河北省保定市2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟试卷（一）

**基本信息** 高中数学期末试卷涵盖复数、统计、立体几何等模块，通过选择（单选+多选）、填空、解答题梯度设计，融合数学眼光（空间观念）、数学思维（推理能力）、数学语言（数据意识），实现基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数（1,9）、统计（2,6）、立体几何（3,7）|单选考基础（如复数模计算），多选考辨析（如解三角形命题判断）| |填空题|3题15分|概率（13）、立体几何轨迹（14）|开放设问（复数满足条件举例），空间轨迹探究（正方体中点运动）| |解答题|5题77分|向量运算（15）、立体几何体积（16）、解三角形应用（19）、统计分析（18）|情境化设计（数学竞赛成绩统计），实际问题解决（缉私船追截），综合考查逻辑推理与应用意识|

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数 ，其中为虚数单位，则为（   ） A．2 B． C．1 D． 2．某中学进行了该学年期末统一考试，该校为了了解高一年级1 000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩进行统计分析，下面说法正确的是(　　) A．1 000名学生是总体 B．每个学生是个体 C．1 000名学生的成绩是一个个体 D．样本量是100 3.如图，是水平放置的的直观图，，则原的面积为（    ）  A．6 B． C． D．8 4．设是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 5．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知一组数据：中的最小数据为9，且第75百分位数是14，则的不同取值可能有（   ） A．8个 B．6个 C．4个 D．1个 7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(　　) A．8 B．6 C．8 D．8 8．已知点C是单位圆劣弧上一点，，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，则，如图所示.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（ ） A． B．的虚部为 C．z是方程的一个根 D．为纯虚数 10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c则（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．在锐角中，不等式恒成立 D．若，，且有两解，则b的取值范围是 11．若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱的靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，下列结论正确的是（ ） A．点形成的轨迹长度为 B．有且仅有一个点使得 C．四面体的体积取值范围为 D．线段长度最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)满足|z－2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数z＝________． 13．大学生甲、乙两人独立地参加论文答辩，他们的导师根据他们的论文质量估计他们都能过关的概率为，甲过关而乙没过关的概率为(导师不参与自己学生的论文答辩)，则导师估计乙能过关的概率为________． 14．如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知向量，. (1)若，求m的值； (2)若向量，且，求向量，的夹角. 16．(15分) 如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，． (1)求证平面AEF； (2)若，求多面体的体积 17．（15分）已知函数，其中，. (1)若，求函数的单调递增区间和最小值； (2)在中，、、分别是角、、的对边，且. （i）求的值； （ii）若是边上的一点，且，，当取最大值时，求的面积. 18．(17分)“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，特举办数学竞赛活动，在活动中，共有19道题.从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的上四分位数； (2)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 19．（17分）在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间． 学科网（北京）股份有限公司 $ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【答案】B 【解析】由于，故每四个连续的项之和为0， ，则， 由于，故，所以. 2．【答案】　D 3.【答案】A 【解析】由直观图可得如下平面图形， 则，，， 则原的面积为. 4．【答案】C 【解析】对于A，已知，假设与共线，则存在实数，使得， 即，由于与不共线，对应系数必须相等，且，无解， 因此与不共线，可以作为基底，故A错误； 对于B，已知，假设与共线，则存在实数，使得， 即，由于与不共线，对应系数必须相等，且，无解， 因此与不共线，可以作为基底，故B错误； 对于C，已知，因为， 所以与共线，不可以作为基底，故C正确； 对于D，已知，假设与共线，则存在实数，使得， 即，由于与不共线，对应系数必须相等，且，无解， 因此与不共线，可以作为基底，故D错误； 5．【答案】A 【解析】由正弦定理，， 不妨设，，， 则由余弦定理，， 因为，所以． 6．【答案】B 【解析】因为数据中最小数据为，可得且， 将7个数据从小到大排序， 因为，则该组数据的第75百分位数为第6个数据，可得， 所以，则的可能取值有，共6个. 7．【答案】　C 【解析】　连接BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，所以AB⊥BC1，∠AC1B＝30°， 所以△ABC1为直角三角形．又AB＝2，所以BC1＝2.又BC＝2，所以BB1＝＝2， 故该长方体的体积V＝2×2×2＝8. 8．【答案】A 【解析】依题意，，而， 由，得，则， 由，得，因此， 所以的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．【答案】AD 【解析】， 对于A，，故A正确； 对于B，的虚部为，故B错误； 对于C，将代入方程得，， 所以不是方程的一个根，故C错误； 对于D，，为纯虚数，故D正确． 10．【答案】ACD 【解析】选项A，因为，即， 所以有整理可得，所以， 故为等腰三角形，故A正确； 选项B，由大边对大角，，由余弦函数在上单调递减， 故，故B错误； 选项C：若为锐角三角形，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故C正确； 选项D：因为，，如图，因为有两解，所以， ，解得，故D正确； 11．【答案】AC 【解析】A选项，由线面角的定义可知，，即， 故点所在区域为以为圆心，1为半径的圆在正方形内部部分（包含边界），即圆的， 轨迹长度为，A正确； 如图，设点的轨迹与交于点， B选项，不妨点与点重合，此时， 由余弦定理可得：，则， 同理可得：，则， 故不止一个点使得，B错误； C选项，如图，平面，平面，所以， 且，，平面， 所以平面，平面，所以平面平面， 且平面平面， 因为，平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离相等， 如图，当点在点处时，此时点到平面的距离最大，最大距离为， 此时四面体的体积为， 当与点重合时，此时点到平面的距离最小，最小距离为， 因为，所以，所以最小体积为， 故四面体的体积取值范围为，C正确； D选项，当取最小值时，线段长度最小， 由三角形两边之和大于第三边知：当三点共线时，取得最小值， 即，则，D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．【答案】　1＋i(答案不唯一) 【解析】　因为z＝a＋bi，故z－2i＝a＋(b－2)i. 由|z－2i|＝|z|知，＝，化简得b＝1，故只要b＝1，即z＝a＋i(a可为任意实数)均满足题意，可取z＝1＋i. 13．【答案】　 【解析】　设导师估计甲、乙能过关的概率分别为p，q，则解得p＝，q＝. 所以导师估计乙能过关的概率为. 14．【答案】 【解析】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上， 又正方体的棱长为2，所以，则， 故点轨迹长度为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）【解析】（1）因为，， 所以，. 又因为， 所以，解得：或. （2）因为，， 所以，. 又因为，， 所以，解得：， 则. 所以，. 设向量，的夹角为， 由，得 所以向量，的夹角为 16．(15分) 【解析】（1）取AE的中点O，连接OF，OM，由O，M分别为AE，AC的中点， 得，，而，且，则， 且，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面． （2）在棱柱中，取BC中点G，连接AG，则AG为四棱锥的高， 而，四棱锥的体积， 由，得， 三棱柱的体积， 所以多面体的体积为． 17．（15分）【解析】（1）， 由解得， 因为，因此函数f（x）的单调递增区间为， 其最小值为. （2）（i），即，化简可得， 因为，所以， 解得，即， 由正弦定理可得. （ii）由题意可知，，，在与中，由余弦定理可得，， 因为， 所以，化简可得， 在中，由余弦定理可得， 代入可得，即， 设，即，代入可得， 化简可得， 因为，所以关于的方程有正根， 因此，即， 所以，即的最大值为， 代入方程，可得，解得， 所以， 因此. 18．(17分) 【解析】（1）因为频率之和为1，所以， 解得. 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第分位数为，则， 由，得， 所以样本成绩的第分位数为84. 综上，；上四分位数为84. （2）由图可知，成绩在的人数为， 成绩在的人数为， 故这两组成绩的总平均数， 总方差. 综上，总平均数；总方差. 19．（17分）【解析】如图，设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t，BD＝10t， 在△ABC中，由余弦定理，有 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠CAB ＝(－1)2＋22－2(－1)×2cos 120°＝6， ∴BC＝.又∵＝， ∴sin∠ABC＝＝＝， 又∵∠ABC∈(0°，60°)，∴∠ABC＝45°， ∴B点在C点的正东方向上， ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD中，由正弦定理得＝， ∴sin∠BCD＝＝＝. 又∵∠BCD∈(0°，60°)，∴∠BCD＝30°， ∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶． 又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝，∴t＝.∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，所需时间为小时． 学科网（北京）股份有限公司 $