【天壹试题】2025-2026学年高三3月质量检测 数学

2026届高三3月质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1.【答案】C 【解标】由题意可得A=2,3,4,B=(了，十∞故aB=(-0,号]，故(mB)门A=2,故选C 2.【答案】B 【解析】由题意可得之2=(2-i)2=4-4i+i2=3-4i,于是x2+1=4-4i=√42+(-4)=4√2，故选B. 3.【答案】A 【解析】对于甲，由ln.x>0得x∈(1，十c∞)，对于乙，由ln.x≥0得x∈[1，十o∞)，可知甲是乙的充分不必要条 件，故选A. 4.【答案】D 【解折1由题意可得。-a·b>.(》水ab)-(》+2)=0:解得x-或-2，做法D 5.【答案】B 【解析】因为BM>|AM|,所以点M在y轴左侧，如图，作MN⊥x轴，垂足为 N.由an∠BAM=号得sin∠BAM=手，所以MN=AMsn∠BAM=8,即 |yM=8,则|AN|=√102-8=6，BN|=√(4√13)-82=12，所以|AB= B 2a=18,即a=9,则xM=-9十6=-3，故选B. 6.【答案】C 【解析】先安排队头有A}种排法，再安排队尾有A?种排法，然后安排4名女同学有A种排法，最后在4名女 同学中安排剩下男同学有A}种排法，根据分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为A}A2A4A}=432,故 选C。 7.【答案】D 【架折1日E意可得au(日-爱）--2，架得1a的=一3，显然sm20-2snco动- 2sindcos0 cos20+sin20 2tang -6 1+tan201+9 5,c0s20= 器9+部g吊专于天m81月）-号(0 cos20)=- 72 ,故选D 8.【答案】A 【解析】注意到x∈[n一1，n)时，f(x)≤0，由周期性可知在定义域上f(x)≤0，而当x∈[n-1,n)时，若 n≥2，则f(x)=(-2)-在[n-1,n)上单调递增，注意到f(n-1)=-(n-1),可知(x)在 [n-1,n)上的值域为[-(n-1),0),于是当k∈[-1,0)时，y=kx与y=f(x)在[n-1,n)上有交点，故在 (0,十∞)上必有无穷个交点，符合要求.当k<-1时，x>0时有kx<f(x),x<0时k.x>0>f(x),故交点 个数有限.当k=0时，注意到f(-n)=f(-n十1)=…=f(0)=0,可知f(x)有无穷个零点，符合要求.当 【高三数学试题参考答案第1页（共5页）】 k>0时，注意到r∈[01D时f()=xG-1D>-1,故x<-时kx<-1<f),故在(-0,0)上的交点 个数有限，而x>0时kx>0>f(x),可得交点个数有限.综上，由题意知k∈[一1,0]，故选A. 9.【答案】BC 【解析】对于A,fx)的最小正周期T=x,可得A错误：对于B选项，显然fx)在区间（行， ）上有定义，显然其 在连续定义绒上单调递培，放B正确：对于Cf(答-=tan(答-x）=amx一(+）]--ta(r+) 一f(x),可得曲线y=f(x)关于点（否，0）中心对称，故C正确：对于D,由单调性和周期性可知f(x)=E在 (0,π]和（π，2π]上各只有一个解，矛盾，故D错误，故选BC. 10.【答案】AD 【解析】易得f(x)=-3x2+3,由f'(x)=-3.x2+3>0,解得-1<x<1, 由f'(x)=-3.x2十3<0，解得x<-1或x>1,所以f(x)在(-∞，-1)和 (1,十∞)上单调递减，在区间(-1,1)上单调递增，所以x=一1，x=1分别 (x) 为f(x)的极小值点和极大值点，则f(x)有两个极值点，故A正确；因为 -2 -1 0<x<1,所以0<x<√<1，根据f(x)在区间(0,1)上单调递增，所以 f(V反)>f(x),故B错误；f(x)小直=f(-1)=-4<0,f(x)大值=f(1) =0,f(-3)=16>0,结合f(x)的单调性，作出f(x)的大致图象，由右图可 知，f(x)有两个零点，故C错误；结合图象可知不等式f(x)<0的解集为 {x|x>-2,且x≠1}，故D正确；故选AD. 11.【答案】AC 【解析】由双曲线定义及点P在右支上可知，|AP|一|PB|=2a,又已知|AP|=2PB,解得|PB|=2a, |AP|=4a,由三角形三边关系得4a-2a<2c<4a十2a,化简得a<c<3a,故双曲线离心率e∈(1,3)，在 △AP阳中，由余弦定里得/PA-a-”m/APB=16e志 2(2a)(2c) 2ac 60对于选项A,若△APB为锐角三角形，则必须清足cOs乙PBA>0且c©s∠APB>0.解得B之e √5，故A正确；对于选项B,若△APB为钝角三角形，则满足cos∠PBA<0或cos∠APB<0,解得1<e< 5或5<e<3,故e>5不一定成立，故B错误：对于选项C,cos∠PAB=16a+4c-4a=3a+c 2(4a)(2c) Aac (2+小，因为eE1.3,由蒸本不等式得片(2+小≥复当且仅当e=5时等号成立，比时os∠PA5 取得最小值，即∠PAB取得最大值，将e=√3代入得cos∠PBA=0,即∠PBA=90°，此时△APB为直角三 角形.放C正确：对于选项D,△APB的面积S=APIIPEsin∠APB=asin∠APB,当∠APB=90, 即e=√5时面积取得最大值4a?,但当∠PBA=90°，即e=√3时△APB也为直角三角形，此时面积为2√3a 并非最大值，故D错误；故AC. 12.【答案】40 【解析】由等差数列的定义可得贸-2+2m-1D=2m-1,故a=(2m一1D·2,故a=5×2=40,放答案 为40. 【高三数学试题参考答案第2页（共5页）】 13.【答案】1g2 【解析】设材料乙的透射光光强为I,A平=g -1g2=12+1s行A2=1g子，于是A年-A2=1g2,故 10 答案为1g2. 14【答案)鼎 1-p=9 7 b"8 27 【解析】由题意知 ,可得 6 p+116' 解得 p3,故XB(6,) 1pn+1 81 81 n=3 P(X=k)=C )() 2PX=0》-pX=0-号p(X=2)g. C哈·2 P(X=3)= P(X-)0P(X-5)-g.P(X-6),可知P(X-的0大值为P(x-) 160 240 80 243故答案为 80 431 15.【解折1水10平均每年的趼发投入为=12+(0.1+0.5-0.7+0,4+11-05-1-0,7+0.6+0.2)=12… ………2分 平均每年的营业额为y=600十 050+80+20+60+95+40+0+30+65+60)=650.…4分 2(x,-)0y:-) 169.5 (2)将所给数据代入相关系数计算公式得r= …8分 √4.26×√/7250 其中√4.26×√7250=√30885≈176，所以r≈ 1695≈0.96..m 176 ……10分 (3)由题意知，回归直线过样本中心点(12,650)，即650=12b十170，解得b=40.…11分 所以回归方程为y=40.x+170.将x=13.5代入回归方程，得y=13.5×40十170=710，故预测该公司今年的 营业额为710亿元.… …13分 16.【解折11D此时CE-C元+DE=-A店+号A.…1分 EA-E,B+B,A=-A店+号AA …2分 于是CE2=E1Ai,而A1E1不与CE2共面，可得CE2∥A1E1,…3分 由A1E1C平面AC1E1,CE2丈平面A1C1E1,可得CE2∥平面A1C1E1.…4分 (2)以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AD的方向为y轴正方向，AA1的方 B 向为之轴正方向，建立空间直角坐标系A一xy之，……………5分 不妨设AB=1AA1=A>0.则A0,00,C110,E10,含，A0,0,,C11a),AC=AC =(10,7),A1E1=(1,0,, n1·AC=0 x1+y1=0 记平面ACE1的法向量为n1=(x1,y1,21), ,即{+1=0 ,可取n1=（-入，入，2)，…9分 n1·AE1= 1T 2 【高三数学试题参考答案第3页（共5页）】 n2·A1C1=0 [x2+y2=0 记平面A1C1E1的法向量为n2=（x2y2,之2)， ,即 ,可取n2=（入，-入，2)，… n2·A1E=0 T2- 2 …11分 记平面ACE1与平面A,CE,夹角为0，则cos0=1=n1·n:_1一2A2+4_12-X到 3n1ln22λ2+4 2+A2’ …12分 入<W2时，6-3入2=2十入2，入=1，…13分 入>2时，3入2-6=2十入2，入=2，…14分 AA 2=或2.心心 17【解析11)抛物线C:2=2(p>0)的准线为y=一号，由点T4,一1)在C的准线上，得p=2…2分 所以抛物线C的方程为x2=4y.… …………3分 (2)由1)知，抛物线Cy=子，设A()小B:是)求导得y=子，…6分 直线TA的斜率krA= xi-t 号，整理得-21x1-4=0,同理x21x2-4=0…,8分 因此为方程一2一4=0的同个根=一4，前直线TB割率-号，则·m号·号 =-1,所以TA⊥TB.…11分 (3)若点A(x1,y1),B(x2y2）,即x7=4y1,x2=4y2,则由(2)知，4y1-2tx1-4=0,4y2-2tx2-4=0,因此 点A,B的坐标满足方程4y一2tx一4=0，即2tx一4y十4=0…13分 则直线AB的方程为2x一y十4=0，其斜率为=专，所以当1=1时，直线AB的斜率为分…15分 1 18.【解析】(1)由题意可得f'(x)=3.x2 e'sinx十x3 e'sinx十x3ecos.x=x2e(csinx十x cOSx十3sin.x),…3分 故曲线y=f(x)在x=0处的切线斜率为f'(0)=0. …………………4分 (2)(i)即极值点满足xn(sin.xn十coSn)十3sin.xn=0,…5分 显然sinc,≠0，得in,十cos-1十 1 3 <0,…7分 sin tanx 即 -<-1,可得-1<tanc<0,…8分 an 3 (ii)注意到xm=一 3simn,于是f(x）=一 27 sin'xn 1 ·e"sin.xm= sina+cosa 1十 (sinz+cosc )3 tann 27et"sin (sin十cos.xn)' …11分 e 题中不等式等价于sin十cosz)<(8n,十ox,,而（sin,+cosx.)产=co,（tan.+1,显然 tan.xn十1>0，可知不等式等价于(e”一exn)c0sxn<0,…13分 设g(x)=er-ex,g'(x)=e-e,x∈(-o∞，l)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；x∈(1，十o∞)时，g'(x)>0, g(x）单调递增，…15分 于是g(x)≥g(1)=0,而xn≠1，可得em-exm>0,故cos.xm<0,…16分 结合一l<tand<0可得xn为第二象限角.… …17分 【高三数学试题参考答案第4页（共5页）】 19.【解析】(1)由题意可知，三角形OP.P+1为直角三角形，且∠OPm+1Pm=90°.在Rt△OPP+1中，|OPm+1 =|OPn|cos0,又因为OP1|=1,所以数列{|OPn|}是以1为首项，cos0为公比的等比数列，则|OPn| (0s0)n-1=c0sm-10.…2分 在Rt△OP,Pm+1中，|P,Pn+1=|OP,I sin0=sin0·cos"-10,所以数列{|PnPn+1|}是以sin0为首项，cos0 为公比的等比数列，其前m项和S,为S.=sin91一cos02) 1-cos0 ……4分 (2)存在这样的实数入.设射线11，l2,l3方向上的单位向量分别为e1,e2,C,由(1)可知0P.=cos-10.对 于向量PP2,有P1P2=OP-Opi=OP2|e2-OP1ei=cos0e2-i.…6分 对于向量P4P,由于点列Pm所在射线按l1,l2,l3顺序循环，故P4在l1上，P在l2上，则P4P=OP OP=IOP le2-lOP.le1. …8分 由(1)，代入可得PP,=cos0e-cos0e=cos30(cos0e2-ei),对比可得P4P=cos0P1P。.因此存在实 数入=cos30,使得P4P=入P1P2.… ………10分 (3)记an=P1Pn12.由向量模长公式可得an=P1P.12-1OP,-OP?=1OP12+|OPI2-2OP。.OP, 又已知|OP1=1,且由(1)知|OPn|=cos"-10,故an=cos2a-0+1-2OPn.OP.…12分 当n=3k-2(k∈N*)时，此时Pn位于射线l1上，OPn与OP1同向.OP,·OP1=OPn|·OP1|·cos0°= cos"-10,则am=cos2m-D0+1-2cos-10=(1-cos"-10)2. 当n≠3k一2(k∈N)时，此时Pn位于射线lz或l3上.由题意知，射线l1与l2、l3的夹角均为0. OP。·OP1=|OPn|·|OP1l·cos0=cos-10·cos0=cos0,则an=1十cos2m-20-2cos0.综上所述， (1-cos"-10)2, n=3k-2(k∈N*) …14分 1+cos2m-20-2cos"0,n≠3k-2(k∈N*) 下面证明：当n≥2时，点P,始终在以P1为球心，1为半径的球内，即证明对于任意n≥2，都有P1Pn?<1.当 n=3k-2(k∈N)且m≥2时，P1D,12=(1-co0)2,因为0<0<5，所以0<c0s0<1,进而0<c0s0 <1,所以0<1-cos"10<1,故(1-cos"10)2<1成立.当n≠3k-2(k∈N*)且n≥2时，|P1Pn12=1+ c0s2n-20-2cos"0,要证该式小于1，只需证cos2m-20-2cos"0<0,也即证cos"0(cosm-20-2)<0,因为 0<cos0<1,所以cos"0>0,又因为cos"-20≤1，所以cos"-20-2≤-1<0，所以上述不等式恒成立，即 |PP12<1成立，综上所述，当n≥2时，点Pn始终在以P1为球心，1为半径的球内.…17分 【评分细则】第三问若考生在证明的时候利用几何的角度去说明解释，只要逻辑严谨过程合理均酌情给分. 【高三数学试题参考答案第5页（共5页）】2026届高三3月质量检测 科目：数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题 时，将答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。 3.本试题卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。如缺页，考生须 及时报告监考老师，否则后果自负。 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 姓 名 准考证号 祝你考试顺利！ 机密★启用前 2026届高三3月质量检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合A={x∈Z1<x≤4}，B={x|3x-7>0},则(CRB)∩A= A.{3,4} B.{2,3} C.{2} D.{3} 2.已知之=2-i,则|之2+1|= A.4 B.4√2 C.33 D.26 3.设甲：函数f(x)=ln(Inx)有意义，乙：函数g(x)=Inx有意义，则 A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 4.已知平面向量a=(2,x),b=(1,1),若a在b上的投影向量为x(a·b)b,则x= 1 2 B.-2 c是政-2 D.2或-2 5,已知带圆c+君 +6=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点M在C上，且BM=43, IAM=-10,tan∠BAM-专，则点M的横坐标为 A- B.-3 C.-2 D22 3 6.3名男同学和4名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男 同学不相邻，则不同的排法种数为 A.240 B.364 C.432 D.468 7.若tan(0-牙)=2，则sin(26+牙)= 3√5 A.20 R c-号 10 【高三数学试题第1页（共5页）】 8.已知定义在R上的函数f(x)满足当n一1≤x<n,f(x)=x(x一n),其中n∈N*,当x<0时， f(x)=f(x十1)，若方程f(x)=kx有无穷多个解，则k的取值范围是 A.[-1,0] B.[-2,0] C.[0,1] D.[0,2] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. g.已知函数f(x)=an(z十孕)，则 A.f(r)-f(x+2) B.f(x)在区间(，2)上单调递增 3’3 C.曲线y=f(x)关于点(0)中心对称 D.方程f(x)=√3在区间(0,2π]上有3个解 10.已知函数f(x)=一x3十3x一2，则 A.f(x)有两个极值点 B.当0<x<1时，f(√x)<f(x) C.f(x)的零点个数为3 D.不等式f(x)<0的解集为{x|x>-2,且x≠1》 血.设双曲线工。-)1@>0,6>0的左右焦点分别为4，B,点P在双曲线工的右支上，月 AP=2PB,已知T的实轴长一定，则 A.若△APB为锐角三角形，则T的离心率e∈（√3，√5） B.若△APB为钝角三角形，则下的离心率e>√5 C.当∠PAB取得最大值时，△APB为直角三角形 D当△APB为直角三角形时，△APB的面积最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知数列位是公差为2的等差数列，若a1=2,则a:一 13.吸光度用于描述材料对光的吸收程度.记吸光度为A,透射光的光强为I,,入射光的光强为 。则A=1g°，现有光强为1。的入射光同时照射材料甲与材料乙，已知照射材料甲得到方 光的光强是照射材料乙得到透射光的光强的2，则材料甲的吸光度与材料乙的吸光度的差值 为 【高三数学试题第2页（共5页）】 14.二项分布又称为n重伯努利分布，其可视作将n次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布 进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试 验次数为n时的发生概率p。=1一p",其中n表示总试验次数.现进行一类关于随机变量X 的二项分布B(6,p)的调整.若当变化后总试验次数为n时的发生概率为号，总试验次数为 十1时的发生概率为贺则在原二项分布中，P(X=6)的最大伯为 (用数 字解答). 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)某科技公司统计了过去10年每年的研发投入x(单位：亿元)和营业额y(单位：亿元) 的数据，如下表： x/亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 y/亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660 参考数据：3(x:-)(y:-y)=169.5,2(z:-x)2=4.26,2(y:-y)=7250,30885≈176. 2(x,-)y.-) 参考公式：相关系数r 2(,-)·2y.-2 (1)估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额； (2)求样本(x:,y:)(i=1,2,…,10)的相关系数（精确到0.01）； (3)已知y与x的关系可以用线性回归模型y=bx+170进行拟合，若该公司今年投入13.5亿 元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额. 【高三数学试题第3页（共5页）】 16.(15分)如图，直四棱柱ABCD一A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形，E1,E2分别为棱 BB1,DD1中点 (1)证明：CE2∥平面A1C1E1； (2若平面ACE,与平面A1CE,夹角的余弦值为，求 AB 17.(15分)已知抛物线C:x2=2y(p>0),过其准线上一点T(t,一1)作C的两条切线，切点分别 为A,B. (1)求C的方程； (2)证明：TA⊥TB; (3)若t=1,求直线AB的斜率. 【高三数学试题第4页（共5页）】 18.(17分)已知函数f(x)=x3 e*sinz. (1)求曲线y=f(x)在x=0处的切线斜率； (2)记f(x)的所有正极值点从小到大排列为x1,x2,…,xm. (i)证明：一1<tanx<0; (iD若f(xn)>一(simx.十cosx)证明：x为第二象限角. 19.(17分)在空间中，从原点0引出三条射线1,2,1，其两两之间的夹角均为0(0<0<.设空 间点列{Pm}(n∈N*):P1在l1上，且|OP1|=1.P2在l2上，且满足P1P2⊥l2,P3在l3上， 且满足P2P3⊥L3,P4在L1上，满足P3P4⊥l1,以此类推，即Pm在Lm上，则P+1在Lm+1上，且 满足PmPm+1⊥lm+1,其中射线lm满足Lm+3与lm重合. (1)证明：{OPm}为等比数列，并求{|PnPn+1)的前n项和Sn; (2)是否存在实数入，使得PP。=λP1P2？若存在，求入的值；若不存在，请说明理由； (3)求{|P,Pm|2}的通项公式，并证明：当n≥2时，点Pm始终在以P1为球心，1为半径的球内. 【高三数学试题第5页（共5页）】2026届高三3月质量检测 数学 答题卡 姓名 班级 贴条形码区 考 号 考生禁填 缺考考生，由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂右面的缺考标记。 1.答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、准考证号填写在规定的位置，核准条 正确填涂 形码上的准考证号、姓名与本人相符并完全正确及考试科目也相符后，将条 填 注 形码粘贴在规定的位置。 涂 错误填涂 ☑ 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔作答 X□ 字体工整、笔迹清楚。 0 事 例 项3，考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域范围书写的答 哥 案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 选择题（请用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 非选择题（请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写）】 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 高三数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题满分15分) C E A 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 高三数学第2页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效