2025--2026学年北师大版数学七年级下册期末模拟测试（三）

**基本信息** 以传统文化（如“燕几”组合桌）与现实问题（如花圃扩建、植物红花概率）为载体，融合抽象能力、推理意识与模型观念，全面考查七年级下册数学核心知识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称、整式运算、垂线段最短等|结合剪纸艺术考查几何直观，用“燕几”情境体现传统文化| |填空题|6/18|垂直平分线、三角形面积、函数图像等|最短路径问题（M点周长最小）考查空间观念| |解答题|8/72|概率计算、全等证明、完全平方公式应用等|花圃扩建问题综合运算能力与模型意识，平行线证明题培养推理能力|

北师大版数学七年级下册期末模拟测试（三） 一、选择题（每题3分，共30分） 1．剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2． 下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（　　） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等 4．将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，若∠1=50°，则∠2的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 5．某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　） A． B． C． D． 6． 如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7．下面四幅图象均表示变量之间的关系．按图象从左到右的顺序，选择与之相近的情境，正确的顺序是（　　） 篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系 小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系 一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系 周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系 A． B． C． D． 8．如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列条件仍无法证明的是（　　） A． B． C． D． 10． 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连结，则的周长为（　　） A．7 B．8 C．10 D．12 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是　 　. 12．如图，在中，的垂直平分线分别交边于点E、F．若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为　 　． 13．如图，将 Rt△ABC与 Rt△DEC叠在一起，点 B恰好落在 DE上， AB∥CE， ∠A=32°，则∠ACE=　 　. 14．如图，在中，是中线的中点.若的面积是1，则的面积是　 　. 15．将一副三角尺如图所示放置，其中，则　 　度． 16．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是　 　．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05． 三、解答题（共8题，共72分） 17． 计算： 18．先化简，再求值： ，其中 ， 19． 完成下面推理过程，填空并在括号内写明依据. 已知：如图∠1 =∠2， ∠4=∠B， ∠ADF=90°，求证： GF⊥BC. 证明： ∵∠4=∠B（已知) ∴AB∥ ▲ （ ) ∴∠2=∠3（ ) ∵∠1 =∠2（已知) ∴∠1 =∠3（等量代换) ∴AD∥ ▲ （同位角相等，两直线平行) ∴∠ADF+∠GFD= ▲ （ ) 又∵∠ADF=90°（已知) ∴∠GFD=90° ∴GF⊥BC（ ) 20．实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵.为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究. 试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据. 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 39 1 71 63 86 开其他颜色花的植株数量 61 9 101 93 129 出现红花的频率 0.39 a 0.41 0.40 b （1）表中a=　 　，b=　 　； （2）经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率.在上述五个小组的数据中，你认为第　 　组的数据不适合用频率估计概率，理由是　 　.你认为一株该植物开出红花的概率是　 　（结果精确到0.1）. （3）某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开红花的该植株有514棵，请你估计该公园此植物植株的总数量. 21．如图，学校位于河的南岸点A处，在河的对岸点A的正北方向点B处有一建筑物，李老师带领同学们测量学校点A与建筑物点B之间的距离． 测量学校点A与建筑物点B之间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图 设计方案及测量数据 如图1，在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E，使B，C，E三点共线，连接． 如图2，在的延长线上取点C，在点C 的正东方取点D，使，连接，在延长线上取点E，连接，使得，测得米． 任务一 （1）在第一小组的方案中，测量出线段的长度，就可以得到点A与点B的距离，请说明理由． 任务二 （2）根据第二小组的方案和测量数据，求点A与点B的距离． 22．如图，正方形网格中，每个小网格的边长是1，△ABC是格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）， （1）请作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1； （2）求出△ABC的面积； （3）试在直线l上找一点P，使PA+PB最小（不写作图过程，保留作图痕迹）， 23．综合应用 在学习《完全平方公式》时，某兴趣小组发现：已知a+b=5，ab=3，可以在不求a、b的值的情况下，求出的值.具体做法如下： . （1）若a+b=7，ab=6，则=　 　； （2）若m满足m（8-m）=3，求的值，同样可以应用上述方法解决问题.具体操作如下： 解：设m=a，8-m=b， 则a+b=m+（8-m）=8，ab=m（8-m）=3， 所以 请参照上述方法解决下列问题： ①若-3x（3x+5）=6，求的值； ②若（2x-1）（5-2x）=3，求的值； （3）如图，某校园艺社团在三面靠墙的空地上，用长11米的篱笆（不含墙AD）围成一个长方形的花圃ABCD，面积为15平方米，其中墙AD足够长，墙AB⊥墙AD，墙DC⊥墙AD.随着学校社团成员的增加，学校在花圃ABCD旁分别以AB，CD边向外各扩建两个正方形花圃，以BC边向外扩建一个正方形花圃（扩建部分如图所示虚线区域部分），求花圃扩建后增加的面积. 24．老师给小深和小圳布置了一道课后作业：过直线外一点，作一条线和已知直线平行. （1）如图 1，A，B，C均在格点上.小深觉得，如果能够在网格中作图，就可以利用网格的格点作出平行线.请利用网格的格点，在网格中过点 C作出 AB的平行线 CD. （2）如图 2，小圳觉得，连接 AC或者 BC，利用同位角或者内错角相等，两直线平行的定理，作一个角等于已知角，也可以过 C点作出 AB的平行线，请用尺规作图在图 2中作出 AB的平行线 CD. （3） 如图 3， 已知 AB||CD，∠D=x°，∠B=y°，在平行线之间有一点 E，连接 BE、DE， 求∠BED的大小?小深提出，可以过点 E作 AB的平行线 EF，借助辅助线 EF可以解决问题.请写出完整解答过程. （4） 如图 4， 已知 AB||CD，在平行线上方有一点 E， 连接 BE、DE， 作∠ABE与∠CDE的角平分线相交于F点，请问∠BFD与∠BED有什么数量关系，并说明理由. 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】轴对称图形 【解析】【解答】解：B，C，D选项中的图形不都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故答案为：A. 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可. 2．【答案】C 【知识点】同底数幂的乘法；负整数指数幂；积的乘方运算；科学记数法表示数的乘法 【解析】【解答】解：选项 A：由负整数指数幂法则，得 ，故 A 错误； 选项 B：24=16，29=512，则24+29=528≠8，故 B 错误； 选项 C：根据单项式乘法法则， ，故 C 正确； 选项 D：由积的乘方法则， ，故 D 错误. 故答案为：C . 【分析】 根据负整数指数幂、有理数加法、单项式乘单项式、积的乘方的运算法则，分别计算各选项并判断对错即可. 3．【答案】A 【知识点】垂线段最短及其应用 【解析】【解答】解：由题意可得： 测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是垂线段最短 故答案为： A 【分析】根据垂线段最短即可求出答案. 4．【答案】C 【知识点】角的运算；平行线的性质；补角；两直线平行，同位角相等 【解析】【解答】解：如图， ∵a// b， ∠1=50°， ∴∠3=∠1=50°， ∴ ∠2=∠4=180°- 60°-∠3= 70°， ∴∠2= 70°， 故答案为：C. 【分析】根据平行线的性质得到∠3=∠1=50°，∠2=∠4，利用三角板的特殊角度计算即可解答. 5．【答案】A 【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式 【解析】【解答】解：树状图分析如下： 有树状图可知：所有机会均等的结果有16种，其中小明和小亮恰好选到同一种营养套餐的情况有4种，故而得出恰好选到同一种营养套餐的概率是：. 故答案为：A. 【分析】首先用树状图进行分析，然后根据概率计算公式，即可得出答案。 6．【答案】C 【知识点】角平分线的性质 【解析】【解答】解：过点P作PE⊥OA于点E，则PE就是点P到PD的距离， ∵平分，点P在上，， PE⊥OA于点E， ∴PD=PE， ∵PD=2， ∴PE=2。 即则点P到的距离是 2， 故答案为：C. 【分析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可求得答案. 7．【答案】B 【知识点】用图象表示变量间的关系 【解析】【解答】解：第一个图符合：篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系； 第二个图符合：一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系； 第三个图符合：周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系； 第四个图符合：小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系； 故答案为：． 【分析】本题考查了函数图象的问题，先理解函数图象的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断函数图象，①是抛物线图象；②是一次函数图象；③是分段函数图象；④是正比例函数图象，进行判断即可． 8．【答案】B 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【解析】【解答】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是， ∴， 故答案为：B． 【分析】先得到小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽得到解析式即可． 9．【答案】D 【知识点】三角形全等的判定 【解析】【解答】解：∵，， ∴BF=CE， A、添加，可运用ASA证明，A不符合题意； B、添加，可运用SAS证明，B不符合题意； C、添加，可运用AAS证明，C不符合题意； D、添加，无法证明，D符合题意； 故答案为：D 【分析】根据三角形全等的判定结合题意逐一判断即可求解。 10．【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线 【解析】【解答】解：由作图可知，EF垂直平分AB， ∴AD=BD， ∴△BCD的周长为：BD+BC+CD=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10. 故答案为：C. 【分析】由作图可知，EF垂直平分AB，利用垂直平分线的性质，可证得AD=BD；再证明△BCD的周长等于AC+BC，代入计算可求解. 11．【答案】13 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：∵ED是线段BC的垂直平分线， ∴BD=CD， ∴△ABD的周长为：AB+AD+BD=AB+AD+BC=AB+AC=5=8=13. 故答案为：13. 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BD=CD，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差，将三角形ABD的周长转化为AB+AC，此题得解. 12．【答案】9 【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】解：如图，连接. ∵为边的中点， ∴. ∴， ∴. ∵垂直平分为线段上的一个动点， ∴. ∵ ∴， ∴， ∴周长的最小值为9. 故答案为：9. 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质得，再根据面积公式列式计算出，根据线段垂直平分线的性质得，接下来根据三角形三边关系得再根据点到直线垂线段最短，可得AD即为最小的值，从而求出周长的最小值为9，解答即可 13．【答案】148° 【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理 【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A=32°， ∴∠ACB=90°-32°=58°. ∵AB∥CE， ∴∠A与∠ACE的一部分对应形成平行线角关系. 由图中Rt△ABC与Rt△DEC叠放关系可得，∠ACE为外侧钝角，等于180°-32°. ∴∠ACE=148°. 故答案为：148°. 【分析】先利用直角三角形中两锐角互余处理已知角，再结合AB∥CE得到相应角之间的关系.图中要求的是点C处的外侧钝角，所以它与32°组成一组互补角，故为180°-32°=148°. 14．【答案】2 【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积 【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的中线，E为AD的中点， 根据等底同高可知，△ACE的面积=△CDE的面积， △ABD的面积=△ACD的面积2△ACE的面积， 故答案为：2. 【分析】根据E为AD的中点可得S△ACE=S△DCE=1，根据AD为中线可得D为BC的中点，则S△ABD=S△ACD，据此计算. 15．【答案】105 【知识点】角的运算；平行线的性质 【解析】【解答】解：∵AB∥DE， ∴∠BDE=∠B=30°， ∴∠CDF=180°-∠BDE-∠FDE=180°-30°-45°=105°. 故答案为：105. 【分析】由平行线的性质可得∠BDE=∠B=30°，然后根据平角的概念进行计算. 16．【答案】①②③ 【知识点】用图象表示变量间的关系 【解析】【解答】解：由图知小明从家出发，第8分钟至第13分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5分钟，故说法①正确，符合题意； 由图知小华一路不停留，从家到学校的路程为1200米，用时分钟， ∴小华到学校的速度为，故说法②正确，符合题意； 由图知小明从第13分钟至第20分钟跑步到学校，用时分钟，路程为米， ∴小明跑步的速度为，故说法③正确，符合题意； 由图知小华7：08才从家出发，到学校的时间为7：13，故说法④错误，不符合题意． 故答案为：①②③ 【分析】观察图像，根据路程、速度和时间之间的关系依次判断即可，注意每次出发时的时间和对应的路程． 17．【答案】解：原式=-1+1-4+8 =4 【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则 【解析】【分析】先利用有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂化简，再计算即可. 18．【答案】原式=[x2+4xy+4y2-（3x2-xy+3xy-y2）-5y2]÷2x =[-2x2+2xy+5y2-5y2]÷2x =-x+y 当x=-2，y=时 -x+y=-（-2）+= 【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用 【解析】【分析】根据完全平方公式以及多项式乘多项式，化简得到式子，代入x和y的值即可得到答案。 19．【答案】证明： ∵∠4=∠B（已知) ∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行) ∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等) ∵∠1 =∠2（已知) ∴∠1 =∠3（等量代换) ∴AD∥GF（同位角相等，两直线平行) ∴∠ADF+∠GFD=180°（两直线平行，同旁内角互补) 又∵∠ADF=90°（已知) ∴∠GFD=90° ∴GF⊥BC（垂直的定) 【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质 【解析】【解答】证明： ∵∠4=∠B（已知) ∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行) ∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等) ∵∠1 =∠2（已知) ∴∠1 =∠3（等量代换) ∴AD∥GF（同位角相等，两直线平行) ∴∠ADF+∠GFD=180°（两直线平行，同旁内角互补) 又∵∠ADF=90°（已知) ∴∠GFD=90° ∴GF⊥BC（垂直的定义)。 故答案为：DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；GF；180°；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义。 【分析】首先根据平行线的判定同位角相等，两直线平行，可得出AB∥DE，进而再根据平行线的性质两直线平行，内错角相等得出∠2=∠3，进而得出∠1 =∠3，即可判定AD∥GF，进而得出∠ADF+∠GFD=180°，再根据∠ADF=90°，即可得出∠GFD=90°，根据垂直定义即可得出结论。 20．【答案】（1）0.1；0.4 （2）二；抽取的花的植株数量太少；0.4 （3）解：514÷0.4=1285（棵）， 答：估计该公园此植物植株的总数量为1285棵. 【知识点】频数（率）分布表；利用频率估计概率 【解析】【解答】解：（1）由题意可得： 故答案为：0.1；0.4 （2）认为第二组的数据不适合用频率估计概率，理由是抽取的花的植株数量太少，认为一株该植物开出红花的概率是0.4 故答案为：二；抽取的花的植株数量太少；0.4 【分析】（1）根据开红花的植株数量除以总数即可求出答案. （2）根据频率估计概率即可求出答案. （3）根据514乘以概率即可求出答案. 21．【答案】解：（1）理由如下：由作图知，（对顶角）， ∵在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E， ∴． ∴， ∴． （2）在和中， ∵，，（对顶角）， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴米． 【知识点】三角形全等的判定-ASA；线段的和、差、倍、分的简单计算；对顶角及其性质；方位角；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】 （1）根据对顶角的性质得到，根据方位角的定义得到，再利用证明，再根据全等三角形的性质可得，解答即可； （2）根据对顶角的性质得到，再利用证明，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段差计算得到，解答即可． 22．【答案】（1）解：如图△A1B1C1为所求， （2）解： . （3）解：如图，点P即为所求， 【知识点】轴对称图形；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题 【解析】【解答】（1）解：分别作 、、 关于直线 的对称点 、、 ，连接 、、，得 . （3）解：作 关于直线 的对称点 （或作 的对称点 ），连接 与 （或 与 ），延长交直线 于 ，此时 最小（利用对称转化，两点之间线段最小 ）. 【分析】（1）根据轴对称性质，找对称点并连线，关键是准确作出对称点. （2）用“补形法”（矩形减周围三角形 ）计算面积，核心是将不规则三角形面积转化为规则图形面积的和差. （3）利用轴对称将折线转化为直线，依据“两点之间线段最小”确定点 ，关键是对称点的构造与线段最长原理的应用. 23．【答案】（1）37 （2）①设-3x=a，3x+5=b， ∴-3x（3x+5）=ab=6，a+b=5， =13； ②设2x-1=a，5-2x=b， ∴（2x-1）（5-2x）=ab=3，a+b=4， =10 （3）解：设AB=x米，BC=y米， 由题意可得：2x+y=11（米），xy=15（米）， 由图可知，扩建部分的面积为：米， ∴扩建部分的面积为： =121-60 =61（米）， 答：花圃扩建后增加的面积为61米. 【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；求代数式的值-整体代入求值 【解析】【解答】解：（1）由题意可得： 故答案为：37 【分析】（1）根据完全平方公式化简，再整体代入即可求出答案. （2）设-3x=a，3x+5=b，根据单项式乘以多项式可得ab，再根据完全平方公式化简，再整体代入即可求出答案. （3）设2x-1=a，5-2x=b，根据多项式乘多项式可得ab，再根据完全平方公式化简，再整体代入即可求出答案. 24．【答案】（1）解：如图 1中，直线 CD 即为所求； （2）解：如图2中，直线 CD即为所求 （3）解：如图3中，结论： ∠DEB= （x+y) °. 理由：如图 3中，过点 E作 EF∥CD， ∵AB∥CD， ∴EF∥AB， ∴∠D=∠DEF=x°， ∠B=∠BEF=y°， ∴∠DEB=∠DEF+∠BEF=（x+y) （4）解：如图 4中， ∠BED=2∠BFD. 理由：设 BF交 CD于点 G， BE 交 CD 与点 M， ∵∠ABE与∠CDE的角平分线相交于 F点， ∴可以假设∠ABF=∠EBF=x， ∠CDF=∠FDE=y， ∵AB∥CD， ∴∠DGB=∠ABF=x， ∠DMB=∠ABM=2x， ∵∠BFD=∠DGB-∠CDF=x-y， ∠DEB=∠DMB-∠EDM=2x-2y=2 （x-y) ， ∴∠DEB=2∠DFB 【知识点】平行线的判定；平行线的性质；作图-平行线 【解析】【分析】(1)网格作平行线时，只要找出与AB相同的横向和纵向变化规律，再过点C取相同方向的格点即可. (2)尺规作平行线的核心是作一个角等于已知角，使内错角或同位角相等，从而判定两直线平行. (3)遇到两条平行线之间一点连接两端的问题，常过中间点作已知平行线的平行线，把一个大角分成两个可利用平行线性质求出的角. (4)利用角平分线把∠ABE和∠CDE分别设为2x和2y，再结合平行线性质与三角形外角关系，分别表示∠BFD和∠BED，最后比较得到倍数关系. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $