【天壹试题】2025-2026学年高三4月质量检测 数学

高三年级4月质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1.【答案】A 【解析】因A={-1,2,3,5,8},B={x2<8}={xx<3},则A∩B={-1,2}.故选A. 2.【答案】D 【解析】将题中数据按从小到大排列为10,14,16,16,19,20,40,50，则众数为16，因为8×60%=4.8，所 以第60百分位数为19，所以众数与第60百分位数之和为16+19=35，故选D. 3.【答案】C 【解析】设等比数列{an}的公比为q,q≠0，因为a4,3a2,a3成等差数列，所以2X3a2=a3十a4,即6a1q= a1g2+aq3.则a1q(g十q一6)=0，因为等比数列中a1q≠0，所以g2+g-6=0,解得g=2或g=-3 (舍)，故选C. 4.【答案】B 【解析】先从5名学生中选出2人组成一个小组，有C号种方法；再将这个两人小组与其余3名学生安排 到4个不同的社团，有A种方法，根据分步乘法计数原理，共有C号A=10×24=240种不同的安排. 故选B. 5.【答案】C 【解析】函数y=(日)广y=-1og=og:x在[1，十∞)上具有相同的单调性，所以)在[1，十∞)上 单调，要满足题意，则f(x)在[1，十∞)上单调递增，所以f1)=是-log,1=2,解得a=2,故选C. 6.【答案】C 【解析】以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标y 系xBy,BC=8,C(8,0),|AB=|AD|=4,∠ABC=子A(2,2), O(B) D(6,2√3)，设M(x,0),则V(x+2,0)(其中0≤x≤6)，DM (x-6,-2√3)，DN=(x-4,-23),DM·DN=(x-6)(x-4)+(-23)2=x2-10.z+36= (x-5)2+11,所以，当x=5时，DM.DN取得最小值11.故选C 7.【答案】B 【解析】由题意可设P(一c,y)(e为半焦距)，则m=一之，又k8=一名，因为 AB/OP,所以-2=一名，得%=仁，所以P(-c,)把P(-c,)代入椭圆 8.【答案】B 【解折】v(A一)=√5m2B十m2C得，imA-oA=m2B+m2C整理得n2A+ 【高三数学参考答案第1页（共6页）】 6360C sin2B+sin2C=1,所以sin2A+sin2B-sin(2A+2B)=1,整理得sin2A+sin2B-sin2Acos2B cos 2Asin 2B=1,sin 2A(1-cos 2B)+sin 2B(1-cos 2A)=1,2sin 2A sin2B+2sin 2B sin2A =1,4sin Acos A sin2B+4sin Bcos B sin2A=1,4sin Asin B(cos Asin B+sin Acos B)= 4 sin Asin Bsin(A十B)=4 sin Asin Bsin C=l,则sin Asin Bsin C=子，设△ABC外接圆的半径为R, 由正弦定理得，a=2 Rsin A,b=2 Rsin C,c=2RinC,所以Sac-号absin C-号×2 2Rsin A· 2 Rsin Bsin C=2R2 sin Asin Bsin C==2,解得R=2:则abc=8 sin Asin Bsin C=16,故选B, 9.【答案】ACD 【解折】：=年=1十i心1一，故A正确： |=√十1严=√2，故B错误； 之在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，所以位于第一象限，故C正确； .复数w满足|ω=1，.复数w在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上，.之一wω≤ |w一x≤|x|+w,故w一之的最大值为√2十1，故D正确.故选ACD. 10.【答案】ABD 【解析J由题意知，几何休的体积V-VgA0十V,m=2X2×号×2X号×2-号，放A正确： 显然BE,DF是异面直线，故B正确； 易知EG=FG=√6，EF=AC=2√2，所以EG+FG≠EF2,故C错误； 由上述可求得S=35,又V,0一手，则点A到半面BDE的距离为9，放D正确，放选ABD 11.【答案】ABD [x=my+2 【解析】对于A,依题意得F(2,0),设直线l:x=my十2，A(x1,y1),B(x2,y2),联立 ,消去 2=8x x得y2-8my-16=0,则y1+y2=8m,y1y2=-16,则 或 y2=-8 期A(宁2B8,-8成A合-2），以88，则直较的斜率=士专放A正确： y2=8 ,AF+4BF=G十4+10=8+号+10=+号+10≥18，当且仅当y8三 2 2 立，故B项正确； 于C,因为OA·O形=4+边三+M必=12<0，所以∠AOB>90,故C项错误 对于D,依题意有，抛物线y=8x的准线方程为x=一2，所以D(一2,0)，F(2,0),则y好=8x1,x1>0, 由抛物线的定义可得AF|=x1十2，AD=√/(x1+2)2+(y-0)7=√x+4x1十4十8x= √+120十4，因为x1>0,所以AF x+2 x1+4x+4 8x1 √/x+12x1+4 Vx+12x1+4 x+12x1+4 【高三数学参考答案第2页（共6页）】 6360C 8 0+4+12 经，当且仅当x=2时取等号此时AF三4，放D项正 2 1X -+12 确.故选ABD. 12.【答案】4√2 【解析】易知圆(x一1)2+y2=9的圆心为(1,0)，半径为3； 由圆心(1,0)到直线3x十4y十2=0的距离为d=3十0+2=1， √9+16 所以直线被圆截得的弦长为2√9一1=4√2. 13.【答案】号 【解析】f(x)=x,则了(x)=a,所以切线方程为y一i=(x一五)，即y=x一ig(x) ,则()=后，所以切线方程为y-号店=(x一，即y=x一号店：由题意可知， 1 x1=x吃， 3, 得=故-巧=一 91 14.【答案】2 【解析】由于2sin号·(sinx+sin2x+…+sin2024x)=cos(x-)-cos(x+受)+cos(2x-受）) cos(2x+号)+.+cos(2024x-)-cos(2024x+)=cos(-)-cos(2024x+) 2g2024）-co202+224）=2m202平n1012.因此/)=smx+sm2z cos 2 2g5sn1012 sin +…+sin2024x= sin号 由于60，配]，因此了仅有零点总2则 f()在(0102]上共有2个零点 15.【答案】(1)详见解析(2)Tn=-1+(-1)”√n+1 【解折1h2-a行得c-1=的， 2分 所以a2+1-a房=1，…………………4分 故{a}是公差为1的等差数列；… 6分 (2)因为a=1,所以由(1)可知，a2=1十(n-1)X1=n,则an=√n.…8分 所以1)=(-1）(n十十m.…10分 an+l-an Tn=-(W2+1)+(W3+√2)-…+(-1)"（√n十I+√m)=-1+(-1)"√n+I.…13分 16.【答案11)7(2)X的分布列见解析，E(X)=575 【解析】(1)设事件A表示“甲被该企业正式录取”，事件B表示“乙被该企业正式录取”，事件C表示 【高三数学参考答案第3页（共6页）】 6360C “丙被该企业正式录取”，…。 …1分 则由题可知P(A)=×=，P(B)=P(C=号×2=， 3分 事件D表示“甲、乙、丙三人都没有被该企业正式录取”，…4分 则P(D)=P(BC)=P(A)P(B)P(C)=(1-名)×(1-3)×1-3）9， …6分 所以甲乙，丙三人中至少有一人被该企业正式录取的短率P=1一P(D)=1一号易 …7分 (2)X的所有可能取值为300,450,600,750，对应事件分别为“三人均未通过笔试”，“三人中恰有一人 通过笔试”，“三人中恰有两人通过笔试”，“三人均通过笔试”，……9分 P(X=30)-=×号×- 10分 P(X=450)= 11分 2 ,1+1 PX=60)=2x7×号×号+ 2大1 2.4 3 39 12分 P(X=750)= ×号×号 1 9 13分 所以X的分布列为 X 300 450 600 750 1 P 2 18 18 9 数学期望E(X)=300× 18+450 18 +600× +750×号 =575 15分 1.【答案K1D详见解析(2)) (i)v⑤77 517 【解析】(1)取BE的中点Q,连接MQ,QV, 因为M为PE的中点，所以MQ为△PEB的中位线，则MQ∥PB,…1分 又MQ中平面PBC,PB平面PBC,所以MQ∥平面PBC,2分 因为N为CD的中点，所以QN为梯形BCDE的中位线，则NQ∥BC, 又NQ丈平面PBC,BCC平面PBC,所以NQ∥平面PBC,…3分 又MQ∩NQ=Q,所以平面MQN∥平面PBC,……4分 因MNC平面MQN,故MN∥平面PBC;…………5分 (2)取DE,BC的中点H,G,连接PH,HG,则PH⊥DE,HG⊥DE, 因为平面PDE⊥平面BCDE,所以PH⊥平面BCDE,则PH⊥HG,以H为原点，以HG,HD,HP 所在直线分别为x,y,之轴建立如图所示空间直角坐标系. 则P(0,0W3),E(0,-1,0),G(5,0,0),… 6分 (1)易知梯形BCDE的外接圆的圆心为G,因为OG⊥平面BCDE,所以设O(√3,0，x。), 由0E=OP得，√(W5-0)+(0+1)2+(-0)2=√(W3-0)+(0-0)2+(。-√3) 解得 3 ………………………………………8分 【高三数学参考答案第4页（共6页）】 6360C 所以球0的半径的平方R:=3+1十号-，放球0的表面积为S=4红R-52=, ……10分 imM(o,-之)N(多，0o(5,0)-(,2- …………11分 设平面OMN的一个法向量为m=(x1,y,21), MN.m=0, 21+2y 2=0, 则 取x1=1, OM.m=0, 631=0, 则m=(1,5√3,21)， 13分 由(1)可知，HG⊥平面PDE,则n=(1,0,0)为平面PDE的一个法向量， 1 所以cosm,n)=m·n√517 m·n √517 517· 14分 故平面OMN与平面PDE的夹角的余弦值为 517 15分 18.【答案11)-。(2)(-，1](3)(0，）U(1,+o) 【解析】(1)函数f(x)=xlnx的定义域为(0，+o∞)，求导得f(x)=lnx十1； 令f()=0,得到=日； ……………………………………………2分 当x∈(0，）时，f(x)<0,函数f(x)单调递减；… 3分 当x(日，十∞）时，f(x)>0,函数f(x)单调递增；… 4分 因此fx)在x=处取得极小值（日）n是=-吕 e 5分 (2)当x>1时，f(x)>k(x一1)恒成立，即xlnx-b(x-1)>0恒成立；… 6分 令g(x)=xlnx-k(x-1),x>1,则g'(x)=lnx十1-， 令g(x)=lnx十1-k=0,得到x=e-1,… 7分 当e-1≤1，即k≤1时，在(1，十o∞)上g'(x)>0, 函数g(x)单调递增，g(x)>g(1)=0,满足条件；… 8分 当e1>1,即k>1时，当1<x<e-1时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减， 当x>e-1时，g(x)>0,函数g(x)单调递增，…9分 所以函数g(x)在x=e-1处有最小值g(e-1)=k一e-1; 令h(k)=-e-1,k>1,则h'(k)=1-e-1<0,所以h(k)在(1，+∞)上单调递减； h(k)<h(1)=0,即g(e-1)<0,不满足条件； ………………………………………………… 11分 综上所述，实数k的取值范围是（一∞，1]；…12分 (3)不等式即xlnx一 号>0.设g(x)=nx-名号得到g(x)=lnx+1- e-1 【高三数学参考答案第5页（共6页）】 6360C 令g'(x)=0,得到x=e,且1<eH<1 …14分 当0<x<e与时，g(x)<0,p(x)单调递减； 当x>e兰时，9(x)>0,p(x)单调递增； 15分 1一1 日）(-108-0g1)=108号0， 所以当0<r<是时g(x)>0,当。<x<1时，9(x)<0,当>1时，(x)>0; 故不等式的解集为(0，）U(1,十o∞).… 17分 18.【答案水1)号-芝-1(2②)0不存在，理由见解析《m受或受 【解析】(1)因为渐近线互相垂直，所以a2=b,………… …………1分 将双圃线方程和圆方程联立，解出r=号d=3,解得d==2.=4,侧双曲线的方程为号苦=1： …………4分 (2)()显然直线斜率不存在时结论不成立， 设直线1：y=k(x一2)，与双曲线方程联立得到(k2一1)x2一4x+42+2=0,设点P,Q的坐标分 别为且40恒底立测兴出搭号， ……6分 直线BP的方程为：y2x十2)，直线F,Q的方程为：y= 千2(x十2)， 故点M的坐标为0,2)点N的坠标为(0，竿) 若点F在以线段MN为直径的圆上，则MF·NF。=O, 9分 则N=(,),)=4 4y1y2 x1x2十2(x1+x2)+4 =44十得=号 11分 但是注意到直线1仅与双曲线右支相交，所以>1，因此上述直线不符合条件，因此不存在； ……12分 (i)由两点间距离公式可得，PQ=√(x-x2)+(y一)F=√2+I√（十x2)-41x2 (k2十1)2 =2R-1 …15分 /(k2+1)2 则2√2·√k-1)7 =4,解得2=3+2W2或3-2√2（舍），可得k=±(2+1)，当k=√2+1时，设1 的倾斜角为9(c(0,受)， 16分 则tan20= 2W2+1) 1-(W2+1)月 =-1,20-经，所以0=径同理可得另一个角为餐，因此∠PF,6为或号 …17分 【高三数学参考答案第6页（共6页）】 6360C高三年级4月质量检测 数学 答题卡 准考证号 姓 名 0I0000I000□0I0 口DDD口口1口D1■ 班 级 2I2]22四2I22I2四22 33I3]333]3]33]3 4I4D444I44I4口44■ 考 场 5555555555 6666666666 7I707刀707I7I7I7I7I7□ 座位号 8888888888 9]9]999I9]9I9]99 1.答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、准考证号填写在规 注 定的位置，核准条形码上的准考证号、姓名与本人相符并完 全正确及考试科目也相符后，将条形码粘贴在规定的位置。 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑 事 色墨水签字笔作答，字体工整、笔迹清楚。 贴条形码区域 3.考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题 项 区域范围书写的答案无效：在草稿纸，试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 填涂样例 正确填涂： 错误填涂：中Xp口 缺考标记：☐ 单选题（每小题5分，共40分） 1 A]B][C]D] 5 [ABC D 2 [A B][C]D 6ABI☑D 3A□BICD 7A□BD 4A]B]CD] 8A▣B☐D 多选题（每小题6分，共18分） 9ABCD 10[A]B [C]D 11AB☐CD 填空题（每小题5分，共15分） 12 13 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高三数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 6360C 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高三数学第2页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 6360C高三年级4月质量检测 数学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹 签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.若集合A={-1,2,3,5,8},B={x2r<8},则A∩B= A.{-1,2} B.{-1} C.{2,3} D.{2,3,5} 2.一组数据为50,40,20,19,16,16,14,10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为 A.40 B.39 C.36 D.35 3.在正项等比数列{an}中，a4,3a2,a3成等差数列，则数列{an}的公比为 A.1或2 B.2或3 C.2 D.3 4.某大学有A,B,C,D四个社团在招生.5名学生去报名，每个社团至少有1名学生，则不 同的报名方式共有 A.144种 B.240种 C.256种 D.288种 5.已知函数f(x) 一logax(a>0,且a≠1)在[1，十∞)上的值域为[2，十∞)，则a= A.4 B.2 c D. 6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,BC=2AB=2AD=8,B=号，若M,N是线段BC上的 动点，且MN=2,则DM·DV的最小值为 A.9 B.10 R C.11 D.12 ,从椭圆号+芳-1>6>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点上，椭圆与女轴 正半轴交点为A,椭圆与y轴正半轴交点为B,若AB∥OP(O为原点)，则该椭圆的离心 率为 A B.② D.3 2 c 3 【高三数学第1页（共4页）】 6360C 8.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为2，√2 sin(A) √/Sin2B+sin2C,则abc= A.20 B.16 C.12 D.8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分」 9若复数=则 2i A.=1-i B.|=2 C.之在复平面内对应的点位于第一象限 D.复数w满足w=1,则w一z的最大值为√2十1 10.如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥平面ABCD,CF⊥平面ABCD,AE=CF=AB=2, 则下列说法正确的是 A.几何休的体积为 B.BE,DF是异面直线 C.EG FG D.点A到平面BDE的距离为2y 3 11.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过点F的直线l与C交于A,B两点，D是C的准线 与x轴的交点，则下列说法正确的是 A.若BF=4到AP,则直线1的斜率为士号 B.AF+4 BF>18 C.0°<∠AOB<90°(O为坐标原点) D.当A铝取最小值时AF到=4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.直线3x+4y+2=0被圆(x-1)2+y2=9截得的弦长为 13.已知直线1与函数f(x)=2x的图象在x=x(≠0)处相切，与函数g(x)=}x的 图象在x=x2(x2≠0)处相切，则x2一x1= 14.已知函数fx)=sinx+sin2x+…十sin2024,则f()在(0,2]上共有 个零点 【高三数学第2页（共4页）】 6360C 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(本小题满分13分) 已知正项数列(a,}满足a1=1,且m+1一1=a, an am+1+1 (1)证明：{a}为等差数列； (2)求数列一1)”) an+l-an 的前n项和Tm 16.(本小题满分15分) 某企业招聘方式分笔试、面试两个环节进行，先进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面 试合格后便正式录取，且这两个环节能否通过相互独立.现有甲、乙、丙三名大学生参加 了该企业的招聘，假设甲通过笔试，面试的概率分别为2，宁：乙，丙通过笔试的概率均为 号，通过面试的概率均为号 (1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率； (2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，该企业决定给报名参加应聘的大学生 一定的补贴，补贴标准如下表： 参与环节 笔试 面试 补贴（元） 100 150 记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望. 【高三数学第3页（共4页）】 6360C 17.(本小题满分15分) 如图，D,E分别为等边三角形ABC的边AC,AB的中点，DE=2,将△ADE沿DE折起， 使顶点A至点P的位置，此时平面PDE⊥平面BCDE,M,N分别为PE,CD的中点. (1)证明：MN∥平面PBC; (2)若点P,B,C,D,E在同一球面上，设该球面的球心为O. ()求球O的表面积； (ii)求平面OMN与平面PDE的夹角的余弦值. 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=xlnx. (1)求f(x)的极小值； (2)当x>1时，f(x)>k(x一1)恒成立，求实数k的取值范围； (3)求不等式f(x)>的解集. 19.(本小题满分17分) 已知双前线C:后-常-1(a>0,>0)的裔近线互相垂直，F,B分别为其左、有集点、 双曲线与圆C2:x2十y2=c2的某个交点的横坐标为√3. (1)求双曲线C,的标准方程； (2)过右焦点F2的直线1与C1的右支交于P,Q两点，其中点P位于第一象限内，直线 FP,F1Q分别与y轴交于M,N两点. ()是否存在直线L使得点F2在以线段MN为直径的圆上，若存在，请求出此时直线 l的斜率；若不存在，请说明理由； (i)当|PQ=FF2|时，求出∠PF2F1的大小. 【高三数学第4页（共4页）】 6360C