期性多解问题、波的干涉衍射、多普勒效应综合辨析 3. 命题特点 命题主打“图像分析+规律辨析+多解计算+现象识记”。振动侧重动态规律判断，波动侧重图像解读与多解计算，实验固定考查单摆测重力加速度，选择填空高频考查波的特有现象，题型套路极度固定，吃透模型零难度得分。 4. 高频易错盲区（全册最全汇总） （1）混淆必修、选必教材归属，记错知识点体系； （2）分不清振动、波动图像横纵坐标，误判物理过程； （3）误解简谐运动变化规律，认为速度、加速度同步变化； （4）忽略单摆小角度条件、等效摆长易错、周期影响因素记混； （5）记错波速、频率、波长决定因素，误以为波速随频率改变； （6）波的多解遗漏双向传播、周期性，导致答案不全； （7）干涉、衍射条件混淆，分不清“一切波都衍射、干涉需条件”； （8）多普勒效应误认为波源频率变化，实际仅接收频率变化； （9）误认为介质质点随波迁移，混淆振动形式与质点运动。 必备知识 知识点01 简谐运动的特征 一、简谐运动 1．简谐运动的概念 如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。 2．平衡位置 振动物体原来静止时的位置。 3．回复力 （1）定义：使振动物体在平衡位置附近做往复运动的力。 （2）方向：总是指向平衡位置。 （3）来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。 4．描述简谐运动的物理量 物理量 定义 意义 位移 由平衡位置指向物体所在位置的有向线段 描述物体振动中某时刻的位置相对于平衡位置的位移 振幅 振动物体离开平衡位置的最大距离 描述振动的强弱和能量 周期 振动物体完成一次全振动所需要的时间 描述振动的快慢，两者互为倒数：T＝ 频率 振动物体完成全振动的次数与所用时间之比 相位 ωt＋φ0 描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态 二、简谐运动的特征 1．动力学特征 F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。 2．运动学特征 做简谐运动的物体加速度与物体偏离平衡位置的位移大小成正比而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。 3．周期性特征 相隔nT(n为正整数)的两个时刻，物体处于同一位置且振动状态相同。 4．对称性特征 （1）时间对称性：相隔或(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等、方向相反。如图甲所示： O为平衡位置，A、B为振子偏离平衡位置最大位移处，振子t时刻在C点，t＋时刻运动到D点，则位移xD＝－xC，速度vD＝－vC，加速度aD＝－aC。 （2）空间对称性：如图乙所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。 此外，振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。 5．能量特征 简谐运动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。 三、简谐运动的公式和图像 1．表达式 （1）动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。 （2）运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A表示振幅，ω＝＝2πf表示简谐运动的快慢，ωt＋φ0表示简谐运动的相位，φ0叫作初相。 2．简谐运动的图像 （1）如图所示。 （2）物理意义：表示振动质点的位移随时间的变化规律。 （3）图像信息 ①由图像可以看出质点振动的振幅、周期、初相位。 ②可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。 ③可以确定某时刻质点所受的回复力、加速度和速度的方向。 知识点02 简谐运动的两种模型 模型 弹簧振子 单摆 示意图 简谐运 动条件 (1)弹簧质量可忽略 (2)无摩擦等阻力 (3)在弹簧弹性限度内 (1)摆线为不可伸缩的轻质细线 (2)无空气阻力 (3)最大摆角θ<5° 回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直方向的分力 平衡位置 弹簧处于原长处 最低点 周期 与振幅无关 T＝ 能量转化 弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒 重力势能与动能的相互转化，机械能守恒 1．对单摆的理解 （1）回复力：摆球重力沿轨迹切线方向的分力，F回＝－mgsinθ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。 （2）单摆是一个理想化模型，摆角θ<5°时，单摆的周期为T＝2π，与单摆的振幅A、摆球质量m无关，式中的g由单摆所处的位置决定。 2．等效摆长及等效重力加速度 （1）l′——等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。如图甲所示的双线摆的摆长l′＝r＋Lcosα。乙图中小球(可看作质点)在半径为R的光滑圆槽中A点的附近振动，其等效摆长为l′＝R。 （2）g′——等效重力加速度：与单摆所处物理环境有关。 ①在不同星球表面：g′＝，M为星球的质量，R为星球的半径。 ②单摆处于超重或失重状态下的等效重力加速度分别为g′＝g＋a和g′＝g－a，a为超重或失重时单摆系统整体竖直向上或竖直向下的加速度大小。 知识点03 受迫振动和共振 1．振动中的能量损失 （1）阻尼振动：由于实际的振动系统都会受到摩擦力、黏滞力等阻碍作用，振幅必然逐渐减小，这种振动称为阻尼振动。 （2）振动系统能量衰减的方式：①由于受到摩擦阻力的作用，振动系统的机械能逐渐转化为内能；②由于振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量向四周辐射出去。 2．受迫振动 系统在驱动力作用下的振动叫作受迫振动。做受迫振动物体的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)无关。 3.共振曲线 如图所示的共振曲线，表示某振动系统受迫振动的振幅A(纵坐标)随驱动力频率f (横坐标)变化的关系。驱动力的频率f跟振动系统的固有频率f0相差越小，振幅越大；驱动力的频率f等于振动系统的固有频率f0时，振幅最大。 知识点04 机械波及波动图像 一、机械波 1．波的形成和传播 （1）产生条件 ①有波源；②有介质，如空气、水、绳子等。 （2）传播特点 ①传播振动形式、能量和信息；②介质中质点不随波迁移；③介质中各质点振动频率、起振方向都与波源相同。 2．机械波的分类 分类 质点振动方向和波的传播方向的关系 形状 举例 横波 垂直 凹凸相间；有波峰、波谷 绳波等 纵波 在同一条直线上 疏密相间；有密部、疏部 弹簧波、声波等 二、机械波的图像 1．坐标轴：横坐标x表示在波的传播方向上各质点的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移。 2．意义：表示介质中的“各个质点”在“某一时刻”的位移。 3．图像(以简谐波为例) 4．应用 （1）可直接读取振幅A、波长λ，以及该时刻各质点偏离平衡位置的位移。 （2）可确定该时刻各质点加速度的方向，并能比较该时刻不同质点速度或加速度的大小。 （3）可结合波的传播方向确定各质点的振动方向，或结合某个质点的振动方向确定波的传播方向。 三、波速、波长、频率(周期)及其关系 1．波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。 2．波速v：波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定，不同的介质，一般波速不同。 3．频率f：由波源决定，等于波源的“振动频率”；与周期的关系为f＝。 4．波长、波速、频率和周期的关系：v＝fλ＝。 四、机械波的传播特点 1. 波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向相同； 2. 介质中每个质点做的都是受迫振动，所以任一质点的振动频率和周期都与波源相同.因此可以断定：波从一种介质进入另一种介质，由于介质的情况不同，它的波长和波速可能改变，但频率和周期都不会改变. 3. 波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离所以有v＝fλ＝. 4. 质点振动nT(波传播 nλ)时，波形不变； 5. 相隔波长整数倍的两质点，振动状态总相同；相隔半波长奇数倍的两质点，振动状态总相反。 五、波的传播方向与质点的振动方向的判断方法 上下坡法 沿波的传播方向，上坡时质点向下 振动，下坡时质点向上振动 S 同侧法 波形图上某点表示传播方向和振动 方向的箭头在图线同侧 微平移法 将波形图沿传播方向进行微小平移，再由某一位置的两波形曲线上的点来判定 知识点05 波的多解问题 1. 周期性 （1）时间周期性：时间间隔△t 与周期T 的倍数关系不明. （2）空间周期性：传播距离△x 与波长λ的倍数关系不明. 波经△t由质点O传到相距△x的质点A，两质点振动情况始终相同，则△t= nT， △x=nλ 。 2. 双向性 （1）传播方向双向性：无法确定传播方向时，两个方向都要考虑 （2）振动方向双向性：无法确定位移方向或振动方向是要考虑正负两个方向 3. 波形的隐含性 只给出完整波形的一部分，或只给出几个质点的振动情况和质点之间的联系， 而其余信息处于隐含状态，这时波形可能有多种情况. 例：波上恰好处于平衡位置的两质点间只有一个波峰. 知识点06 振动图像和波动图像的综合应用 1．振动图像与波的图像的比较 振动图像 波的图像 图像 物理意义 表示某质点各个时刻的位移 表示某时刻各质点的位移 图像信息 (1)质点振动周期 (2)质点振幅 (3)各时刻质点位移 (4)各时刻速度、加速度方向 (1)波长、振幅 (2)任意一质点在该时刻的位移 (3)任意一质点在该时刻的加速度方向 (4)传播方向、振动方向的互判 图像变化 随时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，图像沿传播方向平移 形象比喻 记录着一个人一段时间内活动的录像带 记录着许多人某时刻动作、表情的集体照片 “一分、一看、二找”巧解波的图像与振动图像综合类问题 知识点07 波的干涉和衍射 多普勒效应 1．波的干涉中振动加强点和减弱点的判断 某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr，稳定干涉中，振动加强区域或振动减弱区域的空间位置是不变的； （1）当两波源振动步调一致时，若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动加强；若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．加强区域中心质点的振幅等于两列波的振幅之和，即：振动变剧烈了； （2）当两波源振动步调相反时，若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2,3，…)，则振动加强；若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．减弱区域中心质点的振幅等于两列波振幅之差，即：振动减弱了。 2．多普勒效应的成因分析 (1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数． (2)波源与观察者如果相互靠近，观察者接收到的频率增大． (3)波源与观察者如果相互远离，观察者接收到的频率减小． (4)波源和观察者如果相对静止，观察者接收到的频率等于波源的频率． 题型1 简谐运动的图像 模｜型｜解｜读 简谐运动的图像问题通常从三个角度考查：一是根据图像确定振动的振幅、周期、初相位等物理量；二是结合图像分析不同时刻质点的位移、回复力、加速度、速度的变化特点；三是根据某一时刻的状态，判断经过一段时间后质点的振动情况。解决这类问题的核心是紧扣简谐运动的周期性、对称性特征，从图像中提取关键信息，结合简谐运动的规律分析。 【典例1】（24-25高一下·辽宁大连·期末）（多选）如左图所示，t=0时刻起，一质点从P点出发做顺时针匀速圆周运动，O为圆心，x轴为垂直于线段OP的一条直径，右图为该质点在x轴上的投影坐标随时间t变化的图像，可证明该运动为简谐运动。Q为圆周上另一点，线段OQ与x轴正方向夹角为30°。由上述及图中条件可知（    ） A．圆的半径为10cm B．质点做圆周运动的角速度大小为4rad/s C．从t=0开始到质点第一次到达Q点的过程中，该质点投影的加速度先减小后增大 D．时，质点运动至Q处 【即时检测1】（24-25高一下·四川巴中·期末）某弹簧振子在竖直方向上做简谐运动，其振动图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．简谐运动的频率0.5Hz B．任意1s内振子经过的路程均为10cm C．从第1s末到第3s末，振子的速度方向不变 D．弹簧振子在第1s末与第3s末的加速度相同 【即时检测2】（24-25高一下·四川内江·期末）（多选）如图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以点为平衡位置，在两点之间做简谐运动，取向右为正方向，其振动图像如图乙所示。由振动图像可以得知（　　） A．振子的振动周期等于 B．在时刻，振子的位置在点 C．在时刻，振子的加速度为零，速度最大 D．从到，振子从O点向b点运动，加速度为正 题型2 弹簧振子模型 模｜型｜解｜读 弹簧振子模型是简谐运动的基础模型，考查方向主要包括利用简谐运动的规律分析振子的运动过程，结合对称性、周期性计算振子的运动时间、路程、位移，以及分析振子运动过程中能量、回复力、加速度的变化规律。 解决弹簧振子问题的关键：一是确定平衡位置，明确回复力由弹簧弹力的合力提供；二是充分利用简谐运动的周期性和对称性分析运动过程，避免多解遗漏；三是结合机械能守恒分析振子的能量变化，注意水平弹簧振子和竖直弹簧振子的能量转化区别，水平振子是动能和弹簧弹性势能相互转化，竖直振子还要额外考虑重力势能的变化。 【典例2】（2026·河南郑州·一模）如图，两相同小球甲、乙用轻绳连接后悬挂在轻质弹簧下端，整个系统处于静止状态，弹簧的伸长量为。某时刻剪断轻绳，取竖直向上为正方向，重力加速度大小为。下列图中能正确描述此后甲球的加速度随位移变化关系的是（　　） A． B． C． D． 【即时检测1】（24-25高一下·湖北孝感·期末）如图所示，光滑固定的斜面上有一倾斜放置的弹簧，弹簧上端固定，下端连接物体P，其正在做振幅为的简谐运动，当达到最高点时弹簧恰好为原长。当P振动到某个位置时恰好断开为质量相等的两部分A、B，B掉下斜面，此后A继续做简谐运动。则下列说法中正确的是（　　） A．无论在什么地方断开，此后A振动的振幅一定增大 B．如果在平衡位置处断开，此后A能运动到原来的最低点 C．如果在最低点处断开，此后A振动的振幅不变 D．如果在最高点处断开，此后A振动的振幅变为 【即时检测2】（24-25高一下·江西宜春·期末）（多选）质量均为m的小球A、B由劲度系数为k的轻弹簧连接，小球A由不可伸长的细线悬挂于O点，系统处于静止状态，如图所示，将B竖直下拉长度L后由静止释放，重力加速度为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，以下说法中正确的是（　　） A．A可能会动 B．B的振幅为 C．当且仅当时，B球可以做简谐运动 D．当且仅当时，B球可以做简谐运动 题型3 单摆模型 模｜型｜解｜读 单摆模型的考查主要围绕四个方向展开：一是对单摆做简谐运动条件的理解，周期公式的应用；二是等效单摆问题，计算等效摆长和等效重力加速度，进而求解单摆的周期；三是结合单摆的周期性、对称性分析摆球的运动过程，计算运动时间、路程；四是单摆实验相关的结合考查。 解决单摆问题的核心要点：首先，明确只有摆角小于5°时，单摆才可近似看作简谐运动，周期公式才成立，其周期只与摆长和重力加速度有关，与振幅、摆球质量无关；其次，处理等效单摆问题时，要准确找准等效摆长即摆动圆弧圆心到摆球重心的距离，以及等效重力加速度，不要误将摆线长度当作摆长，也不要忽略超重失重、不同重力环境对等效重力加速度的影响；最后，结合单摆运动的对称性分析运动时间、路程时，要注意单摆运动的周期性，避免漏解。 【典例3】（24-25高一下·湖北·期末）如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置，摆角为θ（θ<5°）。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，最小值为F1、最大值为F2，表图中t=0为摆球从A点开始运动的时刻，重力加速度为g。 (1)求单摆的振动周期T和摆长L（用π、g、t0表示）； (2)求摆球的质量m（用F1、F2、g表示）。 【即时检测1】（24-25高二下·重庆·期中）如图，倾角30°的光滑斜面固定在地面上，现将一长度为l的轻绳一端固定在O'点，另一端系一小球（可视为质点），小球静止在斜面上的O点，现将小球拉开一很小角度θ后由静止释放运动到最低点时的速度为v。已知小球质量m，重力加速度g，不计空气阻力，则小球从最高点第一次运动到最低点的过程中（　　） A．运动时间为 B．小球经过最低点O时加速度为零 C．最低点时重力的瞬时功率为mgv D．减小小球释放角度θ，小球运动的周期将减小 【即时检测2】（24-25高一下·河北石家庄·期末）如图甲所示，单摆固定悬点为O，将可看成质点的摆球拉至A点，然后由静止释放，并开始计时，摆球在竖直平面内的A、C之间来回摆动，摆角θ小于5°，B点为运动中的最低位置。摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度g取9.8m/s2，π2≈9.8。下列说法正确的是（　　） A．该单摆摆长约为1m B．摆球受到重力、拉力、向心力、回复力的作用 C．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大 D．在0.5~1s内，摆球从C点向B点运动 题型4 振动图像与波动图像的结合 模｜型｜解｜读 这类题型是机械振动与机械波部分的高频考点，核心考查对两种图像物理意义的区分与综合应用，题目通常会给出其中一种图像，提取对应质点的振动信息后，再分析另一张图像的相关物理量，比如判断波的传播方向、求解波长波速周期、分析质点振动情况等。 解决这类问题的关键就是做好两类图像的区分，找准解题的突破口：第一步先分清图像类型，看清横坐标是时间t还是平衡位置坐标x，横坐标为t的是振动图像，横坐标为x的是波动图像；第二步从已知图像中提取关键信息，如果已知振动图像，可以直接得到质点振动的周期、振幅，以及指定时刻质点的位移和振动方向，再结合波动图像确定波的传播方向、计算波速；如果已知波动图像，可以得到波长、振幅和该时刻质点的振动方向，再结合振动图像确定周期，进而计算波速，判断波的传播方向；第三步结合波的传播规律和质点振动规律，进一步分析位移、速度、加速度的变化，完成相关计算或判断。 【典例4】（24-25高一下·吉林·期末）一列简谐横波沿轴传播，是波上的两个质点。某时刻开始计时，在时的波形如图甲所示，的振动图像如图乙所示。已知波速，求： (1)平衡位置间的距离； (2)点在内的路程。 【即时检测1】（24-25高一下·四川广安·期末）一列简谐横波沿x轴传播，当t=2s时其波形如图甲所示，介质中横坐标为x=2m的质点的振动图像如图乙所示。下列判断中正确的是（　　） A．简谐波沿x轴正方向传播 B．简谐波的波速为1m/s C．这列简谐波遇到大小为12m的狭缝时，将观察到明显的衍射图样 D．这列简谐波传入另一种介质时，其波长不会改变 【即时检测2】（24-25高一下·河南商丘·期末）一列简谐横波在x轴上传播，时刻的波形图如图甲所示，质点B的振动图像如图乙所示，则下列说法中正确的是（　　） A．该简谐横波一定沿x轴正方向传播 B．该简谐横波的波速大小为1m/s C．该波遇到尺寸约为40m的障碍物时会发生明显的衍射现象 D．在时刻，质点A的加速度比质点B的加速度小 题型5 波的多解问题 模｜型｜解｜读 波的多解问题的核心成因在于波的传播具有周期性和双向性，题目往往不会直接给出传播方向、时间间隔与周期的关系、传播距离与波长的关系，因此很容易出现漏解的情况，常见考查方向包括：求解波速的可能值、确定波形的可能情况、分析周期的多解可能性等。 解决这类问题，首先要明确多解产生的原因，分情况讨论不遗漏：一是波既可以沿x轴正方向传播，也可以沿x轴负方向传播，传播方向不确定时两种情况都要考虑；二是波传播具有时间周期性，经过时间Δt=nT+Δt'，n=0,1,2…，因此经过Δt时间后波形会出现多种可能；三是波传播具有空间周期性，传播距离Δx=nλ+Δx'，n=0,1,2…，同样会带来多解。其次要根据题目给出的限制条件，筛选出符合要求的解，比如题目限定了波速范围、时间范围，就可以据此确定n的取值，得到对应的可能结果，避免多余解或漏解。 【典例5】（24-25高一下·吉林·期末）如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，P、Q为介质中的两个质点，已知两质点平衡位置之间的距离为x=12m，t=0时刻，质点P、Q均已开始振动，P、Q的振动方程分别为、。则下列说法正确的是（　　） A．波长可能为24m B．若波速为4.8m/s，波沿x轴的负方向传播 C．若波速为8m/s，波沿x轴的负方向传播 D．波传播过程中，P、Q两质点可能同时位于各自平衡位置 【即时检测1】（24-25高一下·河北石家庄·期末）一列简谐横波沿x轴传播，a、b为x轴上的两质点，其平衡位置相距1m。a、b的振动图像分别如图乙、丙所示。 (1)求质点a在0~2.6s时间内的运动路程； (2)若该波的波长大于0.8m，求波速大小。 【即时检测2】（24-25高一下·重庆·期末）（多选）如图所示，一根张紧的水平长绳上的a、b两点相距6m，b点在a点右方。一列上下振动的简谐波沿此绳向右传播。t=0时，a在最高点，b在平衡位置且向下运动。t=1s时，a在平衡位置且向下运动，b在最低点，则这列简谐波的波速可能等于（　　） A．2m/s B．6m/s C．12m/s D．18m/s 题型6 波的叠加 模｜型｜解｜读 波的叠加问题主要考查两列波相遇过程中的位移、速度叠加规律，以及振动加强点、减弱点的判断，常见类型包括：对波的叠加基本规律的理解判断、结合相干条件分析干涉图样中质点的振动情况、计算两列波传播到某点后质点的位移与振幅等。解决这类问题的核心，首先要明确波的叠加的基本规律：几列波相遇时能够保持各自的运动状态继续传播，互不干扰，在重叠区域内，任一质点的总位移等于各列波单独传播时引起的位移的矢量和。其次，要注意区分波的叠加和波的干涉，干涉是一种特殊稳定的叠加，只有频率相同、相位差恒定、振动方向平行的相干波叠加才会产生稳定的干涉现象。处理具体问题时，若是判断质点振动加强还是减弱，可以根据该质点到两波源的路程差，结合两波源的振动步调分析：振动步调一致的相干波源，路程差为波长整数倍时振动加强，半波长奇数倍时振动减弱，若波源振动步调相反，结论正好相反；计算叠加后质点的振幅、位移时，振动加强点振幅为两列波振幅之和，但位移仍会随时间变化，不是始终为最大值，振动减弱点振幅为两列波振幅之差，不要混淆振幅和位移的概念。 【典例6】（24-25高一下·湖北孝感·期末）（多选）两列简谐横波在x轴上传播、a波沿x轴正向传播，b波沿x轴负向传播，t=0时刻的波形图如图所示，此时刻平衡位置在x=4m和x=8m的质点P、Q刚好开始振动，两列波的波速均为2m/s，质点M、N的平衡位置分别为x=5m和x=6m，下列说法正确的是（　　） A．两列波相遇时刻为1.0s，此时刻质点N不振动 B．P、Q间（不包括P、Q）有2处振动加强点 C．0~2.5s内质点M运动路程为32cm D．两列波振幅不同，故不能发生干涉 【即时检测1】（24-25高一下·河南商丘·期末）（多选）两列简谐横波分别沿x轴正方向和负方向传播，两波源分别位于和处，两列波的波速均为，波源的振幅分别为1cm和2cm。时刻两列波的图像如图所示，此刻平衡位置在和的P、Q两质点刚开始振动。质点M的平衡位置处于处。下列说法正确的是（　　） A．两列波经1.5s后相遇 B．时刻，质点M的位移为3cm C．0~3.5s内，质点M的路程为4cm D．稳定后，P、Q之间有4个振动减弱点 【即时检测2】（24-25高一下·四川成都·期末）（多选）如图为甲、乙两列简谐横波在同一绳上传播时t=0时刻的波形图， 甲、乙两列波的波源S1、S2分别位于x1=-0.2m、x2=0.6m处，且两波源同相振动。甲向右传播，乙向左传播。振动在绳中的传播速度v=0.1m/s，质点M位于x=0.2m处，则（　　） A．这两列波不会发生干涉现象 B．M点的振动总是加强 C．从t=0时刻开始，再经过1s时间，M点将位于波峰 D．M点的振动方程为 基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·吉林·期末）如图是某质点做简谐运动的振动图像。由图像中的信息可知，下列说法正确的是（　　） A．质点离开平衡位置的最大距离为10cm B．1.5s时质点沿x轴正向运动 C．质点在第2s末的位移为20cm D．质点在前2s内运动的路程为10cm 2．（24-25高一下·湖北武汉·期末）装有砂粒的试管竖直静浮于水中，如图（a）所示，将试管提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图（b）所示，则试管（　　） A．上下振动的频率为2.5Hz B．一个周期运动的总路程为2.0cm C．在时曲线斜率最大，加速度最大 D．在时速度最大，方向竖直向上 3．（24-25高一下·北京海淀·期末）一个单摆在地面附近做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系）如图所示，下列说法正确的是（　　） A．此单摆的固有周期为0.5s B．此单摆的摆长约为0.5m C．若摆长增大，单摆的固有频率减小 D．若摆长增大，共振曲线的峰值将向右移动 4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图所示，在一条张紧的绳子上挂3个摆。当C摆振动时，通过张紧的绳子给A、B摆施加驱动力，使A、B摆也振动起来（A、B、C的摆球质量相等），以下说法正确的是（　　） A．A摆的固有周期最大 B．A、B摆振动周期不同 C．A摆比B摆振幅大 D．B摆比A摆振幅大 5．（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）一列沿轴正方向传播的横波，为振源，某时刻的完整波形如图所示，此时波刚好传到处，点的横坐标为，时刻点起振，则点的振动图像为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·四川广元·期末）如图所示是观察水波衍射的实验装置。AC和BD是两块挡板，AB是一个孔，O是波源。图中已画出波源所在区域波的传播情况，每两条相邻波纹（图中曲线）之间的距离表示一个波长，则关于波经过孔之后的传播情况，下列描述正确的是（　　） A．图中孔AB的尺寸太大，不能观察到水波的衍射现象 B．如果将孔AB扩大，有可能观察不到明显的衍射现象 C．挡板前相邻两波纹间的距离小于挡板后相邻两波纹间的距离 D．如果孔的大小不变，使波源频率增大，能观察到更明显的衍射现象 重难突破练（测试时间：15分钟） 7．（24-25高二下·吉林长春·月考）（多选）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。将摆球拉到A点从静止释放，摆球将在竖直面内的A、C之间做简谐运动，其中B点为运动中的最低位置。乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t=0为摆球从A点开始运动时的（g取10m/s2）。下列说法中正确的是（　　） A．单摆的摆长为0.1m B．小球的质量为0.10kg C．小球在最低点的速度大约为0.283m/s D．小球运动到B点时回复力为0 8．（2024·山东淄博·一模）（多选）2024年我国将加速稳步推进载人登月，未来中国航天员将登上月球。试想航天员用同一装置对同一单摆分别在地球和月球上做受迫振动实验，得到如图所示的共振曲线，共振频率为、。将月球视为密度均匀、半径为r的球体，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，不考虑星球自转的影响。下列说法正确的是（　　） A．该单摆在月球上的共振频率为 B．月球表面的重力加速度 C．月球的质量 D．月球的密度 9．（2024·山东日照·二模）（多选）如图所示为一列沿x轴方向传播的简谐横波，A为时刻的波形图，B为时的波形图。已知该简谐横波的周期大于0.1s，下列说法正确的是（　　） A．该简谐横波沿x轴正方向传播 B．该简谐横波的周期可能为0.24s C．该简谐横波的传播速度可能为25m/s D．时，在处的质点在最大位移处 10．（24-25高一下·吉林长春·期末）（多选）一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t0时刻的波形如图所示，此时波刚好传播到B点，B点的平衡位置为xB15m，波上的质点A的平衡位置为。时质点A（t0时刻后）第一次出现在波峰位置，则下列说法正确的是（　　） A． t0时刻，质点A的振动方向沿y轴负方向 B．该列波的传播速度为8m/s C．质点A的振动方程为 D． t0时刻后，质点A和质点B第三次位移相同的时刻为 11．（24-25高三上·河南·月考）（多选）如图甲所示，一列水波由A 向B 传播，A、B两质点的平衡位置相距3m ，A 质点的振动图像如图乙中的实线所示，B质点的振动图像如图乙中的虚线所示。下列说法正确的是（　　） A．10 s内 A 质点通过的路程一定为 20cm B．t=18.5s 时，B 质点的位移为 cm C．该波的波长可能为0.8 m D．该波的波速可能为1.8 m/s 12．（23-24高一下·湖北武汉·期末）（多选）同种介质中，分别沿轴正方向和负方向传播的两简谐横波，振幅均为，时刻波刚好传到、两点，如图1所示。、、、在轴上的坐标分别为：、、、。平衡位置在处的质点振动图像如图2所示。下列说法正确的是（　　） A．时刻质点、振动方向均沿轴负方向 B．在到内，质点通过的路程为 C．后，轴上范围内，共有7个振动加强点7个振动减弱点 D．后，轴上范围内，关于对称的任意两点位移总是相同 综合拓展练（测试时间：20分钟） 13．（24-25高一下·四川广元·期末）某同学用如图（a）所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。 (1)实验中下列物体最适合作摆球的是（　　） A．乒乓球 B．实心小塑料球 C．实心小铁球 (2)选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在固定装置的横杆上，为了提高实验的精度，悬线应采用图___________（选填“b”“c”或“d”）所示的连接方式； (3)用手机作为计时器（计时格式为：分：秒：毫秒），正确操作实验，单摆稳定摆动且摆球从左边通过最低位置时开始计数1，当摆球第21次从左边通过最低位置时结束计时，计时截图如图（e）所示。则该单摆的周期为T=___________s（计算结果保留2位有效数字）。 (4)由于当时无游标卡尺可用，无法测量摆球的直径d，实验中将摆线长作为摆长l，测得多组周期T和l的数据，作出T2-l图像，如图（f）所示： ①实验得到的T2-l图像应该是___________（选填“a”“b”或“c”）； ②实验测得当地重力加速度g=___________m/s2（计算结果取3位有效数字）。 14．（24-25高一下·重庆·期末）如图，质量均为m的物块a、b与劲度系数为k的轻弹簧固定拴接，竖直静止在水平地面上。质量为2m的物块c从a正上方某处由静止释放，与a碰撞后立即粘在一起，碰撞时间极短，之后的运动过程中物块b恰好没有脱离地面。忽略空气阻力，轻弹簧足够长且始终在弹性限度内，重力加速度为g。 (1)物块c与a碰撞刚结束时的速度大小； (2)从释放物块c到c与a刚要碰撞，c所受重力的冲量大小； (3)若物块c与a碰撞后一起做简谐运动的周期为T，则c与a碰撞后经过多久到达最高点。 15．（23-24高一下·北京·期末）轴上的波源、分别位于和处，时刻两波源同时开始振动，产生的两列简谐横波沿、连线相向传播，时两列波的图像如图所示。假设波源的振动情况始终不变，不考虑波源之间的相互影响。求： (1)两列波传播速度的大小； (2)请问平衡位置位于处的质点（图中未画出）是否能有位移为的时刻，如果有请给出一个此质点位移为的时刻，如果没有请说明理由。 (3)若质点的平衡位置位于处，请求出质点从开始振动到时运动的总路程； 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $