专题02 期末真题百练通关（90题30大热考题型）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材苏科版

**基本信息** 聚焦初中数学期末30大热考题型，以90道真题为载体，系统整合代数运算与几何变换的解题方法，构建“概念-方法-应用”递进逻辑，培养抽象能力、几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数运算|16题型（幂运算、整式乘法等）|配方法、换元法、分类讨论、整体代换|从幂的基本运算到方程与不等式综合应用，形成“运算规则-公式变形-实际建模”链条| |几何变换|14题型（平移、轴对称等）|轴对称最短路径、旋转性质应用、作图规范|从图形性质探究到变换应用，构建“性质理解-作图操作-实际问题解决”逻辑|

专题02 期末真题百练通关（90题30大热考题型） 题型1 幂的运算中求值 题型16 轴对称的实际应用 题型2 幂的运算值为1的分类讨论题 题型17 旋转的性质 题型3 幂的运算中指数关系问题 题型18 旋转作图 题型4 幂的运算中用x表示y型问题 题型19 二元一次方程（组）的基本概念 题型5 单项式乘法及其计算 题型20 二元一次方程（组）的含参问题 题型6 多项式乘法 题型21 解二元一次方程组 题型7 多项式乘法中的化简求值 题型22 二元一次方程组的特殊解法 题型8 多项式乘积的无关型问题 题型23 二元一次方程组的实际应用 题型9 多项式乘法中的规律性计算问题 题型24 不等式 题型10 乘法公式的变形求值 题型25 数轴上表示一元一次不等式的解集 题型11 乘法公式与几何图形的应用 题型26 不等式组的解集 题型12 乘法公式中的配方法 题型27 由不等式组解集的情况求参数 题型13 利用平移的性质解决实际问题 题型28 不等式组和方程组结合的问题 题型14 作图问题（平移、垂线、角平分线） 题型29 一元一次不等式组的实际应用 题型15 轴对称图形的性质 题型30 定义、命题、证明 题型一 幂的运算中求值（共3小题） 1．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）材料阅读题． 【问题背景】如图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业 计算： 解： ． (1)【计算】； (2)【拓展】若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 解得． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）解答下列各题： (1)已知，则的值为_______． (2)如果，求的值 (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂的除法运算得到，进而得到，即可求解； （2）根据幂的乘方和同底数相乘法则，即可求解； （3）根据幂的乘方和积的乘方对所求式子进行变形，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解：， ； （3）解：， ． 3．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）分别求出下列式子的值 (1)已知：，，求： ①； ②． (2)如果，求x的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①先将变形为，再代入求值即可；②先将变形为，再代入求值即可； （2）由变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ②． （2）解： ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：． 题型二 幂的运算值为1的分类讨论题（共3小题） 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知，则k的值为（   ） A．2 B．2或4 C．0或2或4 D．0或4 【答案】D 【分析】根据初中幂运算中结果为1的三种情况分类讨论，分别计算k的值，排除无意义的情况即可得到答案. 【详解】解：由题意分3种情况： ①当时，解得，此时，不符合题意，舍去； ②，解得，此时，原式化为，满足题意； ③，解得，此时，原式化为，满足题意； 综上：或，故D正确. 5．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）使的x的值为______． 【答案】3或2或1 【分析】根据任何非零数的零次幂等于1，1的任何次幂都等于1，的偶次幂等于1进行计算即可． 【详解】解：当即，此时； 当即时，； 当即时，； 综上，x的值为3或2或1． 6．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）我们规定：．完成下列问题： (1)已知，则x的取值范围是 ； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据题意可得，据此可得答案； （2）分三种情况：，，，分别求出对应情况下x的值，结合进行验证即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：当时，则， ∴， ∵， ∴此时满足； 当时，则， ∴， ∵， ∴此时满足； 当时，则， ∴， ∵， ∴此时满足； 综上所述，x的值为或或． 题型三 幂的运算中指数关系问题（共3小题） 7．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的性质，底数相同幂相等时指数相等，即可推导出和的关系． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法法则是解答此题的关键．应用同底数的乘除法，进行熟练变换，即可求出正确答案． 【详解】解：， ，即，故①正确； ， ，故②正确； ，， ，故③正确； ，， ．故④错误． 故答案为：①②③． 9．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如果，则我们规定．如：因为，所以． (1) ；若，则 ； (2)已知，，，若，求y的值． 【答案】(1)4， (2)20 【分析】（1）根据新定义运算的含义可得答案； （2）由新定义可得：，，，再结合，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型四 幂的运算中用x表示y型问题（共3小题） 10．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）若，用x的代数式表示y，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算．熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键． 根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 11．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题； (1)若，求x的值； (2)若，，用含m的代数式表示n； (3)已知，，用含p，q的式子表示 ． 【答案】(1)x的值为3 (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算将变形为再计算即可； （2）由题意得，将变形为，再代入化简即可； （3）根据幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算将变形为，再代入即可． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴x的值为3． （2）解：∵，， ∴， ∴ ， ∴． （3）解：∵，， ∴． 12．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）【中档】若且，m、n是正整数，则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂的乘方逆运算可得：，即可得出，再根据已知，由此可得：，得出，解方程即可得出x的值； （2）将变形为：，即，即可得出，即可得出答案； （3）由，可得，把代入y即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：已知， ∵ ， ∴， 故答案为：． 题型五 单项式乘法及其计算（共3小题） 13．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）设，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂相乘．根据单项式乘单项式和同底数幂乘法，左边相乘后指数相加，再与右边对比指数，列方程求解和． 【详解】解：∵， 又∵右边为， ∴且， 解方程： ∴ 解得， ∴． 故选：A． 14．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为_______ 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是_________ 平方厘米． 【答案】 4 【分析】（1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，进而计算即可； （2）观察图形，②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，②号长方形纸片的长的3倍是①号长方形纸片的长，进而计算即可． 【详解】解：（1）由图知，②号长方形纸片的宽为（厘米）， 故答案为：4； （2）设①长方形纸片的长为a，宽为b，则， 由图知，②长方形纸片的长为，宽为， ∴②号长方形纸片的面积是（平方厘米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的乘法运算的应用，利用图形，正确列出式子是解答的关键． 15．（24-25七年级下·江苏·期末）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 题型六 多项式乘法（共3小题） 16．（24-25八年级上·河南许昌·期末）若，则m的值为（   ）． A． B．4 C． D．10 【答案】B 【分析】本题多项式乘以多项式法则，把展开得，得出，即可得m的值． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 17．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）若关于x的二次三项式则m的值是________． 【答案】7 【分析】根据多项式的乘法法则展开，对比两个结果得到，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 18．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）小刚同学计算一道整式乘法问题：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为． (1)求的值； (2)写出这道整式乘法问题的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，把等式左边展开得到关于a、b的方程，解方程即可得到答案； （2）根据（1）所求结合多项式乘以多项式的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得 ． 题型七 多项式乘法中的化简求值（共3小题） 19．（24-25七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先利用多项式乘多项式法则化简得到，将代入计算即可． 【详解】解：， ， 原式． 20．（24-25八年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再根据，求出，，最后将，的值代入化简后的式子即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴原式 ． 21．（25-26七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中x、y满足． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算的化简求值，幂的乘方的逆运算法则，同底数幂的除法及负整数幂的逆运算法则，解题的关键是熟悉多项式的运算法则．根据完全平方公式，平方差公式及多项式的除法则运算化简，再利用幂的乘方的逆运算法则，同底数幂的除法及负整数幂的逆运算法则求出整体代入即可求解． 【详解】解：原式 ， ，即， ， 当时，原式． 题型八 多项式乘积的无关型问题（共3小题） 22．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）要使的计算结果中不含的一次项，则，之间的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含的一次项，即含的一次项的系数为进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∵计算结果中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：． 23．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若去括号后不含x的一次项，则m的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了多项式乘法结果中不含某项问题，根据去括号后不含x的一次项，可知去括号、合并同类项后，含x的一次项的系数为，据此即可求得m的值． 【详解】解：， ∵不含x的一次项， ∴， 解得， 故答案为：1． 24．（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）先计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 故答案为：． （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，． 题型九 多项式乘法中的规律性计算问题（共3小题） 25．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】先根据已知等式总结规律，化简所求算式，再找出个位数字的循环规律，即可计算出结果的个位数字． 【详解】解：观察已知等式可得规律： ， 变形得 ， 令，，则： ， ∵的个位数字依次为，每次为一个循环， ， ∴的个位数字与的个位数字相同，为， ∴的个位数字为， 即所求算式的个位数字为． 26．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据规律，写出的展开式中含项的系数是______． 【答案】 【分析】根据题意展开，再把，代入计算即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， 令，代入得， ∴含项为， ∴的展开式中含项的系数是． 27．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）《详解九章算法》一书中给出的杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，此图揭示了（n为正整数）展开式的项数及各项系数的规律．请利用杨辉三角解决以下问题： (1)依次类推，写出______； (2)的展开式中一共有______项，各项系数之和为______； (3)的展开式中从左往右数第四项为______，x的三次项系数为______； (4)当代数式的值为1时，则的值为______． 【答案】(1) (2)2027， (3)；0 (4)0或 【分析】（1）根据杨辉三角的规律，的展开式系数对应杨辉三角第行的数字， 则当时，对应杨辉三角第6行数字1，5，10，10，5，1，即可解答； （2）观察杨辉三角可知，的展开式项数为，所以的展开式项数为，令，，得到，即可解答； （3）根据杨辉三角第7行的系数分别为1，6，15，20，15，6，1，得到 ，据此解答即可； （4）先对代数式变形为，令，则，分类讨论：①当时，②当时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：根据杨辉三角的规律，的展开式系数对应杨辉三角第行的数字， 则当时，对应杨辉三角第6行数字1，5，10，10，5，1， ∴； （2）解：观察杨辉三角可知，的展开式项数为，所以的展开式项数为； 令，，则 此值就是展开式各项系数之和， ∴各项系数之和为． （3）解：∵杨辉三角第7行的系数分别为：1，6，15，20，15，6，1， ∴ ， ， 从左往右数第四项为， 化简各项后，x的指数依次为：，没有指数为3的项，因此的三次项的系数为0． （4）解：先对代数式变形： 令，则 ： ①当时，， 解得， 则 ②当时，， 解得， 则 ∴的值为或． 题型十 乘法公式的变形求值（共3小题） 28．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件变形得到对应式子的值，然后根据多项式乘多项式的运算法则展开所求代数式，最后利用整体代入法计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 即的值为． 29．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）若x满足，则的值为_______． 【答案】80 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，先利用偶次方的性质得到，再通过换元法设，，得到与的值，再利用完全平方公式的变形计算求解． 【详解】解：由偶次方的性质可知 设， 30．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）按要求完成下列计算： (1)已知：，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)7 (2)16 【分析】（1）利用完全平方公式的变形求解； （2）令，则，，代入原式求出，即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：令，则，， ， ， ， 解得， ． 题型十一 乘法公式与几何图形的应用（共3小题） 31．（25-26八年级上·重庆长寿·期末）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2） (1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的结论，若，，则______； (3)拓展应用：若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数式表示可得出答案； （2）由（1）可得出，据此即可得出答案； （3）根据完全平方公式得出，再代入，据此即可得出答案． 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，内部小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为， 由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和， 即． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴． ∴． 故答案为：； （3）解：∵ ， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查整式的化简求值、完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解题的关键． 32．（25-26七年级下·贵州·期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式 (a+b)2，(a-b)2，ab之间的等量关系为 ． (2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn=-3，m-n=4，试求(m+n)2的值． (3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB=8，两正方形的面积和S1+S2=38，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)(a+b) 2=(a-b)2+4ab (2)2或-2 (3) 【分析】（1）利用等面积法，大正方形面积等于阴影小正方形面积加上四个长方形面积，得到关系式； （2）由（1）得到的关系式求解即可； （3）设AC=m，BC=n，则m+n=8，m2+n2=38，由（1）得到的关系式求解即可． 【详解】（1）由图形面积得(a+b)2=(a-b)2+4ab， 故答案为：(a+b) 2=(a-b)2+4ab； （2）由（1）题所得(a+b)2=(a-b)2+4ab， ∴(m+n)2=(m-n)2+4mn， ∴当mn=-3，m-n=4时， (m+n)2=42+4×(-3)=4， ∴m+n=2或-2； （3）设AC=m，BC=n， 则m+n=8，m2+n2=38， 又由(m+n)2=m2+2mn+n2，得 ， ∴图中阴影部分的面积为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何意义，关键是能用算式表示图形面积并进行拓展应用． 33．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）乘法公式的探究及应用： 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积． 方法1：________； 方法2：________； (2)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的数量关系：_______； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)（a+b）2；a2+2ab+b2 (2)（a+b）2＝a2+b2+2ab (3)①ab＝2；②-3 【分析】（1）方法1可根据正方形面积等于边长乘边长求出，方法2可根据各个部分面积相加之和求出； （2）由图二可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，从而得到（a+b）2﹣2ab＝a2+b2； （3）①（a+b）2＝a2+b2+2ab可得，先求出的值，再求出的值即可； ②令，从而得到,由可得，利用（2）中的公式求出的值即可． 【详解】（1）方法1：大正方形的边长为（a+b）， ∴S＝（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2． 方法2：大正方形的面积＝各个部分面积之和， ∴S＝a2+2ab+b2． 故答案为：a2+2ab+b2． （2）由图2可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和， 即（a+b）2﹣2ab＝a2+b2． 故答案为：（a+b）2﹣2ab＝a2+b2． （3）①∵a+b＝5， ∴（a+b）2＝25， a2+b2＝21， ∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝25﹣21＝4， ∴ab＝2； ②令， ∴， 由可得， 2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝4﹣10＝－6， ∴＝xy＝-3. 【点睛】本题主要考查完全平方式的几何背景和转化，熟练运用转化公式是解题关键． 题型十二 乘法公式中的配方法（共3小题） 34．（25-26八年级上·江西赣州·期末）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．如：利用配方法求最小值：求最小值． 解：．因为不论x取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料 ，解答下列问题： (1)填空： ； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，其中a为任意实数，试比较M和N的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)；最小值为： (3)，理由见解析 【分析】（1）根据完全平方公式的特点，尾项加上，从而可得答案； （2）把原式化为，再结合完全平方式的特点与性质可得答案； （3）先计算，再利用完全平方式的性质可得答案． 【详解】（1）解：； 故答案为：，； （2） ； ∵， ∴； ∴的最小值为：． （3）∵， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方式并灵活应用是解本题的关键． 35．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）阅读理解：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，这种解题方法叫做配方法．配方法在数学领域有着广泛的应用． 例如：求代数式的最小值． 解：原式，∴当时，有最小值是． 【类比应用】 (1)①在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； ② 直接写出代数式的最小值为 ； (2)已知，求的值． 【答案】(1)①9；②6 (2)0 【分析】（1）①利用完全平方公式求解； ②将变形为完全平方加有理数的形式即可； （2）利用完全平方公式将变形为，求出和，再代入计算即可． 【详解】（1）解：①，故填； ②解：； 由于，所以， 即的最小值为6； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 36．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：、、是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)将配方（至少两种形式）； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，， (2)，或 (3) 【分析】（1）根据题中所给的已知材料可得的多种配方形式； （2）根据题中所给的已知材料可得的多种配方形式； （3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值． 【详解】（1）解：的三种配方分别为： ， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴． 题型十三 利用平移的性质解决实际问题（共3小题） 37．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）如图，有一块长方形区域，，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为米，若边的长为米，则图中空白区域的面积为（      ）平方米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，矩形的面积，利用平移的性质得出空白区域为一个矩形，矩形的长为米，宽为米，根据矩形面积公式计算即可求解，解题的关键是读懂题意，利用平移把空白区域可以拼成一个矩形． 【详解】解：由平移的性质知，空白区域为一个矩形，矩形的长为米，宽为米， ∴空白区域的面积（平方米）， 故选：． 38．（24-25七年级下·江苏·期末）如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区，长，宽，为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为．小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为_____________． 【答案】196 【分析】本题考查了平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．利用平移法可得横向距离等于的长，纵向距离等于，由此即可得． 【详解】解：由平移法得：小明所走的路线长为 ， 故答案为：196． 39．（25-26七年级下·上海奉贤·开学考试）图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 【答案】(1)，， (2)平方米 (3)平方米 【分析】（1）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，且长方形的长为10米，宽为米，从而得到平方米； （2）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出草地面积； （3）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出耕地面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，， 根据平移的性质可得（平方米），（平方米）； ． （2）解：原长方形的长为米，宽为米，小路的宽度是1米， 原长方形去掉弯曲小路后，剩下的图形重新拼接仍为长方形， 此时新长方形的长为米，宽为米， 空白部分表示的草地的面积是平方米； （3）解：长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， 空白部分表示的耕地的面积是平方米． 题型十四 作图问题（平移、垂线、角平分线）（共3小题） 40．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点D都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)过点A作的平行线，点M在格点上； (2)沿直线平移三角形，使点A平移到点D，点B平移到点E，点C平移到点F，画出平移后的三角形； (3)线段与关系是___，在平移过程中三角形扫过的面积是___． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，，24 【分析】（1）取格点M，连接，则即为所求； （2）根据点D和点A的位置可确定平移方式，再根据平移方式确定点E和点F的位置，进而作图即可； （3）根据平移的性质可得，，在平移过程中线段扫过的面积等于四边形的面积加上三角形的面积，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由平移的性质可得，， 在平移过程中三角形扫过的面积是． 41．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知线段与点，按要求用无刻度直尺与圆规作图： (1)若线段、线段关于直线l对称，点A与点重合，作出对称轴l．（在图1中完成作图）． (2)若线段沿直线n作轴对称变换，线段恰好能落在直线m上，作出对称轴n．（在图2中完成作图）． (3)平移线段，使点A与点重合，作出平移后的线段的端点．（在图3中完成作图）． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线即可； （2）延长与直线m相交，作夹角的平分线即可； （3）分别以点B为圆心，以为半径和以为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点． 【详解】（1）解：如图1所示，直线即为所求 （2）解：如图2所示，直线即为所求 （3）解：如图3所示，点即为所求 42．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，点在直线上，是的平分线． (1)仅利用无刻度的直尺与圆规，作出的平分线，记为．（不写作法，但要保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，试说明：． 【答案】(1)作图见解析 (2)理由见解析 【分析】（1）利用基本作图作出的平分线即可； （2）根据角平分线的定义得，，再根据平角的定义求出，可得结论． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：∵是的平分线，平分， ∴，， ∴， ∴． 题型十五 轴对称图形的性质（共3小题） 43．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，与关于直线对称．直线交于点E、F，若，． (1)求的长度； (2)连接，与有什么位置关系？并说明理由． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由轴对称的性质得，进而可解； （2）连接交直线于点，由轴对称得直线垂直平分线段，，进而可得． 【详解】（1）解：与关于直线对称， ． ； （2）解：． 理由如下：连接交直线于点， 与关于直线对称， ∴直线垂直平分线段，直线垂直平分线段， ， ． 44．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ∴ ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为． 45．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ (1)【分析问题】为了解决这个问题，数学小组的同学提出了四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是________． (2)【解决问题】如图2，在中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若，，，求周长的最小值． (3)【类比探究】如图3，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．请在图3上画图：使将军走过的路程最短，（尺规作图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）并说明理由． 【答案】(1)④，两点之间，线段最短； (2)11 (3)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短． 【详解】（1）解：正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）解：过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点P， 由对称轴的性质可得：，， ，， 的周长最小值为： ； （3）解：如图，最短， 理由：过点P分别作的对称点，， 连接与交点即为点C，D． ，， 最短． 题型十六 轴对称的实际应用（共3小题） 46．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为所求的点． 【详解】解：如下图所示，作点关于直线的对称点， 连接与直线交于点， 点即为所求． 47．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（    ） A．55° B．56° C．57° D．58° 【答案】B 【分析】作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH，根据两点之间，线段最短即可． 【详解】解：作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，连接MG，NH， 则AM=MG，AN=NH， ∴△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH， 由两点之间，线段最短可知：当G、M、N、H共线时，△AMN的周长最小， ∵∠BAE=152°， ∴∠G+∠H=28°， ∵AM=MG，AN=NH， ∴∠G=∠GAM，∠H=∠HAN， ∠AMN+∠ANM=2∠G+2∠H=2×28°=56°， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，两点之间，线段最短等知识，正确找出△AMN周长最小时，点M，N的位置是解题的关键． 48．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 【答案】(1)38 (2)42 (3)见解析 (4)5 【分析】（1）由已知条件可得出，，进而可得． （2）由题意可得，由平角的定义求出，再由计算即可得解． （3）以作垂直平分线的方法结合（1）作图即可． （4）先根据题意画出图形，根据图形得出5次碰撞后是2个半以为边长的正方形，进而可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∵， 则， ∴， （2）解：由题意可得：， ∴， ∴． （3）解：以点A为圆心，适当半径为弧，交l与点C于点D，分别以点C，点D为圆心，以大于为半径画弧交点G，连接交l于点E，再以点E为圆心，为半径画弧交于点，连接交l于点O，点O即为所求． （4）解：如下图： 小球从长方形的点A沿射出，到的点E，． 从E点沿与成射出，到边的F点，， 从F点沿与成射出，到边的G点，， 从G沿与成射出，到边的H点， 从H点沿与成射出，到边的M点， 从M点沿与成射出，到B点， 由（1）中的结论以及轴对称的性质可知： ，，． 根据图可知5次碰撞后是2个半以为边长的正方形， ∵， ∴． 题型十七 旋转的性质（共3小题） 49．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知两个完全相同的直角三角形纸片、，如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，的边与平行的时间为_________秒． 【答案】8或20 【分析】分2种情形分别画出图形，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图1时， ∵， ∴， ， 旋转时间． 如图2时， ∵， ∴， ， 旋转时间． 综上可知，边与平行的时间为或． 50．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形． (1)图中点的对应点是点______，______； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得答案； （2）根据旋转的性质得，根据平行线的性质得，然后由可得答案． 【详解】（1）解：∵将三角形绕点逆时针旋转得到三角形， ∴图中点的对应点是点，； （2）解：∵将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 51．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）已知一副三角板按如图1的方式摆放，、、三点在同一直线上，其中，． (1)求图1中的度数． (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点按逆时针方向旋转一个角度，其中．当三角板的一边平分时，求旋转角的度数． 【答案】(1)； (2)旋转角的度数为或． 【分析】（1）根据平角的性质，结合三角板中的角度计算即可求解； （2）设的平分线为射线，先求得，再分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点B、C、D在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 设的平分线为射线， ∴， 根据题意，分两种情况讨论： ①当边平分时： 此时， ∵初始位置时， ∴旋转角； ②当边平分时： 此时． ∵初始位置时与重合， ∴旋转角． 综上所述，旋转角的度数为或． 题型十八 旋转作图（共3小题） 52．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上，利用网格画图． (1)画出，使与关于直线m对称； (2)画出，使与关于点O对称； (3)画出将绕点C按逆时针方向旋转后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质画图即可； （2）根据中心对称的性质画图即可； （3）根据旋转的性质画图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求． 53．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在格点（网格线的交点）上，按要求分别画三角形． (1)画，使与关于直线l对称； (2)画，将向右平移8个单位，再向下平移2个单位得； (3)再将绕着点按顺时针方向旋转后得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用轴对称变换的性质，分别作出的对应点即可； （2）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （3）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求． 54．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在网格中，小正方形的边长均为个单位，点都在格点上，直线经过点． (1)仅用无刻度的直尺在网格中作图． ①画，使绕点顺时针旋转； ②画使与关于直线对称； ③在直线上找一点，使最小． (2)发现：经过一次 （填写“平移”、“旋转”或“轴对称”）可以与重合． 【答案】(1)①见详解，②见详解，③见详解 (2)旋转 【分析】本题考查网格中的图形变换（旋转、轴对称）以及最短路径问题． （1）①根据图形旋转的规律找到每个点旋转后的点，连接各点即可； ②根据轴对称图形的特点找到每个点关于直线的对称点，连接各点即可； ③根据两点之间线段最短，找到点关于直线的对称点，根据，连接，与直线的交点即为点． （2）依次根据各种图形变换的特点进行判断，即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图，根据 “绕点旋转” 的坐标变化规律，先确定三点绕点顺时针旋转后的对应点，再依次连接，得到即为所求； ②如图，作三点关于直线的对称点，再依次连接，得到即为所求； ③如图，根据点和点关于直线对称，连接对称点与点，这条线段与直线的交点即为所求的点； （2）解：根据图形平移的定义，图形沿某个方向，移动相同的距离，所以图中和不是平移变换，根据轴对称图形的定义，轴对称图形是关于一条直线进行翻折，所以图中和不是轴对称， 根据图形旋转的定义，图形绕一个定点（旋转中心），按一定角度转动，所以图中和是可以通过旋转得到的． 故答案为：旋转． 题型十九 二元一次方程（组）的基本概念（共3小题） 55．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程中，项的次数为，不符合二元一次方程定义，故此选项不符合题意； B、方程中含有个未知数，含未知数的项的次数均为，且是整式方程，符合二元一次方程定义，故此选项符合题意； C、 只含有个未知数，不符合二元一次方程定义，故此选项不符合题意； D、 含有个未知数，不符合二元一次方程定义，故此选项不符合题意； 56．（25-26七年级下·四川眉山·期中）如果是二元一次方程，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义，方程中两个未知数的次数都为1，据此列出关于m、n的等式，求出m、n的值后代入计算即可．熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴未知数和的次数都为1， 可得， 解，得， 解，得， 将 ，代入，得 ． 故选：B． 57．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程组中两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； B、方程组是二元一次方程组，符合题意； C、方程组中方程中含未知数的项的次数不是1，不是二元一次方程组，不符合题意； D、方程组中方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； 题型二十 二元一次方程（组）的含参问题（共3小题） 58．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知方程组的解满足，则k的值是（    ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】先根据方程组求出，再结合已知条件可得，求出解即可． 【详解】解：， ，得， 即． ∵， ∴， 解得． 59．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）若关于的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足所有方程，因此将已知解代入多项式，结果为的即为正确选项. 【详解】解：∵是方程组的解， ∴将，代入各选项验证： 选项A，，不符合题意； 选项B，，符合题意； 选项C，，不符合题意； 选项D，，不符合题意. 60．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程组的解的定义，将已知的，的值代入原方程组，求出和的值，再计算即可得到结果． 【详解】解：是二元一次方程组的解， ，解得， ． 题型二十一 解二元一次方程组（共3小题） 61．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 由得， 解得 将代入①得， 解得 ∴原方程组的解为 （2）解： 由得， 解得 将代入①得，， 解得 ∴原方程组的解为 62．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可； （2）把方程整理为，再加减消元法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】（1）解： ，得③， ，得，， 将代入①，得，， ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组可化为， ，得 ，得， ，得，， 将代入①，得，， ∴原方程组的解为． 63．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）选用适当的方法解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 将①代入②得，， 解得， 将③代入①得， ∴； （2）解： ①去分母得，， 得，， 将④代入②得，， 解得， ∴． 题型二十二 二元一次方程组的特殊解法（共3小题） 64．（25-26七年级下·吉林长春·期末）【知识累计】解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解方程组整体换元法，熟练掌握该方法是解题的关键． （1）仿照题干，设、，原方程组可变为，解方程组，再得到原方程组的解即可； （2）设、，根据题意可得到，解方程即可． 【详解】（1）解：设、， 原方程组可变为， 解得：， 所以， 解得； （2）解：设、， 原方程组可变为， 关于，的方程组的解为， ， 解得， 方程组的解为． 65．（24-25七年级下·江苏南京·期末）【探索发现】 （1）已知满足； ①求的值；小明、小红分别给出下列思路，请补全小红的思路． ②小明提出：小红的解法是巧合吗？能求的值吗？请根据智能机器人的提示，先求的值，再求的值． 【解决问题】 （2）若满足，为常数且，则的取值范围是_______． 【答案】（1）①见详解，②；（2） 【分析】本题主要考查加减消元法解一元二次方程组，整体代入法求代数式的值，以及不等式的性质，解题的关键是熟悉整体代入的应用． （1）①小明的解法首先利用加减消元法求得x和y，再代入求得 代数式的值；小红采取整体代入法求解即可； ②根据题意化简得，列出方程组求得n和m，再代入代数式计算即可； （2）设，列出方程组求解得到n和m，将，结合不等式的性质求得，即可知的取值范围． 【详解】解：（1）①小明，解得， 则； 小红得， 则得； ②设， 则，解得， 那么，； （2）， 则，解得， 那么，， ∵， ∴， 则的取值范围是． 66．（25-26七年级下·四川内江·期末）阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请你解决以下问题 (1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）利用整体代换的方法进行求解即可； （2）结合题目所给的解答方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 将②变形为：，即， 将①代入③得：， 解得：， 把代入①得， 故原方程组的解是：； （2）解：原方程组可化为：， 将①代入②得：， 解得：． 题型二十三 二元一次方程组的实际应用（共3小题） 67．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）用若干块如图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）． (1)如图1，若，，则 ， ． (2)如图1，若长方形面积为56，其中阴影部分的面积为26，，求的值． (3)如图2，若的长度为，的长度为n． ①当 ， 时，a，b的值有无数组； ②当 ， 时，a，b的值不存在． 【答案】(1)， (2)1 (3)①，； ②， 【分析】（1）根据图1列出方程组，解方程组即可； （2）根据阴影部分的面积和长方形面积分别列出方程，求出和的值，利用求解即可； （3）根据图2表示出、，根据二元一次方程组解的情况：当两个方程对应系数成比例且常数项成比例时，方程组有无数解；当系数成比例但常数项不成比例时，方程组无解，据此列关系求解． 【详解】（1）解：由图1可知：、， 则， 解得：； （2）解：由图1可知：、， 阴影部分的面积为：，即， 长方形面积为：， 整理得：， 解得：， 则， 即； （3）解：由图2得：、， ①若a，b有无数组解，则和两个方程表示同一方程， 由得：， 则， 解得：； ②由①知，， 若a，b的值不存在， 则， 解得：． 68．（25-26七年级下·江苏南通·期中）因道路建设需要开挖土方，计划每小时挖掘土方，现决定向租赁公司同时租用甲，乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 租金（单位：元/台时） 挖掘量（单位：/台时） 甲型挖掘机 100元 乙型挖掘机 120元 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，求甲、乙两种挖掘机各需多少台？ (2)如果每小时支付的租金不超过870元，又恰好完成每小时的挖掘量，求有几种不同的租用方案？ 【答案】(1)甲、乙两种挖掘机各需5台，3台 (2)两种租用方案，第一种甲、乙两种挖掘机各需1台，6台；第二种甲、乙两种挖掘机各需5台，3台 【分析】（1）设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台，根据题意建立二元一次方程组即可求解； （2）设租用m台甲型挖掘机，n台乙型挖掘机，根据题意列出二元一次方程，求出其正整数解，然后分别计算支付租金，选择符合要求的租金方案． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台． 依题意得：， 解得 ． 答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台； （2）解：设租用m台甲型挖掘机，n台乙型挖掘机． 依题意得：， 化简得：． ∴， ∴方程的解为或． 当，时，支付租金：元元，符合要求； 当，时，支付租金：元元，符合要求． 答：两种租用方案，第一种甲、乙两种挖掘机各需1台，6台；第二种甲、乙两种挖掘机各需5台，3台． 【点睛】题目主要考查二元一次方程的应用，理解题意，列出相应方程并正确求解是解题关键． 69．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： (1)若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共8包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量不超过．请通过计算，求出共有多少种符合要求的配餐方案． 【答案】(1)应选用A种食品3包，B种食品2包 (2)共有2种配餐方案：A种食品7包，B种食品1包和A种食品8包，B种食品0包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，列出方程组和不等式组是解题的关键； （1）设应选用A种食品x包，B种食品y包，根据每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设选用A种食品m包，则选用B种食品包，根据要保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量不超过，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各配餐方案． 【详解】（1）解：设应选用A种食品x包，B种食品y包， 由题意得， 解得， 即应选用A种食品3包，B种食品2包； （2）解：设选用A种食品m包，则选用B种食品包， 根据题意得：， 解得：， 又m为正整数， ∴， ∴共有2种配餐方案：A种食品7包，B种食品1包和A种食品8包，B种食品0包． 题型二十四 不等式（共3小题） 70．（25-26七年级下·四川资阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】依据一元一次方程移项法则，不等式基本性质和等式基本性质，逐一判断各选项即可得到正确结论． 【详解】A、∵移项时，常数项移到等号右边应变号，由可得，∴A错误； B、∵，不等式两边同时减去，不等号方向不变，可得，∴B错误； C、∵，不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，可得，∴C错误； D、∵等式中分母不为，可得，等式两边同时乘，可得，∴D正确． 71．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对于实数a，b，c，有下列5个说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，，则，．其中说法一定正确的序号是______． 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查不等式的性质，不等式的性质运用时注意：必须是加上，减去或乘以或除以同一个数或式子；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．熟练掌握其性质是解题的关键． 利用不等式的性质进行逐项分析，即可判断作答． 【详解】解：若,当时，,则①错误， 若，那么，那么,则②正确， 若,当，时，那么，则③错误， 若，那么 ∵，两边同时除以得，则④正确， 若，，则， 整理得，由得， 那么，故异号， 那么，．则⑤正确， 故答案为：②④⑤． 72．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）在一次数学活动课上，老师提出了一个问题：若，，，求的取值范围．甲，乙两位同学采用了两种不同的方法解决了这个问题： 甲： 由，得， 由，得，从而． 由，得， 由，得，从而 故，， 所以． 乙： 由，得， 从而， 由，得，从而． 所以，即． (1) (填“甲”或“乙”)的解法正确； (2)若其中为常数，，，求的最小值用含的代数式表示)． 【答案】(1)乙 (2) 【分析】本题考查不等式的性质，列代数式，关键是掌握不等式的性质． （1）甲的解法：导致范围扩大，因此甲的解法错误，乙的解法：把问题转化为关于b的式子，结合条件准确确定范围，因此乙的解法正确． （2）求出，得到．即可得到的最小值． 【详解】（1）解：甲：分别求解不等式后直接相加，忽略了和的相关性，导致范围扩大，因此甲的解法错误， 乙：通过代数变形把问题转化为关于的式子，结合条件准确确定范围，因此乙的解法正确． 故答案为：乙． （2）， ， ， ， ， ， ． 的最小值是． 题型二十五 数轴上表示一元一次不等式的解集（共3小题） 73．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）解下列关于x的不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 (3)，数轴见解析 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，涉及去分母、去括号、移项、合并同类项和化系数为1等步骤，再把解集在数轴上表示，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号得 合并得 移项得 合并得 数轴表示： （2）解： 去分母，两边乘15得 去括号得 合并得 移项得 合并得 化系数为1得 数轴表示： （3）解： 去分母，两边乘12得 去括号得 合并得 移项得 合并得 化系数为1得 数轴表示： 74．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，画数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 将解集表示在数轴上如下： 75．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1) (2) 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确求出对应不等式的解集是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下： （2）解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下： 题型二十六 不等式组的解集（共3小题） 76．（25-26八年级下·江苏·期末）解下列不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式得：， 因此，不等式组的解集为； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式得：， 因此，不等式组的解集为． 77．（25-26九年级下·重庆·期中）解不等式组：． 解：解不等式①，得：_____________； 解不等式②，得：_____________； 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 该不等式组的解集为：_______． 【答案】，，数轴见解析， 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再将不等式①和②的解集在数轴上表示，然后再取两个不等式解集的公共部分即可． 【详解】解：解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 该不等式组的解集为． 78．（2026·江苏南京·模拟预测）解不等式组，并写出不等式组的整数解． 【答案】 ； 【分析】首先，按照解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，分别解出两个一元一次不等式的解集，再按照“大小小大中间找”的方法得出不等式组的解集，最后，取出不等式组的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 题型二十七 由不等式组解集的情况求参数（共3小题） 79．（25-26七年级上·江苏·期末）若关于的不等式组的整数解只有1个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的整数解．熟练掌握一元一次不等式组的解法，根据一元一次不等式组的解集，确定整数解，根据整数解确定a的取值范围．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小无解了． 先解每个不等式，得不等式组的解集，确定整数解，据此即可写出a的范围． 【详解】解：， 解①，得， 解②，得． ∴不等式组的解集是：． ∵不等式组有且只有1个整数解， ∴一定是3． ∴． 故选：B． 80．（18-19七年级下·福建福州·期中）若关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查不等式组含参数问题，关键在于根据题中给出整数解的个数或其他条件逆推不等式组的解集． 先将a当成已知量，解不等式组，将不等式组的解集表示出来，然后根据有5个整数解，得到关于a的不等式组，解不等式组可得出a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有5个整数解，依次为：19，18，17，16，15， ∴， 解得． 故答案为：． 81．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）【阅读材料】 定义：若关于的一元一次方程的解及解的2倍都在一元一次不等式组的解集范围内，则称这个方程为该不等式组的“绝美子方程”．例如，方程的解为，则；不等式组的解集是，可以发现方程的解和都在不等式组的解集的范围内，则称方程为不等式组的“绝美子方程”． 【解决问题】 (1)在方程①；②中，为不等式组的“绝美子方程”的是 ；（填序号） (2)若方程为不等式组的“绝美子方程”，求的取值范围； (3)若方程为不等式组的“绝美子方程”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，一元一次不等式组的解法，掌握新定义的含义是解本题的关键； （1）先解两个方程得到方程的解，再解不等式组，得到不等式组的解，再根据新定义的含义判定即可； （2）由（1）知不等式组得到解集为，再由方程可得，，再结合新定义的含义建立不等式组，即可得到答案； （3）先求出不等式组得到解集为，再由方程可得，，再结合新定义的含义即可得到答案． 【详解】（1）解：①， ∴， ∴； ②， ∴， ∴， ∴， ∵， 解不等式得， 解不等式得， ∴， ∵均在范围内；不在范围内； ①为不等式组的“绝美子方程”，②则不是不等式组的“绝美子方程”； 故答案为：①； （2）解：由（1）知不等式组的解集为， 解方程，得， ∴， 方程为不等式组的“绝美子方程”， ，且， ∴，且， ∴； （3）解：， 解不等式得， 解不等式得， ∴， 解方程，得， ∴， 方程为不等式组的“绝美子方程”， ∴， ∴． 题型二十八 不等式组和方程组结合的问题（共3小题） 82．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两式相减得到关于的表达式，再结合求解的值； （2）先解方程组，根据方程的解满足为非正数，为负数，列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 得，， ， ， ， ； （2）解：， 得，， ， 将代入得，， ， 为非正数，为负数， ， 解得． 83．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 【答案】(1) (2) (3)5、6、7 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握计算方法是解此题的关键． （1）由加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用加减消元法得出，根据，得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）解：， 由得：， ∵方程组的解集满足， ∴， 解得：； （3）解：∵ ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为5或6或7． 84．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知关于，的二元一次方程组（为常数）． (1)若方程组的解也满足方程，求的值； (2)若方程组的解也满足不等式，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）先解方程组得出，再根据方程组的解也满足方程，得出，解关于k的方程，即可求解； （2）得，，得出，根据题意，进而解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， 得，， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为：， ∵方程组的解也满足方程， ∴， 解得：； （2）解： 得：， ∴， ∵方程组的解也满足不等式， ∴， 解得：． 题型二十九 一元一次不等式组的实际应用（共3小题） 85．（24-25七年级下·福建福州·期末）根据以下素材，探索完成任务： 到哪家商场购买花费较少 素材1 学校举办足球比赛，准备购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球． 素材2 已知每套队服比每个足球多65元，四套队服与六个足球的费用相等． 素材3 经洽谈：甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球； 乙商场优惠方案是：若购买队服超过60套，则购买足球打八折． 问题解决 任务1 探求商品单价 求每套队服和每个足球的价格是多少？ 任务2 确定选择方案 若购买100套队服和个足球，求学校到哪家商场购买花费较少？ 【答案】任务1：每套队服的价格为195元，每个足球的价格是130元．任务2：当购买足球的数量超过10个且不足50个时，到甲商场购买花费较少；当购买足球的数量超过50个时，到乙商场购买花费较少，当购买足球的数量为50个时，到甲、乙两个商场购买花费相同． 【分析】本题考查二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．根据题意，正确的列出方程和不等式，是解题的关键． 任务1：设每套队服的价格为x元，每个足球的价格为y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 任务2：分别根据两个商场的优惠方案列出所需花费，然后分三种情况求解即可得出答案． 【详解】解：（1）设每套队服的价格为x元，每个足球的价格为y元， 根据题意可得 解得． 答：每套队服的价格为195元，每个足球的价格是130元． （2）到甲商场购买需付：元． 到乙商场购买需付：元． ①若到甲商场购买花费较少， 则． 解得：． 即当时，到甲商场购买花费较少； ②若到乙商场购买花费较少， 则． 解得：． 即当时，到乙商场购买花费较少； ③若到两个商场购买花费相同， 则． 解得：． 即当时，到甲、乙两个商场购买花费相同． 答：当购买足球的数量超过10个且不足50个时，到甲商场购买花费较少；当购买足球的数量超过50个时，到乙商场购买花费较少，当购买足球的数量为50个时，到甲、乙两个商场购买花费相同． 86．（24-25七年级下·江苏南通·期末）“五一”期间，美丽的如皋迎来一拨旅游热潮．市内某景点的门票价格规定如下表： 购票人数/人 100以上 票价/元 50 45 40 某旅行社接待了甲、乙两个旅游团，如果两个团单独购买该景点门票，甲团需支付45元/人，乙团需支付50元/人．经核算，甲、乙两团单独买票，共需支付3740元；若两团联合作为一个团体购票，则可少支付140元． (1)求甲、乙两个旅游团各有多少人？ (2)在购买门票前，旅行社新增接待丙旅行团，经研究决定将甲、乙、丙三个团联合作为一个团体购票．若购票的总费用不超过4600元，则丙团最多可有多少名游客？ 【答案】(1)甲团有52人，乙团有28人 (2)35人 【分析】（1）解：设甲团有x人，乙团有y人，根据题意，得，解答即可． （2）设丙团最多有m人，根据题意，得，求最大整数解即可． 本题考查了方程组的应用，不等式的应用，熟练掌握解方程组，即不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲团有x人，乙团有y人，根据题意，得， 解得， 答：甲团有52人，乙团有28人． （2）解：设丙团最多有m人， 为使丙团人数最多，应使得总票价单价尽可能低，故可先假设总人数超过100人，单价为40元 根据题意，得， 解得， 故最多35人． 答：丙团最多35人． 87．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）请根据以下素材，完成任务． 学校消防演练效率问题 背景 某校新建了一栋教学楼，现有24个班级，每个班学生最多45人，教师共120人．该教学楼共有4道门可进出（1道正门，3道侧门，其中3道侧门的大小相同）． 素材1 安全检查中，对这4道门进行了测试：正常情况下，当同时开启一道正门和两道侧门时，1分钟内可以平均通过260人；当同时开启一道正门和一道侧门时3分钟内可以平均通过540人． 素材2 在消防演练中发现，紧急情况下，因人群拥挤，出门的效率将比正常情况下降低．安全检查规定：在紧急情况下全大楼的师生应在5分钟内通过这4道门安全撤离． 素材3 为了提高出门效率，学校安排值班教师在门口值班，此时每道门每分钟出门人数可以增加． 解决问题 任务1 正常情况下，平均一分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少人？ 任务2 该大楼建设4道门是否符合安全检查规定？请说明理由． 任务3 学校拟新增a个班级，每个班学生最多45人．在有老师值班时，为保证紧急情况下全大楼的师生仍能通过这4道门安全撤离，求a的最大值． 【答案】任务1：平均一分钟一道正门可通过100人，一道侧门可通过80人；任务2：符合安全检查规定，见解析；任务3：的最大值是6 【分析】（1）设平均一分钟一道正门可通过x人，一道侧门可通过y人. 根据题意，得解方程组即可． （2）根据题意，得5分钟内通过人数为：（人），于全校师生人数比较解答即可． （3）新增a个班后，全校师生总人数为人，紧急情况下，输出人数人，建立不等式解答即可． 本题考查了方程组的应用，不等式的应用，不等式的整数解，熟练掌握解方程组，解不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设平均一分钟一道正门可通过x人，一道侧门可通过y人. 根据题意，得， 解得： 答：平均一分钟一道正门可通过100人，一道侧门可通过80人. （2）解：根据题意，得（人）， 故在紧急情况下全大楼的师生在5分钟内通过这4道门安全撤离，可以撤离1360人． 全校共有师生人数为：（人）， ∵， ∴符合安全检查规定. （3）解：新增a个班后，全校师生总人数为人， 紧急情况下，输出人数人， 由题意得，， 解得：. ∵是自然数， ∴的最大值是6. 题型三十 定义、命题、证明（共3小题） 88．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（    ） 甲同学：“该命题是真命题．” 乙同学：“该命题的结论是．” 丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．” A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据命题的结构和真假命题的定义，依次判断三位同学的说法，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：∵当，时，满足，但， ∴原命题是假命题，甲同学判断错误． “若题设，则结论”是命题的标准形式，该命题的结论为， ∴乙同学判断正确． 添加条件都大于零后，命题变为“若且，则”， ∵两个正数的平方相等，正数本身必然相等， ∴该命题是真命题，丙同学判断正确． 综上，正确的判断共有个． 89．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）下列命题是真命题的是______（填序号） ①互为补角的两个角都是锐角； ②相等的角是对顶角； ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【答案】④⑤ 【分析】本题考查对顶角、邻补角，余角和补角，垂线，平行公理及推理，平行线的性质，同位角、内错角，同旁内角，关键是掌握对顶角的定义，补角的概念，平行线的性质，平行公理的推理，垂线的性质． 由对顶角的定义，补角的概念，平行线的性质，平行公理的推理，垂线的性质，即可判断． 【详解】解：①互为补角的两个角的和是，这两个角不可能都是锐角，故①不符合题意； ②相等的角不一定是对顶角，故②不符合题意； ③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故③不符合题意； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，故④符合题意； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故⑤符合题意． 命题是真命题的是④⑤． 故答案为：④⑤． 90．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若，求证：． 证明：∵，， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∴ （ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 写出本题所用到的互逆命题： ． 【答案】见详解 【分析】利用平行线的性质和等量代换可得出结论． 【详解】证明：∵，， 又∵（已知）， ∴（等角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 写出本题所用到的互逆命题： 内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 ． 1．已知 ，，，则，，之间的数量关系是___________ ． 【答案】 【分析】利用幂的运算法则将用和表示，根据底数相同的幂值相等时指数相等，即可得到a，b，c的数量关系． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 可得． 2．将幂的运算逆向思维可得， ，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求x的值； (3)若，求的值； (4)若，，，直接写出a，b，c之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)14 (4) 【分析】（1）逆用同底数幂的除法即可求解； （2）将分别变形成底数为2的幂，再运用同底数幂的乘法及一元一次方程即可求解． （3）由已知等式得到，将所求代数式变形，代入计算即可； （4）将72变形，根据幂的乘方逆运算变形计算即可 【详解】（1）解：∵ ，， ； （2）解：， ， ． （3）解：∵， ∴ ∴ （4）解：∵，，， ∴ ， ∴ 3．探究等式的基本性质与特殊幂值的求解方法，并完成以下问题： 【课内回顾】 (1)若，则； 若（c满足条件________），则． 【阅读材料】 如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为1，例如； ③底数为的偶数次幂，例如． 【知识运用】 (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据等式的性质，即可求解； （2）根据材料分三种情况讨论①当且时，②当时，③当且为偶数时，根据一个幂的结果等于，分别计算即可求解． 【详解】（1）解：， 当时，则， 因此若，当满足时，则， 故答案为：； （2）解：分三种情况讨论如下： ①当且时，， 由，解得：，此时， 当时，； ②当时，， 由，解得：， 当时，； ③当且为偶数时，， 由，解得：， 此时不是偶数，故不合题意，舍去． 综上所述：若，则x的值为或． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先利用多项式乘多项式法则和完全平方公式展开原式，再合并同类项得到最简结果，最后代入x的值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 5．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出，再利用完全平方公式的变形即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：， 是一个完全平方式， ； （2）解：∵， ∴， ∴， 合并同类项得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； ∵ ∵， ∴阴影部分的面积为：． 6．解答： 【知识技能】 已知：；； (1)填空： _____； _____． 【数学理解】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 【解决问题】 (2)若满足，求的值； 【灵活运用】 (3)如图，已知正方形被分割成4个部分，其中四边形与为正方形，若，，四边形的面积为6，求正方形的面积． 【答案】(1)①；② (2)1 (3)33 【分析】（1）根据已知的两个等式变形即可解答； （2）设，，则，，再由，求出，即可解答； （3）由四边形的面积为6得到，设，，则，，，再根据计算即可． 【详解】（1）解：∵；； ； ． （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵四边形的面积为6， ∴，即， 设，，则，， 由题意可得， ∴， ∴ ． 7．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ∴ ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为． 8．如图1，在和中，点在边上，点与点重合，，，，．将绕点按逆时针方向旋转（如图2），得到（点分别与对应）． (1)填空：__________． (2)判断线段与的关系，并说明理由； (3)保持不动，将沿射线平移，得到（点分别与点对应），连接，若四边形是轴对称图形，求的度数． 【答案】(1) (2)线段与平行且相等．理由见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得答案． （2）证明，可得，结合旋转的性质可得． （3）如图，四边形是轴对称图形，直线是对称轴，进一步结合轴对称的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵将绕点按逆时针方向旋转， ∴． （2）解：，，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3）解：如图，四边形是轴对称图形，直线是对称轴， 则． ， ， 由平移，得， ， ， ， ． 9．苏通第二过江通道已于近期开工建设，项目建成后将创下“世界最大跨度同类桥梁结构”，“世界最高桥梁索塔”等七项“世界第一”，是推动长三角一体化发展的战略性交通项目．现有甲、乙两车队参与某段项目材料运输，甲车队每天运输材料数目相同，乙车队每天运输材料数目相同，如果甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨． (1)求甲、乙两车队每天完成运输材料各是多少吨？ (2)现甲、乙两车队共同运输材料1800吨，每次运输均装满材料，甲车队每天费用3000元，乙车队每天费用2400元，如何分配运输任务使总费用最低？总费用最低是多少？ 【答案】(1)甲、乙两车队每天完成运输材料分别为200吨和150吨． (2)安排甲车队运输9天，不安排乙车队，运输总费用最低，运输总费用最少为27000元． 【分析】（1）设甲、乙两车队每天完成运输材料分别为x和y吨，根据“甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨”列二元一次方程组求解即可； （2）设安排甲车队运输m天，乙车队运输n天，运输总费用为w元，易得， 运输总费用为，再分别列举m、n的可能取值，并分别求出运输总费用，然后比较即可解答． 【详解】（1）解：设甲、乙两车队每天完成运输材料分别为x吨和y吨， 根据题意得：，解得：， 答：甲、乙两车队每天完成运输材料分别为200吨和150吨． （2）解：设安排甲车队运输m天，乙车队运输n天，运输总费用为w元， 根据题意，得：，整理得：， 运输总费用为， ∵m、n为自然数， ∴当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元． 所以安排甲车队运输9天，不安排乙车队，运输总费用最低，运输总费用最少为27000元． 10．我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得到，然后解方程组即可； （2）设，得到，然后解方程组即可； 【详解】（1）解：设， 则原方程组可化为， ， 解得：； （2）设， 则原方程组可化为， 化简整理得， 解得：， ， 解得． 11．已知关于，的二元一次方程组（为常数）． (1)若，求的值； (2)满足，求符合条件的的最小整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得：，再把代入即可求出的值； （2）由得：，结合可得，再解不等式即可得出结论． 【详解】（1）解：， 得：， 又， 所以， 解得； （2）解：得：， 又， 所以，解得， 则的最小整数值为． 12．“倡导垃圾分类，共享绿色生活”为响应垃圾分类号召，西园街道计划在某小区内新建A、B两类垃圾站，在满足小区垃圾处理需求的同时，兼顾小区绿化空间的保护，完成垃圾站的规划、方案设计与优化．请你根据以下素材，探索完成任务： 如何规划设计小区垃圾站？ 素材1 新建A、B两类垃圾站，单座占用绿地面积分别为和； 素材2 已知1座A类垃圾站和2座B类垃圾站日处理垃圾能力为1.1吨，2座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力为1吨． 素材3 该小区计划投入使用共10座两类垃圾处理站，要求每日处理垃圾能力不低于3.6吨； 问题解决 (1)求1座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力分别是多少吨？ (2)若建设A类垃圾站n座，求n的取值范围，并分析共有几种符合要求的设计方案？ (3)考虑到小区绿化面积对居民身心健康的重要性，在（2）的前提下，若占用绿化面积不得超过．仅有两种方案可供选择，求a的取值范围． 【答案】(1)1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨； (2)，且n为整数，共有5种设计方案：方案1、建设A类垃圾站0座，建设B类垃圾站10座；方案2、建设A类垃圾站1座，建设B类垃圾站9座；方案3、建设A类垃圾站2座，建设B类垃圾站8座；方案4、建设A类垃圾站3座，建设B类垃圾站7座；方案5、建设A类垃圾站4座，建设B类垃圾站6座； (3) 【分析】（1）设1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨，，依题意得，计算求解即可； （2）若建设A类垃圾站n座，则建设B类垃圾站座，根据每日处理垃圾能力不低于3.6吨建立不等式求出n的取值范围，再根据n为整数求解即可； （3）由题意得，解得，由仅有两种方案可供选择，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：设1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨， 依题意得，， 解得， 答：1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨； （2）解：由题意得， 解得， ∴，且n为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴共有5种设计方案：方案1、建设A类垃圾站0座，建设B类垃圾站10座；方案2、建设A类垃圾站1座，建设B类垃圾站9座；方案3、建设A类垃圾站2座，建设B类垃圾站8座；方案4、建设A类垃圾站3座，建设B类垃圾站7座；方案5、建设A类垃圾站4座，建设B类垃圾站6座； （3）解：由题意得，， 解得， ∵仅有两种方案可供选择，且，且n为整数， ∴， 解得， ∴a的取值范围为． 13．如图，有如下四个论断：①，②，③，④． (1)若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”） (2)若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由． 【答案】(1)假 (2)添加，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键． （1）利用平行线的判定方法进而判断即可； （2）利用平行线的判定方法添加，根据平行线的性质得出，利用角的和差关系即可求出，根据平行线的判定定理即可得结论． 【详解】（1）解：∵、不是、被第三条直线所截的角， ∴若，无法判定， ∴若，则是假命题， 故答案为：假 （2）解：添加条件， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期末真题百练通关（90题30大热考题型） 题型1 幂的运算中求值 题型16 轴对称的实际应用 题型2 幂的运算值为1的分类讨论题 题型17 旋转的性质 题型3 幂的运算中指数关系问题 题型18 旋转作图 题型4 幂的运算中用x表示y型问题 题型19 二元一次方程（组）的基本概念 题型5 单项式乘法及其计算 题型20 二元一次方程（组）的含参问题 题型6 多项式乘法 题型21 解二元一次方程组 题型7 多项式乘法中的化简求值 题型22 二元一次方程组的特殊解法 题型8 多项式乘积的无关型问题 题型23 二元一次方程组的实际应用 题型9 多项式乘法中的规律性计算问题 题型24 不等式 题型10 乘法公式的变形求值 题型25 数轴上表示一元一次不等式的解集 题型11 乘法公式与几何图形的应用 题型26 不等式组的解集 题型12 乘法公式中的配方法 题型27 由不等式组解集的情况求参数 题型13 利用平移的性质解决实际问题 题型28 不等式组和方程组结合的问题 题型14 作图问题（平移、垂线、角平分线） 题型29 一元一次不等式组的实际应用 题型15 轴对称图形的性质 题型30 定义、命题、证明 题型一 幂的运算中求值（共3小题） 1．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）材料阅读题． 【问题背景】如图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业 计算： 解： ． (1)【计算】； (2)【拓展】若，求的值． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）解答下列各题： (1)已知，则的值为_______． (2)如果，求的值 (3)已知，求的值． 3．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）分别求出下列式子的值 (1)已知：，，求： ①； ②． (2)如果，求x的值． 题型二 幂的运算值为1的分类讨论题（共3小题） 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知，则k的值为（   ） A．2 B．2或4 C．0或2或4 D．0或4 5．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）使的x的值为______． 6．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）我们规定：．完成下列问题： (1)已知，则x的取值范围是 ； (2)已知，求x的值． 题型三 幂的运算中指数关系问题（共3小题） 7．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是________． 9．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如果，则我们规定．如：因为，所以． (1) ；若，则 ； (2)已知，，，若，求y的值． 题型四 幂的运算中用x表示y型问题（共3小题） 10．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）若，用x的代数式表示y，则____________． 11．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题； (1)若，求x的值； (2)若，，用含m的代数式表示n； (3)已知，，用含p，q的式子表示 ． 12．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）【中档】若且，m、n是正整数，则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，用含x的代数式表示y，则 ． 题型五 单项式乘法及其计算（共3小题） 13．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）设，则的值为（） A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为_______ 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是_________ 平方厘米． 15．（24-25七年级下·江苏·期末）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 题型六 多项式乘法（共3小题） 16．（24-25八年级上·河南许昌·期末）若，则m的值为（   ）． A． B．4 C． D．10 17．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）若关于x的二次三项式则m的值是________． 18．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）小刚同学计算一道整式乘法问题：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为． (1)求的值； (2)写出这道整式乘法问题的正确结果． 题型七 多项式乘法中的化简求值（共3小题） 19．（24-25七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值，其中． 20．（24-25八年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 21．（25-26七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中x、y满足． 题型八 多项式乘积的无关型问题（共3小题） 22．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）要使的计算结果中不含的一次项，则，之间的关系为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若去括号后不含x的一次项，则m的值为______． 24．（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 题型九 多项式乘法中的规律性计算问题（共3小题） 25．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 26．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据规律，写出的展开式中含项的系数是______． 27．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）《详解九章算法》一书中给出的杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，此图揭示了（n为正整数）展开式的项数及各项系数的规律．请利用杨辉三角解决以下问题： (1)依次类推，写出______； (2)的展开式中一共有______项，各项系数之和为______； (3)的展开式中从左往右数第四项为______，x的三次项系数为______； (4)当代数式的值为1时，则的值为______． 题型十 乘法公式的变形求值（共3小题） 28．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 29．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）若x满足，则的值为_______． 30．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）按要求完成下列计算： (1)已知：，求的值； (2)已知，求的值． 题型十一 乘法公式与几何图形的应用（共3小题） 31．（25-26八年级上·重庆长寿·期末）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2） (1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的结论，若，，则______； (3)拓展应用：若，求的值． 32．（25-26七年级下·贵州·期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式 (a+b)2，(a-b)2，ab之间的等量关系为 ． (2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn=-3，m-n=4，试求(m+n)2的值． (3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB=8，两正方形的面积和S1+S2=38，求图中阴影部分面积． 33．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）乘法公式的探究及应用： 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积． 方法1：________； 方法2：________； (2)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的数量关系：_______； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 题型十二 乘法公式中的配方法（共3小题） 34．（25-26八年级上·江西赣州·期末）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．如：利用配方法求最小值：求最小值． 解：．因为不论x取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料 ，解答下列问题： (1)填空： ； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，其中a为任意实数，试比较M和N的大小，并说明理由． 35．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）阅读理解：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，这种解题方法叫做配方法．配方法在数学领域有着广泛的应用． 例如：求代数式的最小值． 解：原式，∴当时，有最小值是． 【类比应用】 (1)①在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； ② 直接写出代数式的最小值为 ； (2)已知，求的值． 36．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：、、是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)将配方（至少两种形式）； (3)已知，求的值． 题型十三 利用平移的性质解决实际问题（共3小题） 37．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）如图，有一块长方形区域，，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为米，若边的长为米，则图中空白区域的面积为（      ）平方米． A． B． C． D． 38．（24-25七年级下·江苏·期末）如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区，长，宽，为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为．小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为_____________． 39．（25-26七年级下·上海奉贤·开学考试）图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 题型十四 作图问题（平移、垂线、角平分线）（共3小题） 40．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点D都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)过点A作的平行线，点M在格点上； (2)沿直线平移三角形，使点A平移到点D，点B平移到点E，点C平移到点F，画出平移后的三角形； (3)线段与关系是___，在平移过程中三角形扫过的面积是___． 41．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知线段与点，按要求用无刻度直尺与圆规作图： (1)若线段、线段关于直线l对称，点A与点重合，作出对称轴l．（在图1中完成作图）． (2)若线段沿直线n作轴对称变换，线段恰好能落在直线m上，作出对称轴n．（在图2中完成作图）． (3)平移线段，使点A与点重合，作出平移后的线段的端点．（在图3中完成作图）． 42．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，点在直线上，是的平分线． (1)仅利用无刻度的直尺与圆规，作出的平分线，记为．（不写作法，但要保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，试说明：． 题型十五 轴对称图形的性质（共3小题） 43．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，与关于直线对称．直线交于点E、F，若，． (1)求的长度； (2)连接，与有什么位置关系？并说明理由． 44．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 45．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ (1)【分析问题】为了解决这个问题，数学小组的同学提出了四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是________． (2)【解决问题】如图2，在中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若，，，求周长的最小值． (3)【类比探究】如图3，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．请在图3上画图：使将军走过的路程最短，（尺规作图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）并说明理由． 题型十六 轴对称的实际应用（共3小题） 46．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 47．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（    ） A．55° B．56° C．57° D．58° 48．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 题型十七 旋转的性质（共3小题） 49．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知两个完全相同的直角三角形纸片、，如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，的边与平行的时间为_________秒． 50．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形． (1)图中点的对应点是点______，______； (2)若，，求的度数． 51．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）已知一副三角板按如图1的方式摆放，、、三点在同一直线上，其中，． (1)求图1中的度数． (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点按逆时针方向旋转一个角度，其中．当三角板的一边平分时，求旋转角的度数． 题型十八 旋转作图（共3小题） 52．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上，利用网格画图． (1)画出，使与关于直线m对称； (2)画出，使与关于点O对称； (3)画出将绕点C按逆时针方向旋转后的图形． 53．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在格点（网格线的交点）上，按要求分别画三角形． (1)画，使与关于直线l对称； (2)画，将向右平移8个单位，再向下平移2个单位得； (3)再将绕着点按顺时针方向旋转后得． 54．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在网格中，小正方形的边长均为个单位，点都在格点上，直线经过点． (1)仅用无刻度的直尺在网格中作图． ①画，使绕点顺时针旋转； ②画使与关于直线对称； ③在直线上找一点，使最小． (2)发现：经过一次 （填写“平移”、“旋转”或“轴对称”）可以与重合． 题型十九 二元一次方程（组）的基本概念（共3小题） 55．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 56．（25-26七年级下·四川眉山·期中）如果是二元一次方程，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 57．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 题型二十 二元一次方程（组）的含参问题（共3小题） 58．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知方程组的解满足，则k的值是（    ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 59．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）若关于的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（   ） A． B． C． D． 60．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 题型二十一 解二元一次方程组（共3小题） 61．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）解二元一次方程组： (1) (2) 62．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）解下列二元一次方程组： (1) (2) 63．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）选用适当的方法解下列方程组 (1) (2) 题型二十二 二元一次方程组的特殊解法（共3小题） 64．（25-26七年级下·吉林长春·期末）【知识累计】解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为______． 65．（24-25七年级下·江苏南京·期末）【探索发现】 （1）已知满足； ①求的值；小明、小红分别给出下列思路，请补全小红的思路． ②小明提出：小红的解法是巧合吗？能求的值吗？请根据智能机器人的提示，先求的值，再求的值． 【解决问题】 （2）若满足，为常数且，则的取值范围是_______． 66．（25-26七年级下·四川内江·期末）阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请你解决以下问题 (1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 题型二十三 二元一次方程组的实际应用（共3小题） 67．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）用若干块如图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）． (1)如图1，若，，则 ， ． (2)如图1，若长方形面积为56，其中阴影部分的面积为26，，求的值． (3)如图2，若的长度为，的长度为n． ①当 ， 时，a，b的值有无数组； ②当 ， 时，a，b的值不存在． 68．（25-26七年级下·江苏南通·期中）因道路建设需要开挖土方，计划每小时挖掘土方，现决定向租赁公司同时租用甲，乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 租金（单位：元/台时） 挖掘量（单位：/台时） 甲型挖掘机 100元 乙型挖掘机 120元 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，求甲、乙两种挖掘机各需多少台？ (2)如果每小时支付的租金不超过870元，又恰好完成每小时的挖掘量，求有几种不同的租用方案？ 69．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： (1)若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共8包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量不超过．请通过计算，求出共有多少种符合要求的配餐方案． 题型二十四 不等式（共3小题） 70．（25-26七年级下·四川资阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 71．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对于实数a，b，c，有下列5个说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，，则，．其中说法一定正确的序号是______． 72．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）在一次数学活动课上，老师提出了一个问题：若，，，求的取值范围．甲，乙两位同学采用了两种不同的方法解决了这个问题： 甲： 由，得， 由，得，从而． 由，得， 由，得，从而 故，， 所以． 乙： 由，得， 从而， 由，得，从而． 所以，即． (1) (填“甲”或“乙”)的解法正确； (2)若其中为常数，，，求的最小值用含的代数式表示)． 题型二十五 数轴上表示一元一次不等式的解集（共3小题） 73．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）解下列关于x的不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 74．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 75．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1) (2) 题型二十六 不等式组的解集（共3小题） 76．（25-26八年级下·江苏·期末）解下列不等式组： (1) (2) 77．（25-26九年级下·重庆·期中）解不等式组：． 解：解不等式①，得：_____________； 解不等式②，得：_____________； 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 该不等式组的解集为：_______． 78．（2026·江苏南京·模拟预测）解不等式组，并写出不等式组的整数解． 题型二十七 由不等式组解集的情况求参数（共3小题） 79．（25-26七年级上·江苏·期末）若关于的不等式组的整数解只有1个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 80．（18-19七年级下·福建福州·期中）若关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是_________． 81．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）【阅读材料】 定义：若关于的一元一次方程的解及解的2倍都在一元一次不等式组的解集范围内，则称这个方程为该不等式组的“绝美子方程”．例如，方程的解为，则；不等式组的解集是，可以发现方程的解和都在不等式组的解集的范围内，则称方程为不等式组的“绝美子方程”． 【解决问题】 (1)在方程①；②中，为不等式组的“绝美子方程”的是 ；（填序号） (2)若方程为不等式组的“绝美子方程”，求的取值范围； (3)若方程为不等式组的“绝美子方程”，请直接写出的取值范围． 题型二十八 不等式组和方程组结合的问题（共3小题） 82．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 83．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 84．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知关于，的二元一次方程组（为常数）． (1)若方程组的解也满足方程，求的值； (2)若方程组的解也满足不等式，求的取值范围． 题型二十九 一元一次不等式组的实际应用（共3小题） 85．（24-25七年级下·福建福州·期末）根据以下素材，探索完成任务： 到哪家商场购买花费较少 素材1 学校举办足球比赛，准备购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球． 素材2 已知每套队服比每个足球多65元，四套队服与六个足球的费用相等． 素材3 经洽谈：甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球； 乙商场优惠方案是：若购买队服超过60套，则购买足球打八折． 问题解决 任务1 探求商品单价 求每套队服和每个足球的价格是多少？ 任务2 确定选择方案 若购买100套队服和个足球，求学校到哪家商场购买花费较少？ 86．（24-25七年级下·江苏南通·期末）“五一”期间，美丽的如皋迎来一拨旅游热潮．市内某景点的门票价格规定如下表： 购票人数/人 100以上 票价/元 50 45 40 某旅行社接待了甲、乙两个旅游团，如果两个团单独购买该景点门票，甲团需支付45元/人，乙团需支付50元/人．经核算，甲、乙两团单独买票，共需支付3740元；若两团联合作为一个团体购票，则可少支付140元． (1)求甲、乙两个旅游团各有多少人？ (2)在购买门票前，旅行社新增接待丙旅行团，经研究决定将甲、乙、丙三个团联合作为一个团体购票．若购票的总费用不超过4600元，则丙团最多可有多少名游客？ 87．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）请根据以下素材，完成任务． 学校消防演练效率问题 背景 某校新建了一栋教学楼，现有24个班级，每个班学生最多45人，教师共120人．该教学楼共有4道门可进出（1道正门，3道侧门，其中3道侧门的大小相同）． 素材1 安全检查中，对这4道门进行了测试：正常情况下，当同时开启一道正门和两道侧门时，1分钟内可以平均通过260人；当同时开启一道正门和一道侧门时3分钟内可以平均通过540人． 素材2 在消防演练中发现，紧急情况下，因人群拥挤，出门的效率将比正常情况下降低．安全检查规定：在紧急情况下全大楼的师生应在5分钟内通过这4道门安全撤离． 素材3 为了提高出门效率，学校安排值班教师在门口值班，此时每道门每分钟出门人数可以增加． 解决问题 任务1 正常情况下，平均一分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少人？ 任务2 该大楼建设4道门是否符合安全检查规定？请说明理由． 任务3 学校拟新增a个班级，每个班学生最多45人．在有老师值班时，为保证紧急情况下全大楼的师生仍能通过这4道门安全撤离，求a的最大值． 题型三十 定义、命题、证明（共3小题） 88．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（    ） 甲同学：“该命题是真命题．” 乙同学：“该命题的结论是．” 丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．” A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 89．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）下列命题是真命题的是______（填序号） ①互为补角的两个角都是锐角； ②相等的角是对顶角； ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 90．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若，求证：． 证明：∵，， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∴ （ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 写出本题所用到的互逆命题： ． 1．已知 ，，，则，，之间的数量关系是___________ ． 2．将幂的运算逆向思维可得， ，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求x的值； (3)若，求的值； (4)若，，，直接写出a，b，c之间的数量关系． 3．探究等式的基本性质与特殊幂值的求解方法，并完成以下问题： 【课内回顾】 (1)若，则； 若（c满足条件________），则． 【阅读材料】 如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为1，例如； ③底数为的偶数次幂，例如． 【知识运用】 (2)若，求x的值． 4．先化简，再求值：，其中． 5．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 6．解答： 【知识技能】 已知：；； (1)填空： _____； _____． 【数学理解】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 【解决问题】 (2)若满足，求的值； 【灵活运用】 (3)如图，已知正方形被分割成4个部分，其中四边形与为正方形，若，，四边形的面积为6，求正方形的面积． 7．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 8．如图1，在和中，点在边上，点与点重合，，，，．将绕点按逆时针方向旋转（如图2），得到（点分别与对应）． (1)填空：__________． (2)判断线段与的关系，并说明理由； (3)保持不动，将沿射线平移，得到（点分别与点对应），连接，若四边形是轴对称图形，求的度数． 9．苏通第二过江通道已于近期开工建设，项目建成后将创下“世界最大跨度同类桥梁结构”，“世界最高桥梁索塔”等七项“世界第一”，是推动长三角一体化发展的战略性交通项目．现有甲、乙两车队参与某段项目材料运输，甲车队每天运输材料数目相同，乙车队每天运输材料数目相同，如果甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨． (1)求甲、乙两车队每天完成运输材料各是多少吨？ (2)现甲、乙两车队共同运输材料1800吨，每次运输均装满材料，甲车队每天费用3000元，乙车队每天费用2400元，如何分配运输任务使总费用最低？总费用最低是多少？ 10．我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 11．已知关于，的二元一次方程组（为常数）． (1)若，求的值； (2)满足，求符合条件的的最小整数值． 12．“倡导垃圾分类，共享绿色生活”为响应垃圾分类号召，西园街道计划在某小区内新建A、B两类垃圾站，在满足小区垃圾处理需求的同时，兼顾小区绿化空间的保护，完成垃圾站的规划、方案设计与优化．请你根据以下素材，探索完成任务： 如何规划设计小区垃圾站？ 素材1 新建A、B两类垃圾站，单座占用绿地面积分别为和； 素材2 已知1座A类垃圾站和2座B类垃圾站日处理垃圾能力为1.1吨，2座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力为1吨． 素材3 该小区计划投入使用共10座两类垃圾处理站，要求每日处理垃圾能力不低于3.6吨； 问题解决 (1)求1座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力分别是多少吨？ (2)若建设A类垃圾站n座，求n的取值范围，并分析共有几种符合要求的设计方案？ (3)考虑到小区绿化面积对居民身心健康的重要性，在（2）的前提下，若占用绿化面积不得超过．仅有两种方案可供选择，求a的取值范围． 13．如图，有如下四个论断：①，②，③，④． (1)若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”） (2)若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $