期末考试必考题型（一）——运算化简求值与解方程（3大考点8类题型）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

**基本信息** 聚焦期末三大运算考点，以四步解题法、分类解法及统计量计算构建系统方法体系，培养运算能力与数据意识，实现知识逻辑与题型训练的深度融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式运算|16题|先化简再乘除后加减四步流程|从最简根式概念到混合运算及化简求值的应用递进| |一元二次方程解法|24题|直接开平方法等四种分类解法|从方程形式到解法选择再到综合应用的逻辑链条| |数据的分析|14题|平均数、方差等统计量计算方法|从数据收集到统计量计算再到稳定性分析的推理过程|

期末考试必考题型（一）——运算化简求值与解方程（3大考点8类题型） 目录 一.必考点知识梳理 1 【考点一】二次根式的运算解题步骤 1 【考点二】一元二次方程解法 1 【考点三】数据的分析有关计算题 2 二.必考题型精析 3 【题型 1】 二次根式的混合运算（8题） 3 【题型 2】 二次根式的化简求值（8题） 8 【题型 3】 用适当的方法解一元二次方程（8题） 14 【题型 4】 用指定方法解一元二次方程（8题） 20 【题型 5】 求平均数与加权平均数（6题） 28 【题型 6】 求离差平方和与方差（8题） 33 【题型 7】 解可化为一元二次方程的分式方程（8题） 43 【题型 8】 一元二次方程与二次根式的运算综合（8题） 47 一.必考点知识梳理 【考点一】二次根式的运算解题步骤 1、 先化简：把所有二次根式全部化成最简二次根式； 2、 先乘除：按照运算顺序，先算二次根式的乘除，能约分、能用公式的直接用； 3、 后加减：找出同类二次根式，只合并同类二次根式，不同类保留原样； 4、最后整理：结果必须化成最简二次根式，分母不含根号、能开尽方的全部开出来。 【考点二】一元二次方程解法 1、直接开平方法解法： （1）化为形式；（2）两边同时开平方，化为两个一元一次方程；（3）解两个一元一次方程。 2、配方法 （1）二次项系数化为1；（2）常数项移至方程右边；（3）两边加一次项系数一半的平方；（4）方程左边写成完全平方式；（5）开方求出方程的根。 3、公式法 （1）整理成标准方程形式：；（2）确定系数a、b、c的值；（3）计算根的判别式：；（4）代入求根公式进行计算；反之无解。 4、因式分解法 （1）移项使方程右侧等于0；（2）左侧因式分解为两式相乘；（3）分别令因式等于0；（4） 求解两个一元一次方程。 【考点三】数据的分析有关计算题 1、 平均数与加权平均数： 一般地，有个数，我们把叫作这个数的算术平均数，简称平均数，记作（记作“拨”）。 一组数据中，一个数的频数可以看作这个数的“权重”，简称权。 一般地，对于一组数据，对应的权分别为，则称=为这组数据的加权平均数。 2、 离差平方和与方差： 样本中，各数据与平均数的差（以称离差）的平方和称为离差平方和，记为 对于一组数据，这组数据的平均数，则 一般地，一组数据的各个离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记为。 3、离差平方和与方差： 四分位数：在一组从小到大排列的数据中，，，这三个数值把所有的数据分为个数相等的四个部分，这在个数叫作四分位数。其中第25百分位数也称为下四分位数，第75百分位数也称为上四分位数。 箱线图：是一种用统计量来表示一组数据分布特点的统计图。它通过从下至上依次展示的最小值、下四分位数（）、中位数（）、上四分位数（）和最大值，来直观呈现数据分布。其中，箱体（大长方形）的高度等于上四分位数与下四分位数的差，反映了中间50% 数据的离散程度：箱体越扁，说明中间的数据越集中；箱体越高，说明中间的数据越分散。 二.必考题型精析 【题型 1】 二次根式的混合运算（8题） 1．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再根据合并同类二次根式的法则合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式展开，再根据二次根式的性质进行计算． 解：（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4；（2）0 【分析】本题考查了二次根式的混合运算： （1）先将二次根式化简，除法化为乘法，再根据二次根式的乘法运算法则，从左往右依次计算； （2）先用平方差公式和零指数幂的运算法则分别计算，再进行加法运算． 解：（1）解： ． （2）解： ． 3．（25-26八年级上·河北张家口·期末）计算下列各小题． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）11 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答； （2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 解：（1）解： （2）解： 4．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）10 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握是解题关键． 对于（1），先根据乘法分配律计算，再根据二次根式的乘法法则计算即可； 对于（2），先根据零指数幂，负整数指数幂计算，同时去掉绝对值，再根据二次根式的加减法计算． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 解：（1）解：原式， （2）解：原式， （3）解：原式， （4）解：原式． 6．（24-25八年级下·新疆伊犁·月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）按照从左到右的顺序计算即可； （3）先算括号内的式子，再算括号外的除法； （4）先化简，然后计算加减法即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 7．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）6；（4） 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 8．（24-25八年级下·山东烟台·期中）计算题： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据二次根式的乘除进行计算即可； （2）先进行二次根式的乘除与二次根式的化简，最后进行加减即可； （3）先进行二次根式的除法，再根据平方差公式进行计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型 2】 二次根式的化简求值（8题） 1．（24-25七年级下·山东济南·期末）已知，． （1）求代数式的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1）；（2）8 【分析】（1）根据平方差公式：求解即可； （2）根据完全平方公式：求解即可． 解：（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 2．（25-26八年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，利用二次根式混合运算的法则将所求式子化简，最后代入，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 解： ． 当，时，原式． 3．（25-26八年级上·上海长宁·月考）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，根据二次根式有意义的条件求出，从而得出，将所求式子进行化简，最后代入、的值计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 4．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知：，．求的值． 【答案】97 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求出的值，利用整体代入法进行求值即可． 解：∵，， ∴，， ∴． 5．（24-25八年级下·河南周口·期末）已知：，． （1）求和的值； （2）求式子的值． 【答案】（1），；（2）24 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式、代数式求值． （1）把，代入求值即可； （2）根据，，利用完全平方公式进行变形，再整体代入求解即可． 解：（1）解：∵，， ∴， ； （2）解：∵，， ∴ ． 6．（24-25八年级下·甘肃定西·阶段检测）已知，． （1）求的值； （2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求的值． 【答案】（1）；（2）的值为 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，无理数的估算，掌握二次根式的化简方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式，进行计算即可解答； （2）先估算出与的值的范围，从而求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答． 解：（1）解：∵，， ∴， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是0，小数部分， ∴， ∴， ∴的值为． 7．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知：． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了分式的混合运算，完全平方公式的变形求值，二次根式的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据分式的混合运算进行化简，然后将的值代入即可求解； （2）根据二次根式的混合运算以及完全平方公式变形，进行计算即可求解． 解：（1）解：依题意得：， ，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： （1）化简：________； （2）比较大小：________（填“”，“”或“”） （3）计算：； （4）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了分母有理化、比较二次根式的大小、求代数式的值，理解题意是解题的关键． （1）根据分母有理化即可求解； （2）利用二次根式的性质得到，，再比较两者的大小即可得出结论； （3）根据分母有理化将每个式子化简，再利用裂项相消法进行求和即可； （4）仿照题目的方法进行求解即可． 解：（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：， ∴ ； （4）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【题型 3】 用适当的方法解一元二次方程（8题） 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）用适当方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键； （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法求出方程的解即可． 解：（1）解：， ，即， ， ，； （2）解：， ， 或， ，． 2．（25-26九年级上·天津西青·月考）用适当方法解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）十字相乘法解方程； （2）因式分解法解方程． 解：（1）解：， ， 解得：； （2）解：， ， 解得：． 3．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）用适当方法解下列方程： （1） （2） （3） 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用开平方法解方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． （3）先移项，然后利用配方法解方程即可； 解：（1） ∴或， 解得，； （2）解：， ∴， ∴， 则或 解得，； （3） ∴， ∴， 解得，； 4．（25-26九年级上·四川巴中·月考）用适当方法解方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）无解；（3）；（4）， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用开平方法解一元二次方程即可； （2）利用根的判别式判断根的情况即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 解：（1）解： ∴或， ∴； （2）解： ∵， ∴该一元二次方程无解； （3）解： ∴或， ∴； （4）解： ∵， ∴， ∴，． 5．（25-26九年级上·天津西青·月考）用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程； （3）利用直接开平方法解方程； （4）利用因式分解法解方程． 解：（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， 或， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， 或， ． 6．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）用适当方法解方程： （1）． （2）． （3） 【答案】（1）；（2），；（3）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可 解：（1）解： ， ∴； （2）解： ， ∴， （3）解： 或 ∴， 7．（25-26九年级上·宁夏中卫·期中）用适当方法解下列方程． （1）； （2） 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法． （1）先把方程左边分解得到，原方程转化为或，然后解一次方程即可； （2）整理后，提取公因式得到，然后解两个一元一次方程即可． 解：（1）解：∵， 因式分解得， ∴或， ∴，； （2）解：∵， 整理得， 因式分解得， ∴或， ∴． 8．（24-25九年级下·全国·暑假作业）用适当方法解方程： （1） （2） （3） 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】此题考查选择合适的方法解一元二次方程的能力，熟练掌握常用解法，直接开平方法，配方法，因式分解法，求根公式法，是解题的关键，本题宜采用后两种方法． （1）用公式法计算即可； （2）运用提取公因式法将左边分解因式求解； （3）用公式法计算即可． 解：（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． （3）解：， ， ． 【题型 4】 用指定方法解一元二次方程（8题） 1．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）请用指定方法解下列方程： （1）（因式分解法）． （2）（公式法）． （3）（配方法）． 【答案】（1），；（2），；（3）， 解：（1）解：， ， 移项得，， 提取公因式得，， 或， 解得，，； （2）解：， ∵，，， ∴， ， ，； （3）解：， 等式两边同时除以2得，， 移项得，， ∴配方得，， 即， 直接开方得，， ，． 2．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）用指定方法解下列方程： （1）；（公式法） （2）；（配方法） （3）（因式分解法） 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键. （1）先求出根的判别式，再用公式法计算即可； （2）将常数项移到方程右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，配方即得，直接开方求解即可； （3）将所有项移到方程左边，然后提公因式得到，解方程即可． 解：（1）解：，， ，； （2）解： ，； （3）解： 或 ，． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）按照指定方法解下列方程： （1）（用直接开平方法） （2）（用配方法） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）两边开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可． 解：（1）解：， 开平方得，， ∴或， 解得：； （2）解：原方程整理得， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴． 4．（25-26九年级上·山东青岛·月考）用指定方法解下列一元二次方程： （1）（直接开平方法）； （2）（配方法）； （3）（配方法）． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键． （1）根据直接开平方法步骤计算可得； （2）将常数项移到右边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得； （3）将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得． 解：（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， 5．（25-26九年级上·四川宜宾·月考）按指定方法解方程 （1）（配方法）； （2）（公式法） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查解一元二次方程，正确运用指定解法是解答本题的关键． （1）将方程的常数项移项后，方程两边同加上一次项系数一半的平方，配方后运用直接开平方解方程即可； （2）将方程整理为一般形式后，代入求根公式求解即可． 解：（1）解：， 移项，得， 配方，得， 即 所以 解得：； （2）解：， 整理为， 这里， ∴， 解得． 6．（24-25九年级上·山东滨州·期末）按指定方法解一元二次方程 （1）（配方法） （2）（公式法） 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次． （1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方式后，再开方，即可得出结果； （2）先求解，再利用求根公式计算即可． 解：（1）解： 移项，化“1”得：， 配方，得：， 即， 由此可得：， ，； （2）解： ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 7．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）按照指定方法解下列方程． （1）（直接开平方法）； （2）（配方法）； （3）（公式法）； （4）（因式分解法）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能根据方程的特点选择适当的方法解一元二次方程． （1）移项，整理，利用直接开平方法求得方程的解即可； （2）利用配方法解方程求得答案； （3）利用公式法，首先求出判别式的值，继而求得答案； （4）利用因式分解法求得方程的解即可． 解：（1）解：， 整理得， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， 解得； （3）解：， ， ， 解得； （4）解：， ， ， 或 解得． 8．（25-26九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）用指定方法解下列一元二次方程 （1）（因式分解法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（合适的方法） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 解：（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴，； （3）解：方程整理得， ∴，，， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根， ∴ ∴，； （4）解： 或 ∴，． 【题型 5】 求平均数与加权平均数（6题） 1．（25-26八年级上·甘肃武威·阶段检测）某校要举行科技创新比赛，参赛选手均需完成创意设计、动手实践、答辩展示三项考核，且分别按，，的占比计入最终成绩．已知甲的上述三项成绩（百分制）依次是85分，80分，93分，求甲的最终成绩． 【答案】83.3分 【分析】本题主要考查了加权平均数的实际应用，用对应活动的得分乘以其比重求出每个活动的得分，再相加求出总分，即可得到结论． 解：甲的最终成绩（分）． 甲的最终成绩83.3分． 2．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）某校诵读社团招新时，考核学生的应变能力、知识储备和朗读水平．小华的应变能力、知识储备、朗读水平的成绩分别为92分，88分，90分，若该社团依次按，，的比例计算综合成绩，求小华的综合成绩． 【答案】小华的综合成绩为分 【分析】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数公式是解题的关键． 利用加权平均数公式直接计算即可． 解：由题意得， 分， 答：小华的综合成绩为分． 3．（25-26七年级上·广西崇左·月考）某班抽查了10名同学期中考试的数学成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下（单位：分），，，，，，，，，． （1）这10名同学中最高分是多少？最低分是多少？ （2）这10名同学中，低于80分的所占的百分比是多少？ （3）这10名同学的平均成绩是多少？ 【答案】（1）这10名同学中最高分是92分，最低分是70分；（2）这10名同学中，低于80分的所占的百分比是；（3）这10名同学的平均成绩是80分． 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，求一组数据的平均数． （1）根据题意分别用80分加上记录结果中最大的数就是最高分，加上最小数就是最低分； （2）共有5个负数，即不足80分的共5人，计算百分比即可； （3）直接让80加上记录结果的平均数即可求算平均成绩． 解：（1）解：最高分为（分），最低分为（分）． 答：这10名同学中最高分是92分，最低分是70分． （2）解：低于80分的人数是5，低于80分所占的百分比是． 答：这10名同学中，低于80分的所占的百分比是． （3）解：∵， ∴总得分为， ∴平均成绩为（分）． 答：这10名同学的平均成绩是80分． 4．（24-25九年级上·湖北·开学考试）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．有3名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）． 序号 1 2 3 笔试成绩/分 85 92 88 面试成绩/分 90 88 90 现得知1号选手的综合成绩为88分． （1）求笔试成绩和面试成绩各占的百分比； （2）求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定第一名人选． 【答案】（1）笔试成绩和面试成绩各占的百分比是和；（2）2号89.6分；3号89.2，第一名人选是2号 【分析】（1）设笔试成绩和面试成绩各占的百分比是x和y，根据综合成绩为88分列方程组求解即可， （2）根据笔试成绩和面试成绩各占的百分比，原来加权平均数的计算方法计算出2号选手，3号选手的综合成绩，比较得出排名． 解：（1）解：设笔试成绩和面试成绩各占的百分比是x和y，根据题意得： 解得： 答：笔试成绩和面试成绩各占的百分比是和． （2）解∶ 2号选手的综合成绩为：， 3号选手的综合成绩为：， 号选手第一，3号选手第二，1号选手第三， 答：2号选手的综合成绩为89.6，3号选手的综合成绩为89.2，根据综合成绩排名第一名是2号． 【点拨】考查加权平均数的计算方法，理解“权”对平均数的影响是解决问题的关键，掌握计算方法是前提． 5．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某工厂生产A、B、C、D四种产品．下面是该工厂这四种产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）． 各产品年产量条形统计图 各产品年产量扇形统计图 根据上面的信息，回答下列问题： （1）求该工厂四种产品年产量一共多少万件？ （2）通过计算补全条形图； （3）若A、B、C、D四种产品的成本分别是每件4元、3元、7元、6元，求这四种产品制作的平均成本是多少元？ 【答案】（1）200万件；（2）图见分析；（3）元 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求平均数，从统计图表中获取信息是解题的关键． （1）根据D产品的年产量为40万件，占比，列式计算即可得到四种产品的年产量； （2）根据（1）中求得的总年产量和C产品的占比，先求得C产品的年产量，再求得A产品的年产量，据此补全条形统计图即可； （3）先根据四中产品的每件成本价，求得这四种产品的总成本，然后除以总量即可解答． 解：（1）解：由题意可得，（万件）， 答：该工厂四种产品年产量一共200万件． （2）解：C产品的年产量：（万件）， A产品的年产量：（万件）， 补全条形统计图如下： （3）解：（元）， 答：这四种产品制作的平均成本是元． 6．（25-26八年级上·四川成都·期末）某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对A，B，C三名应聘者进行了三项素质测试，他们的各项测试成绩（单位：分）如表所示： 创新能力 综合知识 语言能力 A 72 50 88 B 85 74 45 C 68 70 69 （1）根据三项测试的平均成绩，从高到低确定三名应聘者的排名顺序． （2）如果根据创新能力、综合知识和语言能力三项测试成绩按5：3：2的比例确定三人的总成绩，请你确定三人中谁将会被录取，并对另外两人提出一条努力方向． 【答案】（1）从高到低三名应聘者的排名顺序为A，C，B；（2）B将会被录取，另外两人应该加强创新能力的培养，提高自身的创新能力 【分析】本题考查了算术平均数与加权平均数，掌握平均数的计算公式是解题的关键． （1）根据算术平均数的计算公式计算即可． （2）根据加权平均数的计算公式计算即可． 解：（1）解：A的平均成绩为（分）， B的平均成绩为（分）， C的平均成绩为（分）， 所以从高到低三名应聘者的排名顺序为A，C，B； （2）A的总成绩（分）， B的总成绩（分）， C的总成绩（分）， ∵， ∴B将会被录取，另外两人应该加强创新能力的培养，提高自身的创新能力． 【题型 6】 求离差平方和与方差（8题） 1．（25-26八年级上·甘肃甘南·阶段检测）为迎接学校“英语听说”大赛，某班在甲、乙两名同学中选拔一人参加，在相同的测试条件下，两人进行了5次测试，已知甲同学5次测试的平均成绩是28分，甲测试成绩的方差为3，乙同学的测试成绩（单位：分）统计如下：28，28，27，28，29． 求乙测试成绩的离差平方和及方差，如果要选出一个成绩较为稳定的同学参加学校的“英语听说”大赛，请你判断谁参加学校的“英语听说”大赛更合适，并说明理由． 【答案】乙测试成绩的离差平方和为2，方差为0.4；乙参加更合适，理由见分析 【分析】此题主要考查了方差、离差平方和、算术平均数等统计量，其中方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．先根据平均数和方差的定义求出乙测试成绩的离差平方和及方差，再根据平均数和方差的意义判断即可． 解：乙的平均数为：， 乙的离差平方和为：， 乙的方差为：； 乙参加学校“英语听说”大赛更合适，理由如下： 因为甲的平均成绩等于乙的平均成绩，且乙的方差较小，即乙的成绩稳定， 所以选乙参加学校的“英语听说”大赛更合适． 2．（2025九年级下·广东广州·专题练习）2025年第十五届全运会由广东、香港、澳门共同举办，为弘扬全运会体育精神，某校在七、八年级开展了“全运会知识竞赛”活动（满分100分），现从这两个年级中各随机抽取10名学生的成绩进行整理分析，部分信息如下： 信息一：数据收集（单位：分） 七年级抽取的10名学生的成绩：50，68，72，79，79，80，84，90，98，100； 八年级抽取的10名学生的成绩：60，60，65，74，84，84，85，96，96，96． 信息二：数据整理与分析 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 79 八年级 80 84 188.6 （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更加优秀？请从两个不同的统计角度说明理由． 【答案】（1），96，195；（2）我认为八年级的成绩更加优秀，从中位数看，八年级成绩的中位数大于七年级；从众数看，八年级成绩的众数高于七年级，所以八年级的成绩更加优秀 【分析】（1）根据中位数、众数和方差的计算方法求解即可； （2）从中位数、众数判断即可． 解：（1）解：七年级抽取的10名学生的成绩从小到大排列为：50，68，72，79，79，80，84，90，98，100； 中位数为； ， ， ∴， 八年级抽取的10名学生的成绩中，96出现次数最多， ∴； （2）解：我认为八年级的成绩更加优秀， 从中位数看，八年级成绩的中位数大于七年级； 从众数看，八年级成绩的众数高于七年级，所以八年级的成绩更加优秀． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期末）甲、乙两人在相同的条件下各射击5次，每次射击成绩的条形统计图如图． 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均数（环） 中位数（环） 方差（环2） 甲 6 0.4 乙 6 c （1）___________，___________；___________； （2）根据5次射击成绩，你认为谁的射击成绩更好？并说明理由． 【答案】（1）6，6，2.8；（2）甲，理由见分析 【分析】本题考查了条形统计图、中位数、平均数、方差等知识； （1）根据中位数、平均数、方差的定义即可求解； （2）根据中位数、平均数、方差的意义分析即可． 解：（1）解：将甲的射击成绩从小到大排列，位于最中间的两个数为6和6， ∴； ； ； 故答案为：6，6，2.8； （2）解：甲的射击成绩更好，理由如下： ∵甲、乙的射击成绩平均数和中位数相同，且甲的方差小于乙的方差， ∴甲的射击成绩更稳定， ∴甲的射击成绩更好． 4．（25-26八年级上·山西运城·期末）为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近八场比赛中关于得分、篮板的情况． 【信息1】甲的得分情况（分）：20，14，29，28，30，23，32，32； 乙的得分情况（分）：24，30，28，25，26，28，28，27． 【信息2】 【信息3】        技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 得分方差 平均每场篮板 甲 26 32 n 36.25 b 乙 27 m 27.5 a 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的_______，_______，_______，_______； （2）本次队员综合得分按平均得分的40%，平均每场篮板的60%计算，综合得分越高表现越好，通过计算说明甲、乙哪名队员的表现更好？ （3）你认为甲、乙两名队员谁的表现更好？请选择两方面进行分析． 【答案】（1），，，；（2）甲更好；（3）从得分稳定性的角度分析，乙的得分方差是3.25小于甲的得分方差36.25，说明乙的得分更稳定；从平均得分的角度分析，乙的平均得分27分高于甲的平均得分26分，说明乙的平均得分更好；因此我认为乙队员表现更好 【分析】（1）众数是一组数据中出现次数最多的数，所以观察乙的得分数据可求；因为中位数是将数据排序后中间位置的数，数据个数为偶数时取中间两数的平均值，所以将甲的得分排序后可求；根据方差公式为，所以代入乙的得分数据和平均得分可求；因为平均每场篮板是篮板总数除以场次，所以根据甲的篮板统计图统计总数后除以8可求； （2）综合得分=平均得分+平均每场篮板，所以分别代入甲、乙的对应数据计算综合得分，再比较大小； （3）可从平均得分、方差、众数、中位数、篮板数等指标中任选两个，因为不同指标反映不同的表现维度，所以结合指标数据进行分析． 解：（1）乙的得分中，出现次数最多（3次），因此得分众数； 将甲的得分从小到大排序：，共8个数， 中位数为第4、5个数的平均数：； 乙平均得分为27，方差计算： ， 由篮板统计图，甲8场篮板总和为，平均篮板； （2）甲综合得分：， 乙综合得分：， 因为， 所以甲队员的表现更好； （3）从得分稳定性的角度分析，乙的得分方差是小于甲的得分方差，说明乙的得分更稳定；从平均得分的角度分析，乙的平均得分27分高于甲的平均得分26分，说明乙的平均得分更好；因此我认为乙队员表现更好． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演 员的身高（单位：）如下表所示： 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 165 166 167 168 169 数据分析： 芭蕾舞团 平均数 中位数 方差 甲 a 165 1.5 乙 166 b m 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： __________， __________； （2）求乙芭蕾舞团女演员身高的方差，并判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 【答案】（1）165；；（2），甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐 【分析】本题考查了求方差，中位数，平均数，根据方差判断数据的波动大小，理解方差的意义是解题的关键． （1）根据平均数、中位数的定义求解即可； （2）先求得甲、乙两个芭蕾舞团的女演员的身高的平均数，进而求得的甲、乙两组数据的方差，根据方差的大小来判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 解：（1）解：， ， 故答案为：165，； （2）解：． 而由（1）得， ∴方差分别是 ， ． 由可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 6．（25-26八年级上·山西太原·期末）为优化旅游体验，山西省文旅局在2025年国庆假期后，随机抽取了部分游客，对两条经典旅游线路：A：“晋商文化探秘”线（平遥古城、乔家大院等），B：“黄河风情体验”线（壶口瀑布、碛口古镇等）的满意度进行了百分制评分调查． 收集与整理：每条线路收集了20份有效评分，初步计算的部分统计量如下： 86-90分评分的具体分值 88  90   87  86  89  88  90  87 线路B的评分情况 分数（分） 75 78 82 86 90 94 97 99 人数（人） 3 2 4 2 3 2 3 1 描述与分析：两条经典旅游线路评分的平均数、众数、中位数、方差如下： 线路 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 方差 A 86.5 92 b 18.05 B c a 86 62.9475 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中_________，_________． （2）求出统计表中c的值． （3）利用表中两个统计量及箱线图对线路A，B的评分情况进行分析． 【答案】（1）82；87；（2）统计表中c的值为86.45分；（3）见分析 【分析】（1）线路B收集的评分中出现次数最多的数得到众数a，结合扇形图将线路A收集的评分排序， 通过中间两个数的平均数求出中位数b； （2）根据平均数公式计算线路B评分的平均数c； （3）从平均数、中位数、众数、方差中任选一个统计量，对比两个路线评分的差异，再结合该统计量的意义提出合理化建议． 解：（1）解： 线路B收集的评分中出现次数最多的是， ， （2）解：（分） 答：统计表中c的值为86.45分． （3）解：从平均数来看，线路A略优于线路B，说明线路A平均满意程度略高于线路B； 从众数来看，线路A中92分>82分，说明线路A大众满意度优于线路B； 从中位数来看，88分>86分，在箱线图中也能说明线路A的中等水平好于线路B； 从箱线图可以看出：A线路中位数高，箱子短，数据集中，说明A线路整体口碑好，游客评价高；B线路中位数低，箱子长，数据分散，整体评分不高，评价差异较大． 7．（25-26八年级上·福建漳州·期末）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c （1）上述表中，______，______，并补全七年级的箱线图； （2）求八年级所抽取学生的平均成绩m； （3）若该校八年级有800名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 【答案】（1），，见分析；（2）；（3）估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为400人． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出，，，补全箱线图即可； （2）根据平均数的概念求解即可； （3）用800乘以成绩超过90分的人数所占的比例即可． 解：（1）解：∵共有12个数据， ∴中位数为第6个数据和第7个数据的平均数， ∴八年级所抽取学生的中位数； ∵出现的次数最多， ∴八年级所抽取学生的众数； 七年级所抽取学生的中位数； 补全七年级的箱线图如下： （2）解：八年级所抽取学生的平均成绩（分）； （3）解：（人）， ∴估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为400人． 8．（25-26八年级上·福建漳州·期末）【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名运动员中选拔一人参加青少年射击比赛，组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名运动员每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1将A，B两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数和方差进行分析： 通过计算平均数，环，________环，可以看出，________（填A或B）的平均成绩略高；通过计算方差，，________，可以看出，________（填A或B）的成绩比较稳定． （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析： 运动员 百分位数 最小值 最大值 A 6 7.5 b c 10 B 8 a 9 10 10 请你补全表格信息，________，________，________． 【作出决策】 （3）请你结合以上数据分析，从A，B两名运动员中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】（1）9；B；；B；（2）8；9；；（3）选择B选手参加青少年射击比赛，理由见分析 【分析】本题主要考查了方差，平均数和四分位数，熟知方差，平均数，四分位数的定义是解题的关键． （1）根据方差和平均数的定义求出B的平均数和方差即可得到答案； （2）根据四分位数的定义求解即可； （3）从平均数和方差的角度判断说理即可． 解：（1）（环）；显然B的平均成绩高； ， 由于，则B的成绩比较稳定； 故答案为：9；B；；B． （2）把A的成绩按照从低到高排列为：6，7，8，9，9，9，10，10； 把B的成绩按照从低到高排列为：8，8，8，9，9，10，10，10； ，，； 故答案为：8；9；． （3）选择B选手参加青少年射击比赛， 理由如下：因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 【题型 7】 解可化为一元二次方程的分式方程（8题） 1．（2026·上海崇明·二模）解方程： 【答案】 解： ∴ 去分母得到，， 整理得到，， 解得或， 经检验是增根，是分式方程的解 2．（2026·上海普陀·二模）解方程：． 【答案】 解：原方程可化为 方程两边同乘最简公分母，得 展开整理得 因式分解得 解得， 检验：当时，，原分式方程分母为0，无意义，因此是增根，舍去 当时， 因此原方程的解为 3．（25-26九年级下·陕西·期中）解方程： 【答案】， 【分析】先将分式方程转化为整式方程，再解整式方程，注意检验是否为原分式方程的解． 解：， 方程两边同时乘得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：，， 检验：当时，， 当时，， 因此，，是原分式方程的解． 4．（25-26九年级下·福建漳州·月考）解分式方程∶ 【答案】， 解： 方程两边同时乘以，得    整理，得∶ 化简得 解这个整式方程得： ， 经检验，是原方程的根． 原方程的解为，． 5．（2026·甘肃天水·一模）解方程并检验： 【答案】，检验见分析 解：去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：将代入原方程分母和，均不为0；将代入原方程分母和，均不为0； 故均为原方程的解． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元二次）等知识点，先去分母，转化为一元二次方程求解，再验根． 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得：，， 经检验使分母为0，所以是增根， 是原分式方程的根． 7．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）解分式方程∶ （1） （2） 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查解分式方程与一元二次方程，解此题的关键在于熟练掌握解方程的方法，需要注意的是最后一定要验根． （1）先去分母变为整式方程，然后解整式方程，最后进行检验即可 （2）先方程两边同时乘以最简公分母，整理得到关于x的一元二次方程，然后求解方程得到x的值，再进行检验即可． 解：（1）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 检验：是原方程的解． 原方程的解为． （2）解： 方程两边同时乘以，得 整理，得∶ 化简得 解这个整式方程得： ， 经检验，是原方程的根． 原方程的解为，． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）原分式方程无解 【分析】本题考查解分式方程．熟悉通过因式分解统一分母，去分母，移项、合并同类项等方法解分式方程是解题的关键． （1）根据两个分母互为相反数的关系，先统一分母，之后去分母化为整式方程， 解整式方程，最后检验：将解得的根代入原分式方程的分母验证，确保分母不为（避免增根）． （2）首先因式分解，找到最简公分母，然后统一分母，去分母化为整式方程， 解整式方程，最后检验． （3）同（2）解题思路． 解：（1）解：， 等式两边同时乘，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； 检验当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：， 因式分解，得：， 等式两边同时乘，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 检验当时，， ∴原分式方程的解为； （3）解：， 因式分解，得：， 等式两边同时乘，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：． 检验当时，， ∴原分式方程无解． 【题型 8】 一元二次方程与二次根式的运算综合（8题） 1．（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算、解一元二次方程 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，负指数幂的计算，解一元二次方程， （1）根据二次根式的混合运算法则，负指数幂的计算方法求解即可； （2）运用因式分解法计算即可． 解：（1）解： ； （2）解：， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）计算 （1）化简：； （2）解一元二次方程：． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了二次根式的化简和加减运算，解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简和利用开平方法解一元二次方程． （1）先对二次根式进行化简，然后进行计算即可； （2）利用开平方法解一元二次方程即可． 解：（1）解：． （2）解：， 开平方，得， ∴，， 解得． 3．（24-25八年级下·福建福州·期末）（1）计算：； （2）解一元二次方程：． 【答案】（1）2（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的化简和加减运算，求一个数的绝对值，解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简和利用配方法解一元二次方程． （1）先对二次根式进行化简，求一个数的绝对值，然后进行计算即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 解：（1） ； （2） ． 4．（25-26九年级上·重庆万州·阶段检测）（1）计算：； （2）解一元二次方程：． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）先算乘除并化简绝对值，再进行加减运算即可； （2）利用配方法求解即可． 解：（1） ； （2）， ， ， ， ∴， ∴，． 5．（24-25八年级下·山东临沂·期末）（1）计算：． （2）用配方法解一元二次方程： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，配方法解一元二次方程，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）化简二次根式运算即可； （2）利用配方法运算即可． 解：（1） 解：原式 ； （2）解：， ， ， ， ， ∴或 解得：． 6．（24-25九年级上·广东东莞·月考）（1）计算：．   （2）解一元二次方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的运算，解一元二次方程： （1）先进行乘法运算，再合并同类二次根式即可； （2）因式分解法解方程即可． 解：（1）原式； （2） ∴． 7．（24-25八年级下·福建厦门·期末）计算： （1） （2） （3）解一元二次方程： 【答案】（1）；（2）-2；（3） 【分析】（1）先化简二次根式，然后再根据二次根式的减法可进行求解； （2）根据平方差公式和二次根式的混合运算可进行求解； （3）利用配方法求解一元二次方程即可． 解：（1）解：原式=； （2）解：原式=； （3）解： ∴． 【点拨】本题主要考查二次根式的运算及一元二次方程的解法，熟练掌握二次根式的运算及一元二次方程的解法是解题的关键． 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）计算： （1）； （2）解方程； （3）已知关于的一元二次方程． ①若方程有两个不相等的实数根，求的最小整数值； ②若方程一个根恰好是另一个根的2倍，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①1；② 【分析】（1）根据二次根式计算法则和完全平方公式计算即可； （2）化简整理方程，根据方程的形式，采用因式分解的方法求解即可； （3）①根据且求解即可；②设方程的两个根为，根据题意求解即可． 本题考查二次根式的计算，一元二次方程的解法，以及韦达定理，掌握相关方法是解题关键． 解：（1）解： （2） 化简整理得，， ，或， （3）①∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得且， ∴的最小整数值是1； ②设方程的两个根为， 则 则， 则 解得，符合题意． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考试必考题型（一）——运算化简求值与解方程（3大考点8类题型） 目录 一.必考点知识梳理 1 【考点一】二次根式的运算解题步骤 1 【考点二】一元二次方程解法 1 【考点三】数据的分析有关计算题 2 二.必考题型精析 3 【题型 1】 二次根式的混合运算（8题） 3 【题型 2】 二次根式的化简求值（8题） 4 【题型 3】 用适当的方法解一元二次方程（8题） 5 【题型 4】 用指定方法解一元二次方程（8题） 6 【题型 5】 求平均数与加权平均数（6题） 8 【题型 6】 求离差平方和与方差（8题） 9 【题型 7】 解可化为一元二次方程的分式方程（8题） 14 【题型 8】 一元二次方程与二次根式的运算综合（8题） 15 一.必考点知识梳理 【考点一】二次根式的运算解题步骤 1、 先化简：把所有二次根式全部化成最简二次根式； 2、 先乘除：按照运算顺序，先算二次根式的乘除，能约分、能用公式的直接用； 3、 后加减：找出同类二次根式，只合并同类二次根式，不同类保留原样； 4、最后整理：结果必须化成最简二次根式，分母不含根号、能开尽方的全部开出来。 【考点二】一元二次方程解法 1、直接开平方法解法： （1）化为形式；（2）两边同时开平方，化为两个一元一次方程；（3）解两个一元一次方程。 2、配方法 （1）二次项系数化为1；（2）常数项移至方程右边；（3）两边加一次项系数一半的平方；（4）方程左边写成完全平方式；（5）开方求出方程的根。 3、公式法 （1）整理成标准方程形式：；（2）确定系数a、b、c的值；（3）计算根的判别式：；（4）代入求根公式进行计算；反之无解。 4、因式分解法 （1）移项使方程右侧等于0；（2）左侧因式分解为两式相乘；（3）分别令因式等于0；（4） 求解两个一元一次方程。 【考点三】数据的分析有关计算题 1、 平均数与加权平均数： 一般地，有个数，我们把叫作这个数的算术平均数，简称平均数，记作（记作“拨”）。 一组数据中，一个数的频数可以看作这个数的“权重”，简称权。 一般地，对于一组数据，对应的权分别为，则称=为这组数据的加权平均数。 2、 离差平方和与方差： 样本中，各数据与平均数的差（以称离差）的平方和称为离差平方和，记为 对于一组数据，这组数据的平均数，则 一般地，一组数据的各个离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记为。 3、离差平方和与方差： 四分位数：在一组从小到大排列的数据中，，，这三个数值把所有的数据分为个数相等的四个部分，这在个数叫作四分位数。其中第25百分位数也称为下四分位数，第75百分位数也称为上四分位数。 箱线图：是一种用统计量来表示一组数据分布特点的统计图。它通过从下至上依次展示的最小值、下四分位数（）、中位数（）、上四分位数（）和最大值，来直观呈现数据分布。其中，箱体（大长方形）的高度等于上四分位数与下四分位数的差，反映了中间50% 数据的离散程度：箱体越扁，说明中间的数据越集中；箱体越高，说明中间的数据越分散。 二.必考题型精析 【题型 1】 二次根式的混合运算（8题） 1．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）计算： （1） （2） 2．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）计算： （1）； （2）． 3．（25-26八年级上·河北张家口·期末）计算下列各小题． （1）； （2）． 4．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）计算： （1）； （2）． 5．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 6．（24-25八年级下·新疆伊犁·月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 7．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）计算： （1） （2） （3） （4） 8．（24-25八年级下·山东烟台·期中）计算题： （1）； （2）； （3）； 【题型 2】 二次根式的化简求值（8题） 1．（24-25七年级下·山东济南·期末）已知，． （1）求代数式的值； （2）求代数式的值． 2．（25-26八年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值：，其中，． 3．（25-26八年级上·上海长宁·月考）已知，求的值． 4．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知：，．求的值． 5．（24-25八年级下·河南周口·期末）已知：，． （1）求和的值； （2）求式子的值． 6．（24-25八年级下·甘肃定西·阶段检测）已知，． （1）求的值； （2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求的值． 7．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知：． （1）求的值； （2）若，求的值． 8．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： （1）化简：________； （2）比较大小：________（填“”，“”或“”） （3）计算：； （4）若，求的值． 【题型 3】 用适当的方法解一元二次方程（8题） 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）用适当方法解下列方程． （1）； （2）． 2．（25-26九年级上·天津西青·月考）用适当方法解方程 （1）； （2）． 3．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）用适当方法解下列方程： （1） （2） （3） 4．（25-26九年级上·四川巴中·月考）用适当方法解方程 （1） （2） （3） （4） 5．（25-26九年级上·天津西青·月考）用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4） 6．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）用适当方法解方程： （1）． （2）． （3） 7．（25-26九年级上·宁夏中卫·期中）用适当方法解下列方程． （1）； （2） 8．（24-25九年级下·全国·暑假作业）用适当方法解方程： （1） （2） （3） 【题型 4】 用指定方法解一元二次方程（8题） 1．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）请用指定方法解下列方程： （1）（因式分解法）． （2）（公式法）． （3）（配方法）． 2．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）用指定方法解下列方程： （1）；（公式法） （2）；（配方法） （3）（因式分解法） 3．（2025九年级上·全国·专题练习）按照指定方法解下列方程： （1）（用直接开平方法） （2）（用配方法） 4．（25-26九年级上·山东青岛·月考）用指定方法解下列一元二次方程： （1）（直接开平方法）； （2）（配方法）； （3）（配方法）． 5．（25-26九年级上·四川宜宾·月考）按指定方法解方程 （1）（配方法）； （2）（公式法） 6．（24-25九年级上·山东滨州·期末）按指定方法解一元二次方程 （1）（配方法） （2）（公式法） 7．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）按照指定方法解下列方程． （1）（直接开平方法）； （2）（配方法）； （3）（公式法）； （4）（因式分解法）． 8．（25-26九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）用指定方法解下列一元二次方程 （1）（因式分解法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（合适的方法） 【题型 5】 求平均数与加权平均数（6题） 1．（25-26八年级上·甘肃武威·阶段检测）某校要举行科技创新比赛，参赛选手均需完成创意设计、动手实践、答辩展示三项考核，且分别按，，的占比计入最终成绩．已知甲的上述三项成绩（百分制）依次是85分，80分，93分，求甲的最终成绩． 2．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）某校诵读社团招新时，考核学生的应变能力、知识储备和朗读水平．小华的应变能力、知识储备、朗读水平的成绩分别为92分，88分，90分，若该社团依次按，，的比例计算综合成绩，求小华的综合成绩． 3．（25-26七年级上·广西崇左·月考）某班抽查了10名同学期中考试的数学成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下（单位：分），，，，，，，，，． （1）这10名同学中最高分是多少？最低分是多少？ （2）这10名同学中，低于80分的所占的百分比是多少？ （3）这10名同学的平均成绩是多少？ 4．（24-25九年级上·湖北·开学考试）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．有3名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）． 序号 1 2 3 笔试成绩/分 85 92 88 面试成绩/分 90 88 90 现得知1号选手的综合成绩为88分． （1）求笔试成绩和面试成绩各占的百分比； （2）求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定第一名人选． 5．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某工厂生产A、B、C、D四种产品．下面是该工厂这四种产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）． 各产品年产量条形统计图 各产品年产量扇形统计图 根据上面的信息，回答下列问题： （1）求该工厂四种产品年产量一共多少万件？ （2）通过计算补全条形图； （3）若A、B、C、D四种产品的成本分别是每件4元、3元、7元、6元，求这四种产品制作的平均成本是多少元？ 6．（25-26八年级上·四川成都·期末）某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对A，B，C三名应聘者进行了三项素质测试，他们的各项测试成绩（单位：分）如表所示： 创新能力 综合知识 语言能力 A 72 50 88 B 85 74 45 C 68 70 69 （1）根据三项测试的平均成绩，从高到低确定三名应聘者的排名顺序． （2）如果根据创新能力、综合知识和语言能力三项测试成绩按5：3：2的比例确定三人的总成绩，请你确定三人中谁将会被录取，并对另外两人提出一条努力方向． 【题型 6】 求离差平方和与方差（8题） 1．（25-26八年级上·甘肃甘南·阶段检测）为迎接学校“英语听说”大赛，某班在甲、乙两名同学中选拔一人参加，在相同的测试条件下，两人进行了5次测试，已知甲同学5次测试的平均成绩是28分，甲测试成绩的方差为3，乙同学的测试成绩（单位：分）统计如下：28，28，27，28，29． 求乙测试成绩的离差平方和及方差，如果要选出一个成绩较为稳定的同学参加学校的“英语听说”大赛，请你判断谁参加学校的“英语听说”大赛更合适，并说明理由． 2．（2025九年级下·广东广州·专题练习）2025年第十五届全运会由广东、香港、澳门共同举办，为弘扬全运会体育精神，某校在七、八年级开展了“全运会知识竞赛”活动（满分100分），现从这两个年级中各随机抽取10名学生的成绩进行整理分析，部分信息如下： 信息一：数据收集（单位：分） 七年级抽取的10名学生的成绩：50，68，72，79，79，80，84，90，98，100； 八年级抽取的10名学生的成绩：60，60，65，74，84，84，85，96，96，96． 信息二：数据整理与分析 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 79 八年级 80 84 188.6 （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更加优秀？请从两个不同的统计角度说明理由． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期末）甲、乙两人在相同的条件下各射击5次，每次射击成绩的条形统计图如图． 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均数（环） 中位数（环） 方差（环2） 甲 6 0.4 乙 6 c （1）___________，___________；___________； （2）根据5次射击成绩，你认为谁的射击成绩更好？并说明理由． 4．（25-26八年级上·山西运城·期末）为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近八场比赛中关于得分、篮板的情况． 【信息1】甲的得分情况（分）：20，14，29，28，30，23，32，32； 乙的得分情况（分）：24，30，28，25，26，28，28，27． 【信息2】 【信息3】        技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 得分方差 平均每场篮板 甲 26 32 n 36.25 b 乙 27 m 27.5 a 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的_______，_______，_______，_______； （2）本次队员综合得分按平均得分的40%，平均每场篮板的60%计算，综合得分越高表现越好，通过计算说明甲、乙哪名队员的表现更好？ （3）你认为甲、乙两名队员谁的表现更好？请选择两方面进行分析． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演 员的身高（单位：）如下表所示： 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 165 166 167 168 169 数据分析： 芭蕾舞团 平均数 中位数 方差 甲 a 165 1.5 乙 166 b m 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： __________， __________； （2）求乙芭蕾舞团女演员身高的方差，并判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 6．（25-26八年级上·山西太原·期末）为优化旅游体验，山西省文旅局在2025年国庆假期后，随机抽取了部分游客，对两条经典旅游线路：A：“晋商文化探秘”线（平遥古城、乔家大院等），B：“黄河风情体验”线（壶口瀑布、碛口古镇等）的满意度进行了百分制评分调查． 收集与整理：每条线路收集了20份有效评分，初步计算的部分统计量如下： 86-90分评分的具体分值 88  90   87  86  89  88  90  87 线路B的评分情况 分数（分） 75 78 82 86 90 94 97 99 人数（人） 3 2 4 2 3 2 3 1 描述与分析：两条经典旅游线路评分的平均数、众数、中位数、方差如下： 线路 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 方差 A 86.5 92 b 18.05 B c a 86 62.9475 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中_________，_________． （2）求出统计表中c的值． （3）利用表中两个统计量及箱线图对线路A，B的评分情况进行分析． 7．（25-26八年级上·福建漳州·期末）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c （1）上述表中，______，______，并补全七年级的箱线图； （2）求八年级所抽取学生的平均成绩m； （3）若该校八年级有800名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 8．（25-26八年级上·福建漳州·期末）【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名运动员中选拔一人参加青少年射击比赛，组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名运动员每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1将A，B两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数和方差进行分析： 通过计算平均数，环，________环，可以看出，________（填A或B）的平均成绩略高；通过计算方差，，________，可以看出，________（填A或B）的成绩比较稳定． （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析： 运动员 百分位数 最小值 最大值 A 6 7.5 b c 10 B 8 a 9 10 10 请你补全表格信息，________，________，________． 【作出决策】 （3）请你结合以上数据分析，从A，B两名运动员中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【题型 7】 解可化为一元二次方程的分式方程（8题） 1．（2026·上海崇明·二模）解方程： 2．（2026·上海普陀·二模）解方程：． 3．（25-26九年级下·陕西·期中）解方程： 4．（25-26九年级下·福建漳州·月考）解分式方程∶ 5．（2026·甘肃天水·一模）解方程并检验： 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）解方程：． 7．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）解分式方程∶ （1） （2） 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【题型 8】 一元二次方程与二次根式的运算综合（8题） 1．（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算、解一元二次方程 （1）； （2）． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）计算 （1）化简：； （2）解一元二次方程：． 3．（24-25八年级下·福建福州·期末）（1）计算：； （2）解一元二次方程：． 4．（25-26九年级上·重庆万州·阶段检测）（1）计算：； （2）解一元二次方程：． 5．（24-25八年级下·山东临沂·期末）（1）计算：． （2）用配方法解一元二次方程： 6．（24-25九年级上·广东东莞·月考）（1）计算：．   （2）解一元二次方程：． 7．（24-25八年级下·福建厦门·期末）计算： （1） （2） （3）解一元二次方程： 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）计算： （1）； （2）解方程； （3）已知关于的一元二次方程． ①若方程有两个不相等的实数根，求的最小整数值； ②若方程一个根恰好是另一个根的2倍，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $