专题02 填空题【期末复习重难点题型培优集训100题】-2025-2026学年数学苏科版八年级下册

**基本信息** 聚焦苏科版八下第6-11章核心内容，以50个高频题型为载体，通过“精讲+精练”模式系统构建填空题解题方法体系，强化知识逻辑与实际应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计与概率|4题型|样本估计总体、频率估算概率|从数据收集到统计推断的完整逻辑链| |四边形|18题型|折叠对称、动点轨迹分析、最值模型|从平行四边形到特殊四边形的性质判定递进| |三角形中位线|3题型|中点连线性质、实际测量应用|中位线与四边形中点图形的关联推导| |等腰梯形|2题型|性质判定综合应用|梯形与平行四边形的转化关系| |因式分解|5题型|提公因式与公式法综合、简算应用|整式乘法与分解的互逆思维| |分式|9题型|性质应用、方程建模（行程/工程）|分式运算与实际问题的模型转化| |二次根式|9题型|化简求值、混合运算技巧|根式概念到运算应用的层层深化|

2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专项培优练 专题02 填空题『期末复习重点难点题型培优集训』 【50个高频常考题型讲练 共100题 范围：苏科版八下第6-11章】 重点题型 分类讲练 1 题型一 由样本所在的频率区间估计总体的数量 2 题型二 用样本的频数估计总体的频数 3 题型三 由频率估计概率 4 题型四 用频率估计概率的综合应用 4 题型五 利用平行四边形的判定与性质求解 5 题型六 平行四边形性质和判定的应用 8 题型七 矩形与折叠问题 9 题型八 根据矩形的性质与判定求角度 10 题型九 根据矩形的性质与判定求线段长 14 题型十 根据矩形的性质与判定求面积 16 题型十一 根据菱形的性质与判定求角度 18 题型十二 根据菱形的性质与判定求线段长 19 题型十三 根据菱形的性质与判定求面积 20 题型十四 正方形折叠问题 21 题型十五 求正方形重叠部分面积 24 题型十六 根据正方形的性质与判定证明 25 题型十七 根据正方形的性质与判定求线段长 29 题型十八 根据正方形的性质与判定求面积 32 题型十九 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 34 题型二十 (特殊)平行四边形的动点问题 37 题型二十一 四边形中的线段最值问题 40 题型二十二 四边形其他综合问题 43 题型二十三 与三角形中位线有关的求解问题 46 题型二十四 与三角形中位线有关的证明 49 题型二十五 三角形中位线的实际应用 50 题型二十六 等腰梯形的性质定理 51 题型二十七 等腰梯形的判定定理 53 题型二十八 已知因式分解的结果求参数 54 题型二十九 综合运用公式法分解因式 55 题型三十 综合提公因式和公式法分解因式 55 题型三十一 因式分解在有理数简算中的应用 56 题型三十二 因式分解的应用 56 题型三十三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 57 题型三十四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 58 题型三十五 将分式的分子分母各项系数化为整数 59 题型三十六 分式加减乘除混合运算 60 题型三十七 分式化简求值 61 题型三十八 分式方程的行程问题 62 题型三十九 分式方程的工程问题 63 题型四十 分式方程的经济问题 64 题型四十一 分式方程和差倍分问题 65 题型四十二 求二次根式中的参数 66 题型四十三 二次根式的乘除混合运算 67 题型四十四 化为最简二次根式 67 题型四十五 已知最简二次根式求参数 68 题型四十六 复合二次根式的化简 68 题型四十七 同类二次根式 69 题型四十八 二次根式的混合运算 70 题型四十九 已知字母的值，化简求值 71 题型五十 二次根式的应用 71 题型一 由样本所在的频率区间估计总体的数量 【精讲】（24-25八年级下·全国·课后作业）某校八年级共有学生人，为了解他们的英语口语能力，从中抽查了人并对其成绩进行整理．在所得频数分布表中，各组频数之和等于______；若某组的频数为，则该组的频率为______；若口语水平在～分这一组的频率为，则可估计该校八年级学生口语水平在～分范围内的人数约为______． 【答案】 人 【分析】本题考查的知识点是频率、频数、总量的关系，由样本所在的频率区间估计总体的数量，解题关键是熟练掌握频率、频数、总量的关系． 根据频率、频数、总量的关系，由样本所在的频率区间估计总体的数量解题即可． 【详解】解：各组频数之和就是样本总数， 在所得频数分布表中，各组频数之和等于； 频率频数样本总数， 某组的频数为，则该组的频率为； 根据样本频率估计总体数量可得，该校八年级学生口语水平在～分范围内的人数约为人． 故答案为：①；②；③人． 【精练】某养殖专业户为了估计鱼塘中鱼的数量，第一次随机从鱼塘中打捞了条鱼，在每条鱼身上做好标记后放回鱼塘．一周后，再从鱼塘中随机进行打捞，通过多次试验发现有标记的鱼出现的频率稳定在左右，则鱼塘中大约有______条鱼． 【答案】 【分析】直接利用样本的频率估计总体可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 题型二 用样本的频数估计总体的频数 【精讲】我国古代数学名著《九章算术》中有一道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1206石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒米内夹谷28粒，则这批米内夹谷为______石． 【答案】134 【分析】先求出样本中谷的占比，再计算整批米中夹谷的总量即可． 【详解】解：石， ∴这批米内夹谷为134石． 【精练】为了解某年级学生每周课外阅读时长，随机抽取部分学生进行调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该年级有600名学生，估计该年级平均每周阅读时长不少于6小时的学生约有______名． 【答案】 【分析】先求出样本中平均每周阅读时长不少于小时的学生的频率，再用年级总人数乘以对应频率得到估计结果． 【详解】解：由频数分布直方图可得，抽取的样本容量为： 样本中平均每周阅读时长不少于小时的学生频数为：（人） 样本中对应频率为： 因此估计该年级符合条件的学生人数为：（人）． 题型三 由频率估计概率 【精讲】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图： 据此估计小新投壶一次投中的概率为________（结果精确到0.1）． 【答案】 【分析】本题主要考查了模拟试验，由频率估计概率，近似数等知识点，掌握用频率估计概率是解题的关键．结合折线统计图，随着试验次数的增加，投中的频率逐渐稳定在附近，据此即可估计小新投壶一次投中的概率． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，投中的频率逐渐稳定在附近，投中的概率约为，结果保留到小数点后一位为， 故答案为：． 【精练】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 50 100 200 500 1000 1500 2000 次品的频数 2 5 12 29 54 74 102 次品的频率（精确到0.001） 0.040 0.050 0.060 0.058 0.054 0.049 0.051 从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是_____（精确到0.01）． 【答案】 【详解】解：由表格数据可知，随着试验次数不断增加，次品的频率逐渐稳定在， 则任意抽取一只乒乓球是次品的概率估计值是． 题型四 用频率估计概率的综合应用 【精讲】《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为_________石. 【答案】240 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据多次实验得到的频率约等于概率得出方程，求出解即可． 【详解】解：设这批米内夹谷约为x石，根据题意，得 ， 解得． 所以这批米内夹谷约为240石． 故答案为：240． 【精练】在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的 5 个红球和若干白球，通过多次摸球试 验后，发现摸到红球的频率约为 ，估计袋中白球有_____个． 【答案】 【分析】根据摸到红球的频率约为，用5除以得到总球数，再计算求解即可． 【详解】解：摸到红球的频率约为， ∴不透明的袋子中一共有球为：(个)， 故估计袋子中的白球有：(个)， 故答案为： 题型五 利用平行四边形的判定与性质求解 【精讲】（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，在中，，点分别在边上运动，若满足，连接，则的最小值___________． 【答案】 【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，则，，结合垂直平分线的性质，得到，，过点作，且，则四边形是平行四边形，进而得出，再根据两点间线段最短求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、， ， ，， ， ， ，， 垂直平分，垂直平分， ，， 过点作，且， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 当、、三点共线时，有最小值． 【精练】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在和中，，，在直线上运动．若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先根据直角三角形的性质以及勾股定理可得，将沿平移到位置，使E与F重合，作C点关于的对称点L，连接 ，则，进而说明的最小值为的长；再根据平行四边形的性质以及轴对称的性质可得，，过L作于G，再求得、，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在和中，，， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， 如图∶将沿平移到位置，使E与F重合，作C点关于的对称点L，连接 ，交于点I，则， ∴，即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵C点关于的对称点L， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ， 如图：过L作于G， ∴ ， ∴， ∴． 题型六 平行四边形性质和判定的应用 【精讲】（25-26八年级下·辽宁营口·阶段检测）如图，在中，，是的中点，，，，则四边形的面积______． 【答案】 【分析】先利用等腰三角形三线合一得到、，设，结合用勾股定理列方程求出，再由得，最后根据对角线垂直的四边形面积公式算出． 【详解】解：∵，是中点， ∴，且， 设， ∵，， 则， 在中，由勾股定理：代入得：， 展开化简得， 解得：，即 ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是对角线互相垂直的平行四边形， ∴． 【精练】如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的判定得到需将点向右平移的长度得到点． 【详解】解：∵， ∴， ∴要使四边形是平行四边形，需将点向右平移的长度得到点， ∴点的坐标是． 题型七 矩形与折叠问题 【精讲】（25-26八年级下·天津静海·期中）如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，已知，，则①的长为______②的长为______． 【答案】 【分析】本题考查的是折叠的性质和勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理、灵活应用方程思想是本题的关键． 根据折叠变换的性质可知，再由矩形的性质得到，再根据勾股定理可得，进而求出，设 ，则，根据勾股定理，设，则在中，根据勾股定理即可求出． 【详解】解：∵是沿折叠得到的， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴， 在中，， 根据勾股定理可知， ∴ ∴ 设，则， 在中，， 即 ∴，即， 故答案为：，． 【精练】（25-26八年级下·北京·期中）在矩形纸片中，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，_____． 【答案】 【分析】设，则，利用列方程求解即可. 【详解】解：设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 即：， 解得：， 即：. 题型八 根据矩形的性质与判定求角度 【精讲】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在正方形中，点为对角线上的一点，，垂足分别为、，若，则的长度为_________． 【答案】 【分析】连接，，根据正方形的性质证明，进而证明四边形是矩形，勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ， ∴， 故答案为：． 【精练】（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，矩形中， ，为上一点，且，连接．以下说法中：①；②当点在边上时，则；③当时，则；④的最小值为．其中正确的结论是______(填写序号)． 【答案】②④ 【分析】由及，可判定①；当点在边上时，可求得，从而由矩形的性质及等腰三角形的性质，可得的度数，根据互余关系可求得的度数，从而对②作出判断；当时，可求得的长，进而可求得的函数值，则可对③作出判断；取，连接，，证明，则，从而，在中求出，即可对④作出判断． 【详解】解：①∵，， ∴， 故①错误； ②当点在边上时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ③当时，如图， ∵， ∴是等边三角形， 如图，过点作于，交于， 则，四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得， ∴， 而， ∴， ∴， 故③错误； ④如图，取，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在线段上时，取得最小值，最小值为线段的长； 在中，， 由勾股定理得， 故④正确． 故答案为：②④． 题型九 根据矩形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则，要求的最小值，即求的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，知的最小值即等于直角三角形斜边上的高． 【详解】解：连接，如图： ∵在中，，，， ∴，即， 又∵于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， 当时，的最小值即为直角三角形斜边上的高， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【精练】（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，四边形是正方形，P、N分别为上的点且，，将绕点P逆时针旋转交于点M得到，则______． 【答案】 / 【分析】设正方形的边长为，则，将绕点逆时针旋转得到，利用旋转的性质可得，，，，过点作于，过点作于，过点作于，求出和的长度，利用建立方程求解即可. 【详解】解：设正方形的边长，则， ，， ， 将绕点逆时针旋转得到， ， ，，，， 过点作于，过点作于，过点作于， 四边形为矩形 ，， 在中，，， ，， ∴ ， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 点在上，四边形是正方形， ， ， ，解得； ∴. 题型十 根据矩形的性质与判定求面积 【精讲】（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，李大爷有一块四边形的菜地，已知，，，，，则这块四边形菜地的面积为________． 【答案】 【分析】过C作于H，先证明四边形是矩形得到，，再证明是等腰直角三角形得到，进而利用矩形和三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过C作于H，则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，又，， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴这块四边形菜地的面积为． 【精练】如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为_____． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，同理可知，四边形是矩形，则，由中心对称，得到，，图形①与图形②面积相等，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵于点． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可知，四边形是矩形， ∴， ∵曲线关于点成中心对称，点的对称点是点， ∴，，图形①与图形②面积相等， ∴． 题型十一 根据菱形的性质与判定求角度 【精讲】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在菱形中，，是上一点，于点，则的度数为_____． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，再结合等腰三角形的性质以及直角三角形的性质可得的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【精练】（25-26八年级下·山东泰安·期中）如图，菱形的对角线，交于点，若，则的度数为________． 【答案】/20度 【分析】根据菱形对边平行得到，根据，得到． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ． 题型十二 根据菱形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·北京·期中）如图，菱形在平面直角坐标系中，，若，则菱形的面积为______． 【答案】 【分析】根据菱形性质可得，分别求出，最后利用对角线求菱形的面积. 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【精练】（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）菱形周长为，则菱形边长为___． 【答案】5 【分析】利用菱形四条边相等的性质，结合周长定义计算边长即可． 【详解】解：由于菱形的四条边长相等，且周长为， 故边长． 题型十三 根据菱形的性质与判定求面积 【精讲】（25-26八年级下·上海青浦·期中）若菱形的两条对角线长分别是和，则菱形一边上的高是______． 【答案】 【分析】先根据对角线长度计算菱形面积，再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形边长，最后利用等面积法列式求解即可． 【详解】解：设菱形中，两条对角线长分别为，，一边上的高为， 菱形的面积等于对角线乘积的一半， ， 菱形的对角线互相垂直平分， 两条对角线一半的长度分别为，，且， 在直角三角形中，由勾股定理可得菱形的边长， 菱形的面积也等于底边长乘以这边上的高， ， 解得． 【精练】（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的面积为_______． 【答案】 【分析】根据菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半，直接代入两条对角线的长度计算即可． 【详解】解：在菱形中，对角线和的长分别为和， ． 题型十四 正方形折叠问题 【精讲】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，把一块边长为6的正方形纸片沿着翻折，使顶点A恰好与边上的点E重合，若，则折痕________． 【答案】 【分析】过点作于点，利用正方形的性质和折叠的性质及三角形全等的判定得到，从而求出然后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：连接交于点O， 由折叠得到， ， 过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ， 在和中， ， ， ∴， 在中，，， ． 【精练】（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）边长为的正方形中，是边上的动点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于点． （1）若，，三点共线，则________； （2）若 ，则________． 【答案】 【分析】（1）根据三点共线，得出，进而得出为等腰直角三角形，根据勾股定理，即可求解； （2）连接，证明得出，设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解析：①如图： ∵以为折痕将翻折，使点落在处， ∴ ∵三点共线，则 ∵边长， ， ∵正方形中，为对角线 ∴ 又∵ 为等腰直角三角形， ． ②如图：连接， ， ， ， ， 设，则． 在中，， ∴ 解得：． ． 题型十五 求正方形重叠部分面积 【精讲】如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 【答案】 【分析】如图，连接，，证明出，得到，推出每一个阴影部分的面积等于正方形的，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，， 由正方形的性质得，，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴每一个阴影部分的面积等于正方形的， ∴正方形重叠的部分（阴影部分）面积和． 【精练】如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为________cm2 【答案】13.5// 【分析】将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，可得阴影部分是矩形，且可求阴影部分的长和宽，则面积能求出． 【详解】∵将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形， ∴由平移的性质可得阴影部分是矩形， ∵根据题意得：阴影部分的宽为6-3=3（cm），长为6-1.5=4.5（cm）， ∴S阴影部分=3×4.5=13.5 （cm2）， 故答案为13.5cm2． 题型十六 根据正方形的性质与判定证明 【精讲】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形中，点是上一点，过点作交于点，连接，若，则的度数是________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】过点作于于，根据全等三角形的判定定理结合正方形的性质证得，得到，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于于，如图所示： ∵四边形是正方形， ， ∴四边形是矩形，， ，四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【精练】（2025八年级上·吉林·专题练习）如图，已知和是一对全等的等腰直角三角形，，，，点M在边上（不与点D，B重合），延长到点F，使得，过点M作交于点E，垂足为M，连接．下列结论正确的选项是________． ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【分析】①利用角度的和差即可解答；②利用等腰直角三角形的性质即可解答；③证明，得到，再证明，即可解答；④利用勾股定理解答即可． 【详解】解： 和是一对全等的等腰直角三角形， ，， 四边形是正方形， ， ，， ，故①正确； 是等腰直角三角形， ，， ， ， ，故②正确； ， ， 在和中， ， ， ， 如图，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，故③错误； 四边形是正方形， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ，故④正确， 综上所述，选项①②④正确， 故答案为：①②④． 题型十七 根据正方形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）矩形纸片的长为，宽为，在边上，沿折叠使点落在边上的点处，在线段上取一点（不与点，重合），沿折叠，点的对应点为，延长交直线于点．当射线经过的直角边的中点时，则的长为________． 【答案】或 【分析】由矩形的长为、宽为，沿折叠使落在上的处，可证四边形为正方形，从而得，． 由及折叠性质可推出，从而得到核心结论． 为等腰直角三角形，其两条直角边、的中点分别记为、． 分两种情况讨论：当射线经过的中点时，与重合，在中利用勾股定理求，再由得解；当射线经过的中点时，连接，利用证明，得，再在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解： 四边形是矩形，，， ，． 由沿折叠，点落在上的点处， ，，． ， 四边形是正方形， ，， ，． ， ， 由沿折叠知， ， ． 当射线经过的中点时， 与重合， ， ， ． 由折叠知，， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 当射线经过的中点时， 连接， ，， ， 由折叠知， ． ，在上， ， 又，且在射线上， ， 在和中： ， （）， ． 设， 由图形位置关系知点在线段上， ， 又，， 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得． 综上所述，的长为或． 【精练】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点，分别作轴的垂线段，垂足分别为，证明得出四边形是正方形，进而根据，，得出,即可求解． 【详解】解：如图，过点，分别作轴的垂线段，垂足分别为， ∴，则四边形是矩形 ∵四边形是正方形，对角线，交于点． ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴四边形是正方形 ∴ 设 ∴， 解得： ∴ ∴ 题型十八 根据正方形的性质与判定求面积 【精讲】如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为________． 【答案】8 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质；根据，可推出四边形是平行四边形，再由矩形的性质和角平分线的定义推出，从而可说明平行四边形是正方形，再利用勾股定理结合正方形面积公式即可求解． 【详解】解：， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 平分，平分， ， ， 平行四边形是正方形． ∵，， ∴， ∴，即四边形的面积为8， 故答案为：8． 【精练】（24-25八年级下·山东青岛·期中）在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积_____． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的证明和性质，正方形的判定和性质，利用角平分线的性质和证明三角形全等是解题的关键． 过D作,交于M，，交延长线于N，证明，可得，再证明四边形是正方形，根据正方形的性质和三角形的面积公式求解． 【详解】如图，过D作,交于M，，交延长线于N， ， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 题型十九 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【精讲】如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】连接、交于点，设交于点，交于点，连接，由、分别是、的中点，得，，得出四边形是平行四边形，再利用四边形是菱形，可得，，，利用证明，再利用证明，从而得出，根据菱形的面积为，进而得出，运用平行四边形面积可得，，最后根据即可求得答案． 【详解】解：如图，连接、交于点，设交于点，交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， 、分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， ，，， 点是矩形的中心，即、、三点在同一条直线上， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形， ， ， 同理可得，， ， 菱形的面积为， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【精练】如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为_____. 【答案】9 【分析】根据矩形是中心对称图形，可得阴影部分的面积是矩形面积的一半，求出矩形面积即可求解． 【详解】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为，所以阴影部分的面积9． 故答案为：9． 题型二十 (特殊)平行四边形的动点问题 【精讲】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在四边形中，，，．点E从点D出发，沿方向运动到点C，点F从点B出发，沿方向运动到点A，点E，F的速度均为每秒1个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点E，F的运动时间为t．分别过点E，F作于点P，于点Q，当以E，P，F，Q四个点为顶点的四边形是正方形时t的值为________． 【答案】2或8 【分析】根据E、F的位置不同，分两种情况，根据正方形的性质，利用线段相等列方程，求解出时间t的值． 【详解】解：第一种情况： ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 当时，四边形为正方形， 过点B作，垂足为点H， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 解得． 第二种情况：如下图所示， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 当时，四边形为正方形， 过点B作，垂足为点H， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 解得． 综上所述，或． 【精练】（24-25八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或 【分析】根据平行四边形的性质可知当直线将四边形截出一个平行四边形时，或，设运动时间为，可得，，根据或列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， ∵， ∴当直线将四边形截出一个平行四边形时，或， ∵、的速度分别为和， ∴，， ∵，， ∴当时，， 解得：， 当时，， 解得：． 综上所述：经过或秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 题型二十一 四边形中的线段最值问题 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，，，，四点分别在长方形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为_______ ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和，，可证，利用全等三角形的性质可得出，，由此可得出四边形是平行四边形，作点关于的对称点，连接交于点，此时最小，即四边形周长最小，过点作于点，由对称结合矩形的性质可知：、，利用勾股定理即可求出的长度，进而可得出四边形周长的最小值． 【详解】解：四边形为矩形， ，， 又， ， ， ， ， 同理，可得出， 四边形是平行四边形， 作点关于的对称点，连接交于点， 此时最小，即四边形周长最小， 如下图所示，过点作于点， ，， ， ， ， ． 【精练】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在正方形中，，点O是对角线与的交点，过点O作射线，分别交 ， 于点E，F 且，有下列结论∶ ①；②；③若点K为线段上一点，则的最小值为2；④四边形的面积为1； 其中正确的是_____________(填序号) 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质可得，，，结合利用同角的余角相等可得，依据“”可判定和全等，进而判断①；由全等三角形的性质可得，结合正方形边长相等可推导，进而判断②；利用割补法将四边形的面积转化为的面积，结合正方形面积公式计算可判断④；在和中利用勾股定理及全等性质推导与的数量关系，进而判断⑤；根据两点之间线段最短可知的最小值为的长，计算长度即可判断③ ． 【详解】解：①∵四边形为正方形，对角线相交于点， ， 即， ， ， ， ， 在和中， ， ，故结论①正确； ②由①的结论正确得：， ， ∵四边形为正方形， ， ， 即，故结论②正确； ④由①的结论正确得：， ， ， ∵四边形为正方形， ， ，故结论④正确； ⑤由①的结论正确得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 由②得， ， 即， ，故结论⑤不正确； ③∵为线段上一点， 当点三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 在中，， ， ， 的最小值为，故结论③不正确； 综上所述：正确的结论是①②④． 题型二十二 四边形其他综合问题 【精讲】（23-24八年级下·全国·期中）如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了代数式求值，四边形面积计算，将四边形的面积设为x，其余八个全等的三角形相等，每个三角形的面积设为y，由，，，可得出，，，根据，得出，从而求出，即可得出答案． 【详解】解：设四边形的面积为x，其余八个全等的三角形面积相等，每个三角形的面积设为y， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【精练】如图，将等边沿翻折得，连接交于点，，点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），交于点，则下列结论：①；②；③当为线段的中点时，则；④四边形的面积为；⑤连接、，当的长度最小时，的面积为．则说法正确的是______．（只填写序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，由题意可证四边形是菱形，可得，，可判断①②，由菱形的面积公式可求菱形的面积，可判断④，由“”可证，可得，可判断③，由“”可证，可得，则当上时，有最小值，由全等三角形的性质和面积关系可求的面积，可得判断⑤，即可求解． 【详解】解：将等边沿翻折得， ，， 四边形是菱形， ，，故①②正确； 四边形是菱形， ， ，， ，， 四边形的面积，故④正确； 将线段绕点顺时针旋转的角度后得到对应的线段， ，， ， 当为线段的中点，， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，故③错误； 如图，连接，， ， ， 在和中， ， ， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值， 如图，过点作，交的延长线于，过点作于， ，，是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， ，故⑤正确， 故答案为：①②④⑤． 题型二十三 与三角形中位线有关的求解问题 【精讲】（25-26八年级下·北京·期中）对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．如图，已知四边形是“中方四边形”，四边形是它的中点四边形． ①若线段的长度为，的长为______； ②若线段的长度为，则的最小值为______． 【答案】 【分析】①连接，利用是等腰直角三角形可得，利用三角形中位线可得；②取的中点，连接，当三点共线时，最小，此时，有最小值为：. 【详解】①解：连接， ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴即：， ∵分别为的中点， ∴； ②取的中点，连接， ∵为的中点， ∴， 同理：， ∵，分别为的中点， ∴， ∵四边形是“中方四边形”，四边形是它的中点四边形， ∴四边形是正方形， ∴， ∴在中，， 当三点共线时，最小为， 此时，有最小值为：. 【精练】如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为_______． 【答案】5 【分析】先证明是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由矩形的性质即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，是边的中点， 是的中位线，， ∴， ， ， ， ， ． 题型二十四 与三角形中位线有关的证明 【精讲】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，点，，，分别是四边形的边，，，的中点．、是四边形的对角线，连接、、、，请添加一个条件：________使四边形为菱形．（填写一个即可） 【答案】 【详解】解：当 时，四边形是菱形； ，、、、分别是线段、、、的中点， 则、分别是、的中位线，、分别是、的中位线， ，， 当时， 成立， 则四边形是菱形． 【精练】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，与应满足的条件是_____ 【答案】 【分析】连接，，先根据三角形中位线定理、平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，再根据菱形的判定即可得． 【详解】解：如图，连接，， E，F，G，H分别为，，，的中点， ，，，， 四边形为平行四边形， 要使四边形为菱形，则， ， 与应满足的条件是． 题型二十五 三角形中位线的实际应用 【精讲】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，、两地被池塘隔开，李明通过下列方法测出了、间的距离：先在，两地外选一点、然后分别测出、的中点、、并测量出的距离为、由此他就知道了、间的距离、则______． 【答案】24 【分析】根据三角形的中位线定理，即可得出结果. 【详解】解：由题意，是的中位线，， ∴. 【精练】（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，A、两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、的点，找到、的中点、，并且测出的长为，则A、间的距离为________． 【答案】150 【分析】D、E是和的中点，则是的中位线，则依据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵D，E分别是和的中点， ． 题型二十六 等腰梯形的性质定理 【精讲】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在等腰梯形中，，，，与交于点，，，则此梯形的面积为______． 【答案】9 【分析】过点C作，交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，可得，证明，，由勾股定理推出，再根据列式求解即可． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在等腰梯形中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴ ． 【精练】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为______． 【答案】22 【分析】作，证明四边形是矩形，从而有，根据等腰梯形的性质得，证明，根据所对的直角边是斜边的一半得出即可求解． 【详解】解：如图，作， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∵四边形是等腰梯形， ， ∴， ， ， ∴， ， ∴等腰梯形的周长为． 题型二十七 等腰梯形的判定定理 【精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有_____．（填序号） ①有两个直角的四边形是直角梯形；②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形；③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形；④等腰梯形是轴对称图形． 【答案】②④ 【分析】此题主要考查了直角梯形、等腰梯形的定义和性质，熟练掌握梯形的性质是解题的关键．根据梯形的定义和性质逐一判断各说法是否正确． 【详解】解：①有两个直角的四边形不一定是直角梯形，因为可能没有一组对边平行，不符合梯形定义；②两条对角线相等的梯形是等腰梯形，这是等腰梯形的判定定理，正确；③梯形包括直角梯形、等腰梯形和一般梯形，不能仅分为两种，错误；④等腰梯形有一条对称轴，是轴对称图形，正确． 故答案为②④． 【精练】如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．过点C作，交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，可得，证明，，，结合勾股定理得，即，再进一步解答即可． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得，，即， ∴此梯形的面积为； 故答案为：． 题型二十八 已知因式分解的结果求参数 【精讲】（25-26八年级下·广东深圳·期中）已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________． 【答案】 【分析】设另一个因式为，可得，根据整式的乘法运算法则即可求解． 【详解】解：设另一个因式为，可得， 则， ∴，解得， ∴另一个因式为，m的值为． 【精练】（25-26八年级下·四川成都·期中）若二次三项式分解因式为，则a的值为______． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴， 对比等式两边对应项的系数可得． 故答案为：． 题型二十九 综合运用公式法分解因式 【精讲】（25-26八年级上·辽宁营口·阶段检测）分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，根据完全平方公式和平方差公式逐步对原式进行因式分解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【精练】因式分解______. 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提取，再由平方差公式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 题型三十 综合提公因式和公式法分解因式 【精讲】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）分解因式：______． 【答案】 【详解】解：． 【精练】（25-26八年级下·四川达州·期中）分解因式：_____． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解． 【详解】解：． 题型三十一 因式分解在有理数简算中的应用 【精讲】（25-26八年级下·江苏·单元测试）利用因式分解计算：_________． 【答案】4051 【分析】先利用平方差公式进行因式分解，然后再计算即可． 【详解】解：． 【精练】（25-26八年级上·山东临沂·期末）______． 【答案】2025 【分析】先提取公因式2026，再利用裂项相消法拆分括号内的分数，抵消中间项后通过有理数运算求解． 【详解】解： ． 题型三十二 因式分解的应用 【精讲】（25-26八年级下·江西九江·期中）已知，，则________． 【答案】24 【详解】解：． 【精练】（25-26八年级下·四川成都·期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数.例如，，，；因此3，5，7这三个数都是“智慧数”．如果将智慧数从小到大进行排列，那么第5个智慧数是______，第2026个智慧数是______． 【答案】 【分析】先根据定义推导不同正整数是否为智慧数，总结智慧数的分布规律，再根据规律计算指定序号的智慧数． 【详解】解：设正整数为智慧数，则存在正整数，使得，由平方差公式得： 因为与同奇偶， 因此只能为奇数或的倍数， 若为形如的正整数，为偶数但不是的倍数，因此一定不是智慧数； 对任意大于的奇数，有，因此所有大于的奇数都是智慧数； 对任意大于的的倍数，有，因此所有大于的的倍数都是智慧数； 因此可得规律：将正整数从开始每个分为一组，第一组仅有个智慧数，其余每组都有个智慧数； 从小到大列举智慧数得：第个是，第个是，第个是，第个是，第个是； 计算第个智慧数，第一组有个，剩余需要个，每组有个，因此需要组， 即第个智慧数是第组的最后一个数，为． 题型三十三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【精讲】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）把分式 中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______． 【答案】缩小为原来的 【分析】直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解：把分式中的m和n都扩大为原来的2倍， 则原式可变为：， 故分式的值缩小为原来的． 【精练】若分式中x、y均扩大为原来的n倍，分式的值变为原来的5倍，则n的值是 _____． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质解决此题． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 题型三十四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 【精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 【精练】（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含负号： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______． 【答案】 【分析】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变.”是解题的关键. 对于一个分式有三个符号，分式本身，分子，分母，由分式的基本性质可得：这三个符号同时改变两个，分式的值不变，根据此原理逐一解答各题： （1）把的分子，分母的符号都改为“+”，可得答案； （2）把的分子的符号改为“+”，分母变为相反数，可得答案； （3）把的分母的符号改为“+”，分式本身的符号改为“-”，可得答案； （4）的分子的符号改为“+”，分式本身的符号改为“-”，可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）； 故答案为： （4）． 故答案为： 题型三十五 将分式的分子分母各项系数化为整数 【精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查了将分式的分子分母各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）分式的分子、分母分别乘以12即可； （2）分式的分子、分母分别乘以20即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：． 故答案为：． 【精练】（25-26八年级上·广东珠海·期末）不改变分式的值，将的分子与分母的各项系数都化为整数得_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟知：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变．通过找到分子和分母中系数分母的最小公倍数，乘以分子和分母，使所有系数化为整数即可解答． 【详解】分子和分母中系数的分母分别为和，最小公倍数为，用同时乘分子和分母： 分子： 分母： 故答案为： ． 题型三十六 分式加减乘除混合运算 【精讲】已知函数，其中表示当时对应的函数值，如，，，则____． 【答案】 【分析】此题主要考查分式中的规律类题型，解题的关键是发现规律，进行简便求解．根据函数的特点写出所求的式子，根据规律进行化简求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ， 故答案为：． 【精练】（24-25八年级下·重庆·期中）化简：______ 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，将异分母化为同分母得，将结果化为最简分式或整式，即可求解；掌握分式加减的步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 题型三十七 分式化简求值 【精讲】已知，则分式的值为___________ 【答案】 【分析】根据已知等式得到，将其代入所求分式，约分计算即可得到结果． 【详解】解：，则， 又，即， ∴． 【精练】（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知，则的值______． 【答案】 【分析】通过对已知等式变形得到的值，再利用完全平方公式变形所求分式，即可计算出结果. 【详解】解：，可知，， ∴， 整理，得， 方程两边同时除以得：， ∴， ∴， ∴. 题型三十八 分式方程的行程问题 【精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6km，返回时由于步行速度比去时慢，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是________km/h． 【答案】3 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，熟练掌握解分式方程是解题的关键； 设返回时步行速度为x km/h，则去时速度为 km/h，根据返回时间比去时多0.5小时列出分式方程． 【详解】设返回时步行速度为x km/h，则去时速度为 km/h． 去时时间为小时，返回时间为小时． 由题意，得方程． 两边同乘，得， 整理得， 解得，． 经检验，是原方程的解且符合题意， 不符合题意舍去． ∴返回时步行速度为3 km/h． 故答案为：3． 【精练】（25-26八年级上·四川南充·期末）春运期间，两列火车匀速行驶．一列长的客运火车完全通过一条长的山体隧道和一列长的货运火车完全通过一座长的跨河大桥所用时间恰好相等．当这列货运火车完全通过该山体隧道时，同一时间内客运火车行驶的路程为________ 【答案】 /米 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． 根据两车完全通过各自隧道和大桥的时间相等，建立速度关系；再根据货运火车完全通过山体隧道的时间，计算同一时间内客运火车行驶的路程． 【详解】解：设客运火车速度为，货运火车速度为 ， ∴客运火车完全通过山体隧道的路程为，时间， 货运火车完全通过跨河大桥的路程为 ，时间， ∵时间相等，即， ∴， ∴， ∵， ∴原方程有意义， 当货运火车完全通过山体隧道的路程为，时间为， ∴同一时间内，客运火车行驶的路程 ， 故答案为：． 题型三十九 分式方程的工程问题 【精讲】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）“茶”，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，改进技术后增加了快车间，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的1.5倍，由快车间单独生产可以提前10天完成．设慢车间每天生产茶具套，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键． 设慢车间每天生产茶具套，则快车间每天生产茶具套，根据题意，快车间单独生产比慢车间单独生产提前10天完成，因此慢车间生产天数减去快车间生产天数等于10天，据此列出方程． 【详解】解：设慢车间每天生产茶具套，则快车间每天生产茶具套， 慢车间单独生产所需天数为天，快车间单独生产所需天数为天， 由快车间单独生产可以提前10天完成，得方程：， 故答案为：． 【精练】（25-26八年级上·全国·期末）某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长为的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，施工队实际工作效率比原计划提高了，结果提前完成任务，则原计划每小时修路________. 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系并正确列出方程是关键，注意要检验；设原计划每小时修路x米，根据实际工作效率提高和提前8小时完成任务，列出关于时间的方程． 【详解】解：设原计划每小时修路x米，则实际每小时修路米． 原计划修路时间为小时，实际修路时间为小时． 由题意得：， 解得． 经检验是原分式方程的解且符合题意． 故原计划每小时修路50米． 故答案为：50． 题型四十 分式方程的经济问题 【精讲】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）为了估计塘中鱼的数量，老李先从鱼塘中捞出100条鱼，做上标记后放回．待有标记的鱼完全混合后，再捞出200条鱼，发现其中有4条有标记．那么估计塘中约有鱼____条． 【答案】5000 【分析】利用样本中带标记的鱼的占比，等于总体中带标记的鱼的占比，建立方程求解总鱼数． 【详解】解：设塘中约有鱼条，根据题意可得比例关系：， 解得：， 经检验是原方程的解， 故估计塘中约有鱼条． 【精练】（25-26八年级下·全国·课后作业）某果园种植一种有机生态水果．与去年相比，今年这种水果的销量增加了，每千克的平均批发价比去年降低了，批发销售总额比去年增加了．已知去年这种水果的批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价为____________元． 【答案】4 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据去年销售总额和今年销售额增长率，求出今年销售总额；设去年单价为元，表示去年销量、今年单价和销量，利用今年销售总额列方程求解去年单价，再求今年单价． 【详解】解：去年批发销售总额为元，今年增加，则今年销售总额为（元）． 设去年每千克平均批发价为元，则去年销量为． 今年每千克批发价比去年降低，故今年单价为元； 今年销量增加，故今年销量为． 今年销售总额为今年单价与销量之积，即． 简化得， 解得． 经检验：是原分式方程的解， 今年单价为（元）． 故答案为：． 题型四十一 分式方程和差倍分问题 【精讲】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）某边防哨所运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果，那么，这个哨所共有多少名战士？若设这个哨所共有名战士，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设这个哨所共有名战士，第一次分苹果每人分得个，第二次分苹果每人分得个，根据第二次每人比第一次多分1个苹果，列出方程即可． 【详解】解：设这个哨所共有名战士， 第一次分苹果：剩余5个苹果，实际分发苹果数为：个，每人分得个， 第二次分苹果：还差6个苹果，需要苹果数为个，每人分得个， 由题意，第二次每人比第一次多分1个苹果，因此有， 故可列方程为：． 故答案为：． 【精练】，两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运千克，型机器人搬运千克所用的时间与型机器人搬运千克所用的时间相等．设型机器人每小时搬运千克化工原料，则符合题意的方程是________． 【答案】/ 【分析】本题考查分式方程的应用，准确理解题意并找出等量关系是解题的关键． 设型机器人每小时搬运千克，则型机器人每小时搬运千克，根据时间相等列出方程即可． 【详解】解：型机器人搬运千克所用时间为， 型机器人搬运千克所用时间为， 因为时间相等，所以， 故答案为：． 题型四十二 求二次根式中的参数 【精讲】（25-26八年级下·山西大同·期中）已知是整数，正整数的值可以是______． 【答案】2（答案不唯一） 【详解】解：是整数，为正整数， 是完全平方数， 取， 解得． 【精练】（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）已知x是正整数，且是整数，则x的最小值是_________． 【答案】2 【分析】先根据二次根式的性质化简为：，由题意可知，必须是整数，即必须是一个完全平方数，当时，，4是完全平方数，进而得出答案． 【详解】解：为正整数，且是整数， 必须是整数，即必须是一个完全平方数， 当时，，4是完全平方数， 此时， 是整数， 的最小值是． 题型四十三 二次根式的乘除混合运算 【精讲】（2025·吉林松原·模拟预测）计算：___________． 【答案】 【详解】解：原式． 【精练】（25-26八年级下·湖南益阳·期末）计算______． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘除运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型四十四 化为最简二次根式 【精讲】（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及运用完全平方公式进行计算，将根号内的被开方数配成完全平方形式，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ． 【精练】（25-26八年级下·陕西西安·期中）计算：________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，将被开方数分解为完全平方数与剩余因数的乘积，即可完成化简． 【详解】解：= ． 题型四十五 已知最简二次根式求参数 【精讲】（25-26八年级下·河南许昌·期中）请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的概念，最简二次根式要求被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，根据概念结合a是正整数解答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式，且a为正整数， ∴不能含有能开得尽方的因数， 当时，， 是最简二次根式，符合要求，故答案为2（答案不唯一）． 【精练】（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：________． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数需为非负数，且不含能开得尽方的因数，据此求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴被开方数的值需为不含完全平方因数的正整数， ∴可令， 解得（答案不唯一）． 题型四十六 复合二次根式的化简 【精讲】（25-26八年级下·广东江门·期中）阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 【答案】 【分析】将被开方数变形凑成完全平方公式的形式，再利用二次根式的性质化简即可. 【详解】解： . 【精练】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 【答案】/ 【分析】本题考查利用完全平方公式化简复合二次根式，熟练掌握二次根式的性质与完全平方公式的结构是解题关键，将被开方数拆分为两个正数的和，构造完全平方式即可化简． 【详解】解： 题型四十七 同类二次根式 【精讲】（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）若与最简二次根式能合并，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式的概念和合并同类二次根式，已是最简二次根式，能合并的最简二次根式为同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解即可． 【详解】解：是最简二次根式，且与最简二次根式能合并， 与是同类二次根式，可得， 解得． 【精练】（25-26八年级下·安徽宣城·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】 【分析】先将化为最简二次根式，根据同类二次根式的概念得到关于的一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：，且与最简二次根式是同类二次根式， ， 移项得， 系数化为得． 题型四十八 二次根式的混合运算 【精讲】（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】先将代数式变形为，再将代入求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【精练】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，，则式子的值为_________． 【答案】 【分析】先将所求代数式利用完全平方公式变形为 ，再分别计算与的值，代入变形后的式子计算即可得到结果． 【详解】解： 已知，， ∴ ， ∴． 题型四十九 已知字母的值，化简求值 【精讲】（25-26八年级下·广东东莞·期中）已知，，则代数式的值等于______． 【答案】4 【分析】先将所求代数式利用完全平方公式因式分解，再计算的值，整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【精练】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）已知：，代数式的值为________ 【答案】/ 【分析】把所求式子变形为，进一步变形为，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 题型五十 二次根式的应用 【精讲】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下的面积为________________． 【答案】60 【分析】先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，得出大正方形的边长，再求面积即可求得答案． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 这两个小正方形的边长分别为和， 大正方形的边长为， 余下部分的面积为：． 【精练】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）一组二次根式按如下规律排列： 第1行： 第2行： 第3行： 第4行： 第5行： …… 请根据上述规律，解答下面的问题： (1)第7行、第2列上的二次根式是_________； (2)我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察表格可知，每行有5个二次根式，被开方数为连续正整数，奇数行从左往右是从小到大，偶数行是从右往左是从小到大，计算出第7行，第2列上的二次根式是第32个二次根式，即可解答； （2）计算可得是第406行从左往右第5个二次根式，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得：第7行，第2列上的二次根式是第个二次根式， ∴第7行，第2列上的二次根式为； （2）解：∵， ∴是第406行， ∵第406行为偶数行，被开方数从左到右依次减小， ∴从左往右是第5个二次根式， 即位于第406行第5列，记作． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专项培优练 专题02 填空题『期末复习重点难点题型培优集训』 【50个高频常考题型讲练 共100题 范围：苏科版八下第6-11章】 重点题型 分类讲练 1 题型一 由样本所在的频率区间估计总体的数量 3 题型二 用样本的频数估计总体的频数 3 题型三 由频率估计概率 3 题型四 用频率估计概率的综合应用 4 题型五 利用平行四边形的判定与性质求解 4 题型六 平行四边形性质和判定的应用 4 题型七 矩形与折叠问题 5 题型八 根据矩形的性质与判定求角度 5 题型九 根据矩形的性质与判定求线段长 6 题型十 根据矩形的性质与判定求面积 6 题型十一 根据菱形的性质与判定求角度 7 题型十二 根据菱形的性质与判定求线段长 7 题型十三 根据菱形的性质与判定求面积 8 题型十四 正方形折叠问题 8 题型十五 求正方形重叠部分面积 9 题型十六 根据正方形的性质与判定证明 9 题型十七 根据正方形的性质与判定求线段长 10 题型十八 根据正方形的性质与判定求面积 10 题型十九 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 11 题型二十 (特殊)平行四边形的动点问题 11 题型二十一 四边形中的线段最值问题 12 题型二十二 四边形其他综合问题 13 题型二十三 与三角形中位线有关的求解问题 13 题型二十四 与三角形中位线有关的证明 14 题型二十五 三角形中位线的实际应用 14 题型二十六 等腰梯形的性质定理 15 题型二十七 等腰梯形的判定定理 15 题型二十八 已知因式分解的结果求参数 16 题型二十九 综合运用公式法分解因式 16 题型三十 综合提公因式和公式法分解因式 16 题型三十一 因式分解在有理数简算中的应用 16 题型三十二 因式分解的应用 16 题型三十三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 16 题型三十四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 16 题型三十五 将分式的分子分母各项系数化为整数 17 题型三十六 分式加减乘除混合运算 17 题型三十七 分式化简求值 17 题型三十八 分式方程的行程问题 17 题型三十九 分式方程的工程问题 18 题型四十 分式方程的经济问题 18 题型四十一 分式方程和差倍分问题 18 题型四十二 求二次根式中的参数 18 题型四十三 二次根式的乘除混合运算 19 题型四十四 化为最简二次根式 19 题型四十五 已知最简二次根式求参数 19 题型四十六 复合二次根式的化简 19 题型四十七 同类二次根式 19 题型四十八 二次根式的混合运算 20 题型四十九 已知字母的值，化简求值 20 题型五十 二次根式的应用 20 题型一 由样本所在的频率区间估计总体的数量 【精讲】（24-25八年级下·全国·课后作业）某校八年级共有学生人，为了解他们的英语口语能力，从中抽查了人并对其成绩进行整理．在所得频数分布表中，各组频数之和等于______；若某组的频数为，则该组的频率为______；若口语水平在～分这一组的频率为，则可估计该校八年级学生口语水平在～分范围内的人数约为______． 【精练】某养殖专业户为了估计鱼塘中鱼的数量，第一次随机从鱼塘中打捞了条鱼，在每条鱼身上做好标记后放回鱼塘．一周后，再从鱼塘中随机进行打捞，通过多次试验发现有标记的鱼出现的频率稳定在左右，则鱼塘中大约有______条鱼． 题型二 用样本的频数估计总体的频数 【精讲】我国古代数学名著《九章算术》中有一道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1206石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒米内夹谷28粒，则这批米内夹谷为______石． 【精练】为了解某年级学生每周课外阅读时长，随机抽取部分学生进行调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该年级有600名学生，估计该年级平均每周阅读时长不少于6小时的学生约有______名． 题型三 由频率估计概率 【精讲】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图： 据此估计小新投壶一次投中的概率为________（结果精确到0.1）． 【精练】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 50 100 200 500 1000 1500 2000 次品的频数 2 5 12 29 54 74 102 次品的频率（精确到0.001） 0.040 0.050 0.060 0.058 0.054 0.049 0.051 从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是_____（精确到0.01）． 题型四 用频率估计概率的综合应用 【精讲】《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为_________石. 【精练】在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的 5 个红球和若干白球，通过多次摸球试 验后，发现摸到红球的频率约为 ，估计袋中白球有_____个． 题型五 利用平行四边形的判定与性质求解 【精讲】（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，在中，，点分别在边上运动，若满足，连接，则的最小值___________． 【精练】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在和中，，，在直线上运动．若，则的最小值为________． 题型六 平行四边形性质和判定的应用 【精讲】（25-26八年级下·辽宁营口·阶段检测）如图，在中，，是的中点，，，，则四边形的面积______． 【精练】如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是____． 题型七 矩形与折叠问题 【精讲】（25-26八年级下·天津静海·期中）如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，已知，，则①的长为______②的长为______． 【精练】（25-26八年级下·北京·期中）在矩形纸片中，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，_____． 题型八 根据矩形的性质与判定求角度 【精讲】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在正方形中，点为对角线上的一点，，垂足分别为、，若，则的长度为_________． 【精练】（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，矩形中， ，为上一点，且，连接．以下说法中：①；②当点在边上时，则；③当时，则；④的最小值为．其中正确的结论是______(填写序号)． 题型九 根据矩形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为________． 【精练】（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，四边形是正方形，P、N分别为上的点且，，将绕点P逆时针旋转交于点M得到，则______． 题型十 根据矩形的性质与判定求面积 【精讲】（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，李大爷有一块四边形的菜地，已知，，，，，则这块四边形菜地的面积为________． 【精练】如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为_____． 题型十一 根据菱形的性质与判定求角度 【精讲】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在菱形中，，是上一点，于点，则的度数为_____． 【精练】（25-26八年级下·山东泰安·期中）如图，菱形的对角线，交于点，若，则的度数为________． 题型十二 根据菱形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·北京·期中）如图，菱形在平面直角坐标系中，，若，则菱形的面积为______． 【精练】（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）菱形周长为，则菱形边长为___． 题型十三 根据菱形的性质与判定求面积 【精讲】（25-26八年级下·上海青浦·期中）若菱形的两条对角线长分别是和，则菱形一边上的高是______． 【精练】（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的面积为_______． 题型十四 正方形折叠问题 【精讲】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，把一块边长为6的正方形纸片沿着翻折，使顶点A恰好与边上的点E重合，若，则折痕________． 【精练】（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）边长为的正方形中，是边上的动点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于点． （1）若，，三点共线，则________； （2）若 ，则________． 题型十五 求正方形重叠部分面积 【精讲】如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 【精练】如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为________cm2 题型十六 根据正方形的性质与判定证明 【精讲】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形中，点是上一点，过点作交于点，连接，若，则的度数是________．（用含的代数式表示） 【精练】（2025八年级上·吉林·专题练习）如图，已知和是一对全等的等腰直角三角形，，，，点M在边上（不与点D，B重合），延长到点F，使得，过点M作交于点E，垂足为M，连接．下列结论正确的选项是________． ①；②；③；④． 题型十七 根据正方形的性质与判定求线段长 【精讲】（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）矩形纸片的长为，宽为，在边上，沿折叠使点落在边上的点处，在线段上取一点（不与点，重合），沿折叠，点的对应点为，延长交直线于点．当射线经过的直角边的中点时，则的长为________． 【精练】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 题型十八 根据正方形的性质与判定求面积 【精讲】如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为________． 【精练】（24-25八年级下·山东青岛·期中）在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积_____． 题型十九 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【精讲】如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 【精练】如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为_____. 题型二十 (特殊)平行四边形的动点问题 【精讲】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在四边形中，，，．点E从点D出发，沿方向运动到点C，点F从点B出发，沿方向运动到点A，点E，F的速度均为每秒1个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点E，F的运动时间为t．分别过点E，F作于点P，于点Q，当以E，P，F，Q四个点为顶点的四边形是正方形时t的值为________． 【精练】（24-25八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 题型二十一 四边形中的线段最值问题 【精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，，，，四点分别在长方形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为_______ ． 【精练】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在正方形中，，点O是对角线与的交点，过点O作射线，分别交 ， 于点E，F 且，有下列结论∶ ①；②；③若点K为线段上一点，则的最小值为2；④四边形的面积为1； 其中正确的是_____________(填序号) 题型二十二 四边形其他综合问题 【精讲】（23-24八年级下·全国·期中）如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则___________． 【精练】如图，将等边沿翻折得，连接交于点，，点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），交于点，则下列结论：①；②；③当为线段的中点时，则；④四边形的面积为；⑤连接、，当的长度最小时，的面积为．则说法正确的是______．（只填写序号） 题型二十三 与三角形中位线有关的求解问题 【精讲】（25-26八年级下·北京·期中）对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．如图，已知四边形是“中方四边形”，四边形是它的中点四边形． ①若线段的长度为，的长为______； ②若线段的长度为，则的最小值为______． 【精练】如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为_______． 题型二十四 与三角形中位线有关的证明 【精讲】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，点，，，分别是四边形的边，，，的中点．、是四边形的对角线，连接、、、，请添加一个条件：________使四边形为菱形．（填写一个即可） 【精练】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，与应满足的条件是_____ 题型二十五 三角形中位线的实际应用 【精讲】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，、两地被池塘隔开，李明通过下列方法测出了、间的距离：先在，两地外选一点、然后分别测出、的中点、、并测量出的距离为、由此他就知道了、间的距离、则______． 【精练】（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，A、两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、的点，找到、的中点、，并且测出的长为，则A、间的距离为________． 题型二十六 等腰梯形的性质定理 【精讲】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在等腰梯形中，，，，与交于点，，，则此梯形的面积为______． 【精练】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为______． 题型二十七 等腰梯形的判定定理 【精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有_____．（填序号） ①有两个直角的四边形是直角梯形；②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形；③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形；④等腰梯形是轴对称图形． 【精练】如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为______． 题型二十八 已知因式分解的结果求参数 【精讲】（25-26八年级下·广东深圳·期中）已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________． 【精练】（25-26八年级下·四川成都·期中）若二次三项式分解因式为，则a的值为______． 题型二十九 综合运用公式法分解因式 【精讲】（25-26八年级上·辽宁营口·阶段检测）分解因式：______． 【精练】因式分解______. 题型三十 综合提公因式和公式法分解因式 【精讲】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）分解因式：______． 【精练】（25-26八年级下·四川达州·期中）分解因式：_____． 题型三十一 因式分解在有理数简算中的应用 【精讲】（25-26八年级下·江苏·单元测试）利用因式分解计算：_________． 【精练】（25-26八年级上·山东临沂·期末）______． 题型三十二 因式分解的应用 【精讲】（25-26八年级下·江西九江·期中）已知，，则________． 【精练】（25-26八年级下·四川成都·期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数.例如，，，；因此3，5，7这三个数都是“智慧数”．如果将智慧数从小到大进行排列，那么第5个智慧数是______，第2026个智慧数是______． 题型三十三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【精讲】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）把分式 中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______． 【精练】若分式中x、y均扩大为原来的n倍，分式的值变为原来的5倍，则n的值是 _____． 题型三十四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 【精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 【精练】（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含负号： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______． 题型三十五 将分式的分子分母各项系数化为整数 【精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 【精练】（25-26八年级上·广东珠海·期末）不改变分式的值，将的分子与分母的各项系数都化为整数得_______． 题型三十六 分式加减乘除混合运算 【精讲】已知函数，其中表示当时对应的函数值，如，，，则____． 【精练】（24-25八年级下·重庆·期中）化简：______ 题型三十七 分式化简求值 【精讲】已知，则分式的值为___________ 【精练】（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知，则的值______． 题型三十八 分式方程的行程问题 【精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6km，返回时由于步行速度比去时慢，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是________km/h． 【精练】（25-26八年级上·四川南充·期末）春运期间，两列火车匀速行驶．一列长的客运火车完全通过一条长的山体隧道和一列长的货运火车完全通过一座长的跨河大桥所用时间恰好相等．当这列货运火车完全通过该山体隧道时，同一时间内客运火车行驶的路程为________ 题型三十九 分式方程的工程问题 【精讲】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）“茶”，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，改进技术后增加了快车间，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的1.5倍，由快车间单独生产可以提前10天完成．设慢车间每天生产茶具套，则可列方程为______． 【精练】（25-26八年级上·全国·期末）某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长为的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，施工队实际工作效率比原计划提高了，结果提前完成任务，则原计划每小时修路________. 题型四十 分式方程的经济问题 【精讲】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）为了估计塘中鱼的数量，老李先从鱼塘中捞出100条鱼，做上标记后放回．待有标记的鱼完全混合后，再捞出200条鱼，发现其中有4条有标记．那么估计塘中约有鱼____条． 【精练】（25-26八年级下·全国·课后作业）某果园种植一种有机生态水果．与去年相比，今年这种水果的销量增加了，每千克的平均批发价比去年降低了，批发销售总额比去年增加了．已知去年这种水果的批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价为____________元． 题型四十一 分式方程和差倍分问题 【精讲】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）某边防哨所运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果，那么，这个哨所共有多少名战士？若设这个哨所共有名战士，则根据题意可列方程为______． 【精练】，两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运千克，型机器人搬运千克所用的时间与型机器人搬运千克所用的时间相等．设型机器人每小时搬运千克化工原料，则符合题意的方程是________． 题型四十二 求二次根式中的参数 【精讲】（25-26八年级下·山西大同·期中）已知是整数，正整数的值可以是______． 【精练】（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）已知x是正整数，且是整数，则x的最小值是_________． 题型四十三 二次根式的乘除混合运算 【精讲】（2025·吉林松原·模拟预测）计算：___________． 【精练】（25-26八年级下·湖南益阳·期末）计算______． 题型四十四 化为最简二次根式 【精讲】（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）_____． 【精练】（25-26八年级下·陕西西安·期中）计算：________． 题型四十五 已知最简二次根式求参数 【精讲】（25-26八年级下·河南许昌·期中）请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 【精练】（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：________． 题型四十六 复合二次根式的化简 【精讲】（25-26八年级下·广东江门·期中）阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 【精练】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 题型四十七 同类二次根式 【精讲】（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）若与最简二次根式能合并，则的值为__________． 【精练】（25-26八年级下·安徽宣城·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则______． 题型四十八 二次根式的混合运算 【精讲】（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）已知，则代数式的值为________． 【精练】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，，则式子的值为_________． 题型四十九 已知字母的值，化简求值 【精讲】（25-26八年级下·广东东莞·期中）已知，，则代数式的值等于______． 【精练】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）已知：，代数式的值为________ 题型五十 二次根式的应用 【精讲】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下的面积为________________． 【精练】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）一组二次根式按如下规律排列： 第1行： 第2行： 第3行： 第4行： 第5行： …… 请根据上述规律，解答下面的问题： (1)第7行、第2列上的二次根式是_________； (2)我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_________． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $