专题01 选择题【期末复习重难点题型培优集训100题】-2025-2026学年数学苏科版八年级下册

**基本信息** 苏科版八下期末复习选择题专题，含50个高频题型共100题，覆盖第6-11章，采用“精讲+精练”分类讲练模式，聚焦重点难点，适配期末备考。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|100题|统计（频率估计总体）、特殊四边形（矩形折叠/动点）、因式分解、分式方程（行程/工程）、二次根式运算等|结合真题情境（如“米谷粒分”古算题），分层设计精讲（基础）与精练（应用），突出几何动态问题（折叠/最值）和代数实际应用（分式方程经济问题）|

2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专项培优练 专题01 选择题『期末复习重点难点题型培优集训』 【50个高频常考题型讲练 共100题 范围：苏科版八下第6-11章】 重点题型 分类讲练 1 题型一 由样本所在的频率区间估计总体的数量 2 题型二 用样本的频数估计总体的频数 3 题型三 由频率估计概率 4 题型四 用频率估计概率的综合应用 5 题型五 利用平行四边形的判定与性质求解 5 题型六 平行四边形性质和判定的应用 7 题型七 矩形与折叠问题 8 题型八 根据矩形的性质与判定求角度 11 题型九 根据矩形的性质与判定求线段长 12 题型十 根据矩形的性质与判定求面积 15 题型十一 根据菱形的性质与判定求角度 18 题型十二 根据菱形的性质与判定求线段长 19 题型十三 根据菱形的性质与判定求面积 21 题型十四 正方形折叠问题 22 题型十五 求正方形重叠部分面积 25 题型十六 根据正方形的性质与判定证明 27 题型十七 根据正方形的性质与判定求线段长 32 题型十八 根据正方形的性质与判定求面积 35 题型十九 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 38 题型二十 (特殊)平行四边形的动点问题 40 题型二十一 四边形中的线段最值问题 42 题型二十二 四边形其他综合问题 43 题型二十三 与三角形中位线有关的求解问题 47 题型二十四 与三角形中位线有关的证明 49 题型二十五 三角形中位线的实际应用 51 题型二十六 等腰梯形的性质定理 52 题型二十七 等腰梯形的判定定理 53 题型二十八 已知因式分解的结果求参数 54 题型二十九 综合运用公式法分解因式 55 题型三十 综合提公因式和公式法分解因式 56 题型三十一 因式分解在有理数简算中的应用 57 题型三十二 因式分解的应用 58 题型三十三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 59 题型三十四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 59 题型三十五 将分式的分子分母各项系数化为整数 60 题型三十六 分式加减乘除混合运算 61 题型三十七 分式化简求值 62 题型三十八 分式方程的行程问题 63 题型三十九 分式方程的工程问题 64 题型四十 分式方程的经济问题 65 题型四十一 分式方程和差倍分问题 66 题型四十二 求二次根式中的参数 67 题型四十三 二次根式的乘除混合运算 68 题型四十四 化为最简二次根式 69 题型四十五 已知最简二次根式求参数 70 题型四十六 复合二次根式的化简 71 题型四十七 同类二次根式 73 题型四十八 二次根式的混合运算 73 题型四十九 已知字母的值，化简求值 75 题型五十 二次根式的应用 76 题型一 由样本所在的频率区间估计总体的数量 【精讲】（24-25八年级上·福建泉州·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来谷米石，验得其中夹有谷粒．现从中抽取谷米一把，共数得粒，其中夹有谷粒粒，则这批谷米内夹有谷粒约是（    ） A．石 B．石 C．石 D．石 【答案】A 【分析】本题考查的是通过样本去估计总体，熟练掌握用样本中的频数估计总体中的频数是解题的关键． 用石乘以样本中谷粒所占的比例即可． 【详解】解：（石）， 答：这批谷米内夹有谷粒约是石． 故答案为：． 【精练】在一次中考模拟考试中，随机抽取了部分学生的数学成绩作为样本，成绩在100分以上的频率为0.16，于是可估计全校500名参加中考模拟考试的学生中数学成绩在100分以上学生人数为（    ） A．160人 B．80人 C．60人 D．16人 【答案】B 【分析】本题考查由样本估计总体，由全校参加中考模拟考试的学生总人数乘样本中成绩在100分以上的频率即可，掌握样本估计总体的方法是解题关键． 【详解】解：估计全校500名学生中数学成绩在100分以上学生人数为：， 故选：B． 题型二 用样本的频数估计总体的频数 【精讲】某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是黄球，估计袋中红球的个数是（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了样本估计总体，通过摸球试验中黄球的频率估计总体中黄球的比例，从而计算红球个数． 【详解】∵随机摸出5个球中有3个黄球， ∴摸到黄球的频率为， ∴估计袋中黄球个数为（个）， ∴红球个数为（个）． 故选：C． 【精练】为增强学生网络常识及安全意识，某校举行了一次全校6000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取150名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图．请据此估计全校学生中竞赛成绩低于80分的人数是（    ） A．2160 B．2640 C．3000 D．3360 【答案】B 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，用样本估计总体，用6000乘以样本中竞赛成绩低于80分的人数占比即可得到答案． 【详解】解：人， ∴估计全校学生中竞赛成绩低于80分的人数是2640， 故选：B． 题型三 由频率估计概率 【精讲】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 25 51 75 101 124 153 252 估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（    ）（精确到） A．0.4 B．0.5 C．0.7 D．0.6 【答案】B 【详解】解：根据题意得： ， ， ， ， ， ， ， 由此，估计这位同学投篮一次，投中的概率约是0.5． 【精练】如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近波动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，关键是大量反复试验下频率稳定值即概率；结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，解答即可． 【详解】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是． 故选：B． 题型四 用频率估计概率的综合应用 【精讲】在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数最有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用频率估计概率．熟练掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 由题意知，摸出黄球的概率为，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，摸出黄球的概率为， ∴袋子中黄球的个数最有可能是个， 故选：D． 【精练】在一个不透明的布袋中，有红球、黑球和白球共50个，且小球除颜色外其他完全相同，乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红球和黑球的频率分别稳定在和左右，则口袋中白球的个数很可能是（） A．30 B．25 C．10 D．6 【答案】B 【分析】用球的总数乘以白球所占球的总数的频率，即为白球的个数． 【详解】解：∵摸到红色、黑色球的频率分别稳定在和， ∴摸到白球的频率稳定在：， ∴白球的个数为：(个)， 故选：B． 题型五 利用平行四边形的判定与性质求解 【精讲】（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）在四边形中，，若，则（   ） A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】先根据平行四边形的判定定理判定四边形的形状，再利用平行四边形的性质计算的长度即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平行四边形的对边相等， ∴， 又∵， ∴． 【精练】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质得，，再由平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，确定，得出，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ． ∴，即， 平分交于点， ． 题型六 平行四边形性质和判定的应用 【精讲】在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及平行四边形的判定与性质，根据题意得出、四边形是平行四边形是解题关键． 【详解】解：由题意得： ∵ ∴ ∵； ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ 故选：C 【精练】如图，已知与关于点O成中心对称，过点O任作直线分别交，于点M，N，下列结论： （1）点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点； （2）直线必经过点O； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和关于点O成中心对称． 其中，正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查中心对称和中心对称图形的概念及性质，以及平行四边形的性质和判定，根据与关于点O成中心对称，得到，，，即有四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质特点，对上述结论进行判断，即可解题． 【详解】解： 与关于点O成中心对称， ，，， 即四边形是平行四边形，平行四边形是中心对称图形，对角线交点是其对称中心， 点O是的对称中心，则有： （1）由中心对称概念可知，点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点，所以（1）正确． （2）为是对角线，所以直线必经过点O，即（2）正确． （3）四边形是中心对称图形，（3）正确． （4）经过对角线交点的直线，平分的面积，所以四边形和四边形的面积相等，即（4）正确． （5）由题知绕点O旋转能得到，所以和关于点O成中心对称，即（5）正确． 综上所述，正确的有5个， 故选：D． 题型七 矩形与折叠问题 【精讲】（25-26八年级下·山西大同·期中）在矩形中，，，点是边上一动点，将沿折叠，点落在点处，当为直角三角形时，求的面积为（    ） A．20或 B．20或 C．或 D．40或 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，，分两种情况作答即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵将沿折叠，点落在点处， ∴，， 情况1：如图1，时， ∵， ∴三点共线， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理：， 解得 ∴； 情况2：如图2，时， 此时， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 【精练】（24-25八年级下·北京·期中）如图，将一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与交于点．若，，则的长为（    ） A．9 B．12 C．13 D．15 【答案】C 【分析】由折叠的性质可得，，设，则，证明 ，推出，再用勾股定理解即可． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， 由折叠得，，， ，， 设，则， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 的长为13． 题型八 根据矩形的性质与判定求角度 【精讲】如图，将线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段，A，B的对应点分别是点C，D，依次连接，，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B．对于任意，四边形都是矩形 C． D．当时，四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，再结合矩形的判定和性质，正方形的判定进行分析判断，即可解题． 【详解】解：线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段， ， 四边形是矩形，且当时，四边形是正方形， ， 当旋转角度不确定时，不能推出， 故A、B、D结论正确，不符合题意，C结论不一定正确，符合题意； 故选：C． 【精练】如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形，矩形的性质及应用，解题的关键是掌握正方形的对称性和矩形的判定定理和性质定理，连接交于O，可知，根据四边形是正方形，，，可得四边形是矩形，故，从而，即得，故． 【详解】解∶连接交于O．如图∶ 正方形的对称性可知，， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ． ． ． 故选∶A． 题型九 根据矩形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）将菱形放在如图所示的平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点，的坐标分别是、，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，相交于E，由点，的坐标得出，轴，，根据菱形的性质得出，，，证明四边形是矩形，可求出，即可求解． 【详解】解：连接、，相交于E， ∵点，的坐标分别是、， ∴，轴，， ∵四边形是菱形， ∴，，， 又， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵轴，， ∴轴， 又A在y轴上， ∴． 【精练】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形ABCD中，是边的中点，是上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，作，证明，进而得到，得到点的轨迹，作点关于的对称点，连接，得到，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵在矩形中，是边的中点， ∴，，，， 过点作，作，则四边形为矩形， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于且距离为1的直线上运动，， ∴， 作点关于的对称点，连接，则垂直平分，， ∵， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 题型十 根据矩形的性质与判定求面积 【精讲】（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交于点，连接．若的面积为，的面积为，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】过点作，分别交于点，根据矩形的性质得到，，通过证明四边形是矩形，得到，同理可得：四边形、、都是矩形，则有，，，再根据图形面积之间的等量代换即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作，分别交于点， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：四边形、、都是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即． 【精练】（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于点，连接，．有下列结论：①；②四边形是菱形；③四边形是矩形；④．其中正确结论的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题重点考查平行线的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，推导出，且，是解题的关键． 连接，由平行四边形的性质得，，，而、分别为边、的中点，则，，则四边形是平行四边形，所以，可判断①正确；由，得，则，所以四边形是菱形，可判断②正确；由，交的延长线于点，得，则四边形是平行四边形，而，所以四边形是矩形，可判断③正确；设，，则，求得，则，所以，则四边形：：：，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，，， 、分别为边、的中点， ，，， ， 四边形是平行四边形， ， 故①正确； ， ， ， 四边形是菱形， 故②正确； ，交的延长线于点， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 故③正确； 设，，则， ，， ， ，， ∴， 故④错误， 故选：C． 题型十一 根据菱形的性质与判定求角度 【精讲】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图，得到，得到四边形为菱形，再根据菱形的性质，进行求解即可. 【详解】解：由作图可知：， ∴四边形为菱形，， ∴， ∴. 【精练】如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图过程可证四边形是菱形，再根据菱形的对角相等且对角线平分对角即可解答． 【详解】解：∵以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点， ∴， ∵分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，即选项A符合题意． 题型十二 根据菱形的性质与判定求线段长 【精讲】如图，中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】先由作图得，结合，可推出四边形是菱形，根据菱形的性质得，，则，再由勾股定理分别求出、即可． 【详解】解：如图，连接交于点， 由作图得， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【精练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成．已知菱形的边长为，当挂钩B、D之间的距离是时，则挂钩A、C之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，交于O，由题意，点E在上， 由已知，cm，则cm， ∴cm， ∵四边形为菱形，边长为13cm， ∴cm ∴cm 题型十三 根据菱形的性质与判定求面积 【精讲】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为（　　） A．5 B． C． D．4 【答案】D 【分析】证明四边形为菱形，根据菱形的面积公式进行计算即可. 【详解】解：由题意，，点到和的距离相等，均等于纸条的宽， ∴四边形为平行四边形， ∵平行四边形的面积纸条的宽纸条的宽， ∴， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴四边形的面积为. 【精练】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在平行四边形中，平分，，若，，平行四边形的面积为144，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点A作于点G，证明四边形为菱形，得出，，，，根据勾股定理求出，根据，求出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点G，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十四 正方形折叠问题 【精讲】（25-26八年级下·福建·期中）如图，在正方形中，分别为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交延长线于点，正方形的边长为，下列结论正确的个数是（   ） ； ； ； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】首先证明，再利用角的关系求得，即可判断；沿对折，得到，利用角的关系求出，从而判断；设，则，，利用勾股定理可得，即，解得，从而判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵分别为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 所以，正确； 根据折叠的对称性可知， ∵， ∴， ∴， ∴，正确； 设，则， ∵， ∴， 在中，利用勾股定理可得， 即， 解得，即，正确， 综上可得：正确，共个． 【精练】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 【答案】B 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；根据勾股定理可知；通过等腰三角形中角度关系可知，即可证明；通过等高的三角形底边之比即可计算面积求解． 【详解】解：根据折叠可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴①正确； ∵，， ∴，， 设， 根据勾股定理可得，， 解得：， ∴， ∴②正确； ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴③正确； ∵，且，，和等高， ∴， ∴， ∴④错误， ∴①②③正确． 题型十五 求正方形重叠部分面积 【精讲】（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据题意可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 正方形、正方形， ， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积为：． 【精练】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 根据旋转的性质，， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积． 题型十六 根据正方形的性质与判定证明 【精讲】（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列五个结论：其中正确的结论是（   ） ①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤． A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】A 【分析】过点作于点，延长，交于点，连接，可证，得，再证明四边形是矩形，得，即得，即可判定①；证明，可得 ，进而由 ，，得 ，即可判定②；由是正方形的对角线上一点，可知不一定是等腰三角形，即可判定③；由 得 ，进而得到 ，即可判定④；由等腰直角三角形的性质得，进而得到，即可判定⑤，综上即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，延长，交于点，连接， ∴ ， ∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴四边形是矩形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ，即，故②正确； ∵是正方形的对角线上一点， ∴不一定是等腰三角形，故③错误； ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，但无法证明，故④错误； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②． 【精练】（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知，长方形中，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②；③当点和点互相重合时，；④．正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据旋转性质、矩形性质等条件判断，确定①正确；通过判定四边形是正方形，得到，确定③正确；由题意得到，结合，点是线段上的一个动点，从而确定当运动到点时，最短，，；当运动到点时，最长，，，即可确定，确定④错误；无法证明②正确，综上所述即可得到答案． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和， ， ∴，故①正确； 当互相重合时，如图1所示： ∵是中点，，， ∴是等腰直角三角形，且，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，故③正确； 过作，交延长线于点，如图3所示： ∵AH平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 根据四边形内角和为得到， ∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴最短时，最短；最长时，最长， 当运动到点时，最短，此时，； 当运动到点时，最长，此时，； ∴，故④错误； 无法证明；故②错误， 综上所述，①③正确， 故选：B． 题型十七 根据正方形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·重庆北碚·阶段检测）如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作交于点，连接，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，于，利用正方形对角线的性质证，结合证，得，再利用等腰直角三角形性质与角度和差关系，推导的度数． 【详解】解：过点作于，于． 则， 四边形是正方形，是对角线， ，， ∴四边形是矩形， ∵，，， ， ∴四边形是正方形， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，． ，， 是等腰直角三角形， ． ， ， ． ． 【精练】如图，点P的坐标为，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且，连接，下列结论：①；②若与的交点恰好是的中点，则四边形是正方形；③四边形的面积与周长为定值；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】过作轴于，轴于，与交于点，可得四边形是矩形，进而由可得四边形是正方形，得到，，进而得到，即可证明，得到，即可判断①；由直角三角形的性质可得，可得四边形是矩形，进而由得到四边形是正方形，即可判断②；由四边形的面积四边形的面积的面积四边形的面积的面积正方形的面积，即可判断③；由与的交点恰好是的中点时，四边形是正方形，得到，即可判断④． 【详解】解：过P作轴于M，轴于N，与交于点，如图所示： ， ， ∵x轴轴， ， ，则四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ∵与的交点恰好是的中点， ， 在中，是斜边的中线， ， 在Rt中，是斜边的中线， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形，故②正确； ， ∴四边形的面积四边形的面积的面积 四边形的面积的面积， 正方形的面积， ， ， ， ， ， ∵，且和的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误； ∵若与的交点恰好是的中点时，四边形是正方形， ，故④错误； ∴正确的有①②． 题型十八 根据正方形的性质与判定求面积 【精讲】（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，连接，，，．下列结论：①；②；③；④若，则；⑤．其中结论正确的有（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 【答案】D 【分析】延长交于，过作于，过作交直线于，得到四边形，，是矩形，由，得到，再根据，得到，即可求出，故①说法正确；证明，，，故②说法正确；根据，得到③说法正确；证明，得到，推出，故④说法错误；设，，分别表示，，，，即可证明． 【详解】解：延长交于，过作于，过作交直线于， ∵， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形，，是矩形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故①说法正确； ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 故②说法正确； ∵，， ∴，， 故③说法正确； 若，则， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④说法错误； 设，， ∴，，， ∵四边形，是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故⑤说法正确； 综上所述，正确的有①②③⑤． 【精练】（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先证明四边形为正方形，得出，根据勾股定理求出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ． 题型十九 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【精讲】下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．    B．   C．   D．   【答案】A 【分析】运用平行四边形的面积，三角形的面积公式，先计算出每个阴影部分的面积，比较大小即可． 【详解】解：设平行四边形的面积为S， A选项中阴影部分面积小于，B、C、D三个选项中阴影部分的面积都等于， ∴阴影部分面积与其他三幅不相等的是A选项． 故选：A． 【精练】如图，将沿方向平移至的位置，针对四边形与四边形，下列说法正确的是（） A．周长与面积都相等 B．周长等，面积不等 C．周长不等，面积等 D．周长面积都不相等 【答案】C 【分析】根据四边形周长及面积公式即可解答本题，注意两四边形底边为同边AD 【详解】∵沿方向平移得到． ∴四边形与四边形均为平行四边形． ∵． ∴四边形与四边形周长不相等． ∵四边形与四边形底边同为AD，且高相等． ∴四边形与四边形面积相等． 故本题选择C. 题型二十 (特殊)平行四边形的动点问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， 当点在上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒， 故选：C. 【精练】如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】过点G作于H，过点G作，由“”可证，可得，可得点G在平行且到距离为1的直线上运动，则当F与D重合时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G在平行且到距离为1的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值， 故选：B． 题型二十一 四边形中的线段最值问题 【精讲】（25-26八年级下·福建龙岩·期中）如图，，是菱形的对角线，点，，分别是边，，上的点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接，当三点共线且时，最小，利用面积求解即可. 【详解】解：作点关于的对称点，连接，当三点共线且时，最小， ∵菱形的对角线， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：. 【精练】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，是上一动点，平行于交于，是上一动点，平行于交于，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质和判定，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．设交于，连接、．由四边形、四边形是矩形，推出，，推出，由，即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于，连接、、． 四边形是矩形，，， 可得四边形、四边形是矩形， ，， ， ，， 的最小值为13， 的最小值为13． 题型二十二 四边形其他综合问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏南通·期末）在中，若，的周长为y，则定义为这个平行四边形的坐标．如图所示，直线将第一象限划分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域．现有如下四个结论： ①对于任意平行四边形，其坐标不可能位于区域Ⅰ中； ②对于任意矩形，其坐标可能位于区域Ⅳ中； ③对于任意菱形，其坐标可能位于区域Ⅳ中； ④对于任意正方形，其坐标一定位于区域Ⅲ中． 其中，正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题是一次函数综合题，涉及到一次函数的图象与性质，不等式的性质，勾股定理，三角形三边关系定理，平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质，难度适中．理解坐标的意义，利用数形结合思想是解题的关键．根据利用不等式的性质得出，即可判断①；根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质，利用三角形任意两边之和大于第三边，勾股定理得到的取值范围，即可判断． 【详解】解：如图，中，， 设，则，， ∵ ， ∴对于任意平行四边形，坐标位于直线的上方，不可能位于区域Ⅰ中，故结论①正确，符合题意； 如图，矩形中，， 设，则，， 当时， ∵， ∴， ， ， ∴对于任意矩形，坐标位于直线的上方，可能位于区域Ⅳ中，故结论②正确，符合题意； 如图，菱形中，， 则， 设，则，， ∵， ∴， ， ∴对于任意菱形，坐标位于直线的下方，不可能位于区域Ⅳ中，故结论③错误，不符合题意； 如图，正方形中，， 则，， ∴， ∵， ， ∴对于任意正方形，坐标位于直线的下方，直线的上方，一定位于区域Ⅲ中，故结论④正确，符合题意； 故选：B． 【精练】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，O为的中点，点E，M为同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线分别与的另一边交于点F，N，连接，下面四个推断： ①；②；③若是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；④对于任意的，存在无数个四边形是矩形；其中所有正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定和性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 由“”可证，，可证四边形是平行四边形，可得，与不一定相等，故①错误，②正确，由菱形的判定和性质和矩形的判定可判断③错误，④正确． 【详解】解：如图1，∵O为对角线的中点， ∴，， ∴， 在和中， ，    ∴， ∴， 同理可得：， ∴，即； 又∵， ∴四边形是平行四边形，   ∴，故②正确； 根据现有条件无法证明，故①错误． 若平行四边形是菱形，则， ∴， ∵点E，M为边上任意两个不重合的动点(不与端点重合)， ∴， ∴四边形不可能是菱形，故③不正确； 如图2，当时，则， ∵四边形是平行四边形， ∴边形是矩形， 又∵存在无数个点E、M满足， ∴对于任意的，存在无数个四边形是矩形，故④正确；        综上所述，正确结论为②④． 故选：D． 题型二十三 与三角形中位线有关的求解问题 【精讲】（25-26八年级下·重庆万州·期中）如图，在中，，，、分别是的角平分线和中线，过点C作于点F，连结，则线段的长为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中位线定理，能够根据角平分线模型构造合适的辅助线是解题的关键． 延长交于点，根据题意即可证明，从而推得，根据中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴． 【精练】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则矩形的周长为（） A．7 B．28 C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴矩形的周长． 题型二十四 与三角形中位线有关的证明 【精讲】（25-26八年级下·河北廊坊·期中）顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形一定满足（   ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．四个角相等 【答案】C 【分析】根据中位线定理得到中点四边形边与原四边形对角线的关系，结合矩形性质推导即可． 【详解】解：点分别是四边形四边的中点，顺次连接得四边形为矩形，根据三角形中位线定理，可得：，， 四边形是矩形， ， ， 即四边形的两条对角线互相垂直， 【精练】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图， 的两个外角的平分线、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接，则下列结论：①是等腰三角形；②；③；④平分．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由平行线的性质得出，由角平分线定义得出，推出，得出，①正确； 只有为中位线时，才能，②不一定正确； 由角平分线的性质得出点到边，，的距离相等，即点到两边的距离相等，得出点在的平分线上，即是角平分线，④正确； 由角平分线的定义得出，由平行线性质得出，推出，由等腰三角形的性质得出，证出，即，③正确． 【详解】， ， ， ， ， 是等腰三角形，①正确； ， 只有为中点时，即为中位线时，才能，所以结论②不一定正确； 的两个外角平分线相交于点， 点到边，，的距离相等，即点到两边距离相等， 平分，④正确； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 即，③正确； 综上，正确为①③④共3个． 题型二十五 三角形中位线的实际应用 【精讲】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，要测量池塘的两端点之间的距离，在外选一点，连接，并分别确定它们的中点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵分别为中点， ∴是的中位线， ∴． 【精练】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，某校开设了劳动实践课程，在一块三角形空地中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】标记各个顶点，由题意可得，是的中位线，根据中位线的性质求解即可． 【详解】解：如图，标记各个顶点， 由题意可得，为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴，D选项符合． 题型二十六 等腰梯形的性质定理 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列说法错误的是（   ） A．矩形的对角线互相平分且相等 B．等腰梯形的对角线互相平分 C．菱形的每条对角线都平分一组对角 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】B 【分析】根据矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质逐一判断选项，即可得出错误说法． 【详解】解： A、矩形的对角线互相平分且相等，说法正确，不符合题意； B、等腰梯形的对角线相等，但不互相平分，说法错误，符合题意； C、菱形的每条对角线都平分一组对角，说法正确，不符合题意； D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，说法正确，不符合题意； 【精练】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在等腰梯形中，，，，，现有、两个动点分别从点、同时沿梯形的边开始移动，点依逆时针，方向环行，点依顺时针方向环行，若点的速度与点的速度之比为，则点、点第2026次相遇在（   ）点． A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】设梯形腰长为，根据等腰梯形性质及求出各边长及周长；根据的运动方向确定第一次相遇时的路程和，结合速度比求出第一次相遇位置；利用周期性规律计算第次相遇位置． 【详解】设 ∵ 四边形是等腰梯形， ∴ ∴ 梯形周长 ∵， ， ∵ 点依逆时针方向环行，点依顺时针方向环行 ∴ 点从向运动，点从向运动 第一次相遇时，两点路程之和为， ∵ 点与点的速度之比为2:3 ∴ 第一次相遇时，点的路程为 ∵ ∴ 第一次相遇在点 此后每次相遇，两点路程之和增加一个周长点每次相遇增加的路程为，第2026次相遇时，点的总路程 ∵， ∴ 点的位置与第一次相遇位置相同，即在点． 题型二十七 等腰梯形的判定定理 【精讲】（25-26八年级下·全国·课前预习）下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形及等腰梯形、直角梯形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握其性质及判定方法．根据梯形、等腰梯形、直角梯形的判定定理，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】解：∵梯形的定义是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形， ∴对各选项分析如下： A. 有一组邻边相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形中垂直的腰与底边可能相等，故A错误，与题意不符； B. 有一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形，平行四边形也满足一组对边相等，故B错误，与题意不符； C. 有两个相邻内角相等的梯形不一定是等腰梯形，直角梯形中相邻的两个直角相等，但它不是等腰梯形，故C错误，与题意不符； D. ∵梯形一组对边平行，若有一个角是直角，则与这个角相邻的同旁内角也为直角，符合直角梯形的定义，故D正确，符合题意； 故选：D． 【精练】下列说法正确的个数有（    ） ①在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 ②对角线相等的梯形是等腰梯形 ③等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题重点考查等腰梯形的判定定理（同一底边上内角相等或对角线相等）和性质（轴对称性），准确理解等腰梯形的定义和判定条件，并辨析与平行四边形的区别是解题的关键． 根据等腰梯形的定义和性质逐选项判断即可． 【详解】解：①同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形，正确； ②对角线相等的梯形是等腰梯形，正确； ③等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误； ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，也可以是平行四边形等图形，因此错误． 故选：C． 题型二十八 已知因式分解的结果求参数 【精讲】（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 【答案】C 【分析】通过展开等式右侧乘积，对比左右两边即可求出被盖住的数字． 【详解】设，，则， ， ， 解得， 所以式子中的，处对应的两个数字分别是16和2． 【精练】（25-26八年级下·江西九江·期中）已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 题型二十九 综合运用公式法分解因式 【精讲】（25-26八年级上·福建泉州·期末）小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 【答案】C 【分析】灵活运用提取公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键．先对式子提取公因式，再利用平方差公式分解，最后结合已知的式子与汉字的对应关系，得出结果呈现的密码信息． 【详解】解：， 又根据平方差公式可得，， 原式， 已知对应关系为对应安，对应爱，对应惠，对应我， 四个因式对应的汉字为我、爱、惠、安，结果呈现的密码信息是我爱惠安． 【精练】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式恒等变形，熟记分式性质及因式分解是解决问题的关键． 通过因式分解和分式的基本性质，检查每个选项的变形是否正确即可得到答案． 【详解】解：A: ，选项分式变形错误，不符合题意； B: ，选项分式变形错误，不符合题意； C: ，选项分式变形错误，不符合题意； D: （其中），选项分式变形正确，符合题意； 故选：D． 题型三十 综合提公因式和公式法分解因式 【精讲】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12，17，13为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（   ） A．152131 B．211331 C．132131 D．132115 【答案】C 【分析】先对多项式用提公因式法和平方差公式分解因式，再代入，的值计算各因式的取值得到因式码，最后将因式码从小到大排列得到密码，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， 得到三个因式码为13，21，31， 按从小到大顺序排列后连接得到密码132131． 【精练】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 分解因式：． 解： ● ☆ 其中运用到的方法是 △ 和 □ ． 下列回答错误的是（    ） A．●代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 【答案】D 【分析】先逐步对原式因式分解，再判断各选项内容即可. 【详解】解： ； ∴●代表，选项A正确， ☆代表，选项B正确， 分解过程第一步为提公因式法，第二步为平方差公式法，因此△可以代表提公因式法，选项C正确，□代表平方差公式法，不是完全平方公式法，选项D错误. 题型三十一 因式分解在有理数简算中的应用 【精讲】（25-26八年级上·广东惠州·阶段检测）是（    ）． A．10600 B．10400 C．10800 D．9986 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解在有理数简算中的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键．利用平方差公式或直接计算 再减 4即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【精练】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 题型三十二 因式分解的应用 【精讲】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（     ） A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64 【答案】B 【分析】根据平方差公式，将进行因式分解，即可得出结论． 【详解】解： ， ∴能被65和63整除， ∴这两个整数是63和65． 【精练】（25-26八年级下·江苏常州·期中）若m为任意正整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【答案】B 【分析】将原式因式分解得到整式乘积形式，即可判断其整除性． 【详解】解： ， ∵为任意正整数， ∴是4的整数倍， 故原式总能被4整除． 题型三十三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【精讲】（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将扩大后的x，y代入分式，化简后结合原分式的值即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 将x，y都扩大3倍后，得到新分式： ． 【精练】（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定 【答案】B 【详解】解：根据题意，把分式中的x，y都扩大为原来的3倍，可得， 与原分式相比，扩大倍． 题型三十四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 【精讲】不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D. 【精练】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 题型三十五 将分式的分子分母各项系数化为整数 【精讲】（2026八年级下·吉林长春·专题练习）将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要将分式的分子、分母的系数化为整数，需要找到分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以这个最小公倍数． 【详解】解：． 【精练】（25-26八年级上·青海西宁·期末）下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，分式的化简等知识，逐项计算验证，A、B、C均不成立，D选项化简后成立． 【详解】解：A：∵，， ∴ ，而， ∴，A错误． B：∵， ∴，而， ∴，B错误． C：左边分式分子分母同乘10，得 ，右边为， ∵分母不同， ∴除非，否则不相等，C错误． D：， ∵左边右边， ∴D正确． 故选：D． 题型三十六 分式加减乘除混合运算 【精讲】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对分子分母因式分解，计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分得到结果，用到平方差公式和分式运算法则． 【详解】解： ． 【精练】动车提速后，平均速度变为原来的倍，若行驶同样路程，时间可缩短到原来的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】路程一定时，时间与速度成反比，通过表示出提速前后的时间，即可求出提速后时间缩短到原来的多少． 【详解】解：设动车原来的平均速度为， ∵路程为， ∴原来行驶的时间为． ∵提速后平均速度变为原来的倍， ∴提速后速度为， ∴提速后行驶时间为， ∴提速后时间与原来时间的比值为． 即时间可缩短到原来的． 题型三十七 分式化简求值 【精讲】已知，则下列判断正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为正数 D．若是整数，则或 【答案】A 【分析】先对原式因式分解，将除法转化为乘法约分得到化简结果，再结合分式有意义的条件逐个判断选项即可． 【详解】解： ，故A正确； 选项B：时原算式中两个分母均为0，无意义，故B错误； 选项C：当时，，， ∴ ，为负数，故C错误； 选项D：若为整数，只需为整数，例如时，也为整数，故D错误． 【精练】（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用已知等式推导得到和，再对给定分式等式变形，代入计算即可求出的值． 【详解】解：∵，且， 等式两边同除以得， 两边平方得，展开得，整理得， 对等式，分子分母同除以得， 整理得， 将，代入得， 去分母得，解得，即． 题型三十八 分式方程的行程问题 【精讲】（25-26八年级下·四川遂宁·期中）A、B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意表示甲车的速度，再结合“时间=路程÷速度”得到两车行驶全程的时间，根据甲车比乙车早半小时到达，列出对应方程即可． 【详解】解：∵设乙车的速度是x千米/小时，甲车速度比乙车快15千米/小时， ∴甲车的速度为千米/小时． ∵A，B两市相距200千米， ∴乙车走完全程的时间为小时，甲车走完全程的时间为小时． ∵甲车比乙车早半小时到达目的地， ∴乙车行驶全程的时间减去甲车行驶全程的时间等于小时， 可得方程． 【精练】（2023·江苏苏州·模拟预测）在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据甲乙的出发时间和同时到达的条件，找时间等量关系列方程即可，总路程为100米，利用时间=路程÷速度表示两人走完全程的时间，再根据时间关系列方程． 【详解】解：∵百米赛跑总路程为，甲的速度为， ∴甲走完全程的总时间为 ∵乙比甲晚出发，且两人同时到达终点，乙的速度为， ∴乙走完全程的时间为，乙的运动时间加上晚出发的等于甲的总运动时间， 因此列方程得． 题型三十九 分式方程的工程问题 【精讲】（25-26八年级下·陕西西安·期中）某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用了．为了求采用新工艺前每小时加工多少个零件，设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据工效提升比例得到新工艺后的工作效率，再根据“加工同样多零件少用小时”找到等量关系，即可列出方程. 【详解】解：设新工艺前每小时加工个零件，已知工效提升，因此新工艺的工作效率为个/小时， 加工个零件，新工艺前用时为小时，新工艺后用时为小时， 由“新工艺加工同样多的零件少用小时”， 可得：． 【精练】（25-26八年级下·河南周口·期中）甲、乙两人分别加工300个零件，甲每天比乙多加工10个，结果甲提前5天完成．设乙每天加工x个零件，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件表示出甲的工作效率，再结合“工作时间工作总量工作效率”得到甲、乙两人的工作时间，最后根据甲提前5天完成的等量关系列方程即可． 【详解】∵设乙每天加工个零件，甲每天比乙多加工10个， ∴甲每天加工个零件， 乙加工300个零件的总时间为天， 甲加工300个零件的总时间为天， ∵甲提前5天完成，即乙的总时间比甲多5天， ∴， 故选：A． 题型四十 分式方程的经济问题 【精讲】某学校为有效地落实和推行“双减”政策，丰富学生课余生活，采购了一批科学实验器材和运动器材，它们的单价共800元，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，设科学实验器材单价为x元，依题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，找到等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：由于用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同， ． 【精练】随着科技和环保意识的不断提高，电动汽车行业的发展前景越来越好．如图，，分别表示某款燃油汽车和某款电动汽车所需费用y（元）与行驶路程s（千米）的关系．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的3倍多0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图像中提取信息并列分式方程，掌握利用路程相等建立等量关系，结合总费用与单位里程费用的公式列方程是解题的关键． 先根据题意表示出燃油汽车每千米的费用，再由图像可知两种汽车行驶路程相同，结合路程=总费用÷每千米费用列出等式方程． 【详解】解：∵电动汽车每千米所需的费用为元 ∴燃油汽车每千米所需的费用为元 ∵从图像中可以看出，当燃油汽车的费用为35元时，行驶的路程为；当电动汽车的费用为10元时，行驶的路程也为， ∴燃油汽车行驶的路程=电动汽车行驶的路程 ∵路程=总费用÷每千米费用 ∴ 燃油汽车行驶的路程为，电动汽车行驶的路程为 ∴ 根据路程相等，可列出方程： 故选：D． 题型四十一 分式方程和差倍分问题 【精讲】（25-26八年级下·重庆·期中）李老师去文具店购买学习用品．他先用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本若干本．已知所买绘画本的单价是笔记本单价的1.5倍，李老师所买笔记本比绘画本多2本．设购买一本笔记本需x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据“数量=总价÷单价”，分别表示出笔记本和绘画本的购买数量，再根据“笔记本数量比绘画本多2本”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设购买一本笔记本需元，绘画本单价是笔记本单价的倍， ∴绘画本的单价为元． ∵用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本， ∴笔记本数量为本，绘画本数量为本． ∵笔记本比绘画本多本， ∴可列方程为． 【精练】在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“A，B两个物体的密度之比为”，列方程求解即可； 【详解】解：∵A体积为，B体积比A大，因此B体积为， 由得： A的密度， B的密度， ∵， 即， ∴． 题型四十二 求二次根式中的参数 【精讲】（25-26八年级下·河北廊坊·期中）若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先根据二次根式被开方数的非负性确定正整数m的范围，再代入验证得到满足条件的m的值． 【详解】解：∵二次根式中，被开方数必须是非负数， ∴， 解得， ∵是正整数， ∴的可能取值为和， 当时，，不是整数，不符合要求， 当时， ，是整数，符合要求． 【精练】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先分解被开方数的质因数，再根据二次根式为整数的要求，即可求出正整数n的最小值； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 要使为整数，则需为完全平方数， ∵，两个质因数的指数都为1，要使为完全平方数，其所有质因数的指数都必须是偶数， ∴正整数n的最小值为． 题型四十三 二次根式的乘除混合运算 【精讲】（25-26八年级下·山西朔州·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式乘除法则，按照同级运算从左到右的顺序计算，最后化简即可得到结果． 【详解】解： ． 【精练】（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】先根据已知完整行的三个数，求出所有横向纵向对角线的共同乘积，再分别计算两个空格内的实数，最后计算两实数的乘积，用到二次根式的乘除运算． 【详解】∵横向三个数乘积相同，第二行三个数已知完整， ∴所有方向的共同乘积为 ， 设第一行第三格的数为a，第三行第一格的数为b， ∵第一行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∵第三行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∴两个空格中的实数之积为． 题型四十四 化为最简二次根式 【精讲】（25-26八年级下·北京·期中）下列根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可得到答案. 【详解】解：∵选项A中的被开方数含分母，不满足条件， ∴A不是最简二次根式； ∵选项B中，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件， ∴ B不是最简二次根式； ∵ 选项C中同时满足两个条件， ∴ C是最简二次根式； ∵选项D中，被开方数是能开得尽方的数，不满足条件， ∴D不是最简二次根式. 【精练】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，矩形的对角线，交于点，，，则＝（     ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质，可知是等边三角形，是含角的直角三角形，解得，，再由勾股定理计算的值． 【详解】解：因为矩形的对角线，交于点， 所以，， 因为，， 所以， 所以， 因为是直角三角形，， 所以， 所以． 题型四十五 已知最简二次根式求参数 【精讲】（25-26八年级下·云南昆明·期中）若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； B．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； C．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D．当时，，含有能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，即的值不可能是． 【精练】（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）若最简二次根式能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】先化简，再根据可合并的最简二次根式是同类二次根式求解． 【详解】解：， ∵最简二次根式能与合并， ∴． 题型四十六 复合二次根式的化简 【精讲】（25-26八年级下·四川德阳·期中）如图，有一棱长为3的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点到点拉一条捆绑线绳，使线绳经过、、、四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（    ） A． B．15 C．9 D． 【答案】A 【分析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到捆绑线绳的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于两个棱长，另一条直角边长等于个棱长，利用勾股定理可求得． 【详解】解：如图，将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段即为最短路线， 展开后由勾股定理得：， ∴，即有：（负值舍去）． 【精练】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，点D在上，且，P是上的动点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点，连接，， 根据对称性可得， 当点P运动至与点重合时，的值最小， 即． ， ， ． ， ． 在中，， 的最小值为． 题型四十七 同类二次根式 【精讲】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再对比被开方数是否和相同，即可得出答案． 【详解】解：∵是最简二次根式，被开方数为. 对各选项化简：A选项是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式； B选项，化简后被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式； C选项是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式； D选项是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式． 【精练】（25-26八年级下·贵州黔南·期中）下列各式中，能与合并的是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】能与合并的二次根式是化简后被开方数为的同类二次根式，只需将各选项化简后，判断被开方数是否相同即可． 【详解】解：A选项：，化简后不含，不能与合并； B选项：是整数，不含，不能与合并； C选项：，化简后被开方数为，不是，不能与合并； D选项：，化简后被开方数为，与是同类二次根式，能与合并． 题型四十八 二次根式的混合运算 【精讲】（25-26八年级下·重庆·期中）估计的值应在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】D 【分析】先利用二次根式乘法运算法则化简原式，再利用相邻整数的平方数估算无理数的范围，即可得到原式的取值范围． 【详解】首先化简原式，根据二次根式乘法运算规则： ∵ ， 又∵ ， ∴ ， 即 不等式两边同时加2，得 ， 即 因此原式的值在7和8之间． 【精练】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）下列判断或计算，其中正确的有（    ） ①若二次根式有意义，则； ② ③； ④若，则； ⑤ A．①②③④⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的化简与计算，只需逐个判断每个结论的正误即可. 【详解】解：① ∵有意义， ∴且，得且， ①错误； ② ∵， ②错误； ③∵ 有意义， ∴，即，则， ， ③正确； ④ ∵，， ∴且，即且， ∴，并非，④错误； ⑤ ∵， ⑤正确； 综上，正确的是③⑤， 故选：B. 题型四十九 已知字母的值，化简求值 【精讲】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，则代数式的值为（   ） A．14 B．30 C．35 D．48 【答案】B 【分析】因为已知，所以先对其进行变形，求出的值，同时推导的整式关系式，用于降次．如果得到的整式关系式，那么利用该关系式对进行降次化简，最后将降次后的结果与的计算结果合并，代入求值． 【详解】解：已知 ， 移项，得 ， 两边平方，得， 展开得， ∴ ， ∴， ∴ ． 对 分母有理化， ∴ ∴ 原式 ． 【精练】（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）已知，，则的值（   ） A．4 B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求出，再利用完全平方公式对所求代数式因式分解，代入的值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 题型五十 二次根式的应用 【精讲】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，在中，，，将线段绕C点顺时针旋转至的位置，连接，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】过点A作于点E，延长，过点D作于点F，根据等腰三角形的性质和勾股定理得出，，证明，得出，，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点E，延长，过点D作于点F，如图所示： 则， 根据旋转可得：，， ∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得： ． 【精练】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】通过正方形的面积求出边长为，根据图形之间的联系求出空白小正方形的边长，即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积是75， ∴， ∵， ∴， ∴空白小正方形的边长， ∴这个小正方形的面积为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专项培优练 专题01 选择题『期末复习重点难点题型培优集训』 【50个高频常考题型讲练 共100题 范围：苏科版八下第6-11章】 重点题型 分类讲练 1 题型一 由样本所在的频率区间估计总体的数量 3 题型二 用样本的频数估计总体的频数 3 题型三 由频率估计概率 3 题型四 用频率估计概率的综合应用 4 题型五 利用平行四边形的判定与性质求解 4 题型六 平行四边形性质和判定的应用 5 题型七 矩形与折叠问题 5 题型八 根据矩形的性质与判定求角度 6 题型九 根据矩形的性质与判定求线段长 6 题型十 根据矩形的性质与判定求面积 7 题型十一 根据菱形的性质与判定求角度 8 题型十二 根据菱形的性质与判定求线段长 8 题型十三 根据菱形的性质与判定求面积 9 题型十四 正方形折叠问题 9 题型十五 求正方形重叠部分面积 10 题型十六 根据正方形的性质与判定证明 11 题型十七 根据正方形的性质与判定求线段长 11 题型十八 根据正方形的性质与判定求面积 12 题型十九 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 12 题型二十 (特殊)平行四边形的动点问题 13 题型二十一 四边形中的线段最值问题 14 题型二十二 四边形其他综合问题 14 题型二十三 与三角形中位线有关的求解问题 15 题型二十四 与三角形中位线有关的证明 15 题型二十五 三角形中位线的实际应用 16 题型二十六 等腰梯形的性质定理 16 题型二十七 等腰梯形的判定定理 17 题型二十八 已知因式分解的结果求参数 17 题型二十九 综合运用公式法分解因式 18 题型三十 综合提公因式和公式法分解因式 18 题型三十一 因式分解在有理数简算中的应用 18 题型三十二 因式分解的应用 19 题型三十三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 19 题型三十四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 19 题型三十五 将分式的分子分母各项系数化为整数 19 题型三十六 分式加减乘除混合运算 20 题型三十七 分式化简求值 20 题型三十八 分式方程的行程问题 20 题型三十九 分式方程的工程问题 21 题型四十 分式方程的经济问题 21 题型四十一 分式方程和差倍分问题 22 题型四十二 求二次根式中的参数 22 题型四十三 二次根式的乘除混合运算 22 题型四十四 化为最简二次根式 23 题型四十五 已知最简二次根式求参数 23 题型四十六 复合二次根式的化简 23 题型四十七 同类二次根式 24 题型四十八 二次根式的混合运算 24 题型四十九 已知字母的值，化简求值 24 题型五十 二次根式的应用 25 题型一 由样本所在的频率区间估计总体的数量 【精讲】（24-25八年级上·福建泉州·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来谷米石，验得其中夹有谷粒．现从中抽取谷米一把，共数得粒，其中夹有谷粒粒，则这批谷米内夹有谷粒约是（    ） A．石 B．石 C．石 D．石 【精练】在一次中考模拟考试中，随机抽取了部分学生的数学成绩作为样本，成绩在100分以上的频率为0.16，于是可估计全校500名参加中考模拟考试的学生中数学成绩在100分以上学生人数为（    ） A．160人 B．80人 C．60人 D．16人 题型二 用样本的频数估计总体的频数 【精讲】某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是黄球，估计袋中红球的个数是（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【精练】为增强学生网络常识及安全意识，某校举行了一次全校6000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取150名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图．请据此估计全校学生中竞赛成绩低于80分的人数是（    ） A．2160 B．2640 C．3000 D．3360 题型三 由频率估计概率 【精讲】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 25 51 75 101 124 153 252 估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（    ）（精确到） A．0.4 B．0.5 C．0.7 D．0.6 【精练】如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近波动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（    ） A． B． C． D． 题型四 用频率估计概率的综合应用 【精讲】在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数最有可能是（    ） A． B． C． D． 【精练】在一个不透明的布袋中，有红球、黑球和白球共50个，且小球除颜色外其他完全相同，乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红球和黑球的频率分别稳定在和左右，则口袋中白球的个数很可能是（） A．30 B．25 C．10 D．6 题型五 利用平行四边形的判定与性质求解 【精讲】（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）在四边形中，，若，则（   ） A．3 B．6 C．7 D．9 【精练】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型六 平行四边形性质和判定的应用 【精讲】在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【精练】如图，已知与关于点O成中心对称，过点O任作直线分别交，于点M，N，下列结论： （1）点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点； （2）直线必经过点O； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和关于点O成中心对称． 其中，正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型七 矩形与折叠问题 【精讲】（25-26八年级下·山西大同·期中）在矩形中，，，点是边上一动点，将沿折叠，点落在点处，当为直角三角形时，求的面积为（    ） A．20或 B．20或 C．或 D．40或 【精练】（24-25八年级下·北京·期中）如图，将一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与交于点．若，，则的长为（    ） A．9 B．12 C．13 D．15 题型八 根据矩形的性质与判定求角度 【精讲】如图，将线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段，A，B的对应点分别是点C，D，依次连接，，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B．对于任意，四边形都是矩形 C． D．当时，四边形是正方形 【精练】如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 题型九 根据矩形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）将菱形放在如图所示的平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点，的坐标分别是、，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【精练】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形ABCD中，是边的中点，是上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型十 根据矩形的性质与判定求面积 【精讲】（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交于点，连接．若的面积为，的面积为，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【精练】（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于点，连接，．有下列结论：①；②四边形是菱形；③四边形是矩形；④．其中正确结论的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十一 根据菱形的性质与判定求角度 【精讲】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【精练】如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型十二 根据菱形的性质与判定求线段长 【精讲】如图，中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D． 【精练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成．已知菱形的边长为，当挂钩B、D之间的距离是时，则挂钩A、C之间的距离是（   ） A． B． C． D． 题型十三 根据菱形的性质与判定求面积 【精讲】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为（　　） A．5 B． C． D．4 【精练】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在平行四边形中，平分，，若，，平行四边形的面积为144，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 题型十四 正方形折叠问题 【精讲】（25-26八年级下·福建·期中）如图，在正方形中，分别为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交延长线于点，正方形的边长为，下列结论正确的个数是（   ） ； ； ； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【精练】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 题型十五 求正方形重叠部分面积 【精讲】（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【精练】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 题型十六 根据正方形的性质与判定证明 【精讲】（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列五个结论：其中正确的结论是（   ） ①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤． A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【精练】（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知，长方形中，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②；③当点和点互相重合时，；④．正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 题型十七 根据正方形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·重庆北碚·阶段检测）如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作交于点，连接，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【精练】如图，点P的坐标为，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且，连接，下列结论：①；②若与的交点恰好是的中点，则四边形是正方形；③四边形的面积与周长为定值；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④ 题型十八 根据正方形的性质与判定求面积 【精讲】（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，连接，，，．下列结论：①；②；③；④若，则；⑤．其中结论正确的有（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 【精练】（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．3 C． D． 题型十九 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【精讲】下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．    B．   C．   D．   【精练】如图，将沿方向平移至的位置，针对四边形与四边形，下列说法正确的是（） A．周长与面积都相等 B．周长等，面积不等 C．周长不等，面积等 D．周长面积都不相等 题型二十 (特殊)平行四边形的动点问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【精练】如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 题型二十一 四边形中的线段最值问题 【精讲】（25-26八年级下·福建龙岩·期中）如图，，是菱形的对角线，点，，分别是边，，上的点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【精练】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，是上一动点，平行于交于，是上一动点，平行于交于，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C．12 D．13 题型二十二 四边形其他综合问题 【精讲】（24-25八年级下·江苏南通·期末）在中，若，的周长为y，则定义为这个平行四边形的坐标．如图所示，直线将第一象限划分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域．现有如下四个结论： ①对于任意平行四边形，其坐标不可能位于区域Ⅰ中； ②对于任意矩形，其坐标可能位于区域Ⅳ中； ③对于任意菱形，其坐标可能位于区域Ⅳ中； ④对于任意正方形，其坐标一定位于区域Ⅲ中． 其中，正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【精练】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，O为的中点，点E，M为同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线分别与的另一边交于点F，N，连接，下面四个推断： ①；②；③若是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；④对于任意的，存在无数个四边形是矩形；其中所有正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 题型二十三 与三角形中位线有关的求解问题 【精讲】（25-26八年级下·重庆万州·期中）如图，在中，，，、分别是的角平分线和中线，过点C作于点F，连结，则线段的长为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 【精练】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则矩形的周长为（） A．7 B．28 C．2 D． 题型二十四 与三角形中位线有关的证明 【精讲】（25-26八年级下·河北廊坊·期中）顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形一定满足（   ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．四个角相等 【精练】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图， 的两个外角的平分线、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接，则下列结论：①是等腰三角形；②；③；④平分．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二十五 三角形中位线的实际应用 【精讲】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，要测量池塘的两端点之间的距离，在外选一点，连接，并分别确定它们的中点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【精练】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，某校开设了劳动实践课程，在一块三角形空地中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，则的长是（     ） A． B． C． D． 题型二十六 等腰梯形的性质定理 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列说法错误的是（   ） A．矩形的对角线互相平分且相等 B．等腰梯形的对角线互相平分 C．菱形的每条对角线都平分一组对角 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【精练】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在等腰梯形中，，，，，现有、两个动点分别从点、同时沿梯形的边开始移动，点依逆时针，方向环行，点依顺时针方向环行，若点的速度与点的速度之比为，则点、点第2026次相遇在（   ）点． A．点 B．点 C．点 D．点 题型二十七 等腰梯形的判定定理 【精讲】（25-26八年级下·全国·课前预习）下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 【精练】下列说法正确的个数有（    ） ①在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 ②对角线相等的梯形是等腰梯形 ③等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形 A．个 B．个 C．个 D．个 题型二十八 已知因式分解的结果求参数 【精讲】（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 【精练】（25-26八年级下·江西九江·期中）已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 题型二十九 综合运用公式法分解因式 【精讲】（25-26八年级上·福建泉州·期末）小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 【精练】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三十 综合提公因式和公式法分解因式 【精讲】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12，17，13为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（   ） A．152131 B．211331 C．132131 D．132115 【精练】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 分解因式：． 解： ● ☆ 其中运用到的方法是 △ 和 □ ． 下列回答错误的是（    ） A．●代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 题型三十一 因式分解在有理数简算中的应用 【精讲】（25-26八年级上·广东惠州·阶段检测）是（    ）． A．10600 B．10400 C．10800 D．9986 【精练】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 题型三十二 因式分解的应用 【精讲】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（     ） A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64 【精练】（25-26八年级下·江苏常州·期中）若m为任意正整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 题型三十三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【精讲】（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 【精练】（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定 题型三十四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 【精讲】不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【精练】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 题型三十五 将分式的分子分母各项系数化为整数 【精讲】（2026八年级下·吉林长春·专题练习）将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【精练】（25-26八年级上·青海西宁·期末）下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 题型三十六 分式加减乘除混合运算 【精讲】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【精练】动车提速后，平均速度变为原来的倍，若行驶同样路程，时间可缩短到原来的（    ） A． B． C． D． 题型三十七 分式化简求值 【精讲】已知，则下列判断正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为正数 D．若是整数，则或 【精练】（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知且，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型三十八 分式方程的行程问题 【精讲】（25-26八年级下·四川遂宁·期中）A、B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【精练】（2023·江苏苏州·模拟预测）在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 题型三十九 分式方程的工程问题 【精讲】（25-26八年级下·陕西西安·期中）某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用了．为了求采用新工艺前每小时加工多少个零件，设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【精练】（25-26八年级下·河南周口·期中）甲、乙两人分别加工300个零件，甲每天比乙多加工10个，结果甲提前5天完成．设乙每天加工x个零件，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 题型四十 分式方程的经济问题 【精讲】某学校为有效地落实和推行“双减”政策，丰富学生课余生活，采购了一批科学实验器材和运动器材，它们的单价共800元，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，设科学实验器材单价为x元，依题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 【精练】随着科技和环保意识的不断提高，电动汽车行业的发展前景越来越好．如图，，分别表示某款燃油汽车和某款电动汽车所需费用y（元）与行驶路程s（千米）的关系．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的3倍多0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（   ）    A． B． C． D． 题型四十一 分式方程和差倍分问题 【精讲】（25-26八年级下·重庆·期中）李老师去文具店购买学习用品．他先用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本若干本．已知所买绘画本的单价是笔记本单价的1.5倍，李老师所买笔记本比绘画本多2本．设购买一本笔记本需x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【精练】在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 题型四十二 求二次根式中的参数 【精讲】（25-26八年级下·河北廊坊·期中）若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【精练】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 题型四十三 二次根式的乘除混合运算 【精讲】（25-26八年级下·山西朔州·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 【精练】（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 题型四十四 化为最简二次根式 【精讲】（25-26八年级下·北京·期中）下列根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【精练】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，矩形的对角线，交于点，，，则＝（     ） A．6 B．8 C． D． 题型四十五 已知最简二次根式求参数 【精讲】（25-26八年级下·云南昆明·期中）若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【精练】（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）若最简二次根式能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 题型四十六 复合二次根式的化简 【精讲】（25-26八年级下·四川德阳·期中）如图，有一棱长为3的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点到点拉一条捆绑线绳，使线绳经过、、、四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（    ） A． B．15 C．9 D． 【精练】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，点D在上，且，P是上的动点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型四十七 同类二次根式 【精讲】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【精练】（25-26八年级下·贵州黔南·期中）下列各式中，能与合并的是（　　） A． B．4 C． D． 题型四十八 二次根式的混合运算 【精讲】（25-26八年级下·重庆·期中）估计的值应在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【精练】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）下列判断或计算，其中正确的有（    ） ①若二次根式有意义，则； ② ③； ④若，则； ⑤ A．①②③④⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①③④⑤ 题型四十九 已知字母的值，化简求值 【精讲】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，则代数式的值为（   ） A．14 B．30 C．35 D．48 【精练】（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）已知，，则的值（   ） A．4 B．8 C．6 D． 题型五十 二次根式的应用 【精讲】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，在中，，，将线段绕C点顺时针旋转至的位置，连接，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 【精练】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（　　） A． B． C． D．5 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $