河南周口市天立高级中学等校2026届普通高中学生第一次适应性考试数学试题

**基本信息** 聚焦数学核心素养，通过函数、数列、概率等模块设计梯度化问题，考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配一模综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、向量、函数性质、立体几何|第4题以商人持币情境考查数列递推，体现数学眼光| |填空题|3题15分|三角恒等变换、三角形重心外心、三棱锥外接球|第14题结合重心外心考查几何直观，突出空间观念| |解答题|5题77分|立体几何、函数导数、数列、椭圆、概率统计|第19题摸球游戏综合概率递推与期望，第18题椭圆面积最值关联高考趋势，考查推理能力与模型观念|

机密★启用前 试题卷类型：A 河南省2026届普通高中学生第一次适应性考试 数学试题卷 本试题卷共4页，四大题，19小题，满分150分。考试时间120分钟。 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。 3． 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则 A．2 B． C．13 D．3 2. 已知实数a，b，设A＝｛2，a＋1，b2｝，B＝｛2，3，a，b｝．若，则 A．1 B． C． D． 3. 已知向量a＝（1，），．若a在b方向上的投影向量为b，则a与b的夹角为 A． B． C． D． 4. 一个商人初始持有2枚硬币，每天他都能使持有的硬币数量翻倍，且在每天结束时上缴1枚硬币的税收，那么第8天结束后商人手上持有的硬币数量为 A．129 B．256 C．257 D．512 5. 已知函数若，则a的取值范围是 A．（，－2］ B．［1，） C．［－1，1］ D．［－2，］ 6. 已知数列｛an｝，设，．若｛bn｝为等差数列，设p：“｛cn｝为等差数列”，q：“｛bn｝为常数列”，则p是q的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7. 已知M是平面内一点，过点M分别作直线，的垂线，垂足分别为A，B．若△MAB的面积为，则动点M的轨迹方程为 A． B． C．或 D．或 8. 若圆与曲线有公共点，则m的取值范围是 A．（，－1］ B．（，0］ C．（－1，1） D．（0，1） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点M为PB中点，点N在底面圆周上，且MN⊥AB．若AB＜2AP＜2AB，则 A．AN⊥平面BMN B．AP∥平面OMN C．MN与平面ABN的夹角小于45° D．三棱锥A－BMN的外接球球心在圆锥内 10. 已知函数，则 A．的定义域为 B．是偶函数 C．在（0，）上单调递增 D．有且仅有2个零点 11. 设n为正整数，已知一组数据：（，），（，），…，（，），其中，，…，成公差为2的等差数列，，，…，成公比为2的等比数列，且，记为，，…，的平均值，为，，…，的平均值，y关于x的线性回归直线方程为．若从这组数据中删去（，），则 附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，． A．一定变大 B．一定变大 C．一定变大 D．一定变大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知∈（0，），且满足，，则—▲—． 13. 已知△ABC的重心为G，外心为O，OG∥BC，则—▲—． 14. 已知三棱锥P－ABC的底面三角形ABC与侧面三角形PAB均是边长为4的等边三角形，，D为侧棱PA的中点，E为三棱锥P－ABC的外接球O上一动点．若异面直线AB，DE始终保持垂直，则动点E的轨迹围成的图形周长为—▲—． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）如图，在四棱锥E－ABCD中，AB∥CD，，，点G为DE的中点，且平面ABG与CE交于点F． （1）证明：AB＝GF； （2）若平面ABFG⊥平面ADE，四边形ABFG为矩形，AD⊥AE．点H在线段CD上，直线FH与平面BCE所成角的正弦值为，求线段DH的长． 16. （15分）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若m为函数的正零点，证明：． 17. （15分）已知数列｛an｝的前n项和为，且与2的等差中项是． （1）证明：数列｛an＋1｝是等比数列； （2）记，试判断与的大小关系，并给出证明． 18. （17分）已知椭圆的离心率为，且过点（，）． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若A（，0），B（，0），M，N为椭圆E上两点（均在x轴上方），且AN∥BM． （ⅰ）已知直线AN的斜率为，求直线MN的斜率； （ⅱ）求四边形ABMN面积的最大值． 19. （17分）盒中有4个黑球2个红球，每个球除颜色外均相同．甲、乙进行摸球游戏，两人轮流从盒中摸球，每次由其中一人随机摸出2个球，若有黑球，则黑球放回盒中；若有红球，则红球不再放回盒中．直至盒中红球已被全部取出，游戏结束．第一次摸球从甲开始，记为第n次摸球后游戏结束的概率． （1）求，； （2）求； （3）若摸球2n次，游戏恰好结束，将此情况下乙摸到的红球个数记为随机变量，证明：． 数学试题卷　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $参照机密级管理★启用前 参考答案、提示及评分细则类型：A 河南省2026届普通高中学生第一次适应性考试 数学参考答案、提示及评分细则 第I卷选择题 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A B C D C 题号 1 8 9 10 11 答案 D B BC ABD BD 【评分细则】第1至8题，每小题5分，共40分； 第9至11题，每小题6分，其中全部选对的给6分；有3项 正确，选对2项的给4分，选对1项的给2分；有2项正确，选对1项的给3分；有选错的给0分，共18分。 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 参考答案 题号 12 13 14 答案 10W3π 0.8 3 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1）因为AB∥CD,AB￠平面CDE,CDC平面CDE,所以AB∥平面CDE. …2分 因为平面ABG∩平面CDE=FG,所以AB∥FG,所以CD∥FG. …4分 在△CDB中，因为点G为DE的中点，所以点F为CE的中点， 所以PG=CD=1,所以AB=PG. …6分 2 (2)因为平面ABFG⊥平面ADE,平面ABFG∩平面ADE=AG,AB⊥AG,ABC平面ABFG, 所以AB⊥平面ADE,所以AB⊥AD,AB⊥AE,又AD⊥AE, 如图，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系O-z, 则A(0,0,0),B(0,0,1),C(0,2,2),E(2,0,0),F(1,1,1, 所以BC=（0,2,1),BE=(2,0,-1 …8分 设H(0,2,h)(0≤h≤2)，平面BCE的一个法向量为n=(x,y,z), 则c=0即 2y+z=0, BE.n=0,2x-z=0, 令x=1,则y=-1,z=2,所以n=(（1,-1,2). …10分 因为F旺=(-1,1，h-1), FH.n 所以sin0=cos<Fi,n> 2h-4 Fi‖n6xP-2h+33, 解得h=1,%=5（舍). 所以DH=1. …13分 数学参考答案、提示及评分细则第1页（共6页)》 16.(15分) 解：（1)函数f()的定义域为(-1，+w,f)=x-1-a,-1+@ …1分 x+1x+1 ①当a+1≤0，即a≤-1时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增， 函数f(x)的增区间为(-1，+∞)，没有减区间； …2分 ②当1+a>0,令f'(x)=0,解得x=±V1+a, 当-1<-Va+1<0,0<Va+1<1,即-1<a<0时， 函数f(x)的减区间为(-√a+1,√a+1),增区间为(-1，-√a+1),(√a+1,+o)；…4分 ③当-√a+1≤-1，则√a+1≥1，即a≥0时， 函数f(x)的减区间为（-1，√a+1,增区间为（√a+1,+o) 综上，当a≤-1时，函数f(x)的增区间为(-1，+o)； 当-1<a<0时，函数f(x)的减区间为(-√a+1,√a+1),增区间为(-1，-√a+1),(√a+1,+o为 当a≥0时，函数f(x)的减区间为（-1，√a+1,增区间为（√a+1,+o),.…6分 (2)由(1)可知当a>0时，函数f(x)的减区间为(-1，Va+1),增区间为（√a+1,+0), 可知m>2a+1等价于fm>f(2Wa+1) …7分 因为f(0)=0,m为函数f(x)的正零点， 所以fm=0,等价证明f(2√a+1)<0, …8分 又f(2Wa+1)=2(a+1)-2Wa+1-aln(2Na+1+1), 令1=2a+1c>2》,有a=-4 4 得0=51-÷-小=2.-2-到e-0 4 02u30]02012]: …12分 41 令8W2h+0》,有8网k+2G20 可得函数g(x)单调递减，有g(x)≤g(2)=1-ln3<0, 可得当12时，2-00 …14分 故f(2√a+1)<0,m>2Wa+1得证. …15分 17.（15分) 解：(1)由3(S+)与2的等差中项是2(a,+1),得3(S.+m+2=4(a+1), 所以3Sn+3n=4a.+2. …1分 当n=1时，3a+3=4a+2,解得4=1. …2分 当n≥2时，根据3S,.+3n=4a+2,得3S,1+3(0n-1)=4a-1+2, 两式相减，得3Sn-3S1+31-3(n-1)=4a-4a-1,即3(Sn-Sn-1)+3=4a-4a-1, 又a=Sn-S-1, …3分 数学参考答案、提示及评分细则第2页（共6页) 所以3a.+3=4a-4a-1,所以a.=4a-1+3, …4分 所以a+1=40a1+D,所以a+14, …5分 a-1+1 又4+1=2，所以数列{a,+1}是以2为首项，4为公比的等比数列 …6分 (2)由（1)可知数列{a+1}是以2为首项，4为公比的等比数列， 所以a+1=2×4-1,故4=22m-1-1 …7分 所以26a+2习.23x20+2]2X3×21-》.6×2-2.6.1 …8分 5(a+1) 5×22-1 5x22-1 5×22n55×22m-7 =61-64 55×4-55×4m …9分 当n1时，r=五投场，2%+0 …10分 5(a+1) 当≥2时，41>3，故号×41>1， 所以21>242122x23*2=9 5 2+22%-2=5×4-1,即4>3 ×4-1, 3 3 3 所以1<3x1 54-, …12分 所以工=1-11上++113 3 3 444+ai5x45x4++ ”十 5×4- …13分 …14分 54 1-1 所以当m=1时，T=2a+3；当m≥2时，T<23a+2) …15分 5(a+1) 、5(a.+1) 18.(17分) 3 解：(1)由题意得a 2 4 ad2=4, 31 b2=1. 461, 所以椭圆B的标准方程为+y=1. …4分 4 (2)(i)延长NA交椭圆E于点M',延长MB交椭圆E于点N' 由对称性知AM'=BM,AN=BN',所以四边形MMMN'是平行四边形. 因为A,B关于原点对称，所以N,N关于原点对称， 设M(x,片)，N(x,为，则N(-x2,-y2), 所以kka心=乃上.马-当=号-y …7分 --x2-为X-X 又点MN在椭圆B上，可得呈+=山，平+号-山， 4 数学参考答案、提示及评分细则第3页（共6页) 所以5至+巧-旷=0，化简得三-其-，故ow=-名 4 x5-41 4 又方A所以么=北如-号故e=-专 …10分 (iⅱ)由（i)可知，在平行四边形MMN中，BM=AM',所以S匹边ABx=2S.oww· 因为构成四边形ABMN,所以MN的斜率必不为O. 设hMV的方程为x=m-多，V(5,与人M(马，与 ( +y2=1, 由4 得m+4y-3m=0 x=w-2 3 A=9+70r+0=16m+28>0,与+号=30 7 F+4为y=40m2+0 …13分 解法-：因为MM=V1+m2y2-y=1+m.√y2+)2-4yy=2M+m2 √4m2+7 2+4, 点O到直线MW的距离为 3 2W1+2 所以S.owx=号2V+m.V4m+7 1 3342+7 …15分 2 m2+42+m2m2+4, 3-93.9+432-1, 令m2+4=1≥4，则S.oww=2P=2VF+:23 当且仅当；名，即m士2时取等号 t 9 2 所以(S匹边形BnN)m=2(S.ow）ax=2. …17分 法因为8m0号y-平 …15分 (下同解法一) …17分 19.(17分) 解：(1)R= e-3A59+eCx961846 …4分 c%cgC%c1515151025 (2)若盒中有4个黑球，2个红球，一次性摸出两个球， 摸到0,1,2个红球的概率分别为=2CC8,C1 c5cg=15'C15 …5分 若盒中有4个黑球，1个红球，一次性摸出两个球， 模到0,1个红球的概率分别为三=3，CgC_2 5C5 …6分 摸球n次，记第i次和第n次各摸到一个红球的概率为， 号=12，n-1方 2-i-1 3)1 …7分 数学参考答案、提示及评分细则第4页（共6页)】 摸球n次，记第n次摸到两个红球的概率为P., 则) 1 …8分 n-1 则B-2A-2A+n -是)号品合 2) …10分 (3)解法一：摸球2n次，记第i次和第2次各摸到一个红球的概率为h,, x2(1=1,2,,2-1 …11分 记M=B+++P1, 则M= 食 …12分 M …14分 X可能取值为1,2，且PX=),P心X.=2》=1- …15分 B. BK)=4x1+0-4)×2=2-M 故CX)<号 …17分 解法二：摸球2n次，记第i次和第2n次各摸到一个红球的概率为乃，， 摸球2次，记第2n次摸到两个红球的概率为p2m, …11分 ①若≥2，当k为奇数且k≤21-3时，子=4H 当k=21-1时， 子A>A 则2A+2++2)>P,+24++P2a 敬a+B++A>B+++n …12分 数学参考答案、提示及评分细则第5页（共6页） 记M=1+P3++P2m1, 则M-乃+P乃++卫21>_P+h++2一= …14分 卫m乃+P2++P2m 3B+乃++2n) 51 E可能取值为L2,且PX,=),PK,=2列-人 …15分 比)541+02=2-5，第论成立： …16分 ②若a=1.=0-号g=-古0)号1分2号行结论也成立 91 91 > 综上，B(X)K …17分 数学参考答案、提示及评分细则第6页（共6页)