精品解析：江苏省启东中学2024-2025学年高二下学期4月检测数学试题

启东中学高二数学 4月检测 一、单选题 本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知随机变量，那么（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据公式计算即可. 【详解】随机变量，则, 那么. 故选：B 2. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题可知，， 向量在向量上的投影向量为. 故选：. 3. 现有语文､数学､英语､物理各1本书，把这4本书分别放入3个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则放法数为（ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，用间接法求解，先由分步计数原理计算4本书放入三个不同抽屉的放法数目，再计算语文与数学在同一抽屉的放法数目，相减即可得到结果. 【详解】4本书放入三个不同的抽屉， 先在4本书中任取2本作为一组，再将其与其他2本书对应三个抽屉， 共有种情况， 若语文与数学放入同一个抽屉，则其他两本放入其余抽屉， 有种情况， 则语文与数学不在同一个抽屉的放法种数为：种； 故选：C. 【点睛】解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义． 4. 某学校一同学研究温差（℃）与本校当天新增感冒人数（人）的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（ ） A. 样本中心点为 B. C. 时，残差为 D. 若去掉样本点，则样本的相关系数增大 【答案】D 【解析】 【分析】由回归直线必过样本中心可判断A项、B项，由残差公式可判断C项，由相关系数公式可判断D项. 【详解】对于A项，因为，， 所以样本中心点为，故A项正确； 对于B项，由回归直线必过样本中心可得：，解得：，故B项正确； 对于C项，由B项知，， 令，则， 所以残差为，故C项正确； 对于D项，由相关系数公式可知，去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不变，故D项错误. 故选：D. 5. 《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的爵位等级从高到低分为：公、侯、伯、子、男，共有五级．若给有巨大贡献的甲、乙两人进行封爵，则在甲的爵位等级比乙高的条件下，甲、乙两人爵位相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】应用条件概率公式计算即可 【点睛】记“甲的爵位等级比乙高为事件A”，“甲、乙两人爵位相邻为事件B” 事件A包含10个基本事件：（公，侯），（公，伯），（公，子）（公，男），（侯，伯），（侯，子），（侯，男），（伯，子），（伯，男），（子，男） 事件AB包含4个基本事件：（公，侯），（侯，伯），（伯，子），（子，男） 则 故选：C 6. 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从该箱中任取（无放回，且每球取得的机会相等）3个球，则取出的3个球所得分数之和刚好为4的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出取出的3个球中有1个白球2个黑球所得分数之和刚好为4分，再计算出从箱中4个白球和5个黑球无放回取出3个球的种数根据古典概型概率计算公式可得答案. 【详解】取出的3个球中有1个白球2个黑球所得分数之和刚好为4分，共有种， 从箱中4个白球和5个黑球无放回取出3个球共有种， 所以取出的3个球所得分数之和刚好为4的概率为, 故选：C. 7. 已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系， 【详解】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标法计算，利用不是平角，可得为钝角等价于，即，即可求出实数的取值范围. 设正方体的棱长为1， 则有 ∴，∴设， ∴， ， 由图知不是平角，∴为钝角等价于， ∴， ∴， 解得 ∴的取值范围是 故选：C. 8. 甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球：再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则错误的选项为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式、条件概率公式和全概率的概率公式计算求解即可. 【详解】由题意可知，，，， 所以， ， 综上ABD说法正确，C说法错误； 故选：C 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的. 9. 关于及其展开式，下列说法正确的是（ ） A. 该二项展开式中二项式系数和0 B. 该二项展开式中第七项为 C. 该二项展开式中不含有理项 D. 当x=100时，除以100的余数是1 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：直接得到二项式系数和是，即可判断； 对于B：利用通项公式求出该二项展开式中第七项； 对于C：. 求出该二项展开式的有理项，即可判断； 对于D.：利用二项式定理讨论出(最后一项等于1),前面所有项都能被100整除即可判断. 【详解】对于A：该二项展开式中二项式系数和是，故A错； 对于B：.由于展开式的通项公式，所以该二项展开式中第七项为，故B正确； 对于C：.该二项展开式中,最后一项为是有理项，故C错； 对于D.：当x=100时，除了最后一项(最后一项等于1),前面的所有项都能被100整除. 即当x=100时, 除以100的余数是1.故D正确 故选：BD. 10. 已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则（ ） 参考公式：， A. 当时，成对样本数据成线性正相关； B. 当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强； C. ，时，成对样本数据的相关系数满足； D. ，时，成对样本数据的线性回归方程满足； 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相关系数的正负、绝对值大小与变量相关性之间关系可知AB正误；根据，，代入相关系数和最小二乘法公式中，可知CD正误. 【详解】对于A，当时，成对样本数据成线性正相关，A正确； 对于B，当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当，时，对应的样本数据的线性相关程度更强，B错误； 对于C，当，时，不变且， ，C正确； 对于D，当，时，不变且， ，D正确. 故选：ACD. 11. 在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲、乙、丙、丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时（ ） A. 四支球队的积分总和可能为15分 B. 甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 C. 可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况 D. 丙队在输了一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平可判断A，根据甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平判断C，由互斥事件与独立事件的概率公式计算概率判断BD. 【详解】四支球队共6场比赛，有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁. 对于A，四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，所以四支球队的积分总和可能为15分，故A正确； 对于B，每场比赛中两队胜、平、负的概率都为， 则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为，故B错误； 对于C，若甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平， 则甲、乙、丙各得4分，丁得3分， 出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况，故C正确； 对于D，丙队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分， 三队中选一队与丙比赛，丙输，，例如是丙甲，若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平， 则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意， 在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那么它们之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意； 若丙全赢（概率是）时，丙得6分，其他3人分数最高为5分， 这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不能赢否则甲的分数不小于6分，只有全平或全输， ①若甲一平一输，概率是，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是； ②若甲两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意； ③若两场甲都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是； 综上概率为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，O为坐标原点，，，若，则___________，若，则___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 分析】 第一空：由空间两点的距离公式可算得. 第二空：可算得值. 【详解】若，，，故 若，则， ， 解得： 故答案为：； 13. 对一个物理量做次测量，并以测：量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于，至少要测量______次． 参考数据：若，则，，. 【答案】 【解析】 【分析】根据原则可知，可得出，解出的取值范围，即可得解. 【详解】根据正态曲线的对称性，知要使误差在的概率不小于， 则， 又，，所以，得．所以至少要测量次． 故答案为：. 14. 近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有__________种选择方式． 【答案】348 【解析】 【分析】根据题意，按照选出的女生人数进行分类，分别求出每一类的选择种数，然后相加即可求解. 【详解】由题意，根据选出的女生人数进行分类， 第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，女生先选有，剩下的一个角色从3名男生中选1人，则种，所以共有种， 第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的2名女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色从2名男生中选1人，则种，所以共有种， 第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色，A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色让男生扮演，余下的2名女生扮演角色C，所以共有种， 由分类计数原理可得：店主共有种选择方式， 故答案为：. 四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤. 15. 在二项式的展开式中，______．给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于37； ②若展开式中第3项与第2项的二项式系数之比为7：2； ③所有偶数项的二项式系数的和为128． 试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： （1）求展开式中x的系数； （2）写出展开式中二项式系数最大的项（不需要说明理由）． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据所选条件求出的值，即可得到二项式展开式的通项，即可求出展开式中的系数； （2）根据展开式的二项式系数的特征，得到第5项的二项式系数取得最大，再根据通项计算可得； 【小问1详解】 解：因为展开式中第项的二项式系数为， 若选①，则，即，即，即．解得或（舍去） 若选②：则，解得； 若选③：则，解得； 综上可得即为则展开式的通项为，令解得，所以，故展开式中的系数为； 【小问2详解】 解：因为展开式中一共含有项，故第5项二项式系数最大，，即展开式中二项式系数最大的项为； 16. 棱长为2的正方体中，E为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面ABCD所成角的余弦值； （3）求B到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据四边形为平行四边形得到，得到证明. （2）建立空间直角坐标系，平面的法向量为，平面ABCD的一个法向量为，根据向量的夹角公式计算得到答案. （3）直接利用向量根据点到平面的距离公式得到答案. 【小问1详解】 ，故四边形为平行四边形，故， 平面，且平面，给平面. 【小问2详解】 如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系， 故，，， 设平面的法向量为，则， 取得到，，即， 易知平面ABCD的一个法向量为， 则， 根据图像知二面角的平面角为锐角，故平面与平面ABCD所成角的余弦值为. 【小问3详解】 ，故B到平面的距离为. 17. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 120 80 200 女生 100 100 200 合计 220 180 400 （1）是否有的把握认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？ （2）为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量表示抽到的3人中女生的人数，求的分布列； （3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为，求的数学期望. 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）有的把握认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联； （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】(1) 根据列联表中的数据，求得，结合附表，即可求解； (2) 求得男生的人数为人，女生的人数为人，根据题意，得到的可能取值为，求得相应的概率，即可列出分布列； (3) 根据题意，求得任抽1人喜欢长跑的概率为，结合服从二项分布，即可求解. 【小问1详解】 零假设学生对长跑的喜欢情况与性别无关联， 根据题意，由列联表中的数据， 可得， 所以在的独立性检验中，可以推断不成立， 即有的把握认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联； 【小问2详解】 从调查不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人， 其中男生的人数为人，女生的人数为人， 从9人中随机抽取3人，即随机变量的可能取值为， 可得， ， 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 【小问3详解】 由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率为， 所以随机变量服从二项分布，即， 所以. 18. 全球化时代，中国企业靠什么在激烈的竞争中成为世界一流企业呢？由人民日报社指导，《中国经济周刊》主办的第十八届中国经济论坛在人民日报社举行，就中国企业如何提升全球行业竞争力进行了研讨．数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下： 科技投入 1 2 3 4 5 6 7 收益 19 20 22 31 40 50 70 根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表： 5 140 1239 149 2134 130 其中，． （1）请根据表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.1，用的近似值算）； （2）①乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的决定系数（即相关指数），试计算，比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.001） ②由①所得的结论，计算该企业欲使收益达到1亿元，科技投入的费用至少要多少百万元？（精确到0.1） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，决定系数：．参考数据：． 【答案】（1）；（2）①；甲建立的回归模型拟合效果更好；②科技投入的费用至少要9.3百万元． 【解析】 【分析】(1)两边取对数得，令，利用最小二乘法可求得，由此可得回归方程； (2)①根据公式计算可得相关指数，由此可得结论； ②由，解不等式可求得范围，由此可得结果． 【详解】(1)将两边取对数得：，令，则， ∵，∴根据最小二乘估计可知：， ∴， ∴回归方程为，即． (2)①甲建立的回归模型的． ∴甲建立的回归模型拟合效果更好． ②由①知，甲建立的回归模型拟合效果更好． 设，解得：，解得：． ∴科技投入的费用至少要9.3百万元，下一年的收益才能达到1亿． 19. 育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响． （1）已知，，， （i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率． （2）若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由． 【答案】（1）（i）；（ii） （2）丙先参赛，理由见解析 【解析】 【分析】（1）（i）根据相互独立事件概率计算，先求得的分布列，进而计算出的期望；（ii）根据全概率公式求得正确答案； （2）分别计算按“乙甲丙”和“丙甲乙”顺序所获积分的期望，进而作出判断. 【小问1详解】 （i）的可能取值为， ，， . 所以的分布列为： 所以 （ii）第一次闯关从三人中随机抽取，每个人被抽取到的概率都是，且必须闯关成功， 所以概率为. 【小问2详解】 若顺序为“乙甲丙”： 积分的可能取值为, ，， . 所以. . 若顺序为“丙甲乙”： 积分的可能取值为, ，， . 所以 . ， ， 由于，所以， 所以丙先参赛. 【点睛】易错点睛：1.期望值计算中的概率漏算：在计算期望值时，容易遗漏某些概率，特别是当涉及多个相互独立事件的联合概率时，需注意所有可能结果的覆盖. 2.顺序安排的误解：在小问2中，可能会误认为甲不需要参与第一位或第二位的安排而导致推导错误，甲只能在第二位参赛的条件直接限制了顺序安排的自由度，必须在这一条件下进行期望值的比较. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 启东中学高二数学 4月检测 一、单选题 本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知随机变量，那么（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 3. 现有语文､数学､英语､物理各1本书，把这4本书分别放入3个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则放法数为（ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 4. 某学校一同学研究温差（℃）与本校当天新增感冒人数（人）的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（ ） A. 样本中心点为 B. C. 时，残差为 D. 若去掉样本点，则样本的相关系数增大 5. 《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的爵位等级从高到低分为：公、侯、伯、子、男，共有五级．若给有巨大贡献的甲、乙两人进行封爵，则在甲的爵位等级比乙高的条件下，甲、乙两人爵位相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从该箱中任取（无放回，且每球取得的机会相等）3个球，则取出的3个球所得分数之和刚好为4的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球：再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则错误的选项为（ ） A. B. C. D. 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的. 9. 关于及其展开式，下列说法正确是（ ） A. 该二项展开式中二项式系数和是0 B. 该二项展开式中第七项为 C. 该二项展开式中不含有理项 D. 当x=100时，除以100的余数是1 10. 已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则（ ） 参考公式：， A. 当时，成对样本数据成线性正相关； B. 当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强； C. ，时，成对样本数据的相关系数满足； D. ，时，成对样本数据的线性回归方程满足； 11. 在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲、乙、丙、丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时（ ） A. 四支球队的积分总和可能为15分 B. 甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 C. 可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同情况 D. 丙队在输了一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，O为坐标原点，，，若，则___________，若，则___________. 13. 对一个物理量做次测量，并以测：量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于，至少要测量______次． 参考数据：若，则，，. 14. 近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有__________种选择方式． 四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤. 15. 在二项式展开式中，______．给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于37； ②若展开式中第3项与第2项二项式系数之比为7：2； ③所有偶数项的二项式系数的和为128． 试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： （1）求展开式中x的系数； （2）写出展开式中二项式系数最大的项（不需要说明理由）． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 棱长为2的正方体中，E为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面ABCD所成角的余弦值； （3）求B到平面的距离. 17. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 120 80 200 女生 100 100 200 合计 220 180 400 （1）是否有的把握认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？ （2）为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量表示抽到的3人中女生的人数，求的分布列； （3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为，求的数学期望. 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 18. 全球化时代，中国企业靠什么在激烈的竞争中成为世界一流企业呢？由人民日报社指导，《中国经济周刊》主办的第十八届中国经济论坛在人民日报社举行，就中国企业如何提升全球行业竞争力进行了研讨．数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下： 科技投入 1 2 3 4 5 6 7 收益 19 20 22 31 40 50 70 根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表： 5 140 1239 149 2134 130 其中，． （1）请根据表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.1，用的近似值算）； （2）①乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的决定系数（即相关指数），试计算，比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.001） ②由①所得的结论，计算该企业欲使收益达到1亿元，科技投入的费用至少要多少百万元？（精确到0.1） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，决定系数：．参考数据：． 19. 育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响． （1）已知，，， （i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率． （2）若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$