专题1.3 矩形的性质与判定（举一反三讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦矩形的性质与判定核心知识点，系统梳理矩形边、角、对角线及对称性等性质，延伸直角三角形斜边上的中线定理，构建“性质-定理-判定-综合应用”的学习支架，覆盖基础计算、证明到折叠、动点等综合问题。 资料亮点在于题型分层设计与举一反三训练，如通过矩形折叠问题培养几何直观，借助坐标系中的矩形问题发展应用意识。课中助力教师分层教学，课后学生可通过变式练习巩固知识，提升推理能力与创新意识。

专题1.3 矩形的性质与判定（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 利用矩形的性质求线段长度】 2 【题型2 利用矩形的性质求角度大小】 2 【题型3 利用矩形的性质计算图形面积】 3 【题型4 利用矩形的性质证明几何关系】 4 【题型5 利用直角三角形斜边上的中线求线段长度】 6 【题型6 利用直角三角形斜边上的中线求角度大小】 7 【题型7 添一个条件使四边形是矩形】 8 【题型8 证明四边形是矩形】 9 【题型9 利用矩形的判定与性质求线段长度】 10 【题型10 利用矩形的判定与性质求角度大小】 11 【题型11 利用矩形的判定与性质求图形面积】 12 【题型12 利用矩形的判定与性质解决最值问题】 13 【题型13 利用矩形的判定与性质解决折叠问题】 15 【题型14 利用矩形的判定与性质解决动点与存在性问题】 16 【题型15 利用矩形的判定与性质解决尺规作图问题】 17 【题型16 坐标系中的矩形】 18 考点1 矩形的性质 知识点1 矩形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 对边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相平分 ， 对称性 轴对称图形，对角线的交点是它的对称轴，共有两条 中心对称图形，对称中心是两条对角线7的交点 【题型1 利用矩形的性质求线段长度】 【例1】（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，在矩形中，，点是的中点，连接、，是的中线，则的长为（） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，，．则的长为______． 【变式1-2】（25-26八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，比的周长大2，矩形的周长为28，则的长为（    ） A．6 B．8 C．13 D．15 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在矩形ABCD中，已知为BD的中点，过点作BD的垂线交AD于点，交BC于点，连接BE，则的周长为__________． 【题型2 利用矩形的性质求角度大小】 【例2】（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，矩形中，的垂直平分线与交于点E，连接．若，则______． 【变式2-1】（25-26八年级下·山西大同·期中）如图，四边形是矩形，点是的延长线上一点，且，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，点是矩形外一点，且在上方，连接，点在边上，连接交边于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在矩形中，、相交于点O，平分分别交、于点F、E，若，则的度数为________． 【题型3 利用矩形的性质计算图形面积】 【例3】（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，已知矩形面积为，，，，，则阴影部分的面积（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级上·河南周口·期中）在矩形中，对角线，则矩形的面积为（  ） A．48 B．60 C．80 D．96 【变式3-2】（2026·贵州六盘水·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，，则矩形的面积为（   ） A． B．9 C． D．18 【变式3-3】（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为______． 【题型4 利用矩形的性质证明几何关系】 【例4】（25-26八年级下·湖南永州·期中）如图，湘超冠军永州队的训练战术板为矩形，球员林昊沿跑位，防守队员谷文杰沿拦截，点是边上一点，，于点． (1)求证：． (2)若分米，分米，求的长． 【变式4-1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图1，在矩形中，E是的延长线上一点，，与相交于点G，与相交于点F，． (1)求证：； (2)如图2，连接，求的度数． 【变式4-2】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图1，正方形的对角线，相交于点，在上任取一点，连接，过点作垂直于，交于点，连接． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，矩形的对角线，相交于点，，分别为、边上的点．连接，．已知，，，求的长度．（结果保留根号） 【变式4-3】（25-26八年级下·北京房山·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，于点．求证：． 考点2 直角三角形斜边上的中线 知识点2 直角三角形斜边上的中线 1. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2. 数学语言描述：如图，在Rt 中，，D为AC 的中点,则 ． 3. 拓展：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 在中，若，且D为AC的中点，则为直角三角形． 【题型5 利用直角三角形斜边上的中线求线段长度】 【例5】（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点均在格点（网格线的交点）上，若为的中线，则的长为（  ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点，，对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则的长度为________． 【变式5-2】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在中，为斜边上的中线，点是上方一点，且，连接，若，求的长． 【变式5-3】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，在矩形中，，，E，F，G分别是边，，上的动点，且，，连接，，则的最小值为______． 【题型6 利用直角三角形斜边上的中线求角度大小】 【例6】如图，在中，，，将以C为旋转中心，顺时针旋转角度（），若的中点O恰好在AC上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，已知在中，，． （1）的度数为_____； （2）若是的中点，则的度数为_____． 【变式6-2】（25-26八年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，在中，斜边的垂直平分线分别交、于点、，，则的度数为______． 【变式6-3】（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，，．若，则的度数为________度． 知识点3 矩形的判定 考点3 矩形的判定 【题型7 添一个条件使四边形是矩形】 【例7】（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）如图，的对角线、相交于点，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是_____（写出一个即可） 【变式7-1】（24-25八年级下·北京石景山·期末）如图，在中，点，分别是，的中点．只需添加一个条件即可证明四边形是矩形，这个条件可以是___________(写出一个即可)． 【变式7-2】（2026·黑龙江·一模）如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，．请添加一个条件_________，使四边形为矩形（填一个即可）． 【变式7-3】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，四边形的对角线交于点O．根据图中所标示的数据，再添加下列一个条件，其中能使四边形为矩形的条件有（   ）个 ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型8 证明四边形是矩形】 【例8】（25-26八年级下·广东汕尾·期中）如图，O是菱形对角线与的交点；过点C作，过点B作，与相交于点E．求证：四边形为矩形； 【变式8-1】（25-26九年级上·山西运城·期末）如图，点在的边上，，．求证：为矩形． 【变式8-2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，点、分别在的边、上，连接、，，连接、，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． (1)你选择的补充条件是_____（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． 【变式8-3】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，点E在边上，和分别是和的角平分线，以为对角线向外作四边形，使，．求证：四边形是矩形． 考点4 矩形的判定与性质 【题型9 利用矩形的判定与性质求线段长度】 【例9】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在平行四边形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式9-2】（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，已知的四个内角的平分线相交组成四边形，连结，，如果，那么的长为___________． 【变式9-3】（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，在中，交的延长线于点E，． (1)求证：四边形是矩形； (2)F为的中点，连接，．已知，，求的长． 【题型10 利用矩形的判定与性质求角度大小】 【例10】如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 【变式10-3】如图，为中的一条射线，点P在边上，于H，交于点Q，交于点M，于点D，交于点R，连接交于点S． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【题型11 利用矩形的判定与性质求图形面积】 【例11】（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，在四边形中，，．对角线、相交于点，有下列条件：①，②．    (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【变式11-1】（24-25八年级下·广西桂林·期末）如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 【变式11-2】如图，在矩形中，点为对角线上一点，过点作交于点，，作交于点，连接，已知，则的面积等于______． 【变式11-3】如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求矩形的面积． 【题型12 利用矩形的判定与性质解决最值问题】 【例12】如图，在矩形中，，点分别是和上的动点，四边形是矩形，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【变式12-1】如图，A、B两点在直线l的两侧，点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，且，P为直线上的动点， 则的最大值是（     ） A． B． C． D．6 【变式12-2】如图，在中，，，，点为上一个动点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点． (1)若，求的长； (2)当长为何值时，平行四边形是菱形？为什么？ (3)在点P的运动过程中，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由． 【变式12-3】（24-25九年级下·陕西西安·期中）已知如图①，对于平面内的一点和矩形，恒有．那么如图②，在四边形中，，，，垂足为，点是的中点，则的面积的最大值是_____． 【题型13 利用矩形的判定与性质解决折叠问题】 【例13】如图所示，在平行四边形纸片中，与相交于点，将沿对角线翻折得到，若四边形的面积为，则翻折后纸片重叠部分的面积是____．      【变式13-1】在正方形ABCD中，AD＝6，点M在边DC上，连接AM，△ADM沿直线AM翻折后点D落到点N，过点N作NE⊥CD，垂足为点E．如图，如果ED＝2EC，则DM＝（　　） A．4+3 B．3+3 C．9﹣3 D．6﹣3 【变式13-2】（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，将矩形的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，则矩形的周长为（  ） A． B． C． D．8 【变式13-3】（25-26八年级下·江苏常州·期中）在矩形纸片中，，点为边的中点，沿过点的直线翻折，使点的对应点落在边上，折痕交矩形的一边于点，则折痕的长为_____． 【题型14 利用矩形的判定与性质解决动点与存在性问题】 【例14】如图，在矩形中，，点在边上由点向点运动，点在边上由点向点运动，两点同时运动同时停止，若点与点的速度分别为和，则经过_____后，四边形成为矩形． 【变式14-1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 【变式14-2】如图，在矩形中，边上有一点E，连接，若，．． (1)直接写出的长； (2)有一点P从点A出发，以的速度沿向点D运动，有一点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，设点P的运动时间为t秒． ① 秒时，四边形为平行四边形； ② 秒时，四边形为矩形； (3)有一点M从点D出发，以的速度沿向点A运动，有一点N从点B出发，以的速度沿射线运动，当点M到达点A时，点M、N同时停止运动，设点M的运动时间为x秒，问x取何值时，以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形． 【变式14-3】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图①，在长方形中，已知，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点运动，运动时间为秒，连接，把沿着翻折得到．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） (1)如图②，射线恰好经过点，求出此时的值； (2)当射线与边交于点时， ①请直接写出长的取值范围：__________； ②是否存在这样的的值，使得？若存在，请求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由． 【题型15 利用矩形的判定与性质解决尺规作图问题】 【例15】（2024·辽宁大连·一模）矩形中，，，点为上一点，连接，以点为圆心长为半径作弧与以点为圆心长为半径所作的弧交于另一点，射线交于点，当四边形的面积等于矩形面积的一半时，的长度等于______． 【变式15-1】如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 【变式15-2】已知：如图，． (1)尺规作的平分线和的垂直平分线，垂足为；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，于，，与延长线交于点，请补全图形，并证明； (3)若，，，请直接写出线段的长度． 【变式15-3】是等腰三角形，．以为圆心长为半径画弧，以为圆心长为半径画弧，在边左侧两弧相交于点，连结，，．若，，则的长为______． 【题型16 坐标系中的矩形】 【例16】长方体容器中装有一定量的水，将其倾斜放置，水面恰好经过长方体容器的顶点，以经过的中点的水平线为轴，经过点的竖直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系．若点的坐标分别为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，-2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是________． 【变式16-2】（25-26九年级下·江西九江·月考）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，，，点是折线上一动点（点除外），连接，点关于的对称点为点，若点落在矩形的边上，则点的坐标为______． 【变式16-3】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在x轴上，边在y轴上，点B的坐标为，D是边上一点（不与点A、B重合），将沿直线翻折，使点B落在点E处． (1)如图1，当点E恰好落在y轴时，连接，求的长度． (2)如图2，当点E恰好落在长方形的对角线上时，求点D的坐标． (3)如图3，当以O、C、E三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 矩形的性质与判定（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 利用矩形的性质求线段长度】 2 【题型2 利用矩形的性质求角度大小】 5 【题型3 利用矩形的性质计算图形面积】 8 【题型4 利用矩形的性质证明几何关系】 10 【题型5 利用直角三角形斜边上的中线求线段长度】 15 【题型6 利用直角三角形斜边上的中线求角度大小】 18 【题型7 添一个条件使四边形是矩形】 22 【题型8 证明四边形是矩形】 24 【题型9 利用矩形的判定与性质求线段长度】 28 【题型10 利用矩形的判定与性质求角度大小】 31 【题型11 利用矩形的判定与性质求图形面积】 36 【题型12 利用矩形的判定与性质解决最值问题】 40 【题型13 利用矩形的判定与性质解决折叠问题】 45 【题型14 利用矩形的判定与性质解决动点与存在性问题】 50 【题型15 利用矩形的判定与性质解决尺规作图问题】 57 【题型16 坐标系中的矩形】 62 考点1 矩形的性质 知识点1 矩形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 对边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相平分 ， 对称性 轴对称图形，对角线的交点是它的对称轴，共有两条 中心对称图形，对称中心是两条对角线7的交点 【题型1 利用矩形的性质求线段长度】 【例1】（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，在矩形中，，点是的中点，连接、，是的中线，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由四边形是矩形，可得，，又点是的中点，所以，然后通过等角对等边得出，由勾股定理得，，再由中点定义可得，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理得：，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴的长为． 【变式1-1】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，，．则的长为______． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得，，，则，然后证明是等边三角形，再通过等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，比的周长大2，矩形的周长为28，则的长为（    ） A．6 B．8 C．13 D．15 【答案】A 【分析】根据矩形的性质得出，结合与的周长差得出，再根据矩形周长得出，联立求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵的周长比的周长大2， ∴， 即， ∵矩形的周长为28， ∴， 即， 联立， 解得，． 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在矩形ABCD中，已知为BD的中点，过点作BD的垂线交AD于点，交BC于点，连接BE，则的周长为__________． 【答案】20 【分析】根据矩形性质求出长，利用线段垂直平分线性质得出，设，在中利用勾股定理求出的值，进而得出的长，再通过全等三角形或勾股定理求出的长，最后计算三角形周长 【详解】解：四边形是矩形 为的中点 垂直平分线段 设，则 在中，由勾股定理得 即 解得 在和中 在中， 的周长为． 【题型2 利用矩形的性质求角度大小】 【例2】（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，矩形中，的垂直平分线与交于点E，连接．若，则______． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据矩形的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级下·山西大同·期中）如图，四边形是矩形，点是的延长线上一点，且，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，交于点，由矩形的性质，结合等边对等角，可得，由已知结合三角形的内角和定理，即可得的度数． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2-2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，点是矩形外一点，且在上方，连接，点在边上，连接交边于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，先由矩形得出，然后结合三角形的外角性质列式，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ，， ， ， 故选：A． 【变式2-3】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在矩形中，、相交于点O，平分分别交、于点F、E，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形外角性质，掌握相关知识是解决问题的关键．因为在矩形中，所以，因为平分，所以，因为，，由矩形的性质可知，利用三角形外角的性质即可求． 【详解】解：∵在矩形中， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由矩形的性质可知， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型3 利用矩形的性质计算图形面积】 【例3】（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，已知矩形面积为，，，，，则阴影部分的面积（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质和割补法求不规则图形面积．通过割补法将阴影面积转化为四个直角三角形的面积和是解题的关键． 根据四个直角三角形的面积和即可求得阴影部分面积． 【详解】解：设矩形的长，宽， 矩形面积， ，，，，如图， ， 阴影部分的面积 ， 故选B． 【变式3-1】（25-26八年级上·河南周口·期中）在矩形中，对角线，则矩形的面积为（  ） A．48 B．60 C．80 D．96 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理等知识 ，根据矩形的性质以及勾股定理求得的长是解题的关键． 利用矩形的对角线相等和勾股定理，求出另一条边的长度，再计算矩形面积． 【详解】解：∵ 在矩形中，对角线， ∴ 在中，，为斜边， 由勾股定理得：，即， ∴ 矩形面积． 故选A． 【变式3-2】（2026·贵州六盘水·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，，则矩形的面积为（   ） A． B．9 C． D．18 【答案】C 【分析】根据矩形的性质，可得，，可证明是等边三角形，可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 【变式3-3】（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质.解题的关键是根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律，即可求解. 【详解】∵四边形是矩形， ， ， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的边长的比为， ∴矩形的面积和矩形的面积的比, 故答案为：. 【题型4 利用矩形的性质证明几何关系】 【例4】（25-26八年级下·湖南永州·期中）如图，湘超冠军永州队的训练战术板为矩形，球员林昊沿跑位，防守队员谷文杰沿拦截，点是边上一点，，于点． (1)求证：． (2)若分米，分米，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)10分米 【分析】（1）利用矩形的性质以及证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）设，则，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：矩形， ，，， ， ， ， 又， ， ． （2）解：设，则， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得：， 分米． 【变式4-1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图1，在矩形中，E是的延长线上一点，，与相交于点G，与相交于点F，． (1)求证：； (2)如图2，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）在线段上取点P，使得，由题意易得，则有，然后可得为等腰直角三角形，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，点E在的延长线上， ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴．即， 故． （2）解：如图，在线段上取点P，使得． 在与中， ， ∴． ∴． ∴， ∴为等腰直角三角形． ∴． 【变式4-2】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图1，正方形的对角线，相交于点，在上任取一点，连接，过点作垂直于，交于点，连接． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，矩形的对角线，相交于点，，分别为、边上的点．连接，．已知，，，求的长度．（结果保留根号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由正方形的性质证明，再由全等三角形的性质得，，最后由勾股定理即可求解； （2）延长交于点，连接，由矩形的性质证明，再由全等三角形的性质证明垂直平分，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴； （2）解：如图，延长交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴． 在中， ∵， 由勾股定理得，， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 【变式4-3】（25-26八年级下·北京房山·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据矩形性质推出，进而证明，利用全等三角形性质即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ∴， ． 于点，于点， ． 在和中 ． 考点2 直角三角形斜边上的中线 知识点2 直角三角形斜边上的中线 1. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2. 数学语言描述：如图，在Rt 中，，D为AC 的中点,则 ． 3. 拓展：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 在中，若，且D为AC的中点，则为直角三角形． 【题型5 利用直角三角形斜边上的中线求线段长度】 【例5】（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点均在格点（网格线的交点）上，若为的中线，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在网格中由勾股定理求出的三边长，由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，且，最后由直角三角形斜边中线是斜边的一半求解即可． 【详解】解：由网格可知，，，， ， 则是直角三角形，且， 为的中线， ． 【变式5-1】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点，，对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则的长度为________． 【答案】 【分析】先根据刻度尺刻度求出的长度，再利用直角三角形斜边中线的性质求出的长度． 【详解】解：由题意可知，． 在中，，是斜边上的中线， ． 【变式5-2】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在中，为斜边上的中线，点是上方一点，且，连接，若，求的长． 【答案】 【分析】根据斜边中线定理可得，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：在中，为斜边上的中线，， ， ， ， ∴在中，． 【变式5-3】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，在矩形中，，，E，F，G分别是边，，上的动点，且，，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，作点关于的对称点，连接，根据矩形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，那么，可知当取得最小值时，有最小值，那么当四点共线时，取得最小值，最小值为，接着利用勾股定理求得，即可得出答案． 【详解】解：连接，作点关于的对称点，连接， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，有最小值， ∴当四点共线时，取得最小值，最小值为，此时有最小值，其最小值为，如下图所示： ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵的最小值为． 【题型6 利用直角三角形斜边上的中线求角度大小】 【例6】如图，在中，，，将以C为旋转中心，顺时针旋转角度（），若的中点O恰好在AC上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直角三角形的两个锐角互余得出，再由旋转的性质得出，．最后由直角三角形斜边中线的性质即可得出，从而得出，即． 【详解】∵，， ∴． 由旋转的性质可知，． 又∵的中点O恰好在AC上， ∴， ∴，即 ． 故选A． 【点睛】本题考查直角三角形的两个锐角，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质．熟练掌握旋转的性质是解题关键． 【变式6-1】如图，已知在中，，． （1）的度数为_____； （2）若是的中点，则的度数为_____． 【答案】 /90度 /60度 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得结论； （2）根据直角三角形斜边中线的性质可证得为等边三角形，从而得到的度数． 【详解】（1）∵在中，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，且． 故答案为：． （2）∵在中，是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形斜边中线的性质、等边三角形的性质与判定等知识，能够根据勾股定理的逆定理判定出直角三角形是解题关键． 【变式6-2】（25-26八年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，在中，斜边的垂直平分线分别交、于点、，，则的度数为______． 【答案】/36度 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线性质、垂直平分线性质及等腰三角形性质，解题关键是利用这些性质将角度关系转化为方程求解． 利用直角三角形斜边中线性质得，故；结合题设，设，则；由垂直平分线性质得，故；在中，，列方程即可解答． 【详解】在中，斜边的垂直平分线分别交、于点、， ∴D是斜边的中点， ∴，，， 设， ∵， ∴． 在 中，， ∴ 即， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，，．若，则的度数为________度． 【答案】32 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，根据直角三角形斜边上的中线得到，根据等边对等角和三角形的外角得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，E为对角线的中点， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：32． 知识点3 矩形的判定 考点3 矩形的判定 【题型7 添一个条件使四边形是矩形】 【例7】（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）如图，的对角线、相交于点，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是_____（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据矩形和平行四边形的关系即可解答． 【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，即； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，即，……． 【变式7-1】（24-25八年级下·北京石景山·期末）如图，在中，点，分别是，的中点．只需添加一个条件即可证明四边形是矩形，这个条件可以是___________(写出一个即可)． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定． 先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式7-2】（2026·黑龙江·一模）如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，．请添加一个条件_________，使四边形为矩形（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的判定定理证明四边形为平行四边形，进而即可得到答案． 【详解】解：添加，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形． 【变式7-3】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，四边形的对角线交于点O．根据图中所标示的数据，再添加下列一个条件，其中能使四边形为矩形的条件有（   ）个 ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质和矩形的判定，添加或，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可判断． 【详解】解：由题意，得，， ∴， 添加， 则， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形为矩形； 添加， 则， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形为矩形； 故选：C． 【题型8 证明四边形是矩形】 【例8】（25-26八年级下·广东汕尾·期中）如图，O是菱形对角线与的交点；过点C作，过点B作，与相交于点E．求证：四边形为矩形； 【答案】证明见解析 【分析】先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质，得到，最后根据矩形的判定，即可证明结论． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 即， 四边形是矩形． 【变式8-1】（25-26九年级上·山西运城·期末）如图，点在的边上，，．求证：为矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及矩形的判定，解题的关键是利用已知条件证明，进而得到． 利用平行四边形对边相等及邻角互补的性质，结合与，通过证明，得到，再由推出，从而判定平行四边形为矩形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ． 在和中， ， ， 又， ， 为矩形． 【变式8-2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，点、分别在的边、上，连接、，，连接、，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． (1)你选择的补充条件是_____（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． 【答案】(1)②或③ (2)选择②或③，证明见解析 【分析】（）根据矩形的判定定理选择条件即可； （）先证明四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理即可求证； 本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：选择的补充条件是②或③， 故答案为：②或③； （2）解：选择②，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； 选择③，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形． 【变式8-3】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，点E在边上，和分别是和的角平分线，以为对角线向外作四边形，使，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再结合角平分线的定义可得到，即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，． ∵，， ∴，． ∴，． ∴四边形是平行四边形． ∵和分别是和的角平分线， ∴，． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 考点4 矩形的判定与性质 【题型9 利用矩形的判定与性质求线段长度】 【例9】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在平行四边形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，矩形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 由，，，根据勾股定理逆定理可得，证明四边形是矩形，再由矩形的对角线相等可求出． 【详解】解：，，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ． 故选：． 【变式9-1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】题目主要考查平移的性质及矩形的判定，理解题意，熟练掌握平移的性质是解题关键． 连接，根据 题意得出，，确定四边形是矩形，再由平移的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵平移， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式9-2】（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，已知的四个内角的平分线相交组成四边形，连结，，如果，那么的长为___________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，构造辅助线． 利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出直角，证明四边形是矩形，然后再利用矩形的性质得出的长，即可作答． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，连接, ∵四边形是平行四边形， ， ， 又∵平分，平分，平分， ∴，， ∴， ∴ 同理 ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：5． 【变式9-3】（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，在中，交的延长线于点E，． (1)求证：四边形是矩形； (2)F为的中点，连接，．已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由四边形是平行四边形，得，，因为，故，，得证四边形是平行四边形，再结合有一个角是的平行四边形是矩形，即可作答． （2）因为四边形是矩形，则，因为为CD的中点，所以，因为，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）得四边形是矩形，， ， 为的中点， ， ∵ ， 由勾股定理得． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，矩形的判定与性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【题型10 利用矩形的判定与性质求角度大小】 【例10】如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，多边形的内角和，矩形的性质，熟记性质并考虑利用四边形的内角和定理求解是解题的关键． 根据对顶角相等求出，再根据四边形的内角和等于求出，然后求出，最后根据旋转的性质可得即为旋转角． 【详解】解：∵矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置， ∴，， ∵矩形中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故选：D． 【变式10-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 【变式10-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键： 【变式10-3】如图，为中的一条射线，点P在边上，于H，交于点Q，交于点M，于点D，交于点R，连接交于点S． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行可得，再根据平行于同一直线的两直线平行可得，然后求出四边形是平行四边形，再求出，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）根据矩形的对角线互相平分可得，然后求出，根据等边对等角的性质可得，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后整理即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：．理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等边对等角的性质，两直线平行，同位角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【题型11 利用矩形的判定与性质求图形面积】 【例11】（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，在四边形中，，．对角线、相交于点，有下列条件：①，②．    (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再根据所选情况证明四边形是矩形； （2）根据勾股定理求出的长，进而求出的面积． 【详解】（1）解：选① 证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是矩形； 选② 证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ， ，， ， 矩形的面积为：． 【变式11-1】（24-25八年级下·广西桂林·期末）如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，过点作于点H，由四边形是矩形，可得四边形是矩形，则， ，，再根据 平分和平分线得到，则，即可由，得到，根据中点得到，则，即可得到矩形的边长，最后根据矩形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点 F 为 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积是， 故选：A． 【变式11-2】如图，在矩形中，点为对角线上一点，过点作交于点，，作交于点，连接，已知，则的面积等于______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，先证明四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，得到，再根据矩形对角线平分矩形面积推出，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：8． 【变式11-3】如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定、菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形． （2）首先推知是等边三角形，所以，再用菱形的对角线互相平分即可求得的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． 又四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得， ∴． 【题型12 利用矩形的判定与性质解决最值问题】 【例12】如图，在矩形中，，点分别是和上的动点，四边形是矩形，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，垂线段最短，连接，根据矩形的性质得到，当最小时，最小，当时，的值最小，根据矩形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， 当最小时，最小， 当时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为2， 故选：B． 【变式12-1】如图，A、B两点在直线l的两侧，点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，且，P为直线上的动点， 则的最大值是（     ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，确定出点的位置是解答此题的关键． 作点关于直线的对称点，连接并延长，与直线的交点即为使得取最大值时对应的点，然后过点作于点，构造直角三角形利用勾股定理求解． 【详解】解： 如图，作点关于直线的对称点，连接并延长交直线l于． 此时． 过点作于点，如图， 则四边形为矩形， ， ， ∴， ∴的最大值为：． 故选C． 【变式12-2】如图，在中，，，，点为上一个动点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点． (1)若，求的长； (2)当长为何值时，平行四边形是菱形？为什么？ (3)在点P的运动过程中，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2)当时平行四边形是菱形，理由见解析 (3)存在最小值 【分析】（1）当时，平行四边形是矩形，此时，据此求出即可； （2）当时，，此时平行四边形是菱形； （3）设与交于点，作于．首先求出，当与重合时，的值最小，的最小值． 【详解】（1）当时，平行四边形是矩形，则， ，， ， ，， ； （2），当时， ∴，此时平行四边形是菱形， ，，， ， ； （3）如图，设与交于点，作于．    在中，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 当与重合时，的值最小，则的值最小， 的最小值． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，垂线段最短，30度直角三角形性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式12-3】（24-25九年级下·陕西西安·期中）已知如图①，对于平面内的一点和矩形，恒有．那么如图②，在四边形中，，，，垂足为，点是的中点，则的面积的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识点，添加恰当辅助线、构造矩形是解题的关键．先证四边形是矩形，由题意可求的长，当时，的面积有最大值，然后求出最值即可解答． 【详解】解：如图，延长至点H，使，连接， ∵M是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当的面积有最大值时，的面积有最大值， ∴当时，的面积有最大值， ∴的面积的最大值为， 故答案为：． 【题型13 利用矩形的判定与性质解决折叠问题】 【例13】如图所示，在平行四边形纸片中，与相交于点，将沿对角线翻折得到，若四边形的面积为，则翻折后纸片重叠部分的面积是____．      【答案】/3平方厘米 【分析】根据平行四边形的性质以及已知条件求证出四边形是平行四边形，进而求出四边形是矩形；根据矩形的性质以及平行四边形的性质求出的面积，因为和可以看作是等底等高的三角形，得出 ． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵是由翻折得到的，， ∴，点、、在同一条直线上， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质、三角形面积公式，明确和可以看作是等底等高的三角形是解题的关键． 【变式13-1】在正方形ABCD中，AD＝6，点M在边DC上，连接AM，△ADM沿直线AM翻折后点D落到点N，过点N作NE⊥CD，垂足为点E．如图，如果ED＝2EC，则DM＝（　　） A．4+3 B．3+3 C．9﹣3 D．6﹣3 【答案】C 【分析】过点N作NH⊥AD于H，先证明四边形NEDH为矩形，得到HD=NE，NH=DE，根据ED=2EC，ED+EC=CD=6，可以得到ED=HN=4，再利用勾股定理求出AH，即可得到NE的值，最后再直角三角形MNE中用勾股定理求解即可. 【详解】解：如图所示，过点N作NH⊥AD于H， ∵四边形ABCD是正方形，AD=6 ∴AD=CD=6，∠D=90°， ∵NE⊥CD，NH⊥AD， ∴∠NED=∠NHD=∠NHA=90°， ∴四边形NEDH为矩形， ∴HD=NE，NH=DE， ∵ED=2EC，ED+EC=CD=6， ∴ED=HN=4， 由翻折的性质可得AD=AN=6，DM=MN ∴， ∴， 设DM=MN=x，则ME=4-x, 则, ∴， 解得， ∴， 故选C. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【变式13-2】（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，将矩形的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，则矩形的周长为（  ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】由翻折的规律证明四边形是矩形及，再由矩形的性质结合已知条件求出的长度，即可求出的长度，由折叠性质证明，求得，最后由矩形的周长公式求得周长便可．本题考查了翻折变换，矩形的判定与性质，掌握翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等积法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵将矩形的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形， ∴ ∴ ∵， ∴ 同理，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ 由折叠知， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴矩形的周长 故选：C． 【变式13-3】（25-26八年级下·江苏常州·期中）在矩形纸片中，，点为边的中点，沿过点的直线翻折，使点的对应点落在边上，折痕交矩形的一边于点，则折痕的长为_____． 【答案】或 【分析】根据矩形的性质得出，，，根据中点定义得出；分两种情况分别画出图形，作出辅助线，利用勾股定理求出折痕的长即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点为边的中点， ∴； ①过点E作于点G，F在上，点落在上，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 根据折叠可知，，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 在中根据勾股定理得：； ②过点作于点G，F在上，点落在上，点A的对应点为，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， 根据折叠可知，，， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即，解得：， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得：； 综上，折痕的长为或． 【题型14 利用矩形的判定与性质解决动点与存在性问题】 【例14】如图，在矩形中，，点在边上由点向点运动，点在边上由点向点运动，两点同时运动同时停止，若点与点的速度分别为和，则经过_____后，四边形成为矩形． 【答案】 【分析】设运动时间为秒，用含的式子表示和，再根据矩形对边相等的性质列方程求解得到时间． 【详解】解：设经过后，四边形为矩形， 四边形为矩形，， ， 点与点的速度分别为和， ，， ， ，解得． 【变式14-1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．由题意得，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，再利用，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 【变式14-2】如图，在矩形中，边上有一点E，连接，若，．． (1)直接写出的长； (2)有一点P从点A出发，以的速度沿向点D运动，有一点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，设点P的运动时间为t秒． ① 秒时，四边形为平行四边形； ② 秒时，四边形为矩形； (3)有一点M从点D出发，以的速度沿向点A运动，有一点N从点B出发，以的速度沿射线运动，当点M到达点A时，点M、N同时停止运动，设点M的运动时间为x秒，问x取何值时，以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】(1) (2)①；②2 (3)2秒或6秒 【分析】（1）本题考查勾股定理和矩形的性质，利用，求出,根据，即可得出． （2）①本题考查平行四边形的判定和矩形的性质，根据点P的运动时间为t秒，将四边形的边用t表示出来，，，，，再根据四边形为平行四边形，应满足，建立等式求解即可． ②本题考查矩形的性质和判定，解题方法与①类似，根据四边形为矩形，应满足，建立等式求解即可． （3）本题考查平行四边形的判定和矩形的性质，解法仍与①类似，用将、、表示出来，注意对点N在边上或在延长线上两种情况进行分类讨论，根据以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形，应满足，建立等式求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 四边形是矩形，，， ，， 在中， ， ， ． （2）解：由运动知，，， ，， ①如图1， 四边形为平行四边形， ， ，解得， 故答案为：． ②如图2、四边形为矩形， ， ， ， 故答案为：． （3）解：由运动知，，， 以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形． ， 当点N在边上时，， ， ， 当点N在延长线上时，， ， ， 即：x为2秒或6秒时，以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形． 【变式14-3】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图①，在长方形中，已知，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点运动，运动时间为秒，连接，把沿着翻折得到．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） (1)如图②，射线恰好经过点，求出此时的值； (2)当射线与边交于点时， ①请直接写出长的取值范围：__________； ②是否存在这样的的值，使得？若存在，请求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在这样的值，使得，的值为或． 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，折叠的性质； （1）先证明，得，根据勾股定理得，由，可得结论； （2）①分别计算两个边界点：由（）知：时，，当最小时，，此时，可得结论； （2）分两种情况：点在矩形的内部时，先求解， 再过点作于，过点作于，求解，，再建立方程求解即可；当点在矩形的外部，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图1， 四边形是长方形， ， ∴， 由轴对称得：， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； （2）由（1）可知：当时，与重合，此时， 如图，当时，与重合，此时， ， 故答案为：； ②解：存在，分两种情况： 当点E在矩形内部时，如图， ∵， 而，由（1）同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过点P作于H，过点F作于G， ∴， 而， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ， ， 解得：； 当点在长方形的外部时，如图， ， ， ， ， ，（此时与重合）， 综上，存在这样的值，使得，的值为或． 【题型15 利用矩形的判定与性质解决尺规作图问题】 【例15】（2024·辽宁大连·一模）矩形中，，，点为上一点，连接，以点为圆心长为半径作弧与以点为圆心长为半径所作的弧交于另一点，射线交于点，当四边形的面积等于矩形面积的一半时，的长度等于______． 【答案】1或3 【分析】过点E作交于点H，首先求出矩形面积，然后根据题意得到，求出，然后证明出，得到，然后证明出四边形是矩形，设，则，，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点E作交于点H， ∵矩形中，，， ∴矩形面积， ∵四边形的面积等于矩形面积的一半， ∴ ∴，即 ∵ ∴ ∵根据题意得，，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴设， ∴，， ∴在中， ∴ 整理得， 解得， ∴的长度等于1或3． 故答案为：1或3． 【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【变式15-1】如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数为． 【分析】（1）由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，证明 可得结合平行四边形的判定可得结论． （2）由题意可得四边形为矩形，则进而可得则 则． 本题考查作图-基本作图、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式15-2】已知：如图，． (1)尺规作的平分线和的垂直平分线，垂足为；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，于，，与延长线交于点，请补全图形，并证明； (3)若，，，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析，证明见解析 (3)20 【分析】（1）根据线段垂直平分线与角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据题意先作图，然后根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质去想办法证明Rt△DEB≌Rt△DFC即可得到BE=CF； （3）先证明四边形DEAF是矩形，得到AE=DF，DE=AF，再由全等三角形的性质得到DF=DE，CF=BE=2，从而求出AC=AF-CF=12，则． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接BD， ∵点D在线段BC的垂直平分线上， ∴BD=CD， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）， ∴BE=CF； （3）解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠BAC=90°， ∴四边形DEAF是矩形， ∴AE=DF，DE=AF， ∵Rt△DEB≌Rt△DFC， ∴DF=DE，CF=BE=2， ∴AE=AB-BE=14， ∴DE=DF=AF=14， ∴AC=AF-CF=12， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，线段垂直平分线与角平分线的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知线段垂直平分线和角平分线的性质是解题的关键． 【变式15-3】是等腰三角形，．以为圆心长为半径画弧，以为圆心长为半径画弧，在边左侧两弧相交于点，连结，，．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理；过点作于点，过点作交的延长线于点，则，得出四边形是矩形，勾股定理求得，进而在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点，则 依题意， ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∵，， ∴ 在中， ∴， 在中， ∴ 在中，， 故答案为：． 【题型16 坐标系中的矩形】 【例16】长方体容器中装有一定量的水，将其倾斜放置，水面恰好经过长方体容器的顶点，以经过的中点的水平线为轴，经过点的竖直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系．若点的坐标分别为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，坐标与图形，过点作轴于点，设交轴于点，则矩形为矩形，由性质得，，根据勾股定理求出，最后由线段和差即可求解，解题的关键是掌握矩形及等腰三角形的判定和性质． 【详解】如图，过点作轴于点，设交轴于点， ∴， ∵轴， ∴矩形为矩形， ∴，， ∵和点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故选：． 【变式16-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，-2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是________． 【答案】5 【分析】由两点距离公式可求AC的长，由矩形的性质可求OB＝AC＝5，即可求解． 【详解】解：连接AC， ∵点A（4，﹣2），点C（1，2）， ∴AC＝， ∵四边形ABCO是矩形， ∴OB＝AC＝5， ∴点B的横坐标为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 【变式16-2】（25-26九年级下·江西九江·月考）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，，，点是折线上一动点（点除外），连接，点关于的对称点为点，若点落在矩形的边上，则点的坐标为______． 【答案】或或 【分析】根据轴对称的性质得到，分当点在上，在上时，当在上时，当在上，在上时，结合勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点，，，， ∴，，， ∴， 由折叠性质可得：，， 当点在上，在上时，过作于点，则， 设，其中，则，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形，是平行四边形， ∵， ∴四边形，是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； 当在上时，如图，过作于点， 同理可得：四边形，是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点关于的对称点为点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在上，在上时，如图， 设，则， ∵点关于的对称点为点， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：，， ∴， ∴，解得：， ∴； 综上，点的坐标为或或． 【变式16-3】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在x轴上，边在y轴上，点B的坐标为，D是边上一点（不与点A、B重合），将沿直线翻折，使点B落在点E处． (1)如图1，当点E恰好落在y轴时，连接，求的长度． (2)如图2，当点E恰好落在长方形的对角线上时，求点D的坐标． (3)如图3，当以O、C、E三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)27或 【分析】（1）利用长方形的性质，求出点的坐标，得出的长，的长，再根据勾股定理，即可求解； （2）根据勾股定理得，设,则，由勾股定理得：，即，求出，即可求解； （3）①当时，，则的面积；②当时，利用勾股定理得：，求出，进而求解． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，且四边形是长方形， ∴点的坐标分别为， ∴，， 由折叠得，，，， ∴，，为等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴中，， ∵四边形是长方形， ∴， ∵沿折叠， ∴， ∴， ∴， 设,则， ∵中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； （3）解：过点E分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ①当时， ∵， ∴， 的面积； ②当时， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， 即， 解得：， 则， 的面积； 故的面积为27或． 【点睛】本题考查的是长方形的性质、勾股定理的运用、面积的计算、坐标与图形，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $