江苏南通市启东市第一中学2025-2026学年高二下学期第二次素质检测数学试题

启东市第一中学2025-2026年度第二学期第二次素质检测 高二数学试卷 (考试时间150分钟，试卷满分150分，命题人：范帅江审题人：朱海林) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.若z(2+i)=3+4i,则三在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.下列选项正确的是（() A.A=5Ag B.Ai+A=A c.3C8=8C D.Cis =Cis 3.已知一组数据1,2，x,6,7的平均数为4，则该组数据的70百分位数为() A.4.5 B.5 C.5.5 D.6 4.已知随机变量X服从正态分布N4,o2)(σ>0)，若P(X≥3m)+P(X>m-4)=1, 则实数m=() A.3 B.2 C.1 D.-2 5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，且侧面积之比为2，则母线长之比为() A B.1 C.2 D. 6.从0,1,2,3,4五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为() A.48 B.60 C.72 D.100 7.某学校的学生中，60%是男生，40%是女生.已知男生中有30%喜欢篮球，女生中有 20%喜欢篮球.现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是() A.0.30 B.0.26 C.0.24 D.0.20 8.若圆锥的母线长为2√3，则该圆锥体积的最大值为() A.l6元 c.64V3元 3 B.2√6π D.3π 27 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 高二数学试卷第1页/供4页 9.一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有1~9这9个数(1张卡片上标1个数)， 从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张.“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A,“前 两次抽取的卡片号之和为偶数记为事件B,则() A.P(B)= 4 B.P(AB)=P(A)P(B) C.P(B A)= D.P((A+4)B)=1 10. 设函数f(x)=血x,则() A.f(3)>f(5) B.f(e"+4)<f 4e+2 e“+1 c.f(x)- 11.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B,C1D,的所有顶点都在以O为球心的球面上，点E是 棱BB,的中点，点P是棱AD上的动点.则下列说法正确的有() A.若P是棱AD的中点，则PE/I平面BCD 4 B.点P到直线AE的距离的最小值为 5 C棱AD上存在点P,使得∠D,BP=T 4 D.若P是棱AD的三等分点，则过P的平面截球O所得的截面面积最小为4 9 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12.写出命题“∀x>1,x2-ax+2≤0”的否定： 13.已知空间四点A(0,0,0),B(2,1,1),C(1,0,2),D(5,2,m)构成梯形，则实数m的 值为一 14.随机变量X~B(n,p).若D(2+1)=2D(X),则元= ；若 D(2X+1)=E(X),则p的最大值为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要 的文字说明，证明过程或演算步骤。 高二数学试卷第2页/共4页 15.（13分) 设函数f(x) -V,x≥0. (1)当x<0时，求f(x)表达式的展开式中含有x2项的系数： (2)当x>0时，求f(f(x)表达式的展开式中的常数项. 16.(15分) 实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确 定合适的定价，统计了不同定价x(元)与网上月销量y(万件)的数据如下： 10 12 14 16 18 8 6 5 (1)求相关系数r,并说明其意义； (2)建立y关于x的线性回归方程： (3)若月销量不低于5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整 数) 5 5 5 (参考数据： x=70,∑=30， ∑x=1020,∑=190， i=1 i=1 i=1 i=1 4g=40) 之Xy-瓜可 24-g-) (参考公式： b= 1=1 = 2-到空 17.(15分) 甲、乙两人组队代表班级参加学校科技节的“水火箭比赛，每轮比赛由甲、乙两人各发射火 箭一次，在一轮比赛中，如果两人都射中，则得3分；如果只有一个人射中，则得1分：如 果两人都没射中，则得0分.已知甲何轮射中的概率均为子，乙每轮射中的概率均为2每轮 3 比赛中甲、乙射中与否互不影响，各轮比赛的结果也互不影响， (1)若他们参加一轮比赛，求得分X的概率分布列和数学期望； (2)若他们参加两轮比赛，求至少得3分的概率. 高二数学试卷第3页/供4页 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，ABIICD,AD⊥CD, 4B=PD=AD=CD=2.PD⊥平面ABCD,点E为棱PC上的点，点F为棱AD上 的点，点G为棱PB上的点 E G D B (1)若E、F分别为棱PC,AD的中点，证明：EF∥平面PAB; (2)求PD与平面PBC所成角的正弦值： 、(3)若-G-P吧几EO,L),当取何值时，三棱锥C一EFG体积取得最大.一 19.(17分) 已知函数f(x)=e-aex-bx. (1)当a=2,b=-1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)若x=0是f(x)的极小值点，求实数a的取值范围： (3)当a=1时，若x>0,f(x)>0,求实数b的最大值. 高二数学试卷第4页/共4页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D C D A B C B A ACD ABD AC 12. 13.4 14. ①. 4 ②. 15. 设函数 （1）当时，求表达式的展开式中含有项的系数； （2）当时，求表达式的展开式中的常数项． 【小问1详解】 当时，， 其展开式通项为， 令，得， 所以展开式中含有项的系数为． 小问2详解】 当时，， 的展开式通项为， 令，得， 所以展开式中的常数项为． 16．实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据如下： x 10 12 14 16 18 y 8 7 6 5 4 (1)求相关系数r，并说明其意义； (2)建立y关于x的线性回归方程； (3)若月销量不低于5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数） （参考数据：，，，，） （参考公式：，） 【详解】（1），， 故， 故与完全负相关． （2）， 故，回归方程为． （3）由题设，此时，故，故定价最高为16元． 17. 甲、乙两人组队代表班级参加学校科技节的“水火箭”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各发射火箭一次，在一轮比赛中，如果两人都射中，则得3分；如果只有一个人射中，则得1分；如果两人都没射中，则得0分.已知甲每轮射中的概率均为，乙每轮射中的概率均为.每轮比赛中甲、乙射中与否互不影响，各轮比赛的结果也互不影响. （1）若他们参加一轮比赛，求得分的概率分布列和数学期望； （2）若他们参加两轮比赛，求至少得3分的概率. 【小问1详解】 的可能取值为，， . . . 所以得分的概率分布列为： 数学期望. 【小问2详解】 至少得3分的对立事件为总分小于3分，即总分为0、1、2. 总分得0分的概率为： 总分得1分的概率为： 总分得2分的概率为： 所以总分小于3分的概率为： 所以至少得3分的概率： 18. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，．平面，点为棱上的点，点为棱上的点，点为棱上的点． （1）若、分别为棱，的中点，证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）若，当取何值时，三棱锥体积取得最大． 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为、分别为棱，的中点， 所以， 因为平面平面， 所以平面，同理平面， 因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面. 【小问2详解】 由题意中平面得两两垂直， 以为正交基底建立空间直角坐标系， 则因为， 所以， 所以． 设平面的一个法向量， 则， 不妨设，则，即：， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 法一：设点到平面（也即平面）的距离为， 三棱锥体积为，则， 由（2）可知平面的一个法向量， 点到平面距离， 因为，所以点到平面距离． ， 所以，即直角三角形，所以， 所以点到棱的距离为， 又因为，所以，且点到边的距离为， 所以的面积为． 所以，其中． 所以，所以， 令可得，列表如下： + 0 － 递增 极大值（最大值） 递减 答：当取何值时，三棱锥体积取得最大． 法二：三棱锥体积为，则， 因为，所以，， 所以， 所以， 则， 令可得，列表如下： + 0 － 递增 极大值（最大值） 递减 答：当取何值时，三棱锥体积取得最大． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极小值点，求实数的取值范围； （3）当时，若，求实数的最大值． 【小问1详解】 当时，， 所以，故， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 因为，所以， 因为是的极小值点，所以，得， 所以， 当时，， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点. 当时，由得或. 当时，，由得或；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极小值点. 当时，，不合题意. 当时，，由得或；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不合题意． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 当时，， 当时，因为（当且仅当时等号成立），所以， 所以在上单调递增，故，符合题意. 当时，令，解得， 因为，，所以，故， 所以当时，，故在上单调递减， 所以，不符合题意． 综上，实数的最大值为2． 学科网（北京）股份有限公司 $